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Wahlteil A1

Aufgaben
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Analysis

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=x^4 - 8x^2 +7$ mit $x\in\mathbb{R}$.
Der Graph von $f$ ist $G$.
#ganzrationalefunktion#graph
1.1
Nenne die Art der Symmetrie von $G$. Begründe.
Ermittle die Koordinaten der Schnittpunkte von $G$ mit den Koordinatenachsen.
Berechne die Koordinaten der Extrem- und der Wendepunkte von $G$.
Weise die Art der Extrema und die Existenz der Wendepunkte nach.
Gib die benötigten Ableitungsfunktionen an.
#symmetrie#schnittpunkt#extrempunkt#wendepunkt#ableitung
1.2
Skizziere $G$ im Intervall $-2,85\leq x\leq 2,85$ in einem geeigneten Koordinatensystem.
#graph#kartesischeskoordinatensystem#intervall
1.3
Bestimme eine Gleichung der Tangenten $t$ an $G$ im Punkt $P(1\mid 0)$.
Zeichne $t$ in das Koordinatensystem.
Es existieren weitere Stellen, an denen jeweils die Tangente an $G$ parallel zu $t$ verläuft. Gib diese Stellen näherungsweise an.
#parallel#tangente#kartesischeskoordinatensystem
1.4
Der Graph einer quadratischen Funktion $p$ verläuft durch die Punkte $P_1(0\mid7)$, $P_2(-1\mid0)$ und $P_3(1\mid 0)$.
Bestimme eine Gleichung für $p$.
#quadratischefunktion#gleichung
1.5
Im Intervall $-1\leq x\leq 1$ wird die Funktion $q$ mit $q(x)=-7x^2 + 7$ mit $x\in\mathbb{R}$ als Näherungsfunktion für $f$ verwendet.
Skizziere den Graphen von $q$ im Koordinatensystem aus Aufgabe 1.2.
Bestimme die Stellen $x_P$, an denen die Differenz $q(x_P)-f(x_P)$ maximal wird.
Gib die maximale Differenz an.
#graph#kartesischeskoordinatensystem
1.6
Betrachtet wird die Funktionsschar $f_a$ mit der Gleichung
$f_a(x)=x^4-8x^2+a$ mit $x\in\mathbb{R}, a\in\mathbb{R}, 0<a<7$.
Für jeden Wert von $a$ begrenzen der Graph von $f_a$, die $x-$Achse und die Geraden $x=0$ und $x=1$ zwei Teilflächen.
Bestimme den Wert von $a$ so, dass die Inhalte der beiden Teilflächen übereinstimmen.

(35P)
#funktionenschar
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Symmetrie bestimmen
Der Graph einer Funktion kann verschiedene Symmetrien aufweisen. Er kann zum Beispiel punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann die Art der Symmetrie an den Exponenten abgelesen werden.
$\blacktriangleright$  Schnittpunktkoordinaten bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen bestimmen. Um die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu bestimmen, muss du den Funktionsterm gleich Null setzen. Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse kannst du berechnen, indem du Null in den Funktionsterm einsetzt.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrema berechnen
Jetzt sollen die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen berechnnet werden. Dabei gibt es jeweils eine notwendige Bedingung, die für die Existenz einer solchen Stelle erfüllt sein muss. Die Art der Stelle ergibt sich dann mit der hinreichenden Bedingung (z.B. Hoch- oder Tiefpunkt).
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist $f'(x)=0$ und die hinreichende Bedingung $f''(x)\neq0$.
Für eine Wendestelle lautet die notwendige Bedingung $f''(x)=0$ und die hinreichende Bedingung $f'''(x)\neq0$. Du musst also für diesen Aufgabenteil den Funktionsterm drei mal ableiten.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Das Vorgehen und die Bedingungen bei den Wendepunkten sind analog zu den Extrempunkten, nur dass alles eine Ableitungsebene höher stattfindet. Überprüfe also die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$ und weise die Wendestelle mit der hinreichenden Bedingung $f'''(x)\neq0$ nach.
