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Wahlteil B2

Aufgaben
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2.1
Weise nach, dass es sich bei dem Körper $ABCDEFGH$ um einen Würfel handelt.
(5 BE)
#würfel
2.2
Die Lage eines solchen Modells wird als ideal bezeichnet, wenn bei einer senkrechten Projektion auf die $xy$-Ebene der Bildpunkt von $G$ mit dem Punkt $A$ übereinstimmt.
Prüfe, ob die Lage des gegebenen Modells ideal ist.
(2 BE)
2.3
Der Winkel zwischen $\overrightarrow{AD}$ und der $xy$-Ebene ist $\alpha.$
Der Winkel zwischen der Ebene durch die Punkte $A,$ $B,$ $E$ und der $x$-Achse ist $\beta.$
Zeige: Die Summe der Winkelgrößen von $\alpha$ und $\beta$ beträgt $90^{\circ}.$
(6 BE)
#schnittwinkel
2.4
Damit eine Fläche zum Verkleben mit dem Pokalsockel entsteht, wird bei der Herstellung ein Teil des Ausgangsprodukts abgeschnitten. Im Modell verläuft diese Schnittebene durch den Punkt $R\left(-1\mid \frac{5}{3}\mid \frac{4}{3}\right)$ und parallel zu der Ebene $\epsilon_{BDE}.$
Weise nach, dass $R$ auf der Körperkante $\overline{AB}$ liegt. Berechne die Größe der Schnittfläche.
(8 BE)
2.5
Mit Hilfe einer neuen Technologie ist es möglich, den Würfel innen zu beschriften. Die Fläche der Beschriftung befindet sich im Modell in der Ebene, die die Raumdiagonale $\overline{DF}$ enthält und parallel zur $y$-Achse verläuft.
Bestimme eine Gleichung dieser Ebene in Koordinatenform.
(5 BE)
#koordinatenform
2.6
Der Hersteller der Pokale behauptet gegenüber einem Händler, dass höchstens $10\,\%$ der Pokale fehlerhaft sind. Die Anzahl der fehlerhaften Pokale wird als binomialverteilt angenommen.
Die Behauptung des Herstellers soll anhand einer Stichprobe vom Umfang $100$ überprüft werden. Es wird eine Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ festgelegt.
Ermittle eine Entscheidungsregel für diesen Test aus der Sicht des Händlers.
(4 BE)
#hypothesentest#binomialverteilung
$k$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $$ 5$$ 6$$7 $$8 $$9 $
$F_{100;0,1}(k)$$0,0000 $$0,0003 $$ 0,0019$$0,0078 $$ 0,0237$$ 0,0576$$0,1172 $$ 0,2061$$0,3209 $$0,4513 $
$k$$F_{100;0,1}(k)$
$ 0$$ 0,0000 $
$ 1 $$0,0003 $
$ 2$$0,0019 $
$ 3 $$0,0078 $
$ 4 $$0,0237 $
$ 5$$0,0576 $
$ 6 $$0,1172 $
$ 7$$0,2061 $
$ 8 $$0,3209 $
$ 9 $$0,4513 $
$k$$10 $$11 $$12 $$13 $$14 $$15$$ 16$$17 $$18 $$19 $
$F_{100;0,1}(k)$$0,5832 $$0,7030 $$ 0,8018$$0,8761 $$ 0,9274$$ 0,9601$$0,9794 $$ 0,9900$$0,9954 $$0,9980 $
$k$$F_{100;0,1}(k)$
$ 10$$ 0,5832 $
$11 $$0,7030 $
$ 12$$0,8018 $
$13 $$0,8761 $
$14 $$0,9274 $
$ 15$$0,9601 $
$16 $$0,9794 $
$ 17$$0,9900 $
$18 $$0,9954 $
$19 $$0,9980 $
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Würfelform nachweisenWahlteil B2
Es ist bereits angegeben, dass $ABCDEFGH$ die Form eines achteckigen Prismas hat. Es handelt sich um einen Würfel, wenn $ABCD$ ein Quadrat ist und die anliegende Kante $\overline{AE}$ senkrecht dazu ist.
