Aufgabengruppe 1

Gib die Definitionsmenge der folgenden Gleichung an und ermittle die Lösungsmenge rechnerisch.

$Formula: \dfrac{1}{x-10}=\dfrac{2 x}{4 x}+\dfrac{40}{4 x \cdot(x-10)}$ $Formula: \dfrac{1}{x-10}=\dfrac{2 x}{4 x}+\dfrac{40}{4 x \cdot(x-10)}$

4 P

Gib mithilfe der folgenden Abbildung die Funktionsgleichung der Geraden Formula: g_1 an.

Koordinatensystem mit fallender grüner Geraden g1.

Die Gerade Formula: g_2 verläuft durch den Punkt $Formula: A(–2 \mid 3)$ $Formula: A(–2 \mid 3)$ und steht senkrecht auf der Geraden Formula: g_3 mit der Funktionsgleichung Formula: y= –2x – 1.

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_2.

Berechne die Formula: x -Koordinate des Schnittpunkts Formula: N von Formula: g_3 mit der -Achse und gib diesen Punkt an.

Die Gerade Formula: g_4 verläuft durch die Punkte $Formula: B(–1 \mid 3)$ $Formula: B(–1 \mid 3)$ und $Formula: C(–2 \mid 2).$ $Formula: C(–2 \mid 2).$

Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: g_4.

Zeichne die Geraden Formula: g_3 und Formula: g_4 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Begründe, warum es keine lineare Funktion gibt, deren Graph nur in einem Quadranten verläuft.

Die Gerade Formula: g_5 schneidet die Formula: x -Achse nicht.

Gib eine mögliche Funktionsgleichung von Formula: g_5 an.

8 P

Die nach oben geöffnete Normalparabel Formula: p_1 hat den Scheitelpunkt $Formula: S_1(-2 \mid-2).$ $Formula: S_1(-2 \mid-2).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_1 in der Normalform.

Die Parabel Formula: p_2 erhält man durch Spiegelung der Parabel Formula: p_1 an der Formula: y -Achse.

Zeichne die Graphen von Formula: p_1 und Formula: p_2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit $Formula: 1\;\text{cm}.$ $Formula: 1\;\text{cm}.$

Die nach unten geöffnete Normalparabel Formula: p_4 verläuft durch den Punkt $Formula: B(2 \mid-2).$ $Formula: B(2 \mid-2).$

Sie schneidet die Parabel Formula: p_3: y=x^2+3,5 x+2 im Punkt $Formula: A(0 \mid y).$ $Formula: A(0 \mid y).$

Ermittle rechnerisch die Funktionsgleichung von Formula: p_4.

Überprüfe rechnerisch, ob der Punkt $Formula: C(2 \mid 8,5)$ $Formula: C(2 \mid 8,5)$ auf der Parabel Formula: p_5: y=x^2+x+2,25 liegt.

Zeige, dass die Parabel Formula: p_5 die Formula: x -Achse nicht schneidet.

Beschreibe die Lage der Parabel Formula: p_6: y=-x^2-5 im Koordinatensystem.

7 P

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks Formula: AHFG (siehe Skizze).

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{DF}|&=&11 \mathrm{~m} \\[5pt] |\overline{CE}|&=&18,5 \mathrm{~m}\\[5pt] |\overline{AE}|&=&7,8 \mathrm{~m} \\[5pt] \delta&=&30^{\circ} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{DF}|&=&11 \mathrm{~m} \\[5pt] |\overline{CE}|&=&18,5 \mathrm{~m}\\[5pt] |\overline{AE}|&=&7,8 \mathrm{~m} \\[5pt] \delta&=&30^{\circ} \end{array}$

Geometrische Skizze mit markierten Punkten, Linien und einem schattierten Rechteck.

Hinweis: Skizze nicht maßstabsgetreu

5 P

Eine Frau lebte ihr ganzes Formula: ,102 Jahre langes Leben im gleichen Haus. Bei ihrer Geburt hatte dieses Haus umgerechnet nach heutigem Stand einen Wert von $Formula: 200\,\text{€}.$ $Formula: 200\,\text{€}.$ Das Haus wurde gleich nach ihrem Tod für $Formula: 170\,000\,\text{€}$ $Formula: 170\,000\,\text{€}$ verkauft.

Berechne für diese Formula: 102 Jahre die durchschnittliche jährliche Wertsteigerung in Prozent.

