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Wahlteil B2

Aufgaben
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Die südliche Dachfläche wird im Modell durch die Punkte $F,$ $G$ und $K$ bestimmt, eine Gleichung der Ebene, in der diese drei Punkte liegen, ist $2y+z=16.$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
2.1
Berechne die Größe des Winkels zwischn der südlichen Dachfläche und der Dachbodenfläche.
(2 BE)
2.2
Stelle das Modell in einem geeigneten Koordinatensystem dar. Das Modell besitzt zwei Symmetrieebenen.
Gib für jede dieser Ebenen eine Gleichung an.
(5 BE)
2.3
In den Dachboden wird in einer Höhe von $2\,\text{m}$ gegenüber der Dachbodenfläche eine dazu parallele Decke eingezogen.
Stelle diesen Sachverhalt im vorhandenen Koordinatensystem dar.
Bestimme das Volumen des oberhalb der Decke entstandenen Raumes.
(8 BE)
2.4
Auf der Dachbodenfläche wird ein $3\,\text{m}$ langes Rohr so montiert, dass es die Dachfläche durchstößt. Der Montagepunkt ist im Modell $L(1\mid 5\mid 4).$ Die Dicke des Rohres soll vernachlässigt werden.
2.4.1
Bestimme wie weit das Rohr aus dem Dach ragt.
(4 BE)
2.4.2
Das obere Ende des Rohres soll einen Mindestabstand von $40\,\text{cm}$ zur Dachfläche besitzen.
Prüfe, ob diese Bedingung eingehalten wird.
(3 BE)
2.5
Der Hauseingang soll durch eine farbige Fläche gestaltet werden.
Diese Fläche wird durch einen Kreisbogen begrenzt, der durch folgende Punkte verläuft:
$P_1(4\mid 3\mid 0),$ $P_2(4\mid -3\mid 0)$ und $P_3(4\mid -2\mid 2).$
Berechne die maximale Höhe der farbigen Fläche.
(8 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Winkelgröße berechnen
Die südliche Dachfläche wird im Modell durch das Dreieck $FGK$ beschrieben, das in der Ebene $E$ mit der Gleichung $2y+z =16$ liegt. Ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist daher $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{0\\2\\1} $
Die Dachbodenfläche wird im Modell durch die Eckpunkte $E,$ $F,$ $G$ und $H$ bestimmt. Da diese dieselbe $z$-Koordinate besitzen, liegen alle Eckpunkte in der zur $xy$-Ebene parallelen Ebene $F$. Ein Normalenvektor von $F$ ist daher $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}.$
Die gesuchte Winkelgröße $\alpha$ ergibt sich über den Schnittwinkel der beiden Ebenen $E$ und $F$ mit der zugehörigen Formel:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n}_1 \circ \overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left| \overrightarrow{n}_2\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\2\\1} \circ \pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left|\pmatrix{0\\2\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{1}{\left|\sqrt{0^2+2^2+1^1} \right| \cdot 1}\\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}&\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 63,43^{\circ} \end{array}$
$ \alpha\approx 63,43^{\circ} $
Der Winkel zwischen der südlichen Dachfläche und der Dachbodenfläche ist ca. $63,43^{\circ}$ groß.
#neigungswinkel
2.2
$\blacktriangleright$  Modell im Koordinatensystem darstellen
Wahlteil B2
Abb. 1: Modell im Koordinatensystem
Wahlteil B2
Abb. 1: Modell im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$  Ebenengleichungen angeben
Anhand der Koordinaten der Eckpunkte des Modells lässt sich feststellen, dass es sich bei den beiden Symmetrieebenen um die $xz$-Ebene und die $yz$-Ebene handelt.
