Wahlteil B2

B 2 Analytische Geometrie und Analysis

Gegeben ist elne dreiseitige Pyramide $ABCS$ mit den Eckpunkten $A(0\mid0\mid0)$ , $B(6\mid6\mid0)$ , $C(-6\mid6\mid0)$ und $S(0\mid3\mid4)$ .
Eine Schar von Ebenen $\varepsilon_{t}$ ist bestimmt durch die Gleichung
$\varepsilon_t$ : $\vec{x}=\pmatrix{0\\t\\0}+r\cdot\pmatrix{1\\0\\0}+s\cdot\pmatrix{0\\0\\1}$ mit $r, s, t\in \mathbb R$ und $0\lt t\lt 6.$

2.1

Stelle die Pyramide $ABCS$ unter Beachtung der Sichtbarkeit der Körperkanten in einem kartesischen Koordinatensystem dar.

3 BE

2.2

Beschreibe die Lage der Ebenen $\varepsilon_{t}$ bezüglich der Koordinatenachsen.
Gib eine Gleichung der Ebenen $\varepsilon_{t}$ in Koordinatenform an.

3 BE

2.3

Die Ebenen der Schar $\varepsilon_{t}$ schneiden die dreiseitige Pyramide. Die Schnittflächen heißen $A_{t}$

2.3.1

Gib die Anzahl der Eckpunkte der Schnittfläche in Abhängigkeit von $t$ an.

3 BE

2.3.2

Berechne die Koordinaten der Schnittpunkte der Fläche $A_{4}$ mit den Körperkanten der Pyramide.
Bestimme den lnhalt von $A_{4}$

8 BE

2.3.3

Weise nach, dass für $0\lt t\leq 3$ die Inhalte der Flächen $A_{1}$ mithilfe der Gleichung $A_{t}=\frac{4}{3}t^{2}$ berechnet werden können.

6 BE

2.4

Für jeden Wert von $t$ kann der Inhalt der Flächen $A_{t}$ mithilfe der Funktion $A(t)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{4}{3}t^{2} & \text{für} \ 0\lt t\leq 3\\ 4t^{2}+32 t-48 & \text{für}\ 3\lt t\lt 6 \end{array}\right.$
bestimmt werden.

2.4.1

Prüfe, ob $A(t)$ an der Stelle $t=3$ stetig ist.

2 BE

2.4.2

Es gibt Werte $t_b$ mit $3\lt t_b\lt 6$ , für die der Inhalt der Schnittfläche größer ist als der Inhalt jeder Schnittfläche für $t_a$ mit $0\lt t_a\lt 3$ .
Bestimme alle diese Werte $t_b$ .

5 BE

2.1

Grafische Darstellung eines geometrischen Problems mit Punkten A, B und C auf einem Koordinatensystem.

Abb. 1: Pyramide ABCS

2.2

$\epsilon_t$ verläuft parallel zur $x$ -Achse und parallel zur $z$ -Achse. Sie verläuft orthogonal zur $y$ -Achse und schneidet diese im Punkt $(0\mid t\mid 0).$
Ein Normalenvektor von $\epsilon_t$ ist daher $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\1\\0}.$

$\begin{array}[t]{rll} \epsilon_t:\quad y -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; (0\mid t\mid 0)\\[5pt] t -d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +d\\[5pt] t &=& d \end{array}$

Eine Gleichung von $\epsilon_t$ in Koordinatenform lautet also:

$\epsilon_t:\, y = t$

2.3.1

Für $t\lt 0$ und $t\gt 6$ schneidet die Ebene $\epsilon_t$ die Pyramide nicht.
Für $t= 0$ und $t=6$ schneidet die Ebene $\epsilon_t$ die Pyramide nur in jeweils einem Punkt.
Für $0\lt t \leq 3$ besitzt die Schnittfigur $A_t$ drei Eckpunkte.
Für $3\lt t \lt 6$ besitzt die Schnittfigur $A_t$ vier Eckpunkte.

2.3.2

$\epsilon_4:\, y = 4$

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{AB}$

$AB:\, \overrightarrow{x} = r\cdot \pmatrix{6\\6\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& r\cdot \pmatrix{6\\6\\0} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $r =\frac{2}{3}.$ Einsetzen liefert:

$\overrightarrow{OS_{AB}}= \pmatrix{4\\4\\0}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $A_4$ mit der Kante $\overline{AB}$ lauten $S_{AB}(4\mid 4\mid 0).$

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{AC}$

$AC:\, \overrightarrow{x} = s\cdot \pmatrix{-6\\6\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& s\cdot \pmatrix{-6\\6\\0} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $s =\frac{2}{3}.$ Einsetzen liefert:

$\overrightarrow{OS_{AB}}= \pmatrix{-4\\4\\0}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $A_4$ mit der Kante $\overline{AC}$ lauten $S_{AC}(-4\mid 4\mid 0).$

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{BC}$

$BC:\, \overrightarrow{x} = t\cdot \pmatrix{-12\\0\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& t\cdot \pmatrix{-12\\0\\0} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $4 = 0.$ Mit der Kante $\overline{BC}$ besitzt $A_t$ also keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{AS}$

$AS:\, \overrightarrow{x} = u\cdot \pmatrix{0\\3\\4}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& u\cdot \pmatrix{0\\3\\4} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $u =\frac{4}{3}.$ Da $u=\frac{4}{3} \gt 1$ ist, liegt der zugehörige Punkt nicht auf der Kante $\overline{AS}.$ Mit dieser Kante hat $A_4$ also ebenfalls keinen Schnittpunkt.

