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Wahlteil B1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit der Gleichung
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& (a-x)\cdot \sqrt{x}\\[5pt] &=&a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \end{array}$
mit $x\in D_{f_a},$ $a\in \mathbb{R},$ $a> 0.$ Die Kurvenschar von $f_a$ ist $K_a.$
#funktionenschar
1.1
Gib den größtmöglichen Definitionsbereich von $f_a$ an. Ermittle die Schnittpunkte von $K_a$ mit den Koordinatenachsen.
(3 BE)
#definitionsbereich
1.2
Berechne due Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von $a.$
Bestimme die Art der Extrema.
Prüfe, ob $K_a$ Wendepunkte besitzt.
(8 BE)
#wendepunkt#extrempunkt
1.3
Skizziere $K_a$ für $a=9$ in einem geeigneten Koordinatensystem mindestens im Intervall $0\leq x\leq 10.$
(3 BE)
1.4
Für jeden Wert von $a$ begrenzen der Graph $K_a$ und die $x$-Achse eine Fläche vollständig.
1.4.1
Bestimme den Wert von $a,$ für den der Flächeninhalt den Wert $\dfrac{80}{3}\sqrt{10}$ annimmt.
(5 BE)
1.4.2
Berechne das Volumen des Körpers in Abhängigkeit von $a,$ der bei der Rotation dieser Fläche um die $x$-Achse entsteht.
(4 BE)
#rotationsvolumen
1.5
Betrachtet werden Dreiecke mit den Eckpunkten $(0\mid 0),$ $(u\mid 0)$ und $(u\mid f_a(u))$ mit $0 < u< a.$
Ermittle den Wert von $u$ in Abhängigkeit von $a$ für das Dreieck mit maximalem Flächeninhalt.
Auf den Nachweis des Maximums wird verzichtet.
Gib den maximalen Flächeninhalt für $a=9$ an.
(7 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Größtmöglichen Definitionsbereich angeben
Da der Radikand unter der Wurzel nicht negativ sein darf und dies die einzige Einschränkung für $x$ ist, ist der größtmögliche Definitionsbereich:
$D_{f_a} = \{x\in \mathbb{R}\mid x\geq 0 \}$
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte ermitteln
Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& (a-0)\cdot \sqrt{0} \\[5pt] &=&0 \\[5pt] \end{array}$
Für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=&0 \\[5pt] (a-x)\cdot \sqrt{x} &=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[10pt] a-x_1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+x_1 \\[5pt] a &=& x_1 \\[10pt] \sqrt{x_2}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] x_2&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& a \\[10pt] x_2&=& 0 \end{array}$
$K_a$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 0).$ Die $x$-Achse schneidet $K_a$ ebenfalls im Punkt $S$ und zusätzlich im Punkt $S_x(a\mid 0).$
1.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte berechnen
Für die ersten beiden Ableitungsfunktionen von $f_a$ gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \\[10pt] f_a'(x)&=& a\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}- \dfrac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{a}{2\sqrt{x}}-\dfrac{3}{2}\sqrt{x} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)\\[10pt] f_a''(x)&=& a\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)\cdot x^{-\frac{3}{2}}-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{-a}{4}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x^3}}-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}}\\[5pt] &=& \dfrac{-a}{4x\cdot \sqrt{x}}-\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\dfrac{-a}{x}-3 \right) \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \\[10pt] f_a'(x)&=& \frac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \frac{a}{x}-3\right)\\[10pt] f_a''(x)&=& \frac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\frac{-a}{x}-3 \right) \\[5pt] \end{array}$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{2}\sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{1}{2}\\[5pt] \sqrt{x}\cdot \left( \dfrac{a}{x}-3\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt} \\[10pt] \sqrt{x_1}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] x_1&=& 0 \\[10pt] \dfrac{a}{x_2}-3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] \dfrac{a}{x_2}&=& 3&\quad \scriptsize \mid\;\cdot x_2 \\[5pt] a&=& 3x_2&\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] \dfrac{a}{3}&=& x_2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& 0 \\[10pt] x_2&=& \dfrac{a}{3} \end{array}$
Da $x$ den Nenner eines Bruchs bildet, liegt $x=0$ nicht mehr im Definitionsbereich von $f_a'$ und $f_a''.$ $x_1$ fällt also aus der Betrachtung heraus. $K_a$ besitzt also einen möglichen Extrempunkt an der Stelle $x_2 = \frac{a}{3}.$
Für das hinreichende Kriterium folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''\left(\frac{a}{3}\right)&=& \dfrac{1}{4\sqrt{\frac{a}{3}}}\cdot \left(\dfrac{-a}{\frac{a}{3}}-3 \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{4\sqrt{\frac{a}{3}}}\cdot \left(-3-3 \right) \\[5pt] &=& -\dfrac{6}{4\sqrt{\frac{a}{3}}} < 0 \\[5pt] \end{array}$
$ f_a''\left(\frac{a}{3}\right)=-\dfrac{6}{4\sqrt{\frac{a}{3}}} < 0 $
An der Stelle $x = \frac{a}{3}$ besitzt $K_a$ also einen Hochpunkt.