1. Schritt: Quadrat nachweisen
Für ein Quadrat ist nachzuweisen, dass alle Seiten gleich lang sind und nebeneinander liegende Seiten senkrecht zueinander stehen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}&=& \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \overrightarrow{DC}&=& \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] \overrightarrow{BC}&=& \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] \end{array}$
Es ist also $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}.$ Die jeweils gegenüberliegenden Seiten sind also parallel und gleich lang.
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\overrightarrow{DC} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{-3\\5\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{50} \\[10pt] \left|\overrightarrow{AD} \right|&=& \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{\left(4\sqrt{2}\right)^2 + 0^2 + \left(3\sqrt{2}\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{50} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=\sqrt{50} \\[10pt] \left|\overrightarrow{AD} \right|&= \sqrt{50} \\[10pt] \end{array}$
Alle vier Seiten sind also gleich lang und parallel.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD}&=& \pmatrix{-3\\5\\4} \circ \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] &=& -3\cdot 4\sqrt{2} +5\cdot 0 + 4\cdot 3\sqrt{2} \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AB} \circ \overrightarrow{AD} = 0 $
Die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ stehen also senkrecht aufeinander. Wegen der obigen Eigenschaften, sind damit auch alle anderen Innenwinkel des Vierecks rechte Winkel. Es handelt sich also um ein Quadrat, da alle Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel rechte Winkel sind.
2. Schritt: Lage der Kante $\overline{AE}$ zeigen
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}\circ\overline{AB} &=& \pmatrix{-3\\-5\\4}\circ \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] &=& -3\cdot (-3) -5\cdot 5 +4\cdot 4 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overline{AE}\circ\overline{AD} &=& \pmatrix{-3\\-5\\4}\circ \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \\[5pt] &=& -3\cdot 4\sqrt{2} -5\cdot 0 +4\cdot 3\sqrt{2} \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AE}\circ\overline{AB} &= 0 \\[10pt] \overline{AE}\circ\overline{AD} &= 0 \\[10pt] \end{array}$
$\overline{AE}$ verläuft also senkrecht zu $\overline{AB}$ und $\overline{AD}$ und damit zur gesamten Fläche $ABCD.$
3. Schritt: Länge der Kante zeigen
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AE} \right| &=& \left|\pmatrix{-3\\-5\\4} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-3)^2 +(-5)^2 +4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{50} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{AE}\right| = \sqrt{50} $
Sie ist also genauso lang, wie die anderen Kanten. Wegen der Eigenschaft, dass es sich bei dem Körper um ein Prisma handelt, muss $ABCDEFGH$ daher ein Würfel sein.
#skalarprodukt#vektorbetrag
2.2
$\blacktriangleright$  Prüfen, ob die Lage ideal ist
Bestimme dazu zunächst die Koordinaten von $G.$ Da die Kanten $\overline{CG}$ und $\overline{AE}$ parallel und gleich lang sein müssen, gilt $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AE}.$ Daher ergibt sich der Ortsvektor von $G$ zu:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OG}&=& \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CG} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\sqrt{2}-3\\5\\3\sqrt{2}+4} + \pmatrix{-3\\-5\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{4\sqrt{2}-6\\0\\3\sqrt{2}+8} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OG} = \pmatrix{4\sqrt{2}-6\\0\\3\sqrt{2}+8} $
Der Bildpunkt von $G$ stimmt bei einer senkrechten Projektion auf die $xy$-Ebene mit $A$ überein, wenn die $x$- und $y$-Koordinaten mit denen von $A$ übereinstimmen. Dies ist aber nicht der Fall. Die Koordinaten des Bildpunkts von $G$ lauten $G'(4\sqrt{2}-6\mid 0\mid 0).$
Die Lage des Modells ist also nicht ideal.
