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Wahlteil A3

Aufgaben
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3.1
Berechne die Nullstellen von $f$ und die Koordinaten des Tiefpunktes von $G_f.$
(5 BE)
#extrempunkt#nullstelle
3.2
Berechne die Nullstellen von $h$ und die Koordinaten der Extrempunkte von $G_h.$
Weise die Art der Extrema nach.
Zeige, dass $G_h$ an der Stelle $x_W=4\pi$ einen Wendepunkt besitzt.
(10 BE)
#wendepunkt#extrempunkt#nullstelle
3.3
Stelle $G_f$ und $G_h$ im Intervall $0\leq x\leq 8\pi$ in einem Koordinatensystem grafisch dar. Verwende für deine Darstellung $0,5\,\text{cm}$ für $1\,\text{LE}.$
(3 BE)
3.4
Eine Fläche ist begrenzt durch die Strecken $s_1$ und $s_2$ sowie die Graphen $G_f$ und $G_h.$
Die Strecke $s_1$ verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(2\pi \mid 2).$ Die Strecke $s_2$ verläuft parallel zur $y$-Achse durch den Punkt $(6\pi\mid -2).$
3.4.1
Zeichne in das Koordinatensystem die Strecken $s_1$ und $s_2$ ein. Berechne jeweils die Längen der Strecken $s_1$ und $s_2.$
(4 BE)
3.4.2
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(4 BE)
3.5
Das Wappen soll drei Gravuren erhalten, die in der Vorlage mithilfe von drei Geraden dargestellt werden. Die erste Gerade verläuft entlang der Normalen $n$ zu $G_h$ durch den Punkt $W(4\pi \mid h(4\pi)).$ Die beiden anderen Geraden sollen jeweils parallel zu $n$ in einem Abstand von $2$ verlaufen.
Ermittle rechnerisch jeweils eine Gleihcung der beiden anderen Geraden.
(9 BE)
#normalengleichung
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Lösungen
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3.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnenWahlteil A3
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{8}x^2 -\pi\cdot x &=& 0 \\[5pt] x\cdot \left( \frac{1}{8}x -\pi\right) &=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x_1 =0 \\[5pt] \frac{1}{8}x_2 -\pi &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+ \pi \\[5pt] \frac{1}{8}x_2 &=& \pi &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 8 \\[5pt] x_2&=& 8\pi \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[5pt] x_2&=& 8\pi \end{array}$
Die Nullstellen von $f$ sind $x_1 = 0$ und $x_2 = 8\pi.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Tiefpunkts berechnen
1. Schritt: Ableitungen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& \frac{1}{8}x^2 -\pi\cdot x \\[5pt] f'(x) &=& \frac{1}{4}x -\pi \\[5pt] f''(x)&=& \frac{1}{4} \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{4}x -\pi &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +\pi \\[5pt] \frac{1}{4}x &=& \pi &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4 \\[5pt] x &=& 4\pi \end{array}$
$ x= 4\pi $
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$f''(4\pi ) = \frac{1}{4} > 0 $
An der Stelle $x= 4\pi$ besitzt der Graph $G_f$ also einen Tiefpunkt.
