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Wahlteil B1

Aufgaben
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#funktionenschar
1.1
Berechne die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von $K_a$ in Abhängigkeit von $a$ und bestimme die Art der Extrempunkte.
Bestimme mithilfe der lokalen Extrempunkte die Anzahl der Nullstellen von $f_a$ in Abhängigkeit von $a.$
(8 BE)
#nullstelle#extrempunkt
1.2
Weise nach, dass gilt:
$-x^3 -a\cdot x^2 +x+a = (x+a)\cdot(1-x^2).$
$-x^3 -a\cdot x^2 +x+a$ $= (x+a)\cdot(1-x^2).$
Untersuche, für welche Werte von $a$ sich die Graphen $K_a$ und $L_a$ berühren und gib die Koordinaten der Berührungspunkte an.
Hinweis: Die Graphen zweier Funktionen haben an einer Stelle einen Berührungspunkt, wenn dort sowohl die Funktionswerte als auch die Anstiege übereinstimmen.
(8 BE)
#berührpunkt
1.3
Für $a=0$ begrenzen die Graphen $K_a$ und $L_a$ zwei Teilflächen vollständig.
Begründe mithilfe der besonderen Eigenschaften der Graphen für $a=0,$ dass diese Teilflächen den gleichen Inhalt besitzen.
(3 BE)
1.4
Die Punkte $P_a$ und $Q_a$ mit $P_a(a\mid g_a(a))$ und $Q_a(a+1\mid g_a(a+1))$ bestimmen für jeden Wert von $a$ mit $a\neq 0$ eine Strecke $\overline{P_aQ_a}.$
1.4.1
Berechne die Länge der Strecke $\overline{P_aQ_a}$ für $a=2.$
(3 BE)
1.4.2
Bestimme den Wert von $a,$ für den die Länge der Strecke minimal wird. Berechne die minimale Länge der Strecke.
(8 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnenWahlteil B1
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& -x^3+x+a \\[5pt] f_a'(x) &=& -3x^2 +1 \\[5pt] f_a''(x) &=& -6x \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x) &=& 0 \\[5pt] -3x^2 +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] -3x^2 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x^2 &=& \frac{1}{3} \\[5pt] x_1 &=& \frac{1}{\sqrt{3}} \\[5pt] x_2 &=& -\frac{1}{\sqrt{3}} \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_a''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&=& -6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} < 0 \\[10pt] f_a''\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)&=& 6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}} > 0 \end{array}$
Die Lage und Art der Extrempunkte ist unabhängig von $a.$ Jeder Graph $K_a$ besitzt an der Stelle $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ einen Hochpunkt und an der Stelle $x_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ einen Tiefpunkt.
4. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=& -\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3+\frac{1}{\sqrt{3}}+a \\[5pt] &=& \frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] f_a\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=& -\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \right)^3-\frac{1}{\sqrt{3}}+a \\[5pt] &=& -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &=\frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] f_a\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a \\[10pt] \end{array}$
Die Graphen $K_a$ besitzen einen Hochpunkt $H_a\left(\frac{1}{\sqrt{3}} \mid \frac{2}{3\sqrt{3}}+a\right)$ und einen Tiefpunkt $T_a\left(-\frac{1}{\sqrt{3}} \mid -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a\right).$
$\blacktriangleright$  Anzahl der Nullstellen bestimmen
Da es sich bei $f_a$ um eine ganzrationale Funktion dritten Grades handelt, kann diese eine, zwei oder drei Nullstellen besitzen.
  • Eine Nullstelle besitzt $f_a,$ wenn beide Extrempunkte oberhalb oder unterhalb der $x$-Achse liegen.
    Beide Extrempunkte liegen oberhalb der $x$-Achse, wenn der Tiefpunkt oberhalb der $x$-Achse liegt. Dies ist der Fall, wenn die $y$-Koordinate des Tiefpunkts größer als Null ist:
    $\begin{array}[t]{rll} -\frac{2}{3\sqrt{3}}+a &>& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + \frac{2}{3\sqrt{3}} \\[5pt] a &>& \frac{2}{3\sqrt{3}} \end{array}$
    $ a > \frac{2}{3\sqrt{3}} $
    Für $a>\frac{2}{3\sqrt{3}}$ liegen also beide Extrempunkte oberhalb der $x$-Achse.