Entsprechende Gleichungen lauten:
$xy: \quad z = 0$ und $yz: \quad x = 0$
2.3
$\blacktriangleright$  Sachverhalt darstellen
Wahlteil B2
Abb. 2: Ergänzung der zur Dachbodenfläche parallelen Decke
Wahlteil B2
Abb. 2: Ergänzung der zur Dachbodenfläche parallelen Decke
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
Wahlteil B2
Abb. 3: Skizze
Wahlteil B2
Abb. 3: Skizze
1. Schritt: Volumen des Prismas berechnen
Die Grundfläche des Prismas ist ein gleichseitiges Dreieck, das senkrecht auf dem Rechteck steht, das die eingezogene Decke beschreibt. Das gesamte Dach besitzt eine Höhe von $4\,\text{m},$ was an den $z$-Koordinaten der entsprechenden Punkte im Modell abgelesen werden kann.
Das Dreieck $M'_{KF}M'_{KG}K$ besitzt daher eine Höhe von $2.$ Die Länge der Grundseite $\overline{M'_{KF}M'_{KG}}$ entspricht der Länge der Strecke $\overline{M'_{KF}M'_{KG}}.$
Da die eingezogene Decke die gesamte Dachhöhe halbiert, sind die entsprechenden Eckpunkte die Mittelpunkte der Strecken $\overline{KF}$ und $\overline{KG}.$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{OM_{KF}}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{0\\4\\8}+\pmatrix{4\\6\\4}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{2\\5\\6} \\[10pt] \overline{OM_{KG}}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\pmatrix{0\\4\\8}+\pmatrix{-4\\6\\4}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{-2\\5\\6} \\[10pt] \left|\overline{M'_{KF}M'_{KG}} \right|&=& \left|\pmatrix{-4\\0\\0} \right| \\[5pt] &=&\sqrt{(-4)^2+0^2+0^2} \\[5pt] &=&4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overline{OM_{KF}}&=& \pmatrix{2\\5\\6} \\[10pt] \overline{OM_{KG}}&=& \pmatrix{-2\\5\\6} \\[10pt] \left|\overline{M'_{KF}M'_{KG}} \right|&=& 4 \end{array}$
Das Volumen des Prismas ergibt sich mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} V_{P}&=& G\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4 \cdot 8\\[5pt] &=& 32 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &V_{P}\\[5pt] =& G\cdot h \\[5pt] =& \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 4 \cdot 8\\[5pt] =& 32 \end{array}$
2. Schritt: Volumen der Pyramiden berechnen
Eine der Pyramiden besitzt die rechteckige Grundfläche $M'_{KF}M_{KF}M_{KG}M'_{KG}$ und die Höhe $2.$ Eine Seite der Grundfläche ist $\overline{M_{KF}M_{KG}}$ mit der Länge $4.$
Da die Seitenfläche $M'_{KF}M'_{KG}K$ parallel zur $xz$-Ebene liegt, ergibt sich die zweite Seitenlänge der Grundfläche über die Differenz der $y$-Koordinaten von $K$ und $M_{KF}:$
$\left|M'_{KF}M_{KF}\right| = 1$
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \frac{1}{3}\cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 4\cdot 1 \cdot 2 \\[5pt] &=& \frac{8}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &V_{\text{Pyramide}}\\[5pt] =& \frac{1}{3}\cdot G \cdot h \\[5pt] =& \frac{1}{3}\cdot 4\cdot 1 \cdot 2 \\[5pt] =& \frac{8}{3} \end{array}$
Das Gesamtvolumen ergibt sich dann zu:
$\begin{array}[t]{rll} V&=&V_{\text{Prisma}}+ 2\cdot V_{\text{Pyramide}} \\[5pt] &=& 32+ 2\cdot \frac{8}{3} \\[5pt] &=& \frac{112}{3}\\[5pt] &\approx& 37,33 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &V \\[5pt] =&V_{\text{Prisma}}+ 2\cdot V_{\text{Pyramide}} \\[5pt] =& 32+ 2\cdot \frac{8}{3} \\[5pt] =& \frac{112}{3}\\[5pt] \approx& 37,33 \end{array}$