4. Schritt: $y$-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(4\pi) &=& \frac{1}{8}\cdot (4\pi)^2 -\pi\cdot 4\pi \\[5pt] &=& -2\pi^2 \end{array}$
Die Koordinaten des Tiefpunkts von $G_f$ lauten $T(4\pi\mid -2\pi^2).$
3.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Die Nullstellen von $h$ sind die Nullstellen von $\sin\left(\frac{1}{4}x \right).$ Die Nullstellen der allgemeinen Sinusfunktion $\sin x$ sind alle Vielfachen von $\pi.$
Die Nullstellen von $\sin\left(\frac{1}{4}x \right)$ sind also alle $x$ mit $\frac{1}{4}x = n\cdot \pi$ für ganzzahlige $n.$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{4}x &=& n\cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\\[5pt] x &=& 4\cdot n\cdot \pi \end{array}$
In der Aufgabenstellung ist $0\leq x \leq 8\pi$ vorgegeben. Für $n$ kann also $n=0,$ $n=1$ und $n=2$ eingesetzt werden. Die Nullstellen von $h$ sind also $x_1 = 0,$ $x_2 = 4\pi$ und $x_3 = 8\pi.$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} h(x) &=& 2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h'(x) &=& \frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h''(x) &=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} h'(x) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}x \right) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] \cos \left(\frac{1}{4}x \right) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{4}x &=& \frac{1}{2}\pi +n\cdot \pi &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] x &=& 2\pi +4n\cdot \pi \\[5pt] \end{array}$
$ x = 2\pi +4n\cdot \pi $
Für $x$ soll gelten $0\leq x \leq 8\pi.$ Es kann für $n$ also $n=0$ und $n=1$ eingesetzt werden. Mögliche Extremstellen von $h$ sind demnach $x_1 = 2\pi$ und $x_2 = 6\pi.$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} h''(2\pi)&=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\cdot 2\pi \right) \\[5pt] &=& -\frac{1}{8} < 0 \\[10pt] h''(6\pi)&=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\cdot 6\pi \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{8} > 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h''(2\pi)&= -\frac{1}{8} < 0 \\[10pt] h''(6\pi)&= \frac{1}{8} > 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_1 = 2\pi$ besitzt $G_h$ also einen Hochpunkt, an der Stelle $x_2 = 6\pi$ besitzt $G_h$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} h(2\pi)&=& 2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\cdot 2\pi \right) \\[5pt] &=& 2\\[10pt] h(6\pi)&=& 2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\cdot 6\pi \right) \\[5pt] &=& -2\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h(2\pi)&=2\\[10pt] h(6\pi)&= -2\\[10pt] \end{array}$
Der Graph $G_h$ besitzt zwei Extrempunkte: den Hochpunkt $H_h(2\pi \mid 2)$ und den Tiefpunkt $T_h(6\pi\mid -2).$
$\blacktriangleright$  Wendepunkt nachweisen
1. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} h''(x_W)&=& h''(4\pi) \\[5pt] &=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}\cdot 4\pi \right) \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ h''(x_W) = 0 $
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} h''(x) &=& -\frac{1}{8}\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h'''(x) &=& -\frac{1}{32}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}x \right) \\[5pt] h'''(4\pi)&=& -\frac{1}{32}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\cdot 4\pi \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{32} \neq 0 \\[5pt] \end{array}$
$ h'''(4\pi)=\frac{1}{32}\neq 0 $
Der Graph $G_h$ besitzt an der Stelle $x_W=4\pi$ also einen Wendepunkt.
3.3
$\blacktriangleright$  Graphen im Koordinatensystem darstellen
Wahlteil A3
Abb. 1: Graphen $G_h$ und $G_f$ im Koordinatensystem
Wahlteil A3
Abb. 1: Graphen $G_h$ und $G_f$ im Koordinatensystem
3.4.1
$\blacktriangleright$  Strecken einzeichnen
Wahlteil A3
Abb. 2: Strecken $s_1$ und $s_2$
Wahlteil A3
Abb. 2: Strecken $s_1$ und $s_2$
$\blacktriangleright$  Längen der Strecken berechnen
$\begin{array}[t]{rll} l_1 &=& h(2\pi) - f(2\pi) \\[5pt] &=& 2 - \left(\frac{1}{8}\cdot (2\pi)^2 -\pi \cdot 2\pi\right) \\[5pt] &\approx& 16,8 \\[5pt] l_2 &=& h(6\pi) - f(6\pi) \\[5pt] &=& -2 - \left(\frac{1}{8}\cdot (6\pi)^2 -\pi \cdot 6\pi\right) \\[5pt] &\approx& 12,8 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} l_1 &\approx 16,8 \\[5pt] l_2 &\approx 12,8 \\[5pt] \end{array}$
Die Strecke $s_1$ ist ca. $16,8$ Längeneinheiten lang, die Strecke $s_2$ ca. $12,8$ Längeneinheiten.
