Wahlteil B1
Gegeben ist die Funktionenschar 
mit der Gleichung
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=& (a-x)\cdot \sqrt{x}\\[5pt]
&=&a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e90909859b354ebad7b246c9331e7510872f07aba20b31d6d10597c165dc430_light.svg)
mit 
Die Kurvenschar von ist 
mit der Gleichung
mit Die Kurvenschar von ist
1.1
Gib den größtmöglichen Definitionsbereich von an. Ermittle die Schnittpunkte von 
mit den Koordinatenachsen.
an. Ermittle die Schnittpunkte von mit den Koordinatenachsen.
(3 BE)
1.2
Berechne due Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von 
Bestimme die Art der Extrema.
Prüfe, ob Wendepunkte besitzt.
Bestimme die Art der Extrema.
Prüfe, ob
Wendepunkte besitzt.
(8 BE)
1.3
Skizziere für 
in einem geeigneten Koordinatensystem mindestens im Intervall 
für in einem geeigneten Koordinatensystem mindestens im Intervall
(3 BE)
1.4
Für jeden Wert von 
begrenzen der Graph und die 
-Achse eine Fläche vollständig.
begrenzen der Graph und die -Achse eine Fläche vollständig.
1.4.1
Bestimme den Wert von 
für den der Flächeninhalt den Wert 
annimmt.
für den der Flächeninhalt den Wert annimmt.
(5 BE)
1.4.2
Berechne das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von der bei der Rotation dieser Fläche um die -Achse entsteht.
der bei der Rotation dieser Fläche um die -Achse entsteht.
(4 BE)
1.5
Betrachtet werden Dreiecke mit den Eckpunkten 
und 
mit 
Ermittle den Wert von
in Abhängigkeit von für das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
Gib den maximalen Flächeninhalt für an.
und mit
Ermittle den Wert von
in Abhängigkeit von für das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
Gib den maximalen Flächeninhalt für
an.
(7 BE)
1.1
Größtmöglichen Definitionsbereich angeben
Da der Radikand unter der Wurzel nicht negativ sein darf und dies die einzige Einschränkung für ist, ist der größtmögliche Definitionsbereich:
Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln
Für den Schnittpunkt mit der 
-Achse folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(0)&=& (a-0)\cdot \sqrt{0} \\[5pt]
&=&0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f612e2a4f9a4067eaf3631cd8781005ae83dd467e987ac3b9c6f5bb6c9eaf7af_light.svg)
Für die Schnittpunkte mit der -Achse:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=& a \\[10pt]
x_2&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5d663059a6373556b5f36042cdc80afac1634304fa1c2e874005fea4e68ba785_light.svg)
Vollständige Lösung anzeigen
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=&0 \\[5pt]
(a-x)\cdot \sqrt{x} &=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[10pt]
a-x_1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+x_1 \\[5pt]
a &=& x_1 \\[10pt]
\sqrt{x_2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt]
x_2&=& 0
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/79aa34359a4b612f438ea3f3d92b8fee9c9db82708cf8013db7b265dad13bf01_light.svg)
schneidet die -Achse im Punkt 
Die -Achse schneidet ebenfalls im Punkt 
und zusätzlich im Punkt 
1.2
Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Für die ersten beiden Ableitungsfunktionen von gilt:
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
Da ![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=& a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \\[10pt]
f_a‘(x)&=& \frac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \frac{a}{x}-3\right)\\[10pt]
f_a‘‘(x)&=& \frac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{-a}{x}-3 \right) \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a69ed4869aab805d1b2fbbaf1702ca8fe42527828054b427906fa9f87dc335ab_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=& a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \\[10pt]
f_a‘(x)&=& a\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}- \dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}} \\[5pt]
&=& \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x} \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)\\[10pt]
f_a‘‘(x)&=& a\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot x^{-\frac{3}{2}}-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[5pt]
&=& \dfrac{-a}{4}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\\[5pt]
&=& \dfrac{-a}{4x\cdot \sqrt{x}}-\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\dfrac{-a}{x}-3 \right) \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c39d23e28426027aabf78f3e0a8bdf74dc3138bd4c778c579eb336092fea6f0c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x_1&=& 0 \\[10pt]
x_2&=& \dfrac{a}{3}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b998bfd902ffa1b140a06bb1abb41e63352615dfc2f6a4d576970c67e9565e4f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a‘(x)&=& 0 \\[5pt]
\dfrac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{1}{2}\\[5pt]
\sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[10pt]
\sqrt{x_1}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt]
x_1&=& 0 \\[10pt]
\dfrac{a}{x_2}-3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt]
\dfrac{a}{x_2}&=& 3&\quad \scriptsize \mid\;\cdot x_2 \\[5pt]
a&=& 3x_2&\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt]
\dfrac{a}{3}&=& x_2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/821ab66e4a0451fd76c763845184c1d56bbdd4f567c5b4322c76bbdae27b7c37_light.svg)
den Nenner eines Bruchs bildet, liegt 
nicht mehr im Definitionsbereich von 
und 
fällt also aus der Betrachtung heraus. besitzt also einen möglichen Extrempunkt an der Stelle 
Für das hinreichende Kriterium folgt:
An der Stelle 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a‘‘\left(\frac{a}{3}\right)&=& \dfrac{1}{4\sqrt{\frac{a}{3}}}\cdot \left(\dfrac{-a}{\frac{a}{3}}-3 \right) \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{4\sqrt{\frac{a}{3}}}\cdot \left(-3-3 \right) \\[5pt]
&=& -\dfrac{6}{4\sqrt{\frac{a}{3}}} \lt 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c011c628b04d758b2718a692581efe8edaee731c3c0eb7e4b6062d155705e8bf_light.svg)
besitzt also einen Hochpunkt.