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{BS}$

$BS:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{6\\6\\0} + v\cdot \pmatrix{-6\\-3\\4}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& \pmatrix{6\\6\\0} + v\cdot \pmatrix{-6\\-3\\4} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $v = \frac{2}{3}.$

$\overrightarrow{OS_{BS}}= \pmatrix{2\\4\\ \frac{8}{3}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $A_4$ mit der Kante $\overline{BS}$ lauten $S_{BS}(2\mid 4\mid \frac{8}{3}).$

Schnittpunkt mit der Kante $\overline{CS}$

$CS:\, \overrightarrow{x} = \pmatrix{-6\\6\\0} + w\cdot \pmatrix{6\\-3\\4}$

$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{x\\ 4\\z} &=& \pmatrix{-6\\6\\0} + w\cdot \pmatrix{6\\-3\\4} \\[5pt] \end{array}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt $w = \frac{2}{3}.$

$\overrightarrow{OS_{CS}}=\pmatrix{-2\\4\\ \frac{8}{3}}$

Vollständige Lösung anzeigen

Die Koordinaten des Schnittpunkts von $A_4$ mit der Kante $\overline{BS}$ lauten $S_{CS}(-2\mid 4\mid \frac{8}{3}).$

Flächeninhalt

Die Seiten $\overline{S_{BS}S_{CS}}$ und $\overline{S_{AB}S_{AC}}$ verlaufen parallel zueinander. Bei dem Viereck $A_4$ handelt es sich daher um ein Trapez.

Die Höhe des Trapezes beträgt $h=\frac{8}{3}.$ Zudem gilt:

$\overline{S_{BC}S_{CS}} = 4$
$\overline{S_{AB}S_{AC}} = 8$

$A = \dfrac{8+4}{2}\cdot \frac{8}{3} =16$

Der Flächeninhalt von $A_4$ beträgt $16\,\text{FE}.$

2.3.3

Für $0\lt t \leq 3$ handelt es sich bei $A_t$ um ein Dreieck.

1. Schritt: Schnittpunkt mit $\overline{AB}$ bestimmen

$\pmatrix{x\\t\\z} = r\cdot\pmatrix{6\\6\\0}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt:

$\begin{array}[t]{rll} t &=& r\cdot 6 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] \frac{t}{6}&=& r \end{array}$

Einsetzen:

$\overrightarrow{OP_1} = \frac{t}{6} \cdot \pmatrix{6\\6\\0} = \pmatrix{t\\t\\0}.$

2. Schritt: Schnittpunkt mit $\overline{AC}$ bestimmen

$\pmatrix{x\\t\\z} = s\cdot \pmatrix{-6\\6\\0}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt auch hier $s= \frac{t}{6}.$
Einsetzen:

$\overrightarrow{OP_2} = \frac{t}{6} \cdot \pmatrix{-6\\6\\0} = \pmatrix{-t\\t\\0}.$

3. Schritt: Schnittpunkt mit $\overline{AS}$ bestimmen

$\pmatrix{x\\ t\\z} = u\cdot \pmatrix{0\\3\\4}$

Aus dem zweiten Eintrag folgt auch hier $u= \frac{t}{3}.$
Einsetzen:

$\overrightarrow{OP_3} = \frac{t}{3} \cdot \pmatrix{0\\3\\4} = \pmatrix{0\\t\\\frac{4}{3}t}.$

4. Schritt: Höhe und Grundseite bestimmen

Da die $z$ -Koordinaten von $P_1$ und $P_2$ Null sind, liegt $\overline{P_1P_2}$ in der $xy$ -Ebene.
Die Höhe des Dreiecks ergibt sich also aus der $z$ -Koordinate von $P_3:$ $h_{t} = \frac{4}{3}t.$
Für die Grundseite folgt mit dem Vektorbetrag:

$\begin{array}[t]{rll} g_t &=& \left| \overrightarrow{P_1P_2}\right| \\[5pt] &=& 2t \\[5pt] \end{array}$

5. Schritt: Flächeninhalt bestimmen

$\begin{array}[t]{rll} A_t &=& \frac{1}{2}\cdot h_t \cdot g_t \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}t \cdot 2t \\[5pt] &=& \frac{4}{3}t^2 \end{array}$

2.4.1

$\begin{array}[t]{rll} \frac{4}{3}\cdot 3^2 &=& 12 \\[10pt] -4\cdot 3^2 +32\cdot 3 -48 &=& 12 \end{array}$

$A(t)$ ist an der Stelle $t=3$ stetig, da die Teilfunktionen jeweils auf ihrem Definitionsbereich stetig sind und an der Übergangsstelle den gleichen Funktionswert liefer.

2.4.2