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Pflichtaufgabe A0

Aufgaben
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1 Analysis

Gegeben sind die Graphen der Funktionen $f_1(x) = -\frac{1}{2}x^2+x+\frac{7}{2},$ $f_2(x)= \sqrt{2x+3},$ $f_3(x)=\mathrm e^{2x}$ und $f_4(x) = 2\cdot \sin (x).$
Graph B
Abb. 2: Graph B
Graph B
Abb. 2: Graph B
Graph D
Abb. 4: Graph D
Graph D
Abb. 4: Graph D
1.1
Ordne jedem Graphen eine der gegebenen Funktionsgleichungen zu. Begründe deine Entscheidung jeweils mit einer Eigenschaft der Funktion bzw. ihres Graphen.
FunktionAbbildungBegründung
$f_1$
$f_2$
$f_3$
$f_4$
Funktion Abbildung Begründung
$f_1$
$f_2$
$f_3$
$f_4$
(4 BE)
1.2
Gib den Definitionsbereich der Funktion $f_2$ an.
(1 BE)
1.3
Im Punkt $(1\mid f_3(1))$ wird an den Graphen von $f_3$ eine Tangente gelegt.
Berechne den Anstieg der Tangente.
(3 BE)
1.4
Der Graph von $f_4$ und die $x$-Achse begrenzen für $0\leq x \leq \pi$ eine Fläche vollständig.
Berechne den Inhalt dieser Fläche.
(2 BE)
#definitionsbereich#tangente

2 Analytische Geometrie

2.1
(2 BE)
2.2
Gegeben sind eine Ebene mit der Gleichung $\epsilon:\, 3x-4y = -6$ und ein Punkt $S(5\mid 5\mid 5).$
2.2.1
Die Gerade $g$ verläuft durch $S$ senkrecht zu $\epsilon.$ Stelle eine Gleichung für $g$ auf.
(X BE)
2.2.2
Gib eine Gleichung einer Ebene an, die mit $\epsilon$ keinen Punkt gemeinsam hat und zu $\epsilon$ parallel verläuft.
(1 BE)

3 Stochastik

Ein Tourist besucht eine Ferieninsel.
3.1
Von dieser Ferieninsel sind folgende Wetterregeln bekannt:
  • Wenn die Sonne an einem Tag scheint, wird sie mit $60\,\%$ Wahrscheinlichkeit auch am nächsten Tag scheinen.
  • Wenn es an einem Tag regnet, scheint die Sonne am nächsten Tag mit $80\,\%$ Wahrscheinlichkeit.
Der Tourist trifft am Freitag ein und es regnet.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit für Sonnenschein am darauf folgenden Sonntag.
Stelle den Sachverhalt dazu in einem Baumdiagramm dar.
(3 BE)
3.2
Erfahrungsgemäß reisen ein Drittel aller Touristen mit dem Flugzeug und die übrigen mit dem Schiff auf der vielbesuchten Insel an. Vier Touristen werden zufällig und nach dem genutzten Verkehrsmittel gefragt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dabei keiner der befragten Touristen mit dem Flugzeug angereist ist.
(2 BE)
#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
FunktionAbbildungBegründung
$f_1$DBei $f_1$ handelt es sich um eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Der zugehörige Graph ist eine Parabel. Die einzige Parabel ist Graph D.
$f_2$B$f_2$ ist auf ihrem Definitionsbereich die Umkehrfunktion einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades. Der zugehörige Graph muss daher einer an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Parabel entsprechen.
$f_3$AEs handelt sich um eine Exponentialfunktion mit $f_3(0)=1.$ Graph A ist der einzige der dargestellten Graphen mit dem Punkt $(0\mid 1).$
$f_4$C$f_4$ ist eine periodische Funktion mit der Periode $2\pi.$
1.2
$\blacktriangleright$  Definitionsbereich angeben
Bei $f_2$ handelt es sich um eine Wurzelfunktion. Der Definitionsbereich wird also dadurch eingeschränkt, dass der Radikand nicht kleiner als Null werden darf. Es ist
$\begin{array}[t]{rll} 2x+3&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-3 \\[5pt] 2x&\geq& -3 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x &\geq& -\frac{3}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2x+3&\geq& 0 \\[5pt] x &\geq& -\frac{3}{2} \end{array}$
Der Definitionsbereich lautet also $\text{D}_{f_2} = \left\{x\in \mathbb{R} \mid x\geq -\frac{3}{2}\right\}.$
1.3
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} f_3(x) &=& \mathrm e^{2x} \\[5pt] f_3'(x) &=& 2\cdot \mathrm e^{2x} \\[10pt] f_3'(1) &=& 2\cdot \mathrm e^{2\cdot 1} \\[5pt] &=& 2 \mathrm e^{2} \\[5pt] \end{array}$
$ f_3'(1) = 2 \mathrm e^{2} $
Der Anstieg der Tangente an den Graphen von $f_3$ im Punkt $(1\mid f_3(1))$ ist $2\mathrm e^2.$
1.4
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Den Inhalt der Fläche kannst du mithilfe eines Integrals berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \displaystyle\int_{0}^{\pi}2\cdot \sin (x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \left[ -2\cdot \cos (x)\right]_0^{\pi} \\[5pt] &=& -2\cdot \cos(\pi) - \left(-2\cdot \cos (0) \right) \\[5pt] &=& -2\cdot (-1) + 2\cdot 1 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ A=4 $
Der Inhalt der Fläche, die der Graph von $f_4$ für $0\leq x\leq \pi$ mit der $x$-Achse begrenzt, beträgt $4$ Flächeneinheiten.
#integral#umkehrfunktion#ableitung#parabel

2 Analytische Geometrie

2.1
$\blacktriangleright$  Vektoren als Summe darstellen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{a}&=& \overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} \\[5pt] \overrightarrow{b}&=& -2\overrightarrow{x}-\overrightarrow{y} \\[5pt] \end{array}$
2.2.1
$\blacktriangleright$  Geradengleichung aufstellen
Ein Normalenvektor von $\epsilon$ lässt sich als $\overrightarrow{n} = \pmatrix{3\\-4\\0}$ ablesen. Dieser verläuft senkrecht zu $\epsilon$ und kann daher als Richtungsvektor der Geraden verwendet werden. Verwende $S$ als Aufpunkt:
$g: \, \overrightarrow{x} = \pmatrix{5\\5\\5} +t\cdot \pmatrix{3\\-4\\0}$ mit $t\in \mathbb{R}$
$ g:\, \overrightarrow{x}= … $
2.2.2
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung angeben
Hier gibt es mehrere Möglichkeiten. Es sind beispielsweise alle Lösungen richtig mit $E:\, 3x-4y = d,$ wobei $d\in \mathbb{R}$ und $d\neq -6$ ist. Eine Möglichkeit ist also:
$E:\, 3x-4y = 0$
#normalenvektor

3 Stochastik

3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit bestimmen
1. Schritt: Baumdiagramm erstellen
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
2. Schritt: Wahrscheinlichkeit bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{Sonne am Sonntag})&=& 0,6\cdot 0,6 + 0,2\cdot 0,8 \\[5pt] &=& 0,64\\[5pt] &=& 64\,\% \end{array}$
$ …=64\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $64\,\%$ scheint am Sonntag die Sonne.
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Keiner der vier Touristen reist mit dem Flugzeug an, wenn alle vier mit dem Schiff anreisen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass einer der Touristen mit dem Schiff anreist beträgt $\frac{2}{3}.$ Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt:
$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81} $
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner der vier Touristen mit dem Flugzeug angereist ist, beträgt $\frac{16}{81}.$
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
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