2.3
$\blacktriangleright$  Winkelsumme zeigen
1. Schritt: $\alpha$ bestimmen
Ein Normalenvektor der $xy$-Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1}.$ Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha &=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{AD}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right| \cdot \left|\overrightarrow{AD} \right|} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left| \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}} \right|} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{3\sqrt{2}}{1 \cdot \sqrt{(4\sqrt{2})^2+0^2+(3\sqrt{2})^2}} \\[5pt] \sin \alpha &=& \dfrac{3\sqrt{2}}{ \sqrt{50}} \\[5pt] \end{array}$
$ \sin \alpha = \dfrac{3\sqrt{2}}{ \sqrt{50}} $
2. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Einen Normalenvektor der Ebene durch die Punkte $A,$ $B$ und $E$ kannst du mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}_1 &=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\5\\4}\times \pmatrix{-3\\-5\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\cdot 4 - 4\cdot (-5) \\ 4\cdot (-3) - (-3)\cdot 4 \\ -3\cdot (-5) - 5\cdot (-3)} \\[5pt] &=& \pmatrix{40\\ 0 \\ 30} \\[5pt] &=& 10\cdot\underbrace{\pmatrix{4\\ 0 \\ 3}}_{\overrightarrow{n}_2} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}_1 = 10\cdot\underbrace{\pmatrix{4\\ 0 \\ 3}}_{\overrightarrow{n}_2}$
3. Schritt: Winkel $\beta$ bestimmen
Ein Richtungsvektor der $x$-Achse ist $\overrightarrow{r}= \pmatrix{1\\0\\0}.$
$\begin{array}[t]{rll} \sin \beta&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_2 \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left|\overrightarrow{n}_2 \right| \cdot \left|\overrightarrow{r} \right|} \\[5pt] \sin \beta&=& \dfrac{\left|\pmatrix{4\\ 0 \\ 3} \circ \pmatrix{1\\0\\0}\right|}{\left|\pmatrix{4\\ 0 \\ 3} \right| \cdot \left| \pmatrix{1\\0\\0} \right|} \\[5pt] \sin \beta&=& \dfrac{4}{\sqrt{4^2+0^2+3^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+0^2}} \\[5pt] \sin \beta&=& \dfrac{4}{5} \\[5pt] \end{array}$
$ \sin \beta= \dfrac{4}{5} $
4. Schritt: Winkelsumme überprüfen
Es ist:
$\begin{array}[t]{rll} \alpha &=& \sin^{-1}\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} \\[5pt] \beta &=& \sin^{-1}\dfrac{4}{5} \\[5pt] \alpha + \beta &=& \sin^{-1}\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{50}} + \sin^{-1}\dfrac{4}{5} \\[5pt] &=& 90^{\circ} \end{array}$
$ \alpha + \beta = 90^{\circ} $
Die Summe der Winkelgrößen von $\alpha$ und $\beta$ beträgt also $90^{\circ}.$
#kreuzprodukt
2.4
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts nachweisen
$R$ liegt auf der Kante $\overline{AB},$ wenn es einen Wert $0\leq t \leq 1$ gibt, mit dem sich $\overrightarrow{OR}$ in folgender Form darstellen lässt:
$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB}$
Daraus ergibt sich folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR} &=& \overrightarrow{OA}+ t\cdot \overrightarrow{AB} \\[5pt] \pmatrix{-1\\\frac{5}{3}\\ \frac{4}{3}} &=& \pmatrix{0\\0\\0} + t\cdot \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \pmatrix{-1\\\frac{5}{3}\\ \frac{4}{3}} &=& t\cdot \pmatrix{-3\\5\\4} \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{-1\\\frac{5}{3}\\ \frac{4}{3}} = t\cdot \pmatrix{-3\\5\\4} $
Diese Gleichung ist für $t=\frac{1}{3}$ erfüllt:
$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA}+ \frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AB}$
Der Punkt $R$ liegt daher auf der Körperkante $\overline{AB}.$
$\blacktriangleright$  Größe der Schnittfläche berechnen
Bei dem Ausgangsprodukt handelt es sich um einen Würfel. Da die Schnittebene parallel zur Ebene $\epsilon_{BDE}$ verläuft, teilt sie die Körperkanten $\overline{AB},$ $\overline{AD}$ und $\overline{AE}$ im selben Verhältnis.