Der Raum, der oberhalb der Decke entstanden ist, hat ein Volumen von ca. $37,33\,\text{m}^3.$
#prisma#pyramide
2.4.1
$\blacktriangleright$  Länge des äußeren Rohrteils berechnen
Man kann davon ausgehen, dass das Rohr senkrecht zur Dachbodenfläche angebracht wird. Im Modell wird es daher durch ein Stück der Gerade $g$ mit folgender Gleichung dargestellt:
$\begin{array}[t]{rll} g: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OL}+t\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\5\\4}+t\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\5\\4+t} \\[5pt] \end{array}$
$ g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{1\\5\\4+t}$
Einsetzen in die Ebenengleichung der südlichen Dachfläche liefert:
$\begin{array}[t]{rll} E: \quad 2y+z &=& 16 \\[5pt] 2\cdot 5 + 4+t&=&16 \\[5pt] 14 +t&=&16 &\quad \scriptsize \mid\; -14\\[5pt] t&=&2 \end{array}$
$ t =2$
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts von Ebene und Gerade:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{1\\5\\4}+2\cdot \pmatrix{0\\0\\1} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\5\\6} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} = \pmatrix{1\\5\\6}$
Der Punkt, in dem das Rohr die südliche Dachfläche durchstößt wird im Modell durch $P(1\mid 5\mid 6)$ dargestellt.
$\begin{array}[t]{rll} \left| \overline{LP}\right| &=&\left|\pmatrix{0\\0\\2} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+2^2} \\[5pt] &=&2 \end{array}$
$ \left| \overline{LP}\right| = 2 $
Der Teil des Rohrs, der sich innerhalb des Dachraumes befindet, ist $2\,\text{m}$ lang. Das Rohr ist insgesamt $3\,\text{m}$ lang und ragt damit $1\,\text{m}$ aus dem Dach.
2.4.2
$\blacktriangleright$  Bedingung überprüfen
Das Rohr ragt mit einer Länge von $1\,\text{m}$ aus dem Dach. Das obere Ende des Rohrs kann daher durch den Punkt $R$ mit folgendem Ortsvektor dargestellt werden:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OR}&=& \overrightarrow{OP}+\frac{1}{2}\cdot \overrightarrow{LP} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\5\\6}+\frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\0\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{1\\5\\7} \end{array}$
$ \overrightarrow{OR}=\pmatrix{1\\5\\7}$
Der Abstand des Punkts $R$ zur Ebene $E$ kann mithilfe der Hesseschen Normalenform berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(E,R)&=& \dfrac{2y+z-16}{\sqrt{0^2+2^2+1^2}}\\[5pt] &=& \dfrac{2y+z-16}{\sqrt{5}}&\quad \scriptsize \mid\; y =5, z=7 \\[5pt] &=& \dfrac{2\cdot 5 +7-16}{\sqrt{5}} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{5}}\\[5pt] &\approx& 0,45 \end{array}$
$ d(E,R) \approx 0,45 $
Das obere Ende des Rohrs hat von der Dachfläche einen Abstand von ca. $45\,\text{cm}.$ Die Bedingung ist also erfüllt.
#hesseschenormalform
2.5
$\blacktriangleright$  Maximale Höhe berechnen
Der Kreis, auf dem der Kreisbogen liegt, liegt vollständig in der zur $yz$-Ebene parallelen Ebene mit der Gleichung $x=4,$ da alle drei gegebenen Punkte die $x$-Koordinaten $x=4$ haben und dies daher auch für alle Punkte auf der Kreislinie gelten muss.