Gehe von einer exponentiellen Wertsteigerung aus.

Der Käufer erhofft sich in Zukunft eine jährliche prozentuale Wertsteigerung von $Formula: 3,1\,\%.$ $Formula: 3,1\,\%.$

Berechne, nach wie vielen Jahren das Haus auf diese Weise $Formula: 525\,000\,\text{€}$ $Formula: 525\,000\,\text{€}$ wert sein würde.

Nach seinem Kauf für $Formula: 170\,000\,\text{€}$ $Formula: 170\,000\,\text{€}$ sinkt jedoch der Wert des Hauses Formula: 11 Jahre lang um durchschnittlich $Formula: 0,5\,\%$ $Formula: 0,5\,\%$ pro Jahr.

Ermittle rechnerisch den Wert des Hauses nach diesen Formula: 11 Jahren.

4 P

Vereinfache den folgenden Term so weit wie möglich.

Es gilt $Formula: :x,y,z \neq 0$ $Formula: :x,y,z \neq 0$

$Formula: \dfrac{18 x^6 z^2 \cdot 24 y^3 \cdot 10 x^{-3} \cdot z}{12 x^4 \cdot 6 y^3 z^{-1} \cdot 12 x^{-1}}$ $Formula: \dfrac{18 x^6 z^2 \cdot 24 y^3 \cdot 10 x^{-3} \cdot z}{12 x^4 \cdot 6 y^3 z^{-1} \cdot 12 x^{-1}}$

2 P

Bei einer Faschingsveranstaltung an einer Mittelschule werden Formula: 150 äußerlich nicht unterscheidbare Krapfen zum Verkauf angeboten. Davon sind Formula: 75 mit Aprikosenmarmelade Formula: (A), 70 mit Erdbeermarmelade Formula: (E) und Formula: 5 zum Spaß mit Senf Formula: (S) gefüllt.

Beim Kauf weiß niemand, welche Füllung der Krapfen hat.

Die ersten beiden Kunden kaufen nacheinander jeder einen Krapfen.

Stelle die möglichen Ergebnisse in einem Baumdiagramm dar und beschrifte die Äste mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden zuerst verkauften Krapfen mit Aprikosenmarmelade gefüllt sind.

Unter den ersten Formula: 100 verkauften Krapfen war noch keiner mit Senffüllung.

Ermittle rechnerisch die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der nächsten beiden verkauften Krapfen eine Senffüllung enthält.

4 P

Eine Hohlkugel aus Metall hat einen Oberflächeninhalt von $Formula: 452,16 \mathrm{~cm}^2.$ $Formula: 452,16 \mathrm{~cm}^2.$ Die Wandstärke der Hohlkugel beträgt $Formula: 0,5 \mathrm{~mm}.$ $Formula: 0,5 \mathrm{~mm}.$

Berechne die Masse der Hohlkugel in Gramm, wenn $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ $Formula: 1 \mathrm{~cm}^3$ dieses Metalls eine Masse von $Formula: 7,8 \mathrm{~g}$ $Formula: 7,8 \mathrm{~g}$ hat.

3 P

Die folgende Gleichung ist eine Anwendung einer binomischen Formel.

Stelle die vollständige Gleichung auf und notiere diese.

Formula: (  Formula: -16z)^2=25a^2-  Formula: + 

Gegeben ist die Anwendung einer binomischen Formel:

$Formula: \left(x^2+x\right)^2=x^4+2 x^3+x^2$ $Formula: \left(x^2+x\right)^2=x^4+2 x^3+x^2$

Gib für Formula: x eine Zahl an, bei der das gemischte Glied Formula: 2x^3 negativ wird, und begründe deine Entscheidung.

3 P

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Definitionsmenge angeben

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4 x &\neq& 0 &\mid\;:4\\[5pt] x&\neq&0 \\[5pt] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4 x &\neq& 0 &\mid\;:4\\[5pt] x&\neq&0 \\[5pt] \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-10&\neq& 0 &\mid\;+10\\[5pt] x&\neq& 10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x-10&\neq& 0 &\mid\;+10\\[5pt] x&\neq& 10 \end{array}$

Somit folgt:

$Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{0 ; 10\}$ $Formula: D=\mathbb{R} \setminus\{0 ; 10\}$