3.4.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Der Inhalt der Fläche kann mithilfe eines Integrals berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{2\pi}^{6\pi}\left(h(x)-f(x) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2\pi}^{6\pi}\left(2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) - \left(\frac{1}{8}x^2-\pi\cdot x \right) \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{2\pi}^{6\pi}\left(2\cdot \sin \left(\frac{1}{4}x \right) - \frac{1}{8}x^2+\pi\cdot x \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ -8\cdot \cos \left(\frac{1}{4}x \right) - \frac{1}{24}x^3+\frac{\pi}{2}\cdot x^2 \right]_{2\pi}^{6\pi} \\[5pt] &=& -8\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\cdot 6\pi \right) - \frac{1}{24}\cdot (6\pi)^3+\frac{\pi}{2}\cdot (6\pi)^2 - \left( -8\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\cdot 2\pi \right) - \frac{1}{24}\cdot (2\pi)^3+\frac{\pi}{2}\cdot (2\pi)^2\right) \\[5pt] &=& 0-9\pi^3+18\pi^3+0 +\frac{1}{3}\pi^3 -2\pi^3 \\[5pt] &=& \frac{22}{3}\pi^3 \\[5pt] \end{array}$
$ A=\frac{22}{3}\pi^3 $
Der Inhalt der Fläche beträgt $\frac{22}{3}\pi^3.$
#integral
3.5
$\blacktriangleright$  Geradengleichungen ermitteln
1. Schritt: Gleichung der Normalen bestimmen
Die Normale $n$ mit $y=m_n\cdot x + b_n$ verläuft durch den Punkt $W(4\pi \mid 0).$ Für die Steigung $m_n$ muss gelten:
$\begin{array}[t]{rll} m_n &=& -\frac{1}{h'(4\pi)} \\[5pt] &=& -\frac{1}{\frac{1}{2}\cdot \cos \left(\frac{1}{4}\cdot 4\pi \right)} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
$ m_n=2 $
Mithilfe einer Punktprobe der Koordinaten von $W$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} n: \quad y&=& m_n\cdot x +b_n &\quad \scriptsize \mid\;m_n =2 \\[5pt] y &=& 2\cdot x +b_n &\quad \scriptsize \mid\; W(4\pi \mid 0)\\[5pt] 0 &=& 2\cdot 4\pi +b_n \\[5pt] 0 &=& 8\pi +b_n &\quad \scriptsize \mid\;-8\pi \\[5pt] -8\pi &=& b_n \end{array}$
$ b_n=-8\pi $
Eine Gleichung der Normalen lautet also:
$n:\quad y = 2x -8\pi$
2. Schritt: Geradengleichungen ermitteln
Da die beiden anderen Geraden parallel zu $n$ verlaufen sollen, besitzen sie dieselbe Steigung wie $n.$ Der $y$-Achsenabschnitt muss nun so bestimmt werden, dass der Abstand jeweils $2$ beträgt.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Senkrechte Gerade
Die beiden anderen Geraden verlaufen parallel zu $n$ mit einem Abstand von $2.$ Betrachte die Skizze. Die Gerade $t$ verläuft senkrecht zu $n$ durch den Punkt $W.$ Sie schneidet $g_1$ im Punkt $P_1.$ $P_1$ liegt also auf $t$ und hat zu $n$ den Abstand $2.$
Da $t$ senkrecht zu $n$ verläuft, gilt für die Steigung $m_t = -\frac{1}{m_n} = -\frac{1}{2}.$ Mit einer Punktprobe der Koordinaten von $W(4\pi \mid 0)$ erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} t:\quad y &=& m_t \cdot x + b_t \\[5pt] y &=& -\frac{1}{2}\cdot x + b_t &\quad \scriptsize \mid \; W(4\pi \mid 0) \\[5pt] 0 &=& -\frac{1}{2} \cdot 4\pi + b_t \\[5pt] 0 &=& -2\pi +b_t &\quad \scriptsize \mid\; +2\pi \\[5pt] 2\pi &=& b_t \\[5pt] \end{array}$
$ b_t = 2\pi $
Die Gerade $t$ kann also durch die Gleichung $y = -\frac{1}{2}x +2\pi$ beschrieben werden.