    Analog dazu liegen beide Extrempunkte unterhalb der $x$-Achse, wenn der Hochpunkt unterhalb der $x$-Achse liegt, wenn also die $y$-Koordinate kleiner als Null ist:
    $\begin{array}[t]{rll} \frac{2}{3\sqrt{3}}+a &<& 0 &\quad \scriptsize \mid\; - \frac{2}{3\sqrt{3}} \\[5pt] a &<& -\frac{2}{3\sqrt{3}} \end{array}$
    $ a < -\frac{2}{3\sqrt{3}} $
    Für $a< -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ liegen also beide Extrempunkte unterhalb der $x$-Achse.
    $f_a$ besitzt genau eine Nullstelle für $a< -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ und $a> \frac{2}{3\sqrt{3}}.$
  • $f_a$ besitzt genau zwei Nullstellen, wenn einer der beiden Extrempunkte auf der $x$-Achse liegt. Also für $a= -\frac{2}{3\sqrt{3}}$ und $a=\frac{2}{3\sqrt{3}}.$
  • Für alle anderen Werte von $a$ besitzt $f_a$ genau drei Nullstellen, also für $-\frac{2}{3\sqrt{3}} < a <\frac{2}{3\sqrt{3}}. $
1.2
$\blacktriangleright$  Gleichung nachweisen
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} (x+a)(1-x^2)&=& x+a -x^3 -a\cdot x^2 \\[5pt] &=& -x^3 -a\cdot x^2 +x+a \end{array}$
$ (x+a)(1-x^2)=… $
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Berührungspunkte bestimmen
1. Schritt: Schnittstellen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& g_a(x) \\[5pt] -x^3+x+a &=& a\cdot x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-a\cdot x^2 \\[5pt] -x^3-a\cdot x^2 +x +a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Nachweis von oben} \\[5pt] (x+a)\cdot (1-x^2) &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& g_a(x) \\[5pt] … \\[5pt] (x+a)\cdot (1-x^2) &=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt daraus $x_1 = -a,$ $x_2 = -1$ und $x_3 = 1.$ $f_a$ und $g_a$ haben also gemeinsame Funktionswerte an den Stellen $x_1=-a,$ $x_2 = -1$ und $x_3=1.$
2. Schritt: Anstiege überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& -x^3 +x+a \\[5pt] f_a'(x) &=& -3x^2 +1\\[10pt] f_a'(-a)&=& -3\cdot (-a)^2 +1 \\[5pt] &=& -3a^2 +1 \\[10pt] f_a'(-1)&=& -3\cdot (-1)^2 +1 \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] f_a'(1)&=& -3\cdot 1^2 +1 \\[5pt] &=& -2 \\[10pt] g_a(x) &=& a\cdot x^2 \\[5pt] g_a'(x) &=& 2a\cdot x \\[10pt] g_a'(-a)&=& 2a\cdot (-a) \\[5pt] &=& -2a^2 \\[10pt] g_a'(-1)&=& 2a\cdot (-1) \\[5pt] &=& -2a \\[10pt] g_a'(1)&=& 2a\cdot 1 \\[5pt] &=& 2a \\[5pt] \end{array}$
Damit sich die Graphen an der Stelle $x_1=-a$ berühren, muss $g_a'(-a) = f_a'(-a)$ sein:
$\begin{array}[t]{rll} g_a'(-a) &=& f_a'(-a)\\[5pt] -2a^2 &=& -3a^2 +1 &\quad \scriptsize \mid\;+3a^2 \\[5pt] a^2 &=& 1 \\[5pt] a_1 &=& -1\\[5pt] a_2 &=& 1 \end{array}$
Für die Stelle $x_2 = -1 $ gilt analog:
$\begin{array}[t]{rll} g_a'(-1) &=& f_a'(-1)\\[5pt] -2a &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] a &=& 1 \end{array}$
Für $x_3 = 1$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} g_a'(1) &=& f_a'(1)\\[5pt] 2a &=& -2 &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] a &=& -1 \end{array}$
Für $a = 1$ berühren sich die Graphen also an den Stellen $x_1 = -a $ und $x_2 = -1,$ wobei in dem Fall $x_1 = -1 =x_2$ ist, es also nur eine Berührstelle gibt.
