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Wahlteil A1

Aufgaben
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Die Wassertiefen an den Küsten der Nordsee unterliegen Schwankungen durch die Gezeiten. In den Häfen werden diese Schwankungen jeweils durch den sogenannten Pegelstand erfasst.
$\,$
1.1
Am Binnenhafen der Nordseeinsel Helgoland wurden am 1.8.2017 folgende Pegelstände $p$ gemessen.
$\text {t in h}$$0$$3$$6$$9$$12$$15$$18$
$\text {p in cm}$$410$$450$$588$$550$$425$$430$$575$
$t$ in $h$$p$ in $cm$
$0$$410$
$3$$450$
$6$$588$
$9$$550$
$12$$425$
$15$$430$
$18$$575$
Stelle die Wertepaare dieser Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch dar.
Der Zusammenhang zwischen den Zeiten $t$ und dem Pegelstand $p$ kann durch Funktionen näherungsweise beschrieben werden.
Ermittle durch folgende Regressionen eine Gleichung solcher Näherungsfunktionen.
$p= f_1(t)$ … linerare Regression
$p=f_2(t)$ … Regression vierten Grades
$p=f_3(t)$ … Sinusregression
Beurteile die Brauchbarkeit der ermittelten Funktionen sowohl hinsichtlich der Darstellung der Messwerte als auch der weiteren Veränderung des Pegelstandes.
(12 BE)
#regression
$\,$
1.2
Für diesen Tag lässt sich die Wassertiefe $w \text {(in Metern)}$ im Helgoländer Binnenhafen in Abhängigkeit von der Zeit $t$ mit hinreichender Genauigkeit mithilfe folgender Gleichung darstellen.
$ w (t) = \sin \left(\frac{1}{2}t - 2\right)+5$ mit $6 \leq t \leq 20$ und $t$ in Stunden.
Dabei entspricht $t=6$ der Uhrzeit $06:00 \text { Uhr}$ und $t=20$ der Uhrzeit $20:00 \text { Uhr}$
Ermittle die Wassertiefe um $14:00 \text { Uhr}$ sowie die Uhrzeiten[1], an denen eine Wassertiefe von $5,50 \text m$ zu erwarten ist.
Weise rechnerisch nach, dass die minimale Wassertiefe zwischen $13:00 \text { Uhr}$ und $14:00 \text { Uhr}$ erreicht wird.
Gib diese minimale Wassertiefe an.
Bestimme die Zeiträume[1], in denen die Wassertiefe zunimmt.
(12 BE)
$\,$
1.3
Auf einer Landkarte wird das Hafenbecken dargestellt. Der Verlauf von zwei Begrenzungsmauern $B_1$ und $B_2$ des Hafenbeckens wird durch den Graphen der folgenden Funktionen modelliert.
$b_1 (x) = 0$ mit $0\leq x \leq 2,5$
$b_2 (x) = - 0,0257 x^4 + 0,348x^3 - 1,7x^2 + 3,74x$ mit $0\leq x \leq 6$
Die dritte Begrenzungsmauer $B_3$ verläuft im Modell entlang der Strecke, die durch die Punkte $A (6\mid 0)$ und $B (6\mid b_2(6))$ gegeben ist.
(3 BE)
$\,$
1.3.1
Skizziere den modellhaften Verlauf aller Begrenzungsmauern in ein Koordinatensystem.
(3 BE)
$\,$
1.3.2
Die Hafeneinfahrt hat eine Breite von $175 \text m$. Im Modell liegt sie auf der x-Achse. Ein Teil des Hafenbeckens wird durch eine Ölsperre vom offenen Meer vollständig abgesperrt. Die Ölsperre verläuft im Modell für $2,5 \leq x \leq 6$ auf dem Graphen der Funktion $s$ mit der Gleichung $s(x)= 0,245x^2-1,22x+1,53$
Berechne die Größe der abgesperrten Fläche in $\text m^2$.
(8 BE)

[1] Uhrzeiten und Zeiträume sind im Format hh:mm anzugeben
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Lösungen
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1.1
Lineare Regression
$f_1(t) \approx 3,4762 t + 458,4286$
Diese Funktion ist sowohl im Hinblick auf die Darstellung der Messwerte als auch in Hinblick auf die weitere Entwicklung des Pegelstandes unbrauchbar, da man kaum davon ausgehen kann, dass der Pegelstand im weiteren zeitlichen Verlauf immer weiter steigt. Er wird sich im Verlauf der Gezeiten regelmäßig erhöhen und wieder sinken. Dies wird bei dieser Funktion nicht berücksichtigt. Gleiches gilt für die Darstellung der Messerwerte. Es wird nicht deutlich, dass die Pegelstände zwischenzeitlich sinken und wieder steigen.
Regression vierten Grades
$f_2(t) \approx 0,0518 t^4 -1,5073 t^3 +10,6364t^2 +4,6479t + 403,3225$
$ f_2(t) \approx … $
Diese Funktion ist hinsichtlich der Darstellung der Messwerte als brauchbar einzustufen, da Zunahme und Abnahme berücksichtigt werden. Allerdings ist sie hinsichtlich der weiteren Veränderung des Pegels nicht brauchbar, da die Modellierung nur auf die Messwerte bezogen wurde.
Sinusregression
$f_3(t)\approx 100,1692 \sin\left(0,55058\cdot x -2,0109\right) +499,4252 $
Diese Funktion bezieht die Schwankungen des Pegelstandes mit ein und weist eine periodische Entwicklung auch im weiteren Verlauf auf. Sie kann also als brauchbar sowohl im Hinblick auf die Darstellung der Messwerte als auch im Hinblick auf die weitere Veränderung des Pegelstandes eingestuft werden, wenn man davon ausgeht, dass die Schwankungen des Pegelstandes sich in etwa periodisch wiederholen.
1.2
Wassertiefe
$w(14) \approx 4,04 $
Um 14:00 Uhr beträgt die Wassertiefe ca. 4,04 Meter.
Uhrzeiten
$\begin{array}[t]{rll} w(t