Wahlteil B1

Gegeben sind zwei Scharen von Funktionen $f_a$ und $g_a$ durch die Gleichungen

$f_a(x)= -x^3 +x+a$ und

$g_a(x) = a\cdot x^2$ mit $x,a \in \mathbb{R}.$

Die Graphen von $f_a$ heißen $K_a.$
Die Graphen von $g_a$ heißen $L_a.$
Die Darstellung zeigt $K_2$ und $L_2.$

Abb. 1

1.1

Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von $K_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimme die Art der Extrempunkte.
Bestimme mithilfe der lokalen Extrempunkte die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$

(8 BE)

1.2

Weise nach, dass gilt:

$-x^3 -a\cdot x^2 +x+a$ $= (x+a)\cdot(1-x^2).$

Untersuche, für welche Werte von $a$ sich die Graphen $K_a$ und $L_a$ berühren und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an.
Hinweis: Die Graphen zweier Funktionen haben an einer Stelle einen Berührungspunkt, wenn dort sowohl die Funktionswerte als auch die Anstiege übereinstimmen.

(8 BE)

1.3

Für $a=0$ begrenzen die Graphen $K_a$ und $L_a$ zwei Teilflächen vollständig.
Begründe mithilfe der besonderen Eigenschaften der Graphen für $a=0,$ dass diese Teilflächen den gleichen Inhalt besitzen.

(3 BE)

1.4

Die Punkte $P_a$ und $Q_a$ mit $P_a(a\mid g_a(a))$ und $Q_a(a+1\mid g_a(a+1))$ bestimmen für jeden Wert von $a$ mit $a\neq 0$ eine Strecke $\overline{P_aQ_a}.$

1.4.1

Berechne die Länge der Strecke $\overline{P_aQ_a}$ für $a=2.$

(3 BE)

1.4.2

Bestimme den Wert von $a,$ für den die Länge der Strecke minimal wird. Berechne die minimale Länge der Strecke.

(8 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

1.1

$\blacktriangleright$ Koordinaten der Extrempunkte berechnen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& -x^3+x+a \\[5pt] f_a‘(x) &=& -3x^2 +1 \\[5pt] f_a‘‘(x) &=& -6x \end{array}$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘(x) &=& 0 \\[5pt] -3x^2 +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -3x^2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{3} \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{\sqrt{3}} \\[5pt] x_2 &=& -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f_a‘‘\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&=& -6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \lt 0 \\[10pt] f_a‘‘\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&=& 6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \gt 0 \end{array}$

Die Lage und Art der Extrempunkte ist unabhängig von $a.$ Jeder Graph $K_a$ besitzt an der Stelle $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ einen Tiefpunkt.

4. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=\frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] f_a\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] \end{array}$

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Die Graphen $K_a$ besitzen einen Hochpunkt $H_a\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \mid \frac{2}{3\sqrt{3}}+a\right)$ und einen Tiefpunkt $T_a\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a\right).$

$\blacktriangleright$ Anzahl der Nullstellen bestimmen

Da es sich bei $f_a$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt, kann diese eine, zwei oder drei Nullstellen besitzen.

Eine Nullstelle besitzt $f_a,$ wenn beide Extrempunkte oberhalb oder unterhalb der $x$ -Achse liegen.
Beide Extrempunkte liegen oberhalb der $x$ -Achse, wenn der Tiefpunkt oberhalb der $x$ -Achse liegt. Dies ist der Fall, wenn die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts größer als Null ist:

$a \gt \frac{2}{3\sqrt{3}}$

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$\begin{array}[t]{rll} -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a &\gt & 0 &\quad \scriptsize \mid\; + \frac{2}{3\sqrt{3}} \\[5pt] a &\gt & \frac{2}{3\sqrt{3}} \end{array}$

