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Pflichtaufgabe A0

Aufgaben
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1 Analysis

Gegeben ist die Zahlenfolge $(a_k)$ mit $a_{k+1} = a_k +4$ und $a_3 = 17$, wobei $k\in \mathbb{N}$, $k > 0$ gilt.
1.1
Berechne $a_5$.
(2 BE)
1.2
Die Glieder von $(a_k)$ können auch mit Hilfe der Gleichung $a_k = t\cdot k + r$ $(t,r \in \mathbb{R})$ berechnet werden. Bestimme die Werte für $t$ und $r$.
(3 BE)
#zahlenfolge

2 Analysis

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=-x^2+1$ und $x \in \mathbb{R}$. Ihr Graph ist $G$.
2.1
Berechne die Stelle $x$, an der die Gerade mit der Gleichung $y = -3x +\frac{13}{4}$ eine Tangente an $G$ ist.
(2 BE)
2.2
Die $x$-Achse und $G$ begrenzen eine Fläche vollständig. Begründe, dass der Inhalt dieser Fläche kleiner als $2$ ist.
(3 BE)
#tangente

3 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $A(4\mid 2\mid 6)$, $B(6\mid 3\mid 8)$ und für jeden Wert von $z\in \mathbb{R}$ ein Punkt $C(2\mid 1\mid z)$.
3.1
Bestimme $z$ so, dass der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ liegt.
(2 BE)
3.2
Der Punkt $A$ liegt in der Ebene $x+2y+2z = 20$.
Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der einen Abstand von $6$ zu dieser Ebene besitzt.
(3 BE)

4 Stochastik

In einer Urne befinden sich vier Kugeln, die mit den Zahlen $1$, $2$, $3$ und $4$ beschriftet sind. Zwei Kugeln werden mit einem Griff gezogen. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Summe der Zahlen auf den gezogenen Kugeln an.
4.1
Begründe, dass die Wahrscheinlihckeit der Werte von $X$ nicht gleichverteilt sind.
(2 BE)
4.2
Bestimme den Erwartungswert von $X$.
(3 BE)
#gleichverteilung#erwartungswert
#hilfsmittelfreieaufgaben
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Tipps
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Folgenglied berechnen
Die Zahlenfolge $(a_k)$ ist mit $a_{k+1}= a_k +4$ und $a_3 =17$ gegeben. Du sollst $a_5$ berechnen. Berechne dazu zunächst $a_4$ ausgehend von $a_3$, indem du $a_3$ in die Gleichung einsetzt. Anschließend kannst du auf dem gleichen Weg $a_5$ mit Hilfe von $a_4$ berechnen.
1.2
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Glieder der Folge $(a_k)$ sollen mit der Gleichung $a_k = t\cdot k +r$ dargestellt werden. Gesucht sind die Parameterwerte $t$ und $r$. Du hast also zwei Unbekannte und kennst bereits die beiden Glieder $a_3 = 17$ und beispielsweise $a_5 = 25$. Damit kannst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $t$ und $r$ aufstellen. Dies ist dann ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst.

2 Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Stelle berechnen
Du hast die Gleichung der Funktion $f$ gegeben und sollst die Stelle $x$ berechnen, an der die Gerade mit $y = -3x +\frac{13}{4}$ eine Tangente an den Graphen $G$ von $f$ ist. Eine Tangente $t$ an der Stelle $x$ ist eine Gerade mit folgenden Bedingungen:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung $m_t$ wie $G$ an der Stelle $x$.
  • $t$ besitzt an der Stelle $x$ den gleichen Funktionswert wie $f$.
Die Steigung von $G$ wird über die erste Ableitung von $f$ beschrieben. Die Steigung der Gerade, kannst du direkt aus der Geradengleichung ablesen. Stelle mit Hilfe einer der Bedingungen eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ auf und überprüfe anschließend, ob an der Stelle auch die zweite Bedingung erfüllt ist.
2.2
$\blacktriangleright$  Begrenzung des Flächeninhalts begründen
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze von $G$
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze von $G$