Lösungsmenge ermitteln

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{x-10}&=&\dfrac{2 x}{4 x}+\dfrac{40}{4 x \cdot(x-10)} &\mid\; \cdot4 x(x-10) \\[5pt] 4x&=&2 x \cdot(x-10)+40 \\[5pt] 4 x&=&2 x^2-20 x+40 &\mid\;-4x \\[5pt] 0&=&2 x^2-24 x+40 &\mid\;:2\\[5pt] 0&=&x^2-12 x+20 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{x-10}&=&\dfrac{2 x}{4 x}+\dfrac{40}{4 x \cdot(x-10)} &\mid\; \cdot4 x(x-10) \\[5pt] 4x&=&2 x \cdot(x-10)+40 \\[5pt] 4 x&=&2 x^2-20 x+40 &\mid\;-4x \\[5pt] 0&=&2 x^2-24 x+40 &\mid\;:2\\[5pt] 0&=&x^2-12 x+20 \end{array}$

Mit Anwendung der Formula: pq -Formel folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ; 2}&=&-\dfrac{-12}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-12}{2}\right)^2-20} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{16} \\[5pt] &=&6 \pm 4 \\[5pt] x_1&=&10 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ; 2}&=&-\dfrac{-12}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-12}{2}\right)^2-20} \\[5pt] &=&6 \pm \sqrt{16} \\[5pt] &=&6 \pm 4 \\[5pt] x_1&=&10 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$

Der Wert Formula: x=10 ist nicht möglich, da er nicht in der Definitionsmenge liegt. Somit gilt:

$Formula: L=\{2\}$ $Formula: L=\{2\}$

Mit $Formula: m_1=-\dfrac{1}{3}$ $Formula: m_1=-\dfrac{1}{3}$ und dem Formula: y -Achsenabschnitt Formula: b=2 ergibt sich:

$Formula: g_1: y=-\dfrac{1}{3} x+2$ $Formula: g_1: y=-\dfrac{1}{3} x+2$

Für die Steigung von Formula: g_2 gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_2 \cdot m_3&=&-1 \\[5pt] m_2\cdot(-2)&=&-1 &\mid\;:(-2) \\[5pt] m_2&=&0,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_2 \cdot m_3&=&-1 \\[5pt] m_2\cdot(-2)&=&-1 &\mid\;:(-2) \\[5pt] m_2&=&0,5 \end{array}$

Für den Ansatz folgt:

Formula: g_2: y=0,5 x+b

Für Ermittlung des Formula: y -Achsenabschnittes wird Punkt $Formula: A(-2 \mid 3)$ $Formula: A(-2 \mid 3)$ in Formula: g_2 eingesetzt. Damit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&0,5 \cdot(-2)+b \\[5pt] 3&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&0,5 \cdot(-2)+b \\[5pt] 3&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$

Somit folgt:

Formula: g_2: y=0,5 x+4

Nullsetzen der Gleichung von Formula: g_3 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2x-1&=&0 &\mid\;+1 \\[5pt] -2x&=&1 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&-0,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2x-1&=&0 &\mid\;+1 \\[5pt] -2x&=&1 &\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&-0,5 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: N(-0,5 \mid 0)$ $Formula: N(-0,5 \mid 0)$

Für die Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{2-3}{-2-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{-1} \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&\dfrac{2-3}{-2-(-1)} \\[5pt] &=&\dfrac{-1}{-1} \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Für den Ansatz gilt:

Formula: y=x+b

Mit dem Punkt $Formula: B(-1 \mid 3)$ $Formula: B(-1 \mid 3)$ gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3&=&-1+b &\mid\;+1 \\[5pt] 4&=&b \end{array}$

Für die Funktionsgleichung folgt:

Formula: g_4: y=x+4

Koordinatensystem mit zwei Geraden g3 und g4.

Eine lineare Funktion kann nicht nur in einem Quadranten verlaufen, weil ihr Graph eine unendlich lange Gerade ist und deshalb immer durch mindestens zwei Quadranten verläuft.

Damit die Gerade die Formula: x -Achse nicht schneidet, muss sie waagrecht sein und nicht auf der Höhe Formula: y=0 liegen. Für eine mögliche Lösung folgt:

Formula: g_5: y=5

Für die Scheitelpunktform gilt:

Formula: y=(x+2)^2-2

Nach dem Ausmultiplizieren folgt:

Formula: y=x^2+4 x+4-2

Es folgt:

Formula: p_1: y=x^2+4 x+2

Zwei nach oben geöffnete Parabeln im Koordinatensystem mit Scheitelpunkten bei etwa (-2,-2) und (2,-2).

