4 Stochastik – Wahlaufgabe

Ein Unternehmen produziert Styroporflieger. Das sind kleine Modelle von Flugzeugen, die aus dem Material Styropor bestehen. Bei der Herstellung können zwei unterschiedliche Fehler auftreten. Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Farbfehlers beträgt $2,5 \,\%$ und für das Auftreten eines Stanzfehlers beträgt sie $1 \,\%$ . Ein Styroporflieger wird zufällig ausgewählt und auf das Auftreten dieser Fehler untersucht. Dabei werden folgende Ereignisse betrachtet:

$F:$

„Der Styroporflieger hat einen Farbfehler.“

$S:$

„Der Styroporflieger hat einen Stanzfehler.“

Es gilt $P(F \cap \overline{S})=0,02.$

4.1

Interpretiere die Gleichung $P(F \cap \overline{S})=0,02$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

4.2

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass der zufällig ausgewählte Styroporflieger sowohl einen Farbfehler als auch einen Stanzfehler aufweist.

(4 BE)

4.3

Ein zufällig ausgewählter Styroporflieger hat keinen Stanzfehler. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieser Flieger keinen Farbfehler hat.

(2 BE)

Es kann davon ausgegangen werden, dass bei einer zufälligen Auswahl von produzierten Styroporfliegern die Anzahl von Fliegern mit Stanzfehler binomialverteilt ist.

4.4

Aus der laufenden Produktion werden $2000$ Styroporflieger entnommen.

In diesem Zusammenhang kann mit dem Term $1-\displaystyle\sum_{i=0}^{23}\left(\binom{2000}{i} \cdot 0,01^i \cdot 0,99^{2000-i}\right)$ die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden.

Gib dieses Ereignis an.

(2 BE)

4.5

Aufgrund ungewöhnlich vieler Reklamationen wegen falsch gestanzter Styroporflieger vermutet der Geschäftsführer des Unternehmens, dass sich der Anteil der Styroporflieger mit Stanzfehler erhöht hat. Daher beschließt er, für $2000$ Styroporflieger einen Test mit der Nullhypothese „Der Anteil der Styroporflieger mit Stanzfehler liegt bei höchstens $1\, \%.$ “ durchführen zu lassen. Nur wenn die Nullhypothese verworfen wird, sind weitere Maßnahmen zur Qualitätssicherung erforderlich.

Bestimme die Entscheidungsregel auf einem Signifikanzniveau von $5\, \%.$

(5 BE)

4.6

Das Unternehmen beabsichtigt Überraschungstüten mit verschiedenen Modellen historischer und moderner Flugzeuge zu packen. Dazu werden in einer Sonderaktion $7$ verschiedene Modelle historischer Flugzeuge und $6$ verschiedene Modelle moderner Flugzeuge hergestellt.

Die Tüten sollen nach folgenden Regeln gepackt werden:

In jeder Tüte ist die Anzahl der Modelle historischer Flugzeuge doppelt so groß wie die Anzahl der Modelle moderner Flugzeuge.
Kein Modell taucht in einer Tüte mehrfach auf.
Die Anzahl der Modelle ist in jeder Tüte gleich groß.

Um den Absatz bei potenziellen Sammelnden zu erhöhen, beabsichtigt das Unternehmen, die Anzahl unterschiedlich gepackter Überraschungstüten möglichst groß zu wählen.

Untersuche, mit welcher Anzahl von Modellen historischer Flugzeuge und mit welcher Anzahl von Modellen moderner Flugzeuge das Unternehmen die Überraschungstüten packen sollte.

(5 BE)

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4.1

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig ausgewählter Styroporflieger einen Farbfehler und keinen Stanzfehler hat, ist $2\,\%.$

4.2

	$F$	$\overline{F}$
$S$	$0,005$	$0,005$	$0,01$
$\overline{S}$	$0,02$	$0,97$	$0,99$
	$0,025$	$0,975$	$1$

Ablesen aus der Vierfeldertafel liefert $P(F\cap S)=0,005$ für die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

4.3

$\begin{array}[t]{rlll} P_{\overline{S}}\left(\overline{F}\right)&=&\dfrac{P\left(\overline{S} \cap \overline{F}\right)}{P\left(\overline{S}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,97}{0,99} \\[5pt] &\approx&0,98 \end{array}$

4.4

Mindestens $24$ der entnommenen Flieger weisen einen Stanzfehler auf.

4.5

Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Flieger mit einem Stanzfehler an und ist binomialverteilt mit den Paramatern $n=2000$ und $p_0=0,01.$ Gesucht ist der kleinste Wert von $k,$ sodass gilt:

$P_{0,01}^{2000}(X\geq k)\lt0,05$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,01}^{2000}(X\geq 28)&\approx&0,052 \\[5pt] P_{0,01}^{2000}(X\geq 29)&\approx&0,034 \end{array}$

Die Nullhypothese wird somit verworfen, wenn mindestens $29$ Flieger einen Stanzfehler aufweisen.

4.6

Die erste und zweite Regel zusammen liefern, dass maximal $3$ moderne Flugzeuge pro Tüte enthalten sein können, da es nur $7$ verschiedene historische Flugzeuge gibt. Je nachdem ob $1,2$ oder $3$ moderne Flugzege eingepackt werden würden, werden laut der ersten Regel $2,4$ oder $6$ historische Flugzeuge dazugetan.
Diese drei Möglichkeiten liefern die folgenden Anzahlen an möglichen Kombinationen:

$\dbinom{6}{1}\cdot\dbinom{7}{2}=126$

$\dbinom{6}{2}\cdot\dbinom{7}{4}=525$

$\dbinom{6}{3}\cdot\dbinom{7}{6}=140$

Die bestmögliche Zusammenstellung für eine Tüte besteht somit aus zwei modernen Modellen und vier historischen Modellen.

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