Für $a= -1$ berühren sie sich an den Stellen $x_1 = -a$ und $x_3 = 1.$ In dem Fall ist ebenfalls $x_1 = 1 = x_3,$ weshalb es auch hier nur eine Berührstelle gibt.
3. Schritt: $y$-Koordinaten berechnen
  • $a=1:$
    $\begin{array}[t]{rll} f_1(x_1)&=& f_1 (-1) \\[5pt] &=& -(-1)^3+(-1) +1 \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
    $ f_1(x_1) = 1 $
  • $a=-1:$
    $\begin{array}[t]{rll} f_{-1}(x_1)&=& f_1 (1) \\[5pt] &=& -1^3+1 -1 \\[5pt] &=& -1 \\[5pt] \end{array}$
    $ f_{-1}(x_1)=-1 $
Die Graphen berühren sich für $a= 1$ und $a=-1.$
Für $a=1$ berühren sie sich im Punkt $B_1(-1\mid 1),$ für $a=-1$ im Punkt $B_{-1}(1\mid -1).$
1.3
$\blacktriangleright$  Gleichen Flächeninhalt begründen
Für $a=0$ ist:
  • $f_0(x) = -x^3 +x$
  • $g_0(x) = 0 $
$L_0$ entspricht in dem Fall also der $x$-Achse. Da $f_0$ nur ungerade Exponenten aufweist, ist $K_0$ punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. $K_0$ schließt daher mit der $x$-Achse, also mit $L_0,$ zwei gleichgroße Flächenstücke ein. Eines davon liegt oberhalb der $x$-Achse, das andere unterhalb der $x$-Achse.
#symmetrie
1.4.1
$\blacktriangleright$  Streckenlänge berechnen
Für $a=2$ ist $P_2(2\mid g_2(2))$ und $Q_2(3\mid g_2(3)):$
$\begin{array}[t]{rll} g_2(2)&=& 2\cdot 2^2\\[5pt] &=& 8 \\[10pt] g_2(3) &=& 2\cdot 3^2 \\[5pt] &=& 18 \end{array}$
Die Koordinaten lauten für $a=2$ also $P_2(2\mid 8)$ und $Q_2(3\mid 18).$ Die Länge der Strecke kannst du nun mit der entsprechenden Formel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{P_2Q_2}&=& \sqrt{(3-2)^2 +(18-8)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{101} \\[5pt] \end{array}$
$ \overline{P_2Q_2} = \sqrt{101} $
Für $a=2$ ist die Strecke $\overline{P_aQ_a}$ $\sqrt{101}$ Längeneinheiten lang.
1.4.2
$\blacktriangleright$  Minimale Streckenlänge berechnen
1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Die Länge $l$ der Strecke $\overline{P_aQ_a}$ kann in Abhängigkeit von $a$ wie folgt beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} l(a) &=& \sqrt{\left(a+1-a \right)^2 + \left(g_a(a+1)-g_a(a) \right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1 + \left(a\cdot(a+1)^2- a\cdot a^2 \right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{1 + \left(a\cdot\left(a^2+2a+1\right)- a^3\right)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{1 + \left(a^3+2a^2+a- a^3\right)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{1 + \left(2a^2+a\right)^2 } \\[5pt] &=& \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2 } \\[5pt] \end{array}$
$ l(a) = … $
2. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} l(a) &=& \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2 } \\[5pt] &=& (1 +4a^4+ 4a^3+a^2)^{\frac{1}{2}} \\[10pt] l'(a) &=& \frac{1}{2}\cdot (1 +4a^4+ 4a^3+a^2)^{-\frac{1}{2}} \cdot (16a^3+12a^2+2a) \\[5pt] &=& \dfrac{16a^3+12a^2+2a}{2\sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}} \\[5pt] &=& \dfrac{8a^3+6a^2+a}{\sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}} \\[10pt] l''(a) &=& \dfrac{\left(24a^2+12a+1 \right)\cdot \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2} - \left(8a^3+6a^2+a \right)\cdot \frac{16a^3+12a^2+2a}{2\sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}} }{ \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}^2} \\[5pt] &=& \dfrac{\left(24a^2+12a+1 \right)\cdot \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2} - \frac{\left(8a^3+6a^2+a \right)^2}{\sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}} }{ 1 +4a^4+ 4a^3+a^2}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} l(a) &=… \\[10pt] l'(a) &=…\\[10pt] l''(a) &=…\\[5pt] \end{array}$
3. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} l'(a) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{8a^3+6a^2+a}{\sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2}} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sqrt{1 +4a^4+ 4a^3+a^2} \\[5pt] 8a^3+6a^2+a &=& 0 \\[5pt] a\cdot (8a^2 +6a+1)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;a_1 = 0 \\[5pt] 8a^2 +6a+1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :8 \\[5pt] a^2 + \frac{3}{4}a +\frac{1}{8} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; pq-\text{Formel} \\[5pt] a_{2/3} &=& -\frac{\frac{3}{4}}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{\frac{3}{4}}{2} \right)^2 -\frac{1}{8}} \\[5pt] &=& -\frac{3}{8} \pm \frac{1}{8} \\[10pt] a_2 &=& -\frac{3}{8} - \frac{1}{8} \\[5pt] &=& -\frac{1}{2} \\[10pt] a_3 &=& -\frac{3}{8} + \frac{1}{8} \\[5pt] &=& -\frac{1}{4} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} l'(a) &=& 0 \\[5pt] a_1&= 0 \\[10pt] a_2 &=-\frac{1}{2} \\[10pt] a_3 &= -\frac{1}{4} \\[10pt] \end{array}$
4. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} l''\left(0\right) &=& \dfrac{\left(24\cdot 0^2+12\cdot 0+1 \right)\cdot \sqrt{1 +4\cdot 0^4+ 4\cdot 0^3+0^2} - \frac{\left(8\cdot 0^3+6\cdot 0^2+0 \right)^2}{\sqrt{1 +4\cdot 0^4+ 4\cdot 0^3+0^2}} }{ 1 +4\cdot 0^4+ 4\cdot 0^3+ 0^2} \\[5pt] &=& 1 > 0 \\[10pt] l''\left(-\frac{1}{2}\right) &=& \dfrac{\left(24\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+12\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1 \right)\cdot \sqrt{1 +4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4+ 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3+\left(-\frac{1}{2}\right)^2} - \frac{\left(8\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3+6\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{1}{2}\right) \right)^2}{\sqrt{1 +4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4+ 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3+ \left(-\frac{1}{2}\right)^2}} }{ 1 +4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^4+ 4\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^3+ \left(-\frac{1}{2}\right)^2} \\[5pt] &=& 1 > 0 \\[10pt] l''\left(-\frac{1}{4}\right) &=& \dfrac{\left(24\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2+12\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)+1 \right)\cdot \sqrt{1 +4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4+ 4\cdot\left(-\frac{1}{24}\right)^3+\left(-\frac{1}{4}\right)^2} - \frac{\left(8\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3+6\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^2+\left(-\frac{1}{4}\right) \right)^2}{\sqrt{1 +4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4+ 4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3+ \left(-\frac{1}{4}\right)^2}} }{ 1 +4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^4+ 4\cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^3+ \left(-\frac{1}{4}\right)^2} \\[5pt] &\approx& -0,50 < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} l''\left(0\right) &= 1 > 0 \\[10pt] l''\left(-\frac{1}{2}\right) &=1 > 0 \\[10pt] l''\left(-\frac{1}{4}\right) &\approx -0,50 < 0 \\[10pt] \end{array}$
$l$ besitzt also zwei relative Minima und ein relatives Maximum. Der insgesamt kleinste Funktionswert muss daher eines der beiden relativen Minima sein.
5. Schritt: Funktionswerte berechnen
$\begin{array}[t]{rll} l\left(0\right)&=& \sqrt{1 +4\cdot 0^4+ 4\cdot 0^3+ 0^2} \\[5pt] &=& 1\\[10pt] l\left(-\frac{1}{2} \right) &=& \sqrt{1 +4\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)^4+ 4\cdot \left(-\frac{1}{2} \right)^3+\left(-\frac{1}{2} \right)^2} \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} l\left(0\right)&= 1\\[10pt] l\left(-\frac{1}{2} \right) &= 1 \\[5pt] \end{array}$
Da $a\neq 0$ sowieso schon vorausgesetzt wird, nimmt die Strecke $\overline{P_aQ_a}$ also für $a= -\frac{1}{2}$ ihre minimale Länge an. Die minimale Länge beträgt $1$ Längeneinheit.
#quotientenregel#extrempunkt
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