Der Graph 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a\left(\frac{a}{3} \right)&=& \left( a- \frac{a}{3}\right)\cdot \sqrt{\frac{a}{3}} \\[5pt]
&=& \frac{2a}{3}\cdot \sqrt{\frac{a}{3}} \\[5pt]
&=& \sqrt{\frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}}\\[5pt]
&=& \sqrt{\frac{4a^3}{27}}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fc8b8283f9e16ccfe47381857421d67aa08861168ba2a3d7a872cde1873ed729_light.svg)
besitzt genau einen Extrempunkt. Dieser ist ein Hochpunkt mit den Koordinaten 
Auf Wendepunkte prüfen
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen folgt:
Damit diese Gleichung erfüllt ist, müsste entweder 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_a‘‘(x)&=&0 \\[5pt]
\frac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\dfrac{-a}{x}-3 \right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\sqrt{x}\\[5pt]
\frac{-a}{x}-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt]
\frac{-a}{x}&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt]
-a&=&3x &\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt]
\frac{-a}{3}&=&x
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/89a94d02fc63019a9a2eda7a5fbeef744d591242782e6cfe9517cd5108243a31_light.svg)
oder negativ sein, da aber 
vorgegeben ist, und der Definitionsbereich von negative -Werte ausschließt, kann diese Gleichung nicht erfüllt werden. besitzt also keinen Wendepunkt.
1.3
Graphen skizzieren
Der Graph verläuft für alle durch den Ursprung. Für 
schneidet die -Achse zusätzlich im Punkt 
Der Hochpunkt von 
hat die Koordinaten 
Für den Funktionswert an der Stelle
ergibt sich:
![\(\begin{array}[t]{rll}
f_9(10)&=& (9-10)\cdot \sqrt{10} \\[5pt]
&\approx& -3,16
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/fdb343c53eaa7156d8263768bf73d3b01911202962d9342e23b39825826c74e7_light.svg)
Damit ergibt sich in etwa folgende Abbildung:
1.4.1
Wert von 
berechnen
Der Inhalt der Fläche, die von mit der -Achse vollständig begrenzt wird, kann über ein Integral über mit den Nullstellen von als Grenzen berechnet werden.
