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Wahlteil A3

Aufgaben
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A 3 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=(-2 x+1)\cdot \mathrm e^{x}$ mit $x\in \mathbb{R}.$ Der Graph von $f$ ist $G$.
3.1
Berechne die Nullstelle von $f$. Die Ableitung von $f$ ist $f'(x)=(-2 x-1)\cdot \mathrm e^{x}$
Bestimme durch Berechnung die Koordinaten des lokalen Extrempunktes von $G$.
Weise die Art des Extremums nach.
Beschreibe das Monotonieverhalten von $G$.
Zeichne $G$ mindestens im Intervall $-6\leq x\leq 1$
11 BE
3.2
Im Punkt $P(-4\mid f(-4))$ wird die Tangente $t$ an $C$ gelegt.
Bestimme eine Gleichung für $t$.
Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Tangente $t$ die $x$-Achse schneidet.
5 BE
3.3
Gegeben ist eine Funktion $F$ mit der Gleichung $F(x)=(-2 x+3) \cdot \mathrm e^{x}$ mit $x\in \mathrm R.$
3.3.1
Weise nach, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Der Graph $G$, die Koordinatenachsen und die Gerade $x=-4$ begrenzen eine Fläche.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
4 BE
3.3.2
Zeige: Der Graph der Stammfunktion $F$ und der Graph $G$ besitzen keine gemeinsamen Punkte.
3 BE
3.4
Betrachtet wird nun eine Funktionenschar $f_{a}$ mit der Gleichung $f_{a}(x)=(a\cdot x-1)\cdot \mathrm e^{x}$ mit $x, a\in \mathrm R, a>0.$ Die Graphen sind $G_{a}$.
3.4.1
Weise nach, dass die Funktion $f_{a}'(x)=(a\cdot x+a-1)\cdot \mathrm e^{x}$ die Ableitung von $f_{a}$ ist.
2 BE
3.4.2
Zeige: Alle an der Stelle $x=-1$ an $G_{a}$ gelegten Tangenten verlaufen parallel zueinander.
2 BE
3.4.3
Jeder Graph $G_{a}$ besitzt genau einen lokalen Tiefpunkt.
Berechne die Koordinaten dieses Tiefpunktes in Abhängigkeit von $a.$
3 BE
3.4.4
Begründe, dass die Tiefpunkte von $G_{a}$ stets rechts der Geraden $x=-1$ liegen.
2 BE
3.4.5
Berechne den Wert von $a$, für den die $y$-Koordinate des Tiefpunktes von $G_{a}$ gleich $-a$ ist.
2 BE
#monotonie#funktionenschar#extrempunkt#nullstelle#tangente
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Lösungen
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3.1
Nullstelle
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] (-2x+1)\cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\mathrm e^x \neq 0\\[5pt] -2x +1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] -2x &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] x &=& 0,5 \end{array}$
$ x=0,5 $
Die Nullstelle von $f$ ist $x=0,5.$
Extrempunkt
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] (-2x-1)\cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] -2x -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] -2x &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x &=& -0,5 \end{array}$
$ x=-0,5 $
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& -2\cdot \mathrm e^x + (-2x-1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (-2-2x-1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=&(-2x-3)\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f''(-0,5) &=& (-2\cdot (-0,5) -3)\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& -2\cdot \mathrm e^{-0,5} < 0\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x) &=& (-2x-3)\cdot \mathrm e^x \\[10pt] f''(-0,5) &=& -2\cdot \mathrm e^{-0,5} < 0\\[5pt] \end{array}$
Es handelt sich also um ein lokales Maximum.
3. Schritt: y-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(-0,5)&=& (-2\cdot (-0,5)+1)\cdot \mathrm e^{-0,5} \\[5pt] &=& 2\cdot \mathrm e^{-0,5} \end{array}$
$G$ besitzt einen lokalen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(-0,5\mid 2\mathrm e^{-0,5}).$
Monotonie
Auf dem Intervall $]-\infty; -0,5]$ ist $G$ monoton steigend. Auf dem Intervall $[-0,5;\infty[$ ist $G$ monoton fallend.
Abb. 1: $G$ für $-6\leq x \leq 1$
3.2
Tangentengleichung
$\begin{array}[t]{rll} m_t &=& f'(-4) \\[5pt] &=& (-2\cdot (-4) -1)\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] &=& 7\mathrm e^{-4}\\[10pt] f(-4) &=& (-2\cdot (-4) +1)\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] &=& 9\mathrm e^{-4}\\[5pt] \end{array}$
Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} t(x) &=& m_t \cdot x +b_t \\[5pt] t(x) &=& 7\cdot \mathrm e^{-4} \cdot x +b_t &\quad \scriptsize \mid\;\left(-4\mid 9\mathrm e^{-4}\right) \\[5pt] 9\mathrm e^{-4} &=& 7\cdot \mathrm e^{-4} \cdot (-4) +b_t \\[5pt] 9\mathrm e^{-4} &=& -28\cdot \mathrm e^{-4} +b_t &\quad \scriptsize \mid\;+28\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] 37\mathrm e^{-4} &=& b_t \end{array}$
$ b_t =37\mathrm e^{-4} $
Eine Gleichung der Tangente an $G$ im Punkt $P(-4\mid f(-4))$ lautet:
$t:\, y= 7\mathrm e^{-4} x + 37\mathrm e^{-4} $
Winkel
$\begin{array}[t]{rll} \tan \alpha &=& m_t \\[5pt] \tan \alpha &=& 7\mathrm e^{-4} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 7,3^{\circ} \end{array}$
Der Winkel, unter dem die Tangente die $x$-Achse schneidet, ist ca. $7,3^{\circ}$ groß.
