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Pflichtaufgabe A0

Aufgaben
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1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)= x^3+2x^2.$
1.1
Bestätige, dass $x_1=-2$ und $x_2=0$ die einzigen Nullstellen von $f$ sind.
(2 BE)
1.2
Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.
(3 BE)
#nullstelle#zentraleraufgabenpool

2 Analysis

2.1
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
(2 BE)
2.2
Zeichne in die Abbildung ein Flächenstück ein, das vom Graphen von $f,$ der $x$-Achse, der $y$-Achse, sowie einer zur $y$-Achse parallelen Geraden eingeschlossen wird und dessen Flächeninhalt etwa $1,5$ beträgt.
Gib einen Term an, mit dem der Inhalt des von dir eingezeichneten Flächenstücks berechnet werden kann.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#ableitung#tangente

3 Analytische Geometrie

Gegeben sind der Punkt $P(-3\mid 2\mid 1),$ die Geraden $g:\, \overrightarrow{x}= \overrightarrow{OP}+r\cdot \pmatrix{1\\3\\0}$ mit $r\in \mathbb{R}$ sowie für eine reelle Zahl $a$ der Punkt $Q(0\mid a\mid 0).$ Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht zu $g.$
3.1
Bestimme den Wert von $a.$
(2 BE)
3.2
Zwei Werte $r_1$ und $r_2$ des Parameters $r$ liefern die Ortsvektoren zweier Punkte $R_1$ und $R_2$ der Geraden $g.$
Gib alle Wertepaare $(r_1;r_2)$ an, für die $R_1$ und $R_2$ den gleichen Abstand vom Punkt $Q$ haben.
Begründe deine Angabe.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool#ortsvektor

4 Stochastik

Für ein zweistufiges Zufallsexperiment werden eine Münze und zwei Würfel verwendet. Beide Würfel sind auf allen sechs Seiten mit jeweils einer Zahl beschriftet, Würfel $A$ mit $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ und $6,$ Würfel $B$ mit $1,$ $1,$ $2,$ $2,$ $3$ und $3.$
Zunächst wird die Münze geworfen. Zeigt die Münze „Kopf“, so wird anschließend Würfel $A$ einmal geworfen, zeigt sie „Zahl“, so wird Würfel $B$ einmal geworfen. Die geworfene Zahl wird notiert.
4.1
Stelle das Zufallsexperiment in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.
(3 BE)
4.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die gewürfelte Zahl gerade ist.
(2 BE)
#zentraleraufgabenpool#zufallsexperiment#baumdiagramm
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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#hilfsmittelfreieaufgaben
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Lösungen
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen bestätigen
Für alle Nullstellen $x$ muss gelten $f(x)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&0 \\[5pt] x^3+2x^2&=& 0 \\[5pt] x^2(x+2)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; \text{Satz vom Nullprodukt: } x_2 = 0 \\[5pt] x_1+2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x_1&=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -2 \\[5pt] x_2&=& 0 \end{array}$
Mit dem Satz vom Nullprodukt ergeben sich für $f$ die einzigen Nullstellen zu $x_1=-2$ und $x_2=0.$
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A&=&\left|\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\displaystyle\int_{-2}^{0}\left(x^3+2x^2\right)\;\mathrm dx \right| \\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+2\cdot \frac{1}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left[\frac{1}{4}\cdot x^4+ \frac{2}{3}\cdot x^3\right]_{-2}^0 \right|\\[5pt] &=& \left|\left(\frac{1}{4}\cdot 0^4+ \frac{2}{3}\cdot 0^3\right) -\left( \frac{1}{4}\cdot (-2)^4+ \frac{2}{3}\cdot (-2)^3\right)\right|\\[5pt] &=& 0-4+\frac{16}{3}\\[5pt] &=& \frac{4}{3} \end{array}$
$ A=\frac{4}{3} $
Der Graph von $f$ schließt mit der $x$-Achse eine Fläche der Größe $\frac{4}{3}$ ein.
#integral

2 Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Tangentengleichung bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f(0)&=&2\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=&2\cdot 1 \\[5pt] &=&2 \end{array}$
Der Graph von $f$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $S(0\mid 2).$
Gesucht ist also eine Gerade $t: \, y = m\cdot x +b,$ die durch den Punkt $S$ mit der gleichen Steigung wie der Graph von $f$ in diesem Punkt verläuft.
$\begin{array}[t]{rll} f'(0)&=&-\mathrm e^{-\frac{1}{2}\cdot 0} \\[5pt] &=& -1 \end{array}$
Die Steigung der Tangente beträgt also $m = -1.$ Eine Punktprobe mit $S$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} t: \, y&=& m\cdot x + b&\quad \scriptsize \mid\; m= -1, S(0\mid 2) \\[5pt] 2&=& -1\cdot 0 + b \\[5pt] 2&=&b \end{array}$
$2 = b $
Die Gleichung der Tangente $t$ an den Graphen von $f$ in seinem Schnittpunkt $S(0\mid 2)$ mit der $y$-Achse lautet:
$t: \, y = -x +2$
2.2
$\blacktriangleright$  Flächenstück einzeichnen
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: $A\approx 1,5$
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: $A\approx 1,5$
$\blacktriangleright$  Term angeben
Der Inhalt der Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der $x$-Achse im Intervall $[a,b]$ kann mit einem Integral berechnet werden.
$A\approx \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)\;\mathrm dx$
#integral

3 Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{a}$ bestimmen
Da die Strecke $\overline{PQ}$ senkrecht zu $g$ stehen soll, muss das Skalarprodukt des Richtungsvektors von $g$ mit dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ Null ergeben:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}\circ \pmatrix{1\\3\\0}&=& 0 \\[5pt] \pmatrix{3\\a-2\\-1}\circ\pmatrix{1\\3\\0}&=&0 \\[5pt] 3\cdot 1+(a-2)\cdot 3+(-1)\cdot 0&=&0 \\[5pt] 3+3a-6&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] 3a&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] a&=& 1 \end{array}$
$a =1 $
Für $a=1$ steht die Strecke $\overline{PQ}$ senkrecht zu $g.$
3.2
$\blacktriangleright$  Wertepaare angeben
Die Strecke $\overline{PQ}$ steht senkrecht auf der Geraden $g$. $P$ ist der Stützpunkt der Geraden $g$ und liegt damit selbst auf $g.$
Die Strecke $\overline{PQ}$ entspricht dem Lot, das vom Punkt $Q$ aus auf die Gerade $g$ gefällt wird und ist daher die kürzeste Verbindung zwischen $Q$ und $g$.
Die Punkte $R_1$ und $R_2$ sollen beide auf $g$ liegen. Sie haben daher den gleichen Abstand von $Q$, wenn sie auch den gleichen Abstand von $P$ haben. Das ist dann der Fall, wenn sie symmetrisch zum Punkt $P$ auf der Geraden liegen. Da $P$ der Stützpunkt der Geraden ist, ist das der Fall, wenn $r_1$ und $r_2$ den gleichen Betrag haben, aber unterschiedliche Vorzeichen, also $r_2=-r_1$ ist.
Für alle Wertepaare $(r_1; -r_1)$ liegen $R_1$ und $R_2$ gleich weit von $Q$ entfernt.
#skalarprodukt

4 Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Pflichtaufgabe A0
Abb. 2: Baumdiagramm
Pflichtaufgabe A0
Abb. 2: Baumdiagramm
4.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Mit den Pfadregeln und dem Baumdiagramm ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{gerade})&=& P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(2)+P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(4)+P(\text{Kopf})\cdot P_{\text{Kopf}}(6) +P(\text{Zahl})\cdot P_{\text{Zahl}}(2) \\[5pt] &=& 3\cdot \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& \frac{5}{12} \\[5pt] \end{array}$
$P(\text{gerade}) = \frac{5}{12}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{12}$ ist die gewürfelte Zahl gerade.
#pfadregeln
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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