1.2
$\blacktriangleright$  $G$ skizzieren
Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen du schon bestimmt hast, um ihn zu skizzieren. Verbinde dann diese Punkte und achte darauf, dass es sich um ein Polynom vierten Grades handelt.
1.3
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente hat die Form $y=mx+c$. $m$ gibt dabei die Steigung und $c$ den $y$-Achsen-Abschnitt an.
Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt, kannst du damit die Steigung an der Stelle $x=1$ bestimmen. Dann kannst du die Steigung und einen bekannten Punkt auf der Tangente einsetzen, um $c$ zu bestimmen.
$\blacktriangleright$  Stellen mit gleicher Steigung bestimmen
Es ist nach weiteren Stellen von $f$ gefragt, an denen die Tangente die gleiche Steigung wie am Punkt $(1\mid0)$ hat. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen angibt, muss also die Ableitung den Wert der Steigung annehmen. Die Steigung am Punkt $(1\mid0)$ ist, wie gerade bestimmt, $-12$.
Setze die erste Ableitung gleich $-12$ und löse nach $x$. Dabei musst du eine Polynomdivision durchführen.
1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung für $p$ bestimmen
Du hast in der Aufgabenstellung den Hinweis gegeben, dass die Gleichung für $p$ eine quadratische Funktion sein muss. Diese hat die Form $p(x)=ax^{2}+bx+c$. Nun kannst du die drei gegebenen Punkte einsetzen und so die Koeffizienten bestimmen.
1.5
$\blacktriangleright$  Graph von $q$ skizzieren
Du sollst den Graph von $q$ skizzieren. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, muss der Graph eine Parabel beschreiben. Wenn du zum Beispiel $x=0$ und $x=\pm1$ einsetzt, kannst du drei Punkte auf dem Graph berechnen und diese dann parabelförmig verbinden.
$\blacktriangleright$  Maximale Differenz bestimmen
Die Differenz der beiden Funktionen $q(x)$ und $f(x)$ berschreibt wieder eine Funktion $d(x)$. Das heißt, du kannst $d(x)$ nach Maximalstellen untersuchen, um die maximale Differenz zu berechnen. Der Funktionsterm ist, wie angegeben, $q(x)-f(x)$.
1.6
$\blacktriangleright$  Wert von $a$ bestimmen
Die Funktionenschar $f_{a}$ hat für jedes $a$ einen anderen Graphen. Du sollst nun das $a$ bestimmen, für das dieser Graph im Intervall von $0$ bis $1$ zwei gleich große Teilflächen über- und unterhalb der $x$-Achse mit der $x$-Achse einschließt. Den Flächeninhalt zwischen einem Graph und der $x$-Achse berechnest du mit dem Integral. Da ein Teil des Integrals unter der $x$-Achse liegt und der andere darüber, heben sich beide Flächeninhalte in einer Integralfunktion von $0$ bis $1$ auf und der gesamte Flächeninhalt muss $0$ sein.
Wahlteil A1
Abb. 1: Integral über $f_{a}$ von $x=0$ bis $x=1$
Wahlteil A1
Abb. 1: Integral über $f_{a}$ von $x=0$ bis $x=1$
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Symmetrie bestimmen
Der Graph einer Funktion kann verschiedene Symmetrien aufweisen. Er kann zum Beispiel punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur $y$-Achse sein. Bei ganzrationalen Funktionen kann die Art der Symmetrie an den Exponenten abgelesen werden.
Kommen nur gerade Exponenten vor, ist der Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse. Dies ist bei $f$ der Fall.
$\blacktriangleright$  Schnittpunktkoordinaten bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen bestimmen. Um die Koordinaten der Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu bestimmen, muss du den Funktionsterm gleich Null setzen. Die Koordinaten des Schnittpunkts mit der $y$-Achse kannst du berechnen, indem du Null in den Funktionsterm einsetzt.