Für $a\gt \frac{2}{3\sqrt{3}}$ liegen also beide Extrempunkte oberhalb der $x$ -Achse.
Analog dazu liegen beide Extrempunkte unterhalb der $x$ -Achse, wenn der Hochpunkt unterhalb der $x$ -Achse liegt, wenn also die $y$ -Koordinate kleiner als Null ist:

$a \lt -\frac{2}{3\sqrt{3}}$

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$\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3\sqrt{3}}+a &\lt & 0 &\quad \scriptsize \mid\; - \frac{2}{3\sqrt{3}} \\[5pt] a &\lt & -\frac{2}{3\sqrt{3}} \end{array}$

Für $a\lt -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ liegen also beide Extrempunkte unterhalb der $x$ -Achse.
$f_a$ besitzt genau eine Nullstelle für $a\lt -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ und $a\gt \frac{2}{3\sqrt{3}}.$
$f_a$ besitzt genau zwei Nullstellen, wenn einer der beiden Extrempunkte auf der $x$ -Achse liegt. Also für $a= -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ und $a=\frac{2}{3\sqrt{3}}.$
Für alle anderen Werte von $a$ besitzt $f_a$ genau drei Nullstellen, also für $-\frac{2}{3\sqrt{3}} \lt a \lt \frac{2}{3\sqrt{3}}.$

1.2

$\blacktriangleright$ Gleichung nachweisen

Es ist:

$(x+a)(1-x^2)=...$

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$\blacktriangleright$ Koordinaten der Berührungspunkte bestimmen

1. Schritt: Schnittstellen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& g_a(x) \\[5pt] ... \\[5pt] (x+a)\cdot (1-x^2) &=& 0 \end{array}$

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Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt daraus $x_1 = -a,$ $x_2 = -1$ und $x_3 = 1.$ $f_a$ und $g_a$ haben also gemeinsame Funktionswerte an den Stellen $x_1=-a,$ $x_2 = -1$ und $x_3=1.$

2. Schritt: Anstiege überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& -x^3 +x+a \\[5pt] f_a‘(x) &=& -3x^2 +1\\[10pt] f_a‘(-a)&=& -3\cdot (-a)^2 +1 \\[5pt] &=& -3a^2 +1 \\[10pt] f_a‘(-1)&=& -3\cdot (-1)^2 +1 \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] f_a‘(1)&=& -3\cdot 1^2 +1 \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] g_a(x) &=& a\cdot x^2 \\[5pt] g_a‘(x) &=& 2a\cdot x \\[10pt] g_a‘(-a)&=& 2a\cdot (-a) \\[5pt] &=& -2a^2 \\[10pt] g_a‘(-1)&=& 2a\cdot (-1) \\[5pt] &=& -2a \\[10pt] g_a‘(1)&=& 2a\cdot 1 \\[5pt] &=& 2a \\[5pt] \end{array}$

Damit sich die Graphen an der Stelle $x_1=-a$ berühren, muss $g_a‘(-a) = f_a‘(-a)$ sein:

$\begin{array}[t]{rll} g_a‘(-a) &=& f_a‘(-a)\\[5pt] -2a^2 &=& -3a^2 +1 &\quad \scriptsize \mid\;+3a^2 \\[5pt] a^2 &=& 1 \\[5pt] a_1 &=& -1\\[5pt] a_2 &=& 1 \end{array}$

Für die Stelle $x_2 = -1$ gilt analog:

$\begin{array}[t]{rll} g_a‘(-1) &=& f_a‘(-1)\\[5pt] -2a &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] a &=& 1 \end{array}$

Für $x_3 = 1$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} g_a‘(1) &=& f_a‘(1)\\[5pt] 2a &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a &=& -1 \end{array}$

Für $a = 1$ berühren sich die Graphen also an den Stellen $x_1 = -a$ und $x_2 = -1,$ wobei in dem Fall $x_1 = -1 =x_2$ ist, es also nur eine Berührstelle gibt.
Für $a= -1$ berühren sie sich an den Stellen $x_1 = -a$ und $x_3 = 1.$ In dem Fall ist ebenfalls $x_1 = 1 = x_3,$ weshalb es auch hier nur eine Berührstelle gibt.