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left(\frac{a}{3} \right)&=& \left( a- \frac{a}{3}\right)\cdot \sqrt{\frac{a}{3}} \\[5pt] &=& \frac{2a}{3}\cdot \sqrt{\frac{a}{3}} \\[5pt] &=& \sqrt{\frac{4a^2}{9}\cdot \frac{a}{3}}\\[5pt] &=& \sqrt{\frac{4a^3}{27}} \end{array}$
$ f_a\left(\frac{a}{3} \right) = \sqrt{\frac{4a^3}{27}}$
Der Graph $K_a$ besitzt genau einen Extrempunkt. Dieser ist ein Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(\frac{a}{3}\mid\sqrt{\frac{4a^3}{27}} \right).$
$\blacktriangleright$  Auf Wendepunkte prüfen
Mit dem notwendigen Kriterium für Wendestellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a''(x)&=&0 \\[5pt] \frac{1}{4\sqrt{x}}\cdot \left(\dfrac{-a}{x}-3 \right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 4\sqrt{x}\\[5pt] \frac{-a}{x}-3 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] \frac{-a}{x}&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] -a&=&3x &\quad \scriptsize \mid\;:3\\[5pt] \frac{-a}{3}&=&x \end{array}$
$ \frac{-a}{3}=x $
Damit diese Gleichung erfüllt ist, müsste entweder $a$ oder $x$ negativ sein, da aber $a>0$ vorgegeben ist, und der Definitionsbereich von $f_a$ negative $x$-Werte ausschließt, kann diese Gleichung nicht erfüllt werden. $K_a$ besitzt also keinen Wendepunkt.
1.3
$\blacktriangleright$  Graphen skizzieren
Der Graph $K_a$ verläuft für alle $a$ durch den Ursprung. Für $a =9$ schneidet $K_a$ die $x$-Achse zusätzlich im Punkt $(9\mid 0).$ Der Hochpunkt von $K_9$ hat die Koordinaten $\left(\frac{9}{3}\mid \sqrt{\frac{4\cdot 9^3}{27}} \right)\approx \left(3\mid 10,39 \right).$
Für den Funktionswert an der Stelle $x=10$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} f_9(10)&=& (9-10)\cdot \sqrt{10} \\[5pt] &\approx& -3,16 \end{array}$
Damit ergibt sich in etwa folgende Abbildung:
Wahlteil B1
Abb. 1: $K_9$ im Bereich $0\leq x \leq 10$
Wahlteil B1
Abb. 1: $K_9$ im Bereich $0\leq x \leq 10$
1.4.1
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ berechnen
Der Inhalt der Fläche, die von $K_a$ mit der $x$-Achse vollständig begrenzt wird, kann über ein Integral über $f_a$ mit den Nullstellen von $f_a$ als Grenzen berechnet werden.
