Wahlteil B1

B1 Analysis

Für die Abkühlung von Tee in einer Tasse bei einer konstanten Umgebungstemperatur von $21^{\circ}\text C$ wurde die Temperatur (in $^{\circ}\text C$ ) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) gemessen.
Der zeitliche Verlauf der Temperatur des Tees kann durch eine Funktion $f$ mit der Gleichung

$f(t)=(a-21)\cdot \mathrm{e}^{-b\cdot t}+21$ mit $t \in \mathbb{R},$ $t\geq 0;$ $a, b \in \mathbb{R},$ $a, b \gt0$

modelliert werden. Der Graph von $f$ ist $K$ .
Die Messung begann zum Zeitpunkt $t=0$ und ergab eine Temperatur von $80^{\circ}\text C$ .
Nach 5 Minuten wurde eine Temperatur von $53,4^{\circ}\text C$ gemessen.

1.1

Ermittle die Werte für $a$ und $b$ und gib eine Funktionsgleichung an.

$\big($ Zur Kontrolle: $f(t)=59\cdot \mathrm{e}^{-0,12\cdot t}+21 \big)$

(3 BE)

1.2

Bestimme die Zeitspanne, in der die Temperatur von $80^{\circ}\text C$ auf $40^{\circ}\text C$ sinkt.

(2 BE)

1.3

Skizziere $K$ im Intervall $0 \leq t \leq 60$ in ein geeignetes Koordinatensystem.

(2 BE)

1.4

Die lokale Änderungsrate von $f$ gibt die Abkühlgeschwindigkeit des Tees in $^{\circ}\text C$ pro Minute an.

1.4.1

Ermittle die Abkühlgeschwindigkeit zum Zeitpunkt $t= 10.$

(2 BE)

1.4.2

Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Betrag der Abkühlgeschwindigkeit am größten ist.
Begründe mithilfe der Eigenschaften der Funktion $f$ .

(2 BE)

1.5

Verschiedene Abkühlvorgänge werden durch die Funktionenschar $h_c$ mit der Gleichung

$h_c(t)=59\cdot \mathrm{e}^{-0,12 \, (t+c)}+21$ mit $t \in \mathbb{R},$ $t \geq 0;$ $0\leq c \leq 3$ modelliert.

$T_c$ ist die Temperatur des Tees zum Zeitpunkt $t=0$ .

1.5.1

Beschreibe den Zusammenhang zwischen $c$ und $T_c$ .

(2 BE)

1.5.2

Zeige, dass für $c=1,72$ die Funktion $h_c$ auch durch folgende Funktionsgleichung dargestellt werden kann.

$g(t)=48\cdot \mathrm{e}^{-0,12\cdot t}+21$ mit $t\geq 0$ .

(2 BE)

1.5.3

Berechne den Wert von $d$ mit $d=\frac{g(40)-g(10)}{40-10}$ .
Interpretiere den Wert von $d$ im Sachzusammenhang.

(3 BE)

1.5.4

Betrachtet werden zwei gleichzeitig beginnende Abkühlvorgänge. Der Vorgang $A$ wird modelliert durch die Funktion $g$ . Der Vorgang $B$ wird modelliert durch die Funktion $h_{2,35}$ .

Berechne den Zeitpunkt $t_1$ , ab dem die Temperaturdifferenz beider Tees höchstens $1^{\circ}\text C$ beträgt.

(4 BE)

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ durch die Gleichung

$f_a(x)= a \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{5}\cdot x}$ mit $x \in \mathbb{R},$ $a \in \mathbb{R},$ $a \gt 0.$

Die Graphen von $f_a$ sind $L_a$ .

Für jeden Wert von $a$ wird an $L_a$ die Tangente $t_a$ im Punkt $P_a(5 \mid f_a(5))$ gelegt.
Die Tangente $t_a$ schneidet die $x$ -Achse im Punkt $B$ und die $y$ -Achse im Punkt $C_a$ .
Die Punkte $A(5 \mid 0)$ , $B$ , und $P_a$ bestimmen das Dreieck $ABP_a$ .
Die Punkte $C_a$ , $D_a(0 \mid f_a(5))$ und $P_a$ bestimmen das Dreieck $C_aD_aP_a$ .

Zeige, dass die Flächeninhalte der Dreiecke $ABP_a$ und $C_aD_aP_a$ gleich groß sind.

(8 BE)