Für die Formula: y -Koordinate von Formula: A gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&0^2+3,5 \cdot 0+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&0^2+3,5 \cdot 0+2 \\[5pt] &=&2 \end{array}$

Es folgt:

$Formula: A(0 \mid 2)$ $Formula: A(0 \mid 2)$

Für eine nach unten geöffnete Normalparabel gilt:

Formula: y=-(x-h)^2+k

Mit Punkt $Formula: A(0 \mid 2)$ $Formula: A(0 \mid 2)$ folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&-(0-h)^2+k \\[5pt] 2&=&-h^2+k &\mid+h^2\\[5pt] 2+h^2&=&k \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 2&=&-(0-h)^2+k \\[5pt] 2&=&-h^2+k &\mid+h^2\\[5pt] 2+h^2&=&k \end{array}$

Mit Punkt $Formula: B(2 \mid-2)$ $Formula: B(2 \mid-2)$ ergibt sich außerdem:

Formula: -2=-(2-h)^2+k

Einsetzen von Formula: k=2+h^2 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2&=&-(2-h)^2+2+h^2 \\[5pt] -2&=&4h-2 &\mid+2\\[5pt] 0&=&4h &\mid:4\\[5pt] 0&=&h \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} -2&=&-(2-h)^2+2+h^2 \\[5pt] -2&=&4h-2 &\mid+2\\[5pt] 0&=&4h &\mid:4\\[5pt] 0&=&h \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: k=2+0^2=2.

Formula: p_4: y=-x^2+2

Einsetzen von Formula: x=2 in Formula: p_5 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&2^2+2+2,25 \\[5pt] &=&8,25 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y&=&2^2+2+2,25 \\[5pt] &=&8,25 \end{array}$

Mit dem Formula: y -Wert von Punkt Formula: C gleichgesetzt folgt:

$Formula: 8,25 \neq 8,5$ $Formula: 8,25 \neq 8,5$

Somit liegt Formula: C nicht auf Formula: p_5.

Nullsetzen der Gleichung von Formula: p_5 liefert mit der Formula: pq -Formel:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ; 2}&=&-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2,25} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_{1 ; 2}&=&-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2-2,25} \\[5pt] &=&-\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{-2} \end{array}$

Aus einer negativen Zahl kann keine Wurzel gezogen werden, deshalb gibt es keine Lösung.

Formula: p_5 Die Parabel hat somit keine Nullstelle und schneidet damit die Formula: x -Achse nicht.

Die Parabel Formula: p_6 ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitel $Formula: S(0 \mid-5)$ $Formula: S(0 \mid-5)$ und liegt unterhalb der Formula: x -Achse.

Mit dem Höhensatz folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} |\overline{BE}|^2 & = & |\overline{AE}| \cdot |\overline{EC}| &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{BE}| & = & \sqrt{|\overline{AE}| \cdot |\overline{EC}|} \\[5pt] |\overline{BE}| & = & \sqrt{7{,}8\;\mathrm{m} \cdot 18{,}5\;\mathrm{m}} \\[5pt] |\overline{BE}| & \approx & 12\;\mathrm{m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} |\overline{BE}|^2 & = & |\overline{AE}| \cdot |\overline{EC}| &\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] |\overline{BE}| & = & \sqrt{|\overline{AE}| \cdot |\overline{EC}|} \\[5pt] |\overline{BE}| & = & \sqrt{7{,}8\;\mathrm{m} \cdot 18{,}5\;\mathrm{m}} \\[5pt] |\overline{BE}| & \approx & 12\;\mathrm{m} \end{array}$

Für die Länge der Strecke $Formula: \overline{BC}$ $Formula: \overline{BC}$ folgt dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} |\overline{BE}|^2 + |\overline{CE}|^2 & = & |\overline{BC}|^2 \\[5pt] (12\;\mathrm{m})^2 + (18{,}5\;\mathrm{m})^2 & = & |\overline{BC}|^2 \\[5pt] 486{,}25\;\mathrm{m}^2 & = & |\overline{BC}|^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] 22{,}1\;\mathrm{m} & \approx & |\overline{BC}| \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} |\overline{BE}|^2 + |\overline{CE}|^2 & = & |\overline{BC}|^2 \\[5pt] (12\;\mathrm{m})^2 + (18{,}5\;\mathrm{m})^2 & = & |\overline{BC}|^2 \\[5pt] 486{,}25\;\mathrm{m}^2 & = & |\overline{BC}|^2 &\quad\scriptsize\mid\,\sqrt{\;} \\[5pt] 22{,}1\;\mathrm{m} & \approx & |\overline{BC}| \end{array}$