Von oben weißt du, dass für den Schnittpunkt $R$ der Schnittebene mit der Kante $\overline{AB}$ gilt:
$\overrightarrow{OR} = \overrightarrow{OA}+ \frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AB}.$
Für die beiden anderen Schnittpunkte mit den anderen beiden Kanten folgt analog:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}_{\overline{AD}} &=& \overrightarrow{OA}+ \frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AD} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0} + \frac{1}{3}\cdot \pmatrix{4\sqrt{2}\\0\\3\sqrt{2}}\\[5pt] &=& \pmatrix{\frac{4}{3}\sqrt{2}\\0\\\sqrt{2}} \\[5pt] \overrightarrow{OR}_{\overline{AE}} &=& \overrightarrow{OA}+ \frac{1}{3}\cdot \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\0\\0} + \frac{1}{3}\cdot \pmatrix{-3\\-5\\4}\\[5pt] &=& \pmatrix{-1\\-\frac{5}{3}\\\frac{4}{3}} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}_{\overline{AD}} &= \pmatrix{\frac{4}{3}\sqrt{2}\\0\\\sqrt{2}} \\[5pt] \overrightarrow{OR}_{\overline{AE}} &= \pmatrix{-1\\-\frac{5}{3}\\\frac{4}{3}} \\[5pt] \end{array}$
Gesucht ist also der Flächeninhalt des Dreiecks $RR_{AD}R_{AE}.$ Diesen kannst du mithilfe des Kreuzprodukts berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{RR_{AD}} \times \overrightarrow{RR_{AE}} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{\frac{4}{3}\sqrt{2}+1 \\ -\frac{5}{3} \\ \sqrt{2}-\frac{4}{3}} \times \pmatrix{0 \\ -\frac{10}{3} \\ 0 } \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-\frac{5}{3} \cdot 0 - \left(\sqrt{2}-\frac{4}{3} \right)\cdot \left(-\frac{10}{3} \right) \\ \left(\sqrt{2}-\frac{4}{3} \right)\cdot 0 - \left(\frac{4}{3}\sqrt{2}+1 \right)\cdot 0 \\ \left(\frac{4}{3}\sqrt{2}+1 \right) \cdot \left( -\frac{10}{3}\right) - \left(-\frac{5}{3}\right)\cdot 0}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{ \frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{40}{9} \\ 0 \\ -\frac{40}{9}\sqrt{2}-\frac{10}{3}}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\left( \frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{40}{9}\right)^2 + 0^2 +\left(-\frac{40}{9}\sqrt{2}-\frac{10}{3} \right)^2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{ \frac{200}{9}-\frac{800}{27}\sqrt{2} + \frac{1600}{81} + \frac{3200}{81}+\frac{800}{27}\sqrt{2}+\frac{100}{9} } \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{2500}{27}} \\[5pt] &=& \frac{25\sqrt{3}}{9 } \end{array}$
$ A=\frac{25\sqrt{3}}{9 } $
Die Schnittfläche ist $\frac{25\sqrt{3}}{9 }$ Flächeneinheiten groß.
#kreuzprodukt
2.5
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Durch die Parallelität zur $y$-Achse kannst du $\pmatrix{0\\1\\0}$ als Richtungsvektor verwenden. Dadurch, dass $\overline{DF}$ in der Ebene enthalten sein soll, kannst du $\overrightarrow{DF}$ als zweiten Richtungsvektor verwenden.