Insbesondere gilt dies daher auch für den Mittelpunkt $M$ des Kreises. Die Darstellung der Kreislinie kann daher auf die $y$- und $z$-Koordinaten reduziert werden:
$K:\quad r^2 = (y-y_M)^2 + (z-z_M)^2 $
$ K: \, r^2 = … $
Einsetzen der Koordinaten von $P_1$ und $P_2$ liefert:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& r^2 &=& (3-y_M)^2+(0-z_M)^2 \\ \text{II}\quad& r^2 &=& (-3-y_M)^2+(0-z_M)^2 \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& r^2 &=& … \\ \text{II}\quad& r^2 &=& … \\ \end{array}$
Gleichsetzen von $\text{I}$ und $\text{II}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} r^2&=&r^2 \\[5pt] (3-y_M)^2+(0-z_M)^2 &=& (-3-y_M)^2+(0-z_M)^2 &\quad \scriptsize \mid\; -(0-z_M)^2 \\[5pt] (3-y_M)^2 &=& (-3-y_M)^2 \\[5pt] 9-6y_M+y_M^2 &=& 9 +6y_M +y_M^2&\quad \scriptsize \mid\; -9^2; -y_M^2\\[5pt] -6y_M&=&6y_M &\quad \scriptsize \mid\; :6\\[5pt] -y_M&=&y_M \\[5pt] \end{array}$
$ -y_M=y_M $
Diese Gleichung ist nur für $y_M =0$ erfüllt. Die $y$-Koordinate des Mittelpunkts $M$ lautet also $y_M=0.$ Diese kann nun gemeinsam mit den Koordinaten von $P_3$ in die Koordinatengleichung eingesetzt werden:
$\begin{array}[t]{rll} r^2&=& (-2-0)^2 + (2-z_M)^2 \\[5pt] &=& 4 +(2-z_M)^2 \end{array}$
$ r^2 = 4 +(2-z_M)^2 $
Gleichsetzen mit $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 4 +(2-z_M)^2&=& (3-y_M)^2+(0-z_M)^2 &\quad \scriptsize \mid\; y_M=0 \\[5pt] 4 +4-4z_M +z_M^2&=& 9+z_M^2 &\quad \scriptsize \mid\;- z_M^2 \\[5pt] 8-4z_M&=& 9&\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] -4z_M&=&1 &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] z_M&=&-\frac{1}{4} \end{array}$
$ z_M=-\frac{1}{4} $
Einsetzen in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad r^2&=& (3-y_M)^2+(0-z_M)^2 \\[5pt] &=&(3-0)^2+\left(0-\left(-\frac{1}{4} \right)\right)^2 \\[5pt] &=& 9 + \frac{1}{16} \\[5pt] &=& \frac{145}{16} \\[5pt] \end{array}$
$ r^2 =\frac{145}{16} $
Die Kreislinie lässt sich daher innerhalb der Ebene $x =4$ durch folgende Gleichung beschreiben:
$K:\quad \frac{145}{16} = y^2 +(z+\frac{1}{4})^2 $
Der höchste Punkt befindet sich direkt über dem Mittelpunkt, also für $y = 0:$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{145}{16} &=& 0^2 +\left(z+\frac{1}{4}\right)^2 \\[5pt] \frac{145}{16} &=&\left(z+\frac{1}{4}\right)^2 \\[5pt] \frac{145}{16} &=&z^2 + \frac{1}{2}z +\frac{1}{16} &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{145}{16} \\[5pt] 0&=&z^2 + \frac{1}{2}z - 9&\quad \scriptsize \mid\;pq\text{-Formel} \\[5pt] z_{1/2}&=& -\dfrac{ \frac{1}{2}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{ \frac{1}{2}}{2} \right)^2+9 } \\[5pt] &=& -\frac{1}{4}\pm \sqrt{\frac{145}{16}} \\[5pt] z_1&=& \dfrac{-1+\sqrt{145}}{4} \approx 2,76 \\[5pt] z_2&=& \dfrac{-1-\sqrt{145}}{4} \approx -3,26 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& \dfrac{-1+\sqrt{145}}{4} \\[5pt] &\approx& 2,76 \\[10pt] z_2&=& \dfrac{-1-\sqrt{145}}{4} \\[5pt] &\approx& -3,26 \end{array}$
Da das Haus und damit auch der Hauseingang im positiven Bereich des Modells dargestellt wird beträgt die maximale Höhe der farbigen Fläche ca. $2,76\,\text{m}.$
Bildnachweise [nach oben]
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