Schnittpunkte mit der $x$-Achse:
$\begin{array}[t]{rll} x^{4}-8x^{2}+7&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Substitution mit } x^{2}=z \\[5pt] z^{2}-8z+7&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Anwenden der abc-Formel}\\[5pt] z_{1\mid 2}&=& \dfrac{8\pm\sqrt{8^{2}-4\cdot1\cdot7}}{2\cdot1} &\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
$z_{1}=7 \rightarrow x_{1 , 2}=\pm\sqrt{7} $
$z_{2}=1 \rightarrow x_{3 , 4}=\pm 1$
$ x_{1 , 2}=\pm\sqrt{7}\text{, } x_{3 , 4}=\pm 1 $
Schnittpunkte mit der y-Achse:
$f(0) = 0^{4}-8\cdot0^{2} +7 = 7$
Die Schnittpunkte mit der $x$-Achse liegen also bei $\left(\pm\sqrt{7}\mid0\right)$ und $\left(\pm1\mid0\right)$. Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse liegt bei $\left(0\mid7\right)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrema berechnen
Jetzt sollen die Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte des Graphen berechnnet werden. Dabei gibt es jeweils eine notwendige Bedingung, die für die Existenz einer solchen Stelle erfüllt sein muss. Die Art der Stelle ergibt sich dann mit der hinreichenden Bedingung (z.B. Hoch- oder Tiefpunkt).
Die notwendige Bedingung für eine Extremstelle ist $f'(x)=0$ und die hinreichende Bedingung $f''(x)\neq0$.
Für eine Wendestelle lautet die notwendige Bedingung $f''(x)=0$ und die hinreichende Bedingung $f'''(x)\neq0$. Du musst also für diesen Aufgabenteil den Funktionsterm drei mal ableiten.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& x^{4}-8x^{2}+7 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'(x)&=& 4x^{3}-16x &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(x)&=& 12x^{2}-16 &\quad \scriptsize \\[5pt] f'''(x)&=& 24x &\quad \scriptsize\\[5pt] \end{array}$
Fordere nun $f'(x)\stackrel{!}{=}0$. Damit überprüfst du die notwendige Bedingung für eine Extremstelle von $f$.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 4x^{3}-16x &\quad \scriptsize\\[5pt] 0 &=& x\cdot (4x^{2}-16)&\quad \scriptsize \mid\; \text{Produktregel: }x_{1}=0\\[5pt] 0 &=& 4x^{2}-16&\quad \scriptsize \\[5pt] x^{2} &=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{2,3} &=& \pm2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ x_{1}=0\text{, }x_{2,3}=\pm2 $
Setze die erhaltenen $x$ in die zweite Ableitung ein:
$\begin{array}[t]{rll} f''(0)&=& -16 &<& 0 \rightarrow \text{Maximalstelle} &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(2)&=& 32 &>& 0 \rightarrow \text{Minimalstelle} &\quad \scriptsize \\[5pt] f''(-2)&=& 32 &>& 0 \rightarrow \text{Minimalstelle} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ f''(x_{1,2,3})\neq0 $
Setzt du die erhaltenen $x$ in den Funktionsterm $f$ ein, bekommst du die Koordinaten der Extrempunkte mit $H_{1}(0\mid7)$, $T_{1}(2\mid-9)$ und $T_{2}(-2\mid-9)$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Wendepunkte berechnen
Das Vorgehen und die Bedingungen bei den Wendepunkten sind analog zu den Extrempunkten, nur dass alles eine Ableitungsebene höher stattfindet.
Überprüfe also zunächst die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$ und weise die Wendestelle mit der hinreichenden Bedingung $f'''(x)\neq0$ nach.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 12x^{2}-16 &\quad \scriptsize \\[5pt] x^{2} &=& \dfrac{4}{3} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2} &=& \pm\sqrt{\dfrac{4}{3}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Hinreichende Bedingung:
$\begin{array}[t]{rll} f'''\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)&\approx 27,71&>& 0 \rightarrow \text{Wendestelle} &\quad \scriptsize \\[5pt] f'''\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)&\approx -27,71 &<& 0 \rightarrow \text{Wendestelle} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ f'''(x_{1,2})\neq 0 $
Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W_{1}\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\mid-\frac{17}{9}\right)$ und $W_{2}\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\mid-\frac{17}{9}\right)$.
#extrempunkt#symmetrie#wendepunkt#ableitung#schnittpunkt
1.2
$\blacktriangleright$  $G$ skizzieren
Überlege dir, welche Punkte auf dem Graphen du schon bestimmt hast, um ihn zu skizzieren. Verbinde dann diese Punkte und achte darauf, dass es sich um ein Polynom vierten Grades handelt.