Für die Breite des kleinen Dreiecks gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{|\overline{F H}|}{|\overline{D F}|}&=&\sin (30^{\circ}) &\mid\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{F H}|&=&\sin (30^{\circ})\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{F H}|&=&\sin (30^{\circ})\cdot11 \\[5pt] |\overline{F H}|&=&5,5 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{|\overline{F H}|}{|\overline{D F}|}&=&\sin (30^{\circ}) &\mid\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{F H}|&=&\sin (30^{\circ})\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{F H}|&=&\sin (30^{\circ})\cdot11 \\[5pt] |\overline{F H}|&=&5,5 \mathrm{~m} \end{array}$

Außerdem gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{|\overline{DH}|}{|\overline{D F}|}&=&\cos (30^{\circ}) &\mid\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{DH}|&=&\cos (30^{\circ})\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{DH}|&=&\cos (30^{\circ})\cdot11 \\[5pt] |\overline{DH}|&=&9,5 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{|\overline{DH}|}{|\overline{D F}|}&=&\cos (30^{\circ}) &\mid\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{DH}|&=&\cos (30^{\circ})\cdot|\overline{D F}| \\[5pt] |\overline{DH}|&=&\cos (30^{\circ})\cdot11 \\[5pt] |\overline{DH}|&=&9,5 \mathrm{~m} \end{array}$

Mit $Formula: |\overline{BC}|=|\overline{AD}|$ $Formula: |\overline{BC}|=|\overline{AD}|$ gilt für die Höhe des kleinen Rechtecks:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{A H}|&=&|\overline{A D}|-|\overline{D H}|\\[5pt] &=&22,1-9,5 \\[5pt] &=&12,6 \mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} |\overline{A H}|&=&|\overline{A D}|-|\overline{D H}|\\[5pt] &=&22,1-9,5 \\[5pt] &=&12,6 \mathrm{~m} \end{array}$

Für den Flächeninhalt gilt damit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{A H F G}&=&12,6 \cdot 5,5\\[5pt] &=&69,3 \mathrm{~m}^2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} A_{A H F G}&=&12,6 \cdot 5,5\\[5pt] &=&69,3 \mathrm{~m}^2 \end{array}$

Für die durchschnittliche jährliche Wertsteigerung gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 200 \cdot(1+p)^{102}&=&170\,000 &\mid\;:200 \\[5pt] (1+p)^{102}&=&850 &\mid\;\sqrt[102] {\;} \\[5pt] 1+p&=&\sqrt[102] {850} &\mid\;-1 \\[5pt] p&=&\sqrt[102]{850}-1 \\[5pt] p&\approx& 0,0684 \\[5pt] p&=&6,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 200 \cdot(1+p)^{102}&=&170\,000 &\mid\;:200 \\[5pt] (1+p)^{102}&=&850 &\mid\;\sqrt[102] {\;} \\[5pt] 1+p&=&\sqrt[102] {850} &\mid\;-1 \\[5pt] p&=&\sqrt[102]{850}-1 \\[5pt] p&\approx& 0,0684 \\[5pt] p&=&6,8\,\% \end{array}$

Für die Anzahl der Jahre bis das Haus $Formula: 525\,000\,\text{€}$ $Formula: 525\,000\,\text{€}$ wert ist, folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 170\,000 \cdot 1,031^n&=&525\,000 &\mid\;:170\,000 \\[5pt] 1,031^n&=&\dfrac{525\,000}{170\,000} &\mid\;\log_{1,031} \\[5pt] n&=&\log _{1,031}\left(\dfrac{525\,000}{170\,000}\right) \\[5pt] n&\approx&37 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 170\,000 \cdot 1,031^n&=&525\,000 &\mid\;:170\,000 \\[5pt] 1,031^n&=&\dfrac{525\,000}{170\,000} &\mid\;\log_{1,031} \\[5pt] n&=&\log _{1,031}\left(\dfrac{525\,000}{170\,000}\right) \\[5pt] n&\approx&37 \end{array}$

Nach etwa Formula: 37 Jahren ist das Haus auf diese Weise $Formula: 525\,000\,\text{€}$ $Formula: 525\,000\,\text{€}$ wert.