Für den Eckpunkt $F$ gilt aufgrund der Würfeleigenschaften:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF} &=& \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BF} &\quad \scriptsize \mid\; \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{-3\\5\\4} + \pmatrix{-3\\-5\\4} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6 \\ 0\\ 8} \end{array}$
$ \overrightarrow{OF}= \pmatrix{-6 \\ 0\\ 8}$
Es ist also $\overrightarrow{DF} = \pmatrix{-6-4\sqrt{2} \\ 0 \\ 8-3\sqrt{2}}.$ Einen Normalenvektor der Ebene kannst du nun wieder über das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} &=& \pmatrix{0\\1\\0} \times \pmatrix{-6-4\sqrt{2} \\ 0 \\ 8-3\sqrt{2}}\\[5pt] &=& \pmatrix{1\cdot \left(8-3\sqrt{2}\right) - 0\cdot 0 \\ 0\cdot \left(-6-4\sqrt{2} \right)- 0\cdot \left(8-3\sqrt{2} \right) \\ 0\cdot 0 - 1\cdot \left(-6-4\sqrt{2} \right) }\\[5pt] &=& \pmatrix{8-3\sqrt{2} \\ 0 \\ 6+4\sqrt{2}}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = \pmatrix{8-3\sqrt{2} \\ 0 \\ 6+4\sqrt{2}} $
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $D$ oder $F$ ergibt sich nun:
$\begin{array}[t]{rll} \left(8-3\sqrt{2}\right)\cdot x + 0y + \left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot z -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; F(-6\mid 0\mid 8) \\[5pt] \left(8-3\sqrt{2}\right)\cdot (-6) + \left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot 8 -d &=& 0 \\[5pt] 50\sqrt{2} -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+d \\[5pt] 50\sqrt{2} &=& d \end{array}$
$ d=50\sqrt{2} $
Eine Gleichung der beschriebenen Ebene in Koordinatenform lautet also:
$\left(8-3\sqrt{2}\right)\cdot x + \left(6+4\sqrt{2}\right)\cdot z - 50\sqrt{2} = 0$
$ … = 0 $
#kreuzprodukt
2.6
$\blacktriangleright$  Entscheidungsregel ermitteln
Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der fehlerhaften Pokale in der Stichprobe von $100$ Pokalen beschreibt. Diese ist laut Aufgabenstellung binomialverteilt mit $n=100$ und unbekanntem $p.$ Die Nullhypothese wird aus Sicht des Händlers so gewählt, dass:
$H_0:\, p \leq 0,1 $ und $H_1:\, p > 0,1$
Gilt also die Nullhypothese, so ist $X$ im besten Fall mit $p=0,1$ verteilt.
Gesucht ist nun der Annahmebereich $A = \{0\;….\;k\}$ und der Ablehnungsbereich $\overline{A} = \{k+1\; … \; 100\}.$
Aufgrund der Irrtumswahrscheinlichkeit von $5\,\%$ muss die Grenze $k$ für die Entscheidungsregel wie folgt gewählt werden:
$\begin{array}[t]{rll} P(X\geq k+1 )&<& 0,05 \\[5pt] 1- P(X\leq k)&<& 0,05 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] - P(X\leq k)&<& -0,95 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X\leq k)&>& 0,95 \end{array}$
$ P(X\leq k)> 0,95 $
$k$ kannst du nun mithilfe der Angaben aus der Tabelle des Aufgabenblattes bestimmen. Gesucht ist der kleinste Wert $k,$ für den gerade noch $P(X\leq k) > 0,95$ gilt. In der Tabelle findest du:
$P(X\leq 14)\approx 0,9274$ und $P(X\leq 15)\approx 0,9601.$
Es ist also $k= 15.$ Die Entscheidungsregel lautet dann ähnlich wie folgt:
Werden mehr als $15$ fehlerhafte Pokale in der Stichprobe gefunden, wird der Händler die Behauptung des Herstellers ablehnen und davon ausgehen, dass die Fehlerquote bei den Pokalen höher ist als $10\,\%.$
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