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph von $f$ im Intervall $-2,85\leq x\leq2,85$
Wahlteil A1
Abb. 1: Graph von $f$ im Intervall $-2,85\leq x\leq2,85$
#intervall#kartesischeskoordinatensystem#graph#polynomfunktion
1.3
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
Die Gleichung einer Tangente hat die Form $y=mx+c$. $m$ gibt dabei die Steigung und $c$ den $y$-Achsen-Abschnitt an.
Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen von $f$ beschreibt, kannst du damit die Steigung an der Stelle $x=1$ bestimmen. Dann kannst du die Steigung und einen bekannten Punkt auf der Tangente einsetzen, um $c$ zu bestimmen.
$f'(1) = -12 = m$
Jetzt kannst du $m$ und den die Koordinaten des Punkts $P$ in die Tangentengleichung einsetzen und nach $c$ auflösen.
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& -12\cdot1 + c &\quad \scriptsize \\[5pt] c &=& 12 \end{array}$
Also ist $t: y=-12x+12$.
Die Tangente kannst du zeichnen, indem du zwei Punkte auf der Tangente bestimmst und durch diese eine Gerade zeichnest. Zum Beispiel erhältst du mit $x=0$ und $x=1$ die Punkte $(0\mid12)$ und $(1\mid0)$.
Wahlteil A1
Abb. 2: Graph von $f$ mit Tangente $t$
Wahlteil A1
Abb. 2: Graph von $f$ mit Tangente $t$
$\blacktriangleright$  Stellen mit gleicher Steigung bestimmen
Es ist nach weiteren Stellen von $f$ gefragt, an denen die Tangente die gleiche Steigung wie am Punkt $(1\mid0)$ hat. Da die erste Ableitung die Steigung des Graphen angibt, muss also die Ableitung den Wert der Steigung annehmen. Die Steigung am Punkt $(1\mid0)$ ist, wie gerade bestimmt, $-12$.
Setze die erste Ableitung gleich $-12$ und löse nach $x$. Dabei musst du eine Polynomdivision durchführen.
$\begin{array}[t]{rll} -12 &=& 4x^{3}-16x &\quad \scriptsize \\[5pt] 0 &=& 4x^{3}-16x+12 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da aus dem ersten Aufgabenteil schon $x_{1}=0$ folgt, sieht die Division folgendermaßen aus:
$\begin{array}[t]{rll} (4x^{3}& +0x^{2}& -16x& +12):(x-1)&=& 4x^{2}+4x-12 & \\[5pt] -(4x^{3}& -4x^{2})& \\ & +4x^{2}& -16x&\\ & -(4x^{2}& -4x)&\\ && -12x& +12&\\ && -(-12x& +12)& \\ &&& 0\\ \end{array}$
$ \rightarrow 4x^{2}+4x-12 $
Die so entstandene quadratische Gleichung kannst du zum Beispiel mit der $abc$-Formel lösen.
$4x^{2}+4x-12=0$
$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot4\cdot(-12)}}{2\cdot8}$
$x_{1}=\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\approx1,303$
$x_{2}=-\dfrac{-1+\sqrt{13}}{2}\approx2,303$
An den Stellen $x_{1}\approx1,303$ und $x_{2}\approx2,303$ hat der Graph von $f$ also die selbe Steigung wie bei $x=1$.
#tangente#nullstelle#steigung
1.4
$\blacktriangleright$  Gleichung für $p$ bestimmen
Du hast in der Aufgabenstellung den Hinweis gegeben, dass die Gleichung für $p$ eine quadratische Funktion sein muss. Diese hat die Form $p(x)=ax^{2}+bx+c$. Nun kannst du die drei gegebenen Punkte einsetzen und so die Koeffizienten bestimmen.
