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Wahlteil A1

Aufgaben
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Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)= x^3-4x^2+3x$ mit $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G.$
1.1
Berechne von $G$ die Koordinaten
  • der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen,
  • der Extrempunkte,
  • des Wendepunktes.
Weise die Art der Extrema und die Existenz des Wendepunktes nach. Gib das Verhalten von $G$ im Unendlichen an.
(10 BE)
#wendepunkt#extrempunkt
1.2
Zeichne $G$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(2 BE)
1.3
Die Gerade $h$ verläuft durch den Punkt $P(1\mid0)$ und hat den Anstieg $m=-1,25.$
$G$ und $h$ schneiden sich in den Punkten $R(0,5\mid f(0,5))$ und $P.$
Zeige rechnerisch, dass $G$ und $h$ sich auch im Punkt $S(2,5\mid f(2,5))$ schneiden.
Zeichne $h$ in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1.2 ein.
Die Gerade $h$ schließt mit $G$ zwei Flächenstücke vollständig ein. Kennzeichne die Flächenstücke im Koordinatensystem.
Berechne deren Flächeninhalte.
(9 BE)
1.4
Für jeden Wert von $u$ mit $u\in \mathbb{R},$ $0< u< 1$ sind die Punkte $A(0\mid 0),$ $B(u\mid f(u))$ und $C(0\mid f(u))$ Eckpunkt eines Dreiecks.
Berechne den maximalen Flächeninhalt eines solchen Dreiecks.
(5 BE)
1.5
Die Gerade $k$ verläuft durch den Koordinatenursprung und ist Tangente an $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a)),$ $a\neq 0.$
Berechne den Wert von $a.$
(3 BE)
#tangente
1.6
Eine Firma stellt Dioden her. Es ist bekannt, dass der Anteil der defekten Dioden $\frac{1}{10}$ beträgt. Der laufenden Produktion werden zufällig nacheinander Dioden entnommen. Berechne die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse:
Von vier entnommenen Dioden ist keine defekt.
Von zehn entnommenen Dioden sind genau drei defekt.
Von fünf entnommenen Dioden sind die erste und die fünfte defekt und die übrigen funktionieren.
(6 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnenWahlteil A1
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=& 0^3-4\cdot 0^2 +3\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$G$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S_y(0\mid 0).$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x^3 -4x^2 +3x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (x^2-4x+3)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1=0 \\[5pt] x^2 -4x +3 &=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{-4}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-4}{2} \right)^2 -3 } \\[5pt] &=& 2 \pm 1 \\[5pt] x_2 &=& 2-1 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] x_3 &=& 2+1 \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
$G$ schneidet die $x$-Achse in den Punkten $S_y(0\mid 0),$ $N_1(1\mid 0)$ und $N_2(3\mid 0).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^3 -4x^2 +3x \\[5pt] f'(x) &=& 3x^2 -8x +3 \\[5pt] f''(x) &=& 6x -8 \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] 3x^2 -8x +3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x^2 -\frac{8}{3}x+1 &=& 0 &\quad \scriptsize pq\text{-Formel} \\[5pt] x_{1/2}&=& -\frac{-\frac{8}{3}}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-\frac{8}{3}}{2} \right)^2 - 1} \\[5pt] &=& \frac{4}{3} \pm \frac{\sqrt{7}}{3} \\[10pt] x_1 &=& \frac{4}{3} - \frac{\sqrt{7}}{3} \\[5pt] &\approx& 0,45 \\[10pt] x_2 &\approx& \frac{4}{3} + \frac{\sqrt{7}}{3} \\[5pt] &\approx& 2,22 \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(0,45) &=& 6 \cdot 0,45 - 8 \\[5pt] &=& -5,3 < 0 \\[10pt] f''(2,22) &=& 6 \cdot 2,22 - 8 \\[5pt] &=& 5,32 > 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1\approx 0,45$ besitzt $G$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2\approx 2,2$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,45) &=& 0,45^3-4\cdot 0,45^2 +3\cdot 0,45 \\[5pt] &\approx& 0,63 \\[10pt] f(2,22) &=& 2,22^3-4\cdot 2,22^2 +3\cdot 2,22 \\[5pt] &\approx& -2,11 \\[10pt] \end{array}$
$G$ besitzt zwei Extrempunkte: den Hochpunkt $H(0,45\mid 0,63)$ und den Tiefpunkt $T(2,22\mid -2,11).$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Wendepunktes berechnen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 0 \\[5pt] 6x -8 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] 6x &=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; :6 \\[5pt] x &=& \frac{4}{3} \end{array}$
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& 6x -8 \\[10pt] f'''(x) &=& 6 \\[10pt] f'''\left( \frac{4}{3}\right)&=& 6 \neq 0 \end{array}$
Da das hinreichende Kriterium an der Stelle $x=\frac{4}{3}$ also ebenfalls erfüllt ist, besitzt $G$ an dieser Stelle einen Wendepunkt.
3. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{4}{3} \right)&=& \left( \frac{4}{3}\right)^3 -4\cdot \left( \frac{4}{3}\right)^2 +3 \cdot \frac{4}{3} \\[5pt] &=& -\frac{20}{27} \\[5pt] \end{array}$
$G$ besitzt also einen Wendepunkt mit den Koordinaten $W\left(\frac{4}{3}\mid -\frac{20}{27} \right).$
$\blacktriangleright$  Verhalten im Unendlichen angeben
Für $x\to -\infty$ gilt:
$f(x)= \underbrace{x^3}_{\to-\infty} -\underbrace{4\cdot x^2}_{\to \infty} + \underbrace{3\cdot x}_{\to -\infty} \to -\infty $
Für $x\to \infty$ gilt:
$f(x)= \underbrace{x^3}_{\to\infty} -\underbrace{4\cdot x^2}_{\to \infty} + \underbrace{3\cdot x}_{\to \infty} \to \infty $
1.2
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph $G$
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph $G$
1.3
$\blacktriangleright$  Dritten Schnittpunkt zeigen
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
$h: \, y= -1,25\cdot x +b$
$\begin{array}[t]{rll} y &=& -1,25\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; P(1\mid 0)\\[5pt] 0 &=& -1,25\cdot 1 +b &\quad \scriptsize \mid\; +1,25 \\[5pt] 1,25 &=& b \end{array}$
Eine Gleichung der Gerade $h$ ist $y= -1,25x +1,25.$
2. Schritt: Gleichsetzen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& h(x) \\[5pt] x^3 -4x^2+3x &=& -1,25x +1,25 &\quad \scriptsize \mid\;+1,25x;-1,25 \\[5pt] x^3 -4x^2+4,25x-1,25 &=& 0 \end{array}$
Da sich die Graphen von $f$ und $h$ laut Aufgabenstellung an den Stellen $x_1 = 1$ und $x_2 = 0,5$ schneiden, sind dies bereits zwei Lösungen der Gleichung. Diese kannst du mit der Polynomdivision herausteilen, damit du die Gleichung lösen kannst:
$x^3$$-$$4x^2$$+$$4,25t$$-$$1,25$ $:$$(x-1)$$=$$x^2-3x+1,25$
$-$ $(x^3$$-$$x^2)$
$-$$3x^2$$+$$4,25x$
$-$$(-3x^2$$+$$3x)$
$1,25x$$-$$1,25$
$-$$(1,25x$$-$$1,25)$
$0$
Es ist also $(x-1)\cdot (x^2-3x+1,25) = x^3 -4x^2+4,25x-1,25.$ Wegen des Satzes vom Nullprodukt sind also die Nullstellen von $x^3 -4x^2+4,25x-1,25$ $x=1$ und die Nullstellen von $x^2-3x+1,25.$ Letztere kannst du nun mit der $pq$-Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x+1,25 &=& 0 \\[5pt] x_{2/3} &=& -\frac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2} \right)^2 -1,25} \\[5pt] &=& 1,5\pm 1 \\[10pt] x_2 &=& 1,5-1 \\[5pt] &=& 0,5 \\[10pt] x_3 &=& 1,5 +1 \\[5pt] &=& 2,5 \end{array}$
$G$ und $h$ schneiden sich also in den Punkten $P,$ $R(0,5\mid f(0,5))$ und $S(2,5\mid f(2,5)).$
$\blacktriangleright$  Gerade einzeichnen
Wahlteil A1
Abb. 2: Gerade $h$
Wahlteil A1
Abb. 2: Gerade $h$
$\blacktriangleright$  Flächenstücke im Koordinatensystem kennzeichnen
Wahlteil A1
Abb. 3: Flächenstücke
Wahlteil A1
Abb. 3: Flächenstücke
$\blacktriangleright$  Flächeninhalte berechnen
Du kannst die Flächeninhalte jeweils mit einem Integral berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_1 &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(x^3 -4x^2+4,25x-1,25\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[\frac{1}{4}x^4 -\frac{4}{3}x^3+\frac{17}{8}x^2-1,25x \right]_{0,5}^1 \\[5pt] &=& \frac{1}{4}\cdot 1^4 -\frac{4}{3}\cdot 1^3+\frac{17}{8}\cdot 1^2-1,25\cdot 1 - \left(\frac{1}{4}\cdot 0,5^4 -\frac{4}{3}\cdot 0,5^3+\frac{17}{8}\cdot 0,5^2-1,25\cdot 0,5 \right) \\[5pt] &=& -\frac{5}{24}- \left(-\frac{47}{192} \right)\\[5pt] &=& \frac{7}{192} \\[10pt] A_2 &=& \displaystyle\int_{1}^{2,5}(h(x)-f(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{1}^{2,5}\left(-x^3 +4x^2-4,25x+1,25\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[-\frac{1}{4}x^4 +\frac{4}{3}x^3-\frac{17}{8}x^2+1,25x \right]_{1}^{2,5} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\cdot 2,5^4 +\frac{4}{3}\cdot 2,5^3-\frac{17}{8}\cdot 2,5^2+1,25\cdot 2,5 - \left(-\frac{1}{4}\cdot 1^4 +\frac{4}{3}\cdot 1^3-\frac{17}{8}\cdot 1^2+1,25\cdot 1 \right) \\[5pt] &=& \frac{175}{192}- \frac{5}{24} \\[5pt] &=& \frac{45}{64} \\[10pt] \end{array}$
Die Flächeninhalte betragen $A_1= \frac{7}{192}\,\text{FE}$ und $A_2= \frac{45}{64}\,\text{FE}.$
#integral
1.4
$\blacktriangleright$  Maximalen Flächeninhalt berechnen
1. Schritt: Zielfunktion aufstellen
Bei dem Dreieck $ABC$ handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel im Punkt $C.$ Die beiden Katheten sind $\overline{AC} = f(u)$ und $\overline{BC} = u.$ Für den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von $u$ folgt also:
$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=&\frac{1}{2}\cdot u\cdot f(u) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot u \cdot \left(u^3-4\cdot u^2 +3\cdot u\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot u^4 -2u^3 +\frac{3}{2}u^2 \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A(u) &=& \frac{1}{2}\cdot u^4 -2u^3 +\frac{3}{2}u^2 \\[5pt] A'(u) &=& 2\cdot u^3 -6u^2 +3u \\[5pt] A''(u)&=& 6u^2 -12u +3 \\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} A'(u) &=& 0 \\[5pt] 2\cdot u^3 -6u^2 +3u &=& 0 \\[5pt] u\cdot \left( 2u^2 -6u+3 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; u_1=0\\[5pt] 2u^2 -6u+3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] u^2 -3u+\frac{3}{2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel} \\[5pt] u_{2/3} &=& -\frac{-3}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-3}{2} \right)^2 -\frac{3}{2}} \\[5pt] &=& \frac{3}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] u_2&=& \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] u_3&=& \frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \\[10pt] \end{array}$
Da $0< u < 1$ sein soll, fallen sowohl $u_1$ als auch $u_2$ als Möglichkeit weg.
4. Schritt: Hinreichendes Kriterium für Extrema überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} A''(u_2)&=& A''\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \\[5pt] &=& 6\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 -12\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) +3 \\[5pt] &\approx& -2,2 < 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $u_2 = \frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ besitzt die Funktion $A$ also ein lokales Maximum. Da $A$ stetig ist und kein weiteres lokales Extremum im betrachteten Bereich $0< u < 1$ besitzt, ist dies auch das absolute Maximum im betrachteten Bereich.
5. Schritt: Maximalen Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^4 -2\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^3 +\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 \\[5pt] &\approx& 0,17 \\[5pt] \end{array}$
Der maximale Flächeninhalt eines solchen Dreiecks beträgt also $0,17$ Flächeneinheiten.
#extrempunkt
1.5
$\blacktriangleright$  Parameterwert berechnen
Die Gerade $k$ mit $y = m\cdot x +b$ verläuft durch den Koordinatenursprung. Es ist also $b=0.$ Da sie Tangente an $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a))$ ist, gelten folgende Gleichunen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& m &=& f'(a) \\[5pt] & &=& 3a^2-8a+3 \\[10pt] \text{II}\quad&k(a)&=& f(a) \\[5pt] &m\cdot a &=& a^3-4a^2+3a \\[5pt] \end{array}$
Die erste kannst du in die zweite einsetzen und erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} m\cdot a &=& a^3-4a^2+3a &\quad \scriptsize \mid\;m=3a^2-8a+3 \\[5pt] (3a^2-8a+3 )\cdot a &=& a^3-4a^2+3a \\[5pt] 3a^3 -8a^2 +3a &=& a^3 -4a^2 +3a &\quad \scriptsize \mid\;-a^3 ; +4a^2; -3a \\[5pt] 2a^3 -4a^2 &=& 0 \\[5pt] a^2\cdot (2a-4)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;a_{1/2} = 0 \\[5pt] 2a-4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] 2a &=& 4 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] a &=& 2 \end{array}$
Für $a=2$ ist $k$ also eine Tangente an den Graphen $G$ im Punkt $Q(a\mid f(a)).$
1.6
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Verwende für $A$ die Pfadmultiplikationsregel:
$P(A) = \left(\frac{9}{10}\right)^4 = 0,6561 = 65,61\,\%$
Betrachte für Ereignis $B$ die Zufallsgröße $X,$ die in einer Stichprobe von zehn Dioden die Anzahl der defekten Dioden beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=10$ und $p=\frac{1}{10}$ betrachtet werden. Es folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& P(X=3) \\[5pt] &=& \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{10}\right)^3 \cdot \left(\frac{9}{10} \right)^7 \\[5pt] &\approx& 0,0574 \\[5pt] &=& 5,74\,\% \\[5pt] \end{array}$
Für Ereignis $C$ kannst du wieder die Pfadmultiplikationsregel verwenden:
$P(C)= \frac{1}{10}\cdot \frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{10} \approx 0,0073=0,73\,\%$
#pfadregeln#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
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