3 Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du sollst den Parameter $z$ so bestimmen, dass der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ liegt. Du kannst dazu die Gleichung der Gerade aufstellen, auf der $A$ und $B$ liegen. Anschließend kannst du $C$ in Abhängigkeit von $z$ in die Gleichung einsetzen. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst.
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes mit bestimmtem Abstand berechnen
Gesucht sind die Koordinaten eines Punktes, der von der Ebene $x+2y+2z =20$ den Abstand $6$ hat. Das Lot von diesem Punkt $P$ aus auf die Ebene muss also die Länge $6$ haben. Das Lot steht immer senkrecht auf der Ebene, muss also in Richtung eines Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene verlaufen. Einen solchen Normalenvektor kannst du aus der Ebenengleichung ablesen. Du weißt, dass der Punkt $A$ in der Ebene liegt. Dieser ist also ein möglicher Fußpunkt des Lotes.
Eine Möglichkeit für $P$ ist also $6$ Einheiten entlang des Normalenvektors ausgehend vom Punkt $A$.

4 Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht gleichverteilt ist
Du sollst begründen, dass die Wahrscheinlichkeit von $X$ nicht gleichverteilt ist. Gleichverteilung bedeutet, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Finde also zwei mögliche Werte von $X$, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.
4.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsvariable $X$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$E(X)= x_1\cdot P\left(X= x_1\right) + x_2\cdot P\left(X= x_2\right)+ … + x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&x_1\cdot P\left(X= x_1\right) \\[5pt] &+& x_2\cdot P\left(X= x_2\right) \\[5pt] &+&… \\[5pt] &+&x_n\cdot P\left(X=x_n\right) \end{array}$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Lösungen
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Folgenglied berechnen
Die Zahlenfolge $(a_k)$ ist mit $a_{k+1}= a_k +4$ und $a_3 =17$ gegeben. Du sollst $a_5$ berechnen. Berechne dazu zunächst $a_4$ ausgehend von $a_3$, indem du $a_3$ in die Gleichung einsetzt. Anschließend kannst du auf dem gleichen Weg $a_5$ mit Hilfe von $a_4$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} a_{k+1}&=& a_k +4 \\[5pt] a_4&=& a_3 + 4 &\quad \scriptsize \mid\; a_3 = 17 \\[5pt] &=& 17 +4 \\[5pt] &=& 21 \end{array}$
$ a_4 = 21 $
$\begin{array}[t]{rll} a_{k+1}&=& a_k +4 \\[5pt] a_5&=& a_4 + 4 &\quad \scriptsize \mid\; a_4 = 21 \\[5pt] &=& 21 +4 \\[5pt] &=& 25 \end{array}$
$ a_5 = 25 $
Es ist $a_5 = 25$.
1.2
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Glieder der Folge $(a_k)$ sollen mit der Gleichung $a_k = t\cdot k +r$ dargestellt werden. Gesucht sind die Parameterwerte $t$ und $r$. Du hast also zwei Unbekannte und kennst bereits die beiden Glieder $a_3 = 17$ und beispielsweise $a_5 = 25$. Damit kannst du zwei Gleichungen in Abhängigkeit von $t$ und $r$ aufstellen. Dies ist dann ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst.
Setze also in die Gleichung ein:
$\begin{array}{} \text{I}\quad&17&=& t\cdot 3 +r & \quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{II}-\text{I}\\ \text{II}\quad&25&=& t\cdot 5 +r &\\ \hline \text{IIa}\quad&8&=& t\cdot 2 &\quad \scriptsize\mid\; :2\\ &4&=& t \end{array}$
$ t = 4 $
Setze diese Lösung für $t$ in $\text{I}$ ein. Die Gleichung kannst du dann nach $r$ lösen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad 17 &=& t\cdot 3 + r&\quad \scriptsize \mid\; t= 4\\[5pt] 17&=& 4\cdot 3 + r \\[5pt] 17&=& 12 + r &\quad \scriptsize \mid\; -12 \\[5pt] 5&=& r\\[5pt] \end{array}$
$ r =5 $
Die Werte sind also $t = 4$ und $r = 5$.
#lgs