Für den Wert des Hauses nach Formula: 11 Jahren bei $Formula: 0,5\,\%$ $Formula: 0,5\,\%$ Wertverlust pro Jahr ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} W&=&170\,000 \cdot 0,995^{11} \\[5pt] &\approx&160\,880\,\text{€} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} W&=&170\,000 \cdot 0,995^{11} \\[5pt] &\approx&160\,880\,\text{€} \end{array}$

Für die Zahlen gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{18 \cdot 24 \cdot 10}{12 \cdot 6 \cdot 12}&=&\dfrac{4320}{864} \\[5pt] &=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{18 \cdot 24 \cdot 10}{12 \cdot 6 \cdot 12}&=&\dfrac{4320}{864} \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Für die Formula: x -Potenzen folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^{6-3-4-(-1)}&=&x^0 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x^{6-3-4-(-1)}&=&x^0 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Für die Formula: y -Potenzen ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} y^{3-3}&=&y^0 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} y^{3-3}&=&y^0 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

Für die Formula: z -Potenzen folgt:

$Formula: z^{2+1-(-1)}=z^4$ $Formula: z^{2+1-(-1)}=z^4$

Somit gilt für die vereinfachte Form:

$Formula: 5\cdot1\cdot1\cdot z^4=5z^4$ $Formula: 5\cdot1\cdot1\cdot z^4=5z^4$

Baumdiagramm mit A, E und S sowie Brüchen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A ; A)&=&\dfrac{75}{150} \cdot \dfrac{74}{149} \\[5pt] &\approx& 0,2483 \\[5pt] &\approx&24,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(A ; A)&=&\dfrac{75}{150} \cdot \dfrac{74}{149} \\[5pt] &\approx& 0,2483 \\[5pt] &\approx&24,8\,\% \end{array}$

Für das Gegenereignis gilt:

$Formula: P\text{(kein Senf)}=\dfrac{45}{50} \cdot \dfrac{44}{49}$ $Formula: P\text{(kein Senf)}=\dfrac{45}{50} \cdot \dfrac{44}{49}$

Somit ergibt sich:

$Formula: P\text{(min. einmal Senf)}=1-\dfrac{45}{50} \cdot \dfrac{44}{49}$
$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(min. einmal Senf)}&=&1-\dfrac{45}{50} \cdot \dfrac{44}{49} \\[5pt] &\approx& 0,1918 \\[5pt] &\approx&19,2 \,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P\text{(min. einmal Senf)}&=&1-\dfrac{45}{50} \cdot \dfrac{44}{49} \\[5pt] &\approx& 0,1918 \\[5pt] &\approx&19,2 \,\% \end{array}$

Für den Außenradius gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&4 \pi r^2 \\[5pt] 452,16&=&4 \cdot \pi \cdot r^2 &\mid\;:4\pi \\[5pt] 36&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] 6\;\text{cm}&=&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} O&=&4 \pi r^2 \\[5pt] 452,16&=&4 \cdot \pi \cdot r^2 &\mid\;:4\pi \\[5pt] 36&=&r^2 &\mid\;\sqrt{\;}\\[5pt] 6\;\text{cm}&=&r \end{array}$

Für den Innenradius folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} r_i&=&6-0,05 \\[5pt] &=&5,95\;\text{cm} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} r_i&=&6-0,05 \\[5pt] &=&5,95\;\text{cm} \end{array}$

Für das Volumen des Metalls ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \pi\left(6^3-5,95^3\right)\\[5pt] &\approx& 22,42 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{4}{3} \pi\left(6^3-5,95^3\right)\\[5pt] &\approx& 22,42 \mathrm{~cm}^3 \end{array}$

Für die Masse folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&22,42 \cdot 7,8\\[5pt] &\approx &175 \mathrm{~g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m&=&22,42 \cdot 7,8\\[5pt] &\approx &175 \mathrm{~g} \end{array}$

Da Formula: 25 a^2=(5 a)^2 muss Formula: 5a vorne stehen. Somit gilt für die linke Seite:

Formula: (5 a-16 z)^2

Nach dem Ausmultiplizieren gilt für die Gleichung:

Formula: (5 a-16 z)^2=25 a^2-160 a z+256 z^2

Eine mögliche Lösung ist Formula: x=-1. Das gemischte Glied Formula: 2x^3 wird negativ, weil die dritte Potenz einer negativen Zahl ebenfalls negativ ist.

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