3. Schritt: $y$ -Koordinaten berechnen

$a=1:$

$f_1(x_1) = 1$

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$\begin{array}[t]{rll} f_1(x_1)&=& f_1 (-1) \\[5pt] &=& -(-1)^3+(-1) +1 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$a=-1:$

$f_{-1}(x_1)=-1$

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$\begin{array}[t]{rll} f_{-1}(x_1)&=& f_1 (1) \\[5pt] &=& -1^3+1 -1 \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] \end{array}$

Die Graphen berühren sich für $a= 1$ und $a=-1.$
Für $a=1$ berühren sie sich im Punkt $B_1(-1\mid 1),$ für $a=-1$ im Punkt $B_{-1}(1\mid -1).$

1.3

$\blacktriangleright$ Gleichen Flächeninhalt begründen

Für $a=0$ ist:

$f_0(x) = -x^3 +x$
$g_0(x) = 0$

$L_0$ entspricht in dem Fall also der $x$ -Achse. Da $f_0$ nur ungerade Exponenten aufweist, ist $K_0$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. $K_0$ schließt daher mit der $x$ -Achse, also mit $L_0,$ zwei gleichgroße Flächenstücke ein. Eines davon liegt oberhalb der $x$ -Achse, das andere unterhalb der $x$ -Achse.

1.4.1

$\blacktriangleright$ Streckenlänge berechnen

Für $a=2$ ist $P_2(2\mid g_2(2))$ und $Q_2(3\mid g_2(3)):$

$\begin{array}[t]{rll} g_2(2)&=& 2\cdot 2^2\\[5pt] &=& 8 \\[10pt] g_2(3) &=& 2\cdot 3^2 \\[5pt] &=& 18 \end{array}$

Die Koordinaten lauten für $a=2$ also $P_2(2\mid 8)$ und $Q_2(3\mid 18).$ Die Länge der Strecke kannst du nun mit der entsprechenden Formel berechnen:

$\overline{P_2Q_2} = \sqrt{101}$

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Für $a=2$ ist die Strecke $\overline{P_aQ_a}$ $\sqrt{101}$ Längeneinheiten lang.

1.4.2

$\blacktriangleright$ Minimale Streckenlänge berechnen

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Die Länge $l$ der Strecke $\overline{P_aQ_a}$ kann in Abhängigkeit von $a$ wie folgt beschrieben werden:

$l(a) = ...$

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2. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} l(a) &=... \\[10pt] l‘(a) &=...\\[10pt] l‘‘(a) &=...\\[5pt] \end{array}$

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3. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden

$\begin{array}[t]{rll} l‘(a) &=& 0 \\[5pt] a_1&= 0 \\[10pt] a_2 &=-\frac{1}{2} \\[10pt] a_3 &= -\frac{1}{4} \\[10pt] \end{array}$

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4. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\begin{array}[t]{rll} l‘‘\left(0\right) &= 1 \gt 0 \\[10pt] l‘‘\left(-\frac{1}{2}\right) &=1 \gt 0 \\[10pt] l‘‘\left(-\frac{1}{4}\right) &\approx -0,50 \lt 0 \\[10pt] \end{array}$

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$l$ besitzt also zwei relative Minima und ein relatives Maximum. Der insgesamt kleinste Funktionswert muss daher eines der beiden relativen Minima sein.

5. Schritt: Funktionswerte berechnen

$\begin{array}[t]{rll} l\left(0\right)&= 1\\[10pt] l\left(-\frac{1}{2} \right) &= 1 \\[5pt] \end{array}$

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Da $a\neq 0$ sowieso schon vorausgesetzt wird, nimmt die Strecke $\overline{P_aQ_a}$ also für $a= -\frac{1}{2}$ ihre minimale Länge an. Die minimale Länge beträgt $1$ Längeneinheit.