Dieser Flächeninhalt soll 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=&\displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \displaystyle\int_{0}^{a}\left(a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \right)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \left[a\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}} \right]_0^a \\[5pt]
&=& a\cdot \frac{2}{3}\cdot a^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot a^{\frac{5}{2}}- \left( a\cdot \frac{2}{3}\cdot 0^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot 0^{\frac{5}{2}} \right) \\[5pt]
&=& \frac{2}{3}\cdot a^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\cdot a^{\frac{5}{2}} \\[5pt]
&=& \frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b7737b487662c716f05ff0fb1e615df0edf5ecd2c1b5d226babfdb6b2fb995c7_light.svg)
betragen:
Für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A&=& \frac{80}{3}\sqrt{10} \\[5pt]
\frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}} &=&\frac{80}{3}\sqrt{10} &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{4}{15}\\[5pt]
a^{\frac{5}{2}}&=& 100\sqrt{10}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt]
a^5&=& 10.000\cdot 10 \\[5pt]
a^5&=& 100.000&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,} \\[5pt]
a&=&10
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/48a4c5bce03bb6fe1de7009873bf727f23adb2eb1fd112dfa1a8b36ad80cafc7_light.svg)
beträgt der beschriebene Flächeninhalt 
1.4.2
Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die -Achse entsteht, folgt:
Das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche um die 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(f_a(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left((a-x)\cdot \sqrt{x}\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left((a-x)^2\cdot x\right)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(\left(a^2-2ax+x^2\right)\cdot x\right)\;\mathrm dx\\[5pt]
&=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(a^2x-2ax^2+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt]
&=& \pi \cdot \left[a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot x^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3+\frac{1}{4}\cdot x^4\right]_0^a\\[5pt]
&=& \pi \cdot \left(a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot a^3+\frac{1}{4}\cdot a^4 - \left( a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot 0^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{4}\cdot 0^4\right)\right) \\[5pt]
&=& \pi \cdot \left(\frac{1}{2}a^4-\frac{2}{3}a^4+\frac{1}{4}a^4 \right)\\[5pt]
&=&\pi\cdot \frac{1}{12}a^4\\[5pt]
&=& \dfrac{\pi\cdot a^4}{12}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a9074333d4e7b159e791b37dc433c532c4dba52ec51de5a3d1a26d3843c2b964_light.svg)
-Achse entsteht, kann in Abhängigkeit von durch 
beschrieben werden.
1.5
Wert von 
ermitteln
Der Skizze kann man entnehmen, dass das angegebene Dreieck die Seitenlängen und 
besitzt. Diese Seiten stehen im rechten Winkel zueinander.
Der Flächeninhalt ergibt sich daher in Abhängigkeit von
Gesucht ist nun das Maximum von 
für 
und besitzt. Diese Seiten stehen im rechten Winkel zueinander.
Der Flächeninhalt ergibt sich daher in Abhängigkeit von
Gesucht ist nun das Maximum von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_a(u)&=& \frac{1}{2} \cdot u \cdot f_a(u) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} \cdot u \cdot \left((a-u)\sqrt{u} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} \cdot (a-u)\cdot \sqrt{u^3} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} a\cdot \sqrt{u^3}-\frac{1}{2}\cdot \sqrt{u^5} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} a\cdot u^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{2}\cdot u^{\frac{5}{2}} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9bf5c94626ef206fbdca5fbea0cff23ed7046e082204651554abc82391d92b19_light.svg)
für
Abb. 2: Skizze
![\(\begin{array}[t]{rll}
A‘_a(u)&=& \frac{1}{2}\cdot a \cdot \frac{3}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot u^{\frac{3}{2}}\\[5pt]
&=& \frac{3}{4}a\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{5}{4}\cdot u^{\frac{3}{2}}\\[10pt]
A‘_a(u)&=& 0 \\[5pt]
\frac{3}{4}a\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{5}{4}\cdot u^{\frac{3}{2}}&=& 0 \\[5pt]
u^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{3}{4}a-\frac{5}{4}\cdot u\right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; u_1 = 0 \\[5pt]
\frac{3}{4}a-\frac{5}{4}\cdot u&=&0&\quad \scriptsize \mid \; +\frac{5}{4}\cdot u \\[5pt]
\frac{3}{4}a&=& \frac{5}{4}\cdot u &\quad \scriptsize \mid \; : \frac{5}{4} \\[5pt]
\frac{3}{5}a&=&u \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e35bb43154f47bfcdb66d20f59497d1c908b1f8b01605085aa25eabbdcc5bb88_light.svg)
hat das Dreieck also den maximalen Flächeninhalt.
Maximalen Flächeninhalt berechnen
In Abhängigkeit von wird der maximale Flächeninhalt für angenommen. Einsetzen in gemeinsam mit liefert den maximalen Flächeninhalt für 
Der maximale Flächeninhalt für 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_9\left(\frac{3}{5}\cdot 9\right)&=&A_9\left(\frac{27}{5}\right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left(9-\frac{27}{5}\right)\cdot \sqrt{\left( \frac{27}{5}\right)^3}\\[5pt]
&=& \frac{729}{25}\cdot \sqrt{\dfrac{3}{5}} \\[5pt]
&\approx& 22,59 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18f54f50d064e2f6e5a465e4361a0484e134b3be119f4e05b27724216c02a6e6_light.svg)
beträgt in etwa 
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