Die Koordinaten von $P_1$ haben daher die Form $P_1\left(x\mid -\frac{1}{2}x +2\pi\right).$
Der Abstand von $P_1$ zu $W$ soll $2$ betragen. Also ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 2 &=& \sqrt{\left(x-4\pi\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}x +2\pi -0 \right)^2 } &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 4 &=& \left(x-4\pi\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}x +2\pi \right)^2 \\[5pt] 4 &=& x^2 -8\pi x + 16\pi^2 + \frac{1}{4}x^2 -2\pi x +4\pi^2 \\[5pt] 4 &=& \frac{5}{4}x^2 -10\pi x + 20\pi^2 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] 0 &=& \frac{5}{4}x^2 -10\pi x + 20\pi^2 -4 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{5}{4} \\[5pt] 0 &=& x^2 - 8\pi x + 16\pi^2 -3,2 \\[5pt] x_{1,2} &=& -\frac{-8\pi}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-8\pi}{2}\right)^2-16\pi^2+3,2 } \\[5pt] &=& 4\pi \pm \sqrt{16\pi^2-16\pi^2+3,2} \\[5pt] x_1&=& 4\pi - \sqrt{3,2} \\[5pt] x_2&=& 4\pi + \sqrt{3,2} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&= 4\pi - \sqrt{3,2} \\[5pt] x_2&= 4\pi + \sqrt{3,2} \\[5pt] \end{array}$
$x_1$ ist nun die Koordinate des entsprechenden Punkts auf $g_1,$ $x_2$ die Koordinate des Punkts auf $g_2.$ Die zugehörige $y$-Koordinate von $P_1$ lautet:
$\begin{array}[t]{rll} y_{P_1} &=& -\frac{1}{2}\cdot \left( 4\pi - \sqrt{3,2} \right) +2\pi \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\sqrt{3,2} \\[10pt] \end{array}$
$y_{P_1} = \frac{1}{2}\sqrt{3,2} $
Der Punkt $P_1$ hat also die Koordinaten $P(4\pi - \sqrt{3,2} \mid \frac{1}{2}\sqrt{3,2}).$ Die Gerade $g_1$ hat die Gleichung $g_1:\quad y = 2x +b_1.$ Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $P_1$ kannst du $b_1$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} g_1:\quad y &=& 2x+b_1 &\quad \scriptsize \mid\; P_1(4\pi - \sqrt{3,2} \mid \frac{1}{2}\sqrt{3,2})\\[5pt] \frac{1}{2}\sqrt{3,2} &=& 2\cdot (4\pi - \sqrt{3,2}) + b_1 \\[5pt] \frac{1}{2}\sqrt{3,2} &=& 8\pi - 2\sqrt{3,2} + b_1 &\quad \scriptsize \mid\;-8\pi; +2\cdot \sqrt{3,2} \\[5pt] 2\sqrt{5} - 8\pi &=& b_1 \\[5pt] \end{array}$
$ b_1=2\sqrt{5} - 8\pi $
Die Gerade $g_1$ hat also die Gleichung $g_1:\quad y = 2x -8\pi +2\sqrt{5}.$ Die Gerade $g_1$ entsteht also aus $n$ durch Verschiebung um $2\sqrt{5}$ Einheiten in $y$-Richtung. $g_2$ entsteht analog dazu durch Verschiebung in negative $y$-Richtung:
$g_2:\quad y = 2x -8\pi -2\sqrt{5}$
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Winkelbetrachtung
Bestimme den Wert $a,$ um den die Gerade im Vergleich zu $n$ in $y$-Richtung verschoben werden muss, um den Abstand von $2$ Einheiten zu erhalten. Betrachte dazu die Skizze:
Der Winkel $\alpha$ ist der Steigungswinkel der Geraden $n.$ Diesen kannst du mit der entsprechenden Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& m_n \\[5pt] \tan \alpha &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;\tan ^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1} (2) \end{array}$
$ \alpha = \tan^{-1} (2) $
$\alpha$ und $\beta$ bilden zusammen einen rechten Winkel, also ist
$\beta = 90^{\circ} -\alpha = 90^{\circ} - \tan^{-1}(2)$
Nun kannst du mithilfe des grünen rechtwinkligen Dreiecks $a$ über den Sinus berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta &=& \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \\[5pt] \sin (90^{\circ} - \tan^{-1}(2)) &=& \dfrac{2}{a} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a \\[5pt] \sin (90^{\circ} - \tan^{-1}(2)) \cdot a &=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; :\sin (90^{\circ} - \tan^{-1}(2)) \\[5pt] a&\approx& 4,47 \end{array}$
$ a\approx 4,47 $
Die beiden Geradengleichungen erhältst du dann als:
$g_1:\, y = 2x -8\pi +4,47$
$g_2:\, y = 2x -8\pi -4,47$
#steigungswinkel#sinus
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