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\displaystyle\int_{0}^{a}f_a(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{a}\left(a\cdot x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}} \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[a\cdot \frac{2}{3}\cdot x^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot x^{\frac{5}{2}} \right]_0^a \\[5pt] &=& a\cdot \frac{2}{3}\cdot a^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot a^{\frac{5}{2}}- \left( a\cdot \frac{2}{3}\cdot 0^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}\cdot 0^{\frac{5}{2}} \right) \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\cdot a^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}\cdot a^{\frac{5}{2}} \\[5pt] &=& \frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}} \\[5pt] \end{array}$
$ A= \frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}}$
Dieser Flächeninhalt soll $\frac{80}{3}\sqrt{10}$ betragen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{80}{3}\sqrt{10} \\[5pt] \frac{4}{15}\cdot a^{\frac{5}{2}} &=&\frac{80}{3}\sqrt{10} &\quad \scriptsize \mid\; : \frac{4}{15}\\[5pt] a^{\frac{5}{2}}&=& 100\sqrt{10}&\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] a^5&=& 10.000\cdot 10 \\[5pt] a^5&=& 100.000&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt[5]{\,} \\[5pt] a&=&10 \end{array}$
$ a=10 $
Für $a=10$ beträgt der beschriebene Flächeninhalt $\frac{80}{3}\sqrt{10}.$
#integral
1.4.2
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Mit der Formel für das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation eines Funktionsgraphen um die $x$-Achse entsteht, folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&\pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(f_a(x)\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left((a-x)\cdot \sqrt{x}\right)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left((a-x)^2\cdot x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(\left(a^2-2ax+x^2\right)\cdot x\right)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{a}\left(a^2x-2ax^2+x^3\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot x^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3+\frac{1}{4}\cdot x^4\right]_0^a\\[5pt] &=& \pi \cdot \left(a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot a^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot a^3+\frac{1}{4}\cdot a^4 - \left( a^2\cdot \frac{1}{2}\cdot 0^2-2a\cdot \frac{1}{3}\cdot 0^3+\frac{1}{4}\cdot 0^4\right)\right) \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\frac{1}{2}a^4-\frac{2}{3}a^4+\frac{1}{4}a^4 \right)\\[5pt] &=&\pi\cdot \frac{1}{12}a^4\\[5pt] &=& \dfrac{\pi\cdot a^4}{12} \end{array}$
$ V = \dfrac{\pi\cdot a^4}{12}$
Das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche um die $x$-Achse entsteht, kann in Abhängigkeit von $a$ durch $V= \dfrac{\pi\cdot a^4}{12}$ beschrieben werden.
1.5
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{u}$ ermitteln
Wahlteil B1
Abb. 2: Skizze
Wahlteil B1
Abb. 2: Skizze
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A'_a(u)&=& \frac{1}{2}a \cdot \frac{3}{2}\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{2}\cdot u^{\frac{3}{2}}\\[5pt] &=& \frac{3}{4}a\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{5}{4}\cdot u^{\frac{3}{2}}\\[10pt] A'_a(u)&=& 0 \\[5pt] \frac{3}{4}a\cdot u^{\frac{1}{2}} -\frac{5}{4}\cdot u^{\frac{3}{2}}&=& 0 \\[5pt] u^{\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{3}{4}a-\frac{5}{4}\cdot u\right)&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; u_1 = 0 \\[5pt] \frac{3}{4}a-\frac{5}{4}\cdot u&=&0&\quad \scriptsize \mid \; +\frac{5}{4}\cdot u \\[5pt] \frac{3}{4}a&=& \frac{5}{4}\cdot u &\quad \scriptsize \mid \; : \frac{5}{4} \\[5pt] \frac{3}{5}a&=&u \\[5pt] \end{array}$
$\frac{3}{5}a=u$
Laut Aufgabenstellung muss das Maximum nicht nachgewiesen werden, das hinreichende Kriterium für Extremstellen muss also nicht überprüft werden. Für $u = \frac{3}{5}a$ hat das Dreieck also den maximalen Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$  Maximalen Flächeninhalt berechnen
In Abhängigkeit von $a$ wird der maximale Flächeninhalt für $u = \frac{3}{5}a$ angenommen. Einsetzen in $A_a(u)$ gemeinsam mit $a=9$ liefert den maximalen Flächeninhalt für $a=9:$
$\begin{array}[t]{rll} A_9\left(\frac{3}{5}\cdot 9\right)&=&A_9\left(\frac{27}{5}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left(9-\frac{27}{5}\right)\cdot \sqrt{\left( \frac{27}{5}\right)^3}\\[5pt] &=& \frac{729}{25}\cdot \sqrt{\dfrac{3}{5}} \\[5pt] &\approx& 22,59 \\[5pt] \end{array}$
$ A_9\left(\frac{3}{5}\cdot 9\right) \approx 22,59 $
Der maximale Flächeninhalt für $a=9$ beträgt in etwa $22,59.$
#rechtwinkligesdreieck
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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