1. Schritt: $P_{1}(0\mid7)$ einsetzen
$a\cdot0^{2}+b\cdot0+c=7$
$c=7$
2. Schritt: $P_{2}(-1\mid0)$ einsetzen
$a\cdot(-1)^{2}+b\cdot(-1)+7=0$
$a=b-7$
3. Schritt: $P_{3}(1\mid0)$ einsetzen
$(b-7)\cdot1^{2}+b\cdot1+7=0$
$b=0$
Eine Gleichung für $p$ ist also $p(x)=-7x^{2}+7$.
#gleichung#quadratischefunktion
1.5
$\blacktriangleright$  Graph von $q$ skizzieren
Du sollst den Graph von $q$ skizzieren. Da es sich um eine quadratische Funktion handelt, muss der Graph eine Parabel beschreiben. Wenn du zum Beispiel $x=0$ und $x=\pm1$ einsetzt, kannst du drei Punkte auf dem Graph berechnen und diese dann parabelförmig verbinden.
Wahlteil A1
Abb. 3: Graph von $q$ und Graph von $f$
Wahlteil A1
Abb. 3: Graph von $q$ und Graph von $f$
$\blacktriangleright$  Maximale Differenz bestimmen
Die Differenz der beiden Funktionen $q(x)$ und $f(x)$ berschreibt wieder eine Funktion $d(x)$. Das heißt, du kannst $d(x)$ nach Maximalstellen untersuchen, um die maximale Differenz zu berechnen. Der Funktionsterm ist, wie angegeben, $q(x)-f(x)$.
$\begin{array}[t]{rll} q(x)-f(x)&=& (-7x^{2}+7)-(x^{4}-8x^{2}+7) &\quad \scriptsize \\[5pt] d(x)&=& -x^{4}+x^{2} \end{array}$
$ d(x)= -x^{4}+x^{2} $
Um Maxima zu finden, setze die Ableitung von $d$ gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} d'(x)&=&-4x^{3}+2x &\stackrel{!}{=} 0 \\[5pt] x_{1}&=& 0 &x_{2,3}=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}} \end{array}$
An der Stelle $x_{1}=0$ ist $d(x)$ Null. Damit kann die Differenz dort nicht maximal sein. Setze also noch $x_{2,3}$ in $d(x)$ ein.
$\begin{array}[t]{rll} d\left(\pm\frac{1}{2}\right)&=& -\left(\pm\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\pm\frac{1}{2}\right)^{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{3}{16} \end{array}$
Somit ist die maximale Differenz von $q$ und $f$ im Intervall $-1\leq x\leq1$ ist $\frac{3}{16}$ bei $x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}$.
#kartesischeskoordinatensystem#graph
1.6
$\blacktriangleright$  Wert von $a$ bestimmen
Die Funktionenschar $f_{a}$ hat für jedes $a$ einen anderen Graphen. Du sollst nun das $a$ bestimmen, für das dieser Graph im Intervall von $0$ bis $1$ zwei gleich große Teilflächen über- und unterhalb der $x$-Achse mit der $x$-Achse einschließt. Den Flächeninhalt zwischen einem Graph und der $x$-Achse berechnest du mit dem Integral. Da ein Teil des Integrals unter der $x$-Achse liegt und der andere darüber, heben sich beide Flächeninhalte in einer Integralfunktion von $0$ bis $1$ auf und der gesamte Flächeninhalt muss $0$ sein.
Wahlteil A1
Abb. 4: Integral über $f_{a}$ von $x=0$ bis $x=1$
Wahlteil A1
Abb. 4: Integral über $f_{a}$ von $x=0$ bis $x=1$
Es gilt also:
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{1}f_{a}(x)\;\mathrm dx &=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \left[F_{a}(x)\right]_{0}^{1}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Stammfunktion bilden}\\[5pt] \left[\frac{1}{5}x^{5}-\frac{8}{3}x^{3}+ax\right]_{0}^{1}&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;\text{Grenzen einsetzen}\\[5pt] \frac{1}{5}1^{5}-\frac{8}{3}1^{3}+a\cdot1&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Zusammenfassen und nach $a$ auflösen} \\[5pt] a&=&\dfrac{37}{15} \end{array}$
$ a=\dfrac{37}{15} $
Die beiden Teilflächen sind gleich groß, wenn für die Schar $a=\frac{37}{15}$ gilt.
#funktionenschar
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