3.3.1
Stammfunktion
Mit der Produkteregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& (-2x+3)\cdot \mathrm e^x \\[10pt] F'(x) &=& -2\cdot \mathrm e^x + (-2x+3)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (-2-2x+3)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (-2x+1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& f(x) \\[5pt] \end{array}$
$ F'(x)=f(x) $
Da $F'(x)=f(x)$ gilt, ist $F$ eine Stammfunktion von $f.$
Flächeninhalt
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{-4}^{0}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& F(0)-F(-4) \\[5pt] &=& (-2\cdot 0+3)\cdot \mathrm e^0 - (-2\cdot (-4)+3)\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] &=& 3 - 11\cdot \mathrm e^{-4} \\[5pt] \end{array}$
$ A=3 - 11\cdot \mathrm e^{-4} $
Der Inhalt der beschriebenen Fläche beträgt $3 - 11\cdot \mathrm e^{-4} \,\text{FE}\approx 2,80\,\text{FE}.$
3.3.2
$\begin{array}[t]{rll} F(x) &=& f(x) \\[5pt] (-2x+3)\cdot \mathrm e^x &=& (-2x+1)\cdot \mathrm e^x &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \neq 0 \\[5pt] -2x+3 &=& -2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; +2x\\[5pt] 3 &=& 1 \end{array}$
$ 3 =1 $
Die Gleichung $F(x)=f(x)$ besitzt also keine Lösung. Die beiden Graphen von $F$ und $f$ haben demnach keine gemeinsamen Punkte.
3.4.1
Mit der Produktregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x) &=& (a\cdot x -1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] f_a'(x) &=& a\cdot \mathrm e^x +(a\cdot x -1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (a+a\cdot x -1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] &=& (a\cdot x+a -1)\cdot \mathrm e^x \\[5pt] \end{array}$
$ f_a'(x) = … $
3.4.2
$\begin{array}[t]{rll} m_{t_a} &=& f_a'(-1) \\[5pt] &=&(a\cdot (-1)+a -1)\cdot \mathrm e^{-1} \\[5pt] &=& -\mathrm e^{-1} \end{array}$
Die Steigung der Tangente an den Graphen $G_a$ an der Stelle $x=-1$ ist unabhängig von $a$ und damit für jeden Graphen $G_a$ gleich. Alle Tangenten an $G_a$ an der Stelle $x=-1$ verlaufen daher parallel.
3.4.3
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für lokale Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f_a'(x) &=& 0 \\[5pt] (a\cdot x+a -1)\cdot \mathrm e^x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^x \\[5pt] a\cdot x+a -1 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1; -a \\[5pt] a\cdot x &=& 1-a &\quad \scriptsize \mid\; :a\neq 0 \\[5pt] x &=& \frac{1-a}{a} \end{array}$
$ x=\frac{1-a}{a} $
Da in der Aufgabenstellung angegeben ist, dass jeder Graph $G_a$ genau einen lokalen Tiefpunkt besitzt, entfällt die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums.
2. Schritt: y-Koordinate berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a\left( \frac{1-a}{a}\right) &=& (a\cdot \frac{1-a}{a} -1)\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} \\[5pt] &=& -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} \\[5pt] \end{array}$
$ f_a\left( \frac{1-a}{a}\right) = -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} $
Die Koordinaten des lokalen Tiefpunkts von $G_a$ lauten $T_a\left(\frac{1-a}{a} \mid -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} \right).$
3.4.4
$\begin{array}[t]{rll} x_T &>& -1 \\[5pt] \frac{1-a}{a} &>& -1 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot a > 0 \\[5pt] 1-a &> & -a &\quad \scriptsize \mid\;+a \\[5pt] 1 &>& 0 \end{array}$
$ … 1> 0 $
Dies ist eine wahre Aussage. Die $x$-Koordinate des des lokalen Tiefpunkts von $G_a$ ist also immer größer als $-1$ und damit liegt der Tiefpunkt immer rechts der Geraden $x=-1.$
3.4.5
$\begin{array}[t]{rll} y_T &=& -a \\[5pt] -a\cdot \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} &=& -a &\quad \scriptsize \mid\; :(-a)\neq 0 \\[5pt] \mathrm e^{\frac{1-a}{a}} &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \frac{1-a}{a} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot a \\[5pt] 1-a &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +a \\[5pt] 1&=& a \end{array}$
$ a=1 $
Für $a=1$ ist die $y$-Koordinate des Tiefpunkts von $G_a$ gleich $-a.$
#produktregel#integral
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