2 Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Stelle berechnen
Du hast die Gleichung der Funktion $f$ gegeben und sollst die Stelle $x$ berechnen, an der die Gerade mit $y = -3x +\frac{13}{4}$ eine Tangente an den Graphen $G$ von $f$ ist. Eine Tangente $t$ an der Stelle $x$ ist eine Gerade mit folgenden Bedingungen:
  • $t$ besitzt die gleiche Steigung $m_t$ wie $G$ an der Stelle $x$.
  • $t$ besitzt an der Stelle $x$ den gleichen Funktionswert wie $f$.
Die Steigung von $G$ wird über die erste Ableitung von $f$ beschrieben. Die Steigung der Gerade, kannst du direkt aus der Geradengleichung ablesen. Stelle mit Hilfe einer der Bedingungen eine Gleichung in Abhängigkeit von $x$ auf und überprüfe anschließend, ob an der Stelle auch die zweite Bedingung erfüllt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^2 +1 \\[5pt] f'(x)&=& -2x \\[5pt] f'(x)&=& m_t &\quad \scriptsize \mid\;m_t = -3 \\[5pt] -2x&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt] x&=& \frac{3}{2} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -2x \\[5pt] -2x&=& -3 \\[5pt] x&=& \frac{3}{2} \end{array}$
An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ besitzen $G$ und die Gerade also die Gleiche Steigung. Überprüfe nun noch den Funktionswert:
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{3}{2}\right)&=& -\left(\frac{3}{2}\right)^2 +1 \\[5pt] &=& -\frac{5}{4} \\[10pt] y&=& -3\cdot \frac{3}{2}+\frac{13}{4} \\[5pt] &=& -\frac{5}{4} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f\left(\frac{3}{2}\right)&=& -\frac{5}{4} \\[10pt] y&=& -\frac{5}{4} \end{array}$
An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ stimmen also sowohl Steigung als auch Funktionswert von $G$ und der Gerade überein. An der Stelle $x = \frac{3}{2}$ ist die Gerade mit der Gleichung $y = -3x+\frac{13}{4}$ eine Tangente an $G$.
2.2
$\blacktriangleright$  Begrenzung des Flächeninhalts begründen
Der Graph $G$ und die $x$-Achse schließen eine Fläche vollständig ein. Du sollst nun begründen, dass der Inhalt der Fläche kleiner als $2$ ist. Bei dem Graphen von $G$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel, die entlang der $y$-Achse um eine Einheit nach oben verschoben ist.
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze von $G$
Pflichtaufgabe A0
Abb. 1: Skizze von $G$
Dieses Rechteck hat den Flächeninhalt $2$. Damit muss der Inhalt der Fläche, die von $G$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird kleiner als der des Rechtecks, also kleiner als $2$ sein.
#parabel#ableitung

3 Analytische Geometrie

3.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Du sollst den Parameter $z$ so bestimmen, dass der Punkt $C$ auf der Geraden $AB$ liegt. Du kannst dazu die Gleichung der Gerade aufstellen, auf der $A$ und $B$ liegen. Anschließend kannst du $C$ in Abhängigkeit von $z$ in die Gleichung einsetzen. Dadurch erhältst du ein lineares Gleichungssystem, das du lösen kannst.
Für die Geradengleichung kannst du $\overrightarrow{AB}$ als Richtungsvektor und $\overrightarrow{OA}$ als Stützvektor wählen:
$\begin{array}[t]{rll} g: \quad \overrightarrow{OX}&=& \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}\\[5pt] &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$
$ g: \overrightarrow{OX} = \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } $
Setze nun für $\overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC}$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OC} &=&\pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \pmatrix{2\\1\\z} &=& \pmatrix{4\\2\\6}+t\cdot \pmatrix{2\\1\\2 } \\[5pt] \end{array}$
Aus der $x$-Koordinate der Gleichung kannst du folgendes ablesen:
$\begin{array}[t]{rll} 2&=&4 +t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] -2&=& 2t &\quad \scriptsize \mid\;: 2 \\[5pt] -1&=&t \end{array}$
Überprüfe dies zunächst für die $y$-Koordinate:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=& 2+ t\cdot 1 &\quad \scriptsize \mid\; t= -1\\[5pt] 1&=&2+ (-1)\cdot 1 \\[5pt] 1&=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 1&=&2+ (-1)\cdot 1 \\[5pt] 1&=& 1 \end{array}$
Setze nun $t = -1$ in die $z$-Koordinate ein:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&6+ t\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; t= -1 \\[5pt] &=&6+ (-1)\cdot 2 \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
$ z = 4$
Für $z = 4$ liegt $C$ auf der Geraden $AB$.
3.2
$\blacktriangleright$  Koordinaten eines Punktes mit bestimmtem Abstand berechnen
Gesucht sind die Koordinaten eines Punktes, der von der Ebene $x+2y+2z =20$ den Abstand $6$ hat. Das Lot von diesem Punkt $P$ aus auf die Ebene muss also die Länge $6$ haben. Das Lot steht immer senkrecht auf der Ebene, muss also in Richtung eines Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ der Ebene verlaufen. Einen solchen Normalenvektor kannst du aus der Ebenengleichung ablesen. Du weißt, dass der Punkt $A$ in der Ebene liegt. Dieser ist also ein möglicher Fußpunkt des Lotes. Eine Möglichkeit für $P$ ist also $6$ Einheiten entlang des Normalenvektors ausgehend vom Punkt $A$.
Berechne dazu die Länge des Normalenvektors der Ebene.
$\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2} $
$\left| \overrightarrow{n}\right| = \sqrt{1^2+2^2+2^2} = 3$
Addierst du den Normalenvektor der Ebene also zweimal zum Ortsvektor des Punktes $A$ hinzu, erhältst du den Ortsvektor eines Punktes mit dem Abstand $6$ zur Ebene.
$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + 2 \cdot \overrightarrow{n} = \pmatrix{6\\6\\10}$
Der Punkt $P(6\mid 6\mid 10)$ hat von der Ebene $x +2y+2z =20$ den Abstand $6$.
#normalenvektor

4 Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$  Begründen, dass die Wahrscheinlichkeit nicht gleichverteilt ist
Du sollst begründen, dass die Wahrscheinlichkeit von $X$ nicht gleichverteilt ist. Gleichverteilung bedeutet, dass jedes Ergebnis die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt. Finde also zwei mögliche Werte von $X$, die unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben.
Betrachte das Experiment als Ziehen ohne Zurücklegen.
Das Ergebnis $X=3$ kann beispielsweise nur eintreten, wenn entweder zuerst die Kugeln $1$ und dann die Kugel $2$ oder zuerst die Kugel $2$ und dann die Kugel $1$ gezogen wird. Es hat folglich die Wahrscheinlichkeit $2\cdot \frac{1}{4} \cdot {1}{3} = \frac{1}{6}$.
Für das Ergebnis $X= 5$ gibt es allerdings zwei mögliche Kombinationen: Entweder es werden die Kugeln $1$ und $4$ oder die Kugeln $2$ und $3$ zusammen gezogen. Dieses hat damit die Wahrscheinlichkeit $2\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$.
Es gilt also:
  • $P(X=3) = \frac{1}{6}$
  • $P(X=5) = \frac{1}{3}$
Die Wahrscheinlichkeit der Werte von $X$ ist damit nicht gleichverteilt.
4.2
$\blacktriangleright$  Erwartungswert bestimmen
Den Erwartungswert $E(X)$ einer Zufallsvariable $X$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$E(X)= x_1\cdot P\left(X= x_1\right) + x_2\cdot P\left(X= x_2\right)+ … + x_n\cdot P\left(X=x_n\right)$
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=&x_1\cdot P\left(X= x_1\right) \\[5pt] &+& x_2\cdot P\left(X= x_2\right) \\[5pt] &+&… \\[5pt] &+&x_n\cdot P\left(X=x_n\right) \end{array}$
Dabei sind $x_1$ bis $x_n$ die möglichen Werte, die $X$ annehmen kann.
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& 3\cdot P(X=3) +4\cdot P(X=4) +5\cdot P(X=5)+ 6\cdot P(X=6) + 7\cdot P(X=7) \\[5pt] &=& (3 + 4 + 6 + 7)\cdot \frac{1}{6} + 5\cdot \frac{1}{3} \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
$ E(X) =5 $
Der Erwartungswert von $X$ beträgt $E(X)=5$.
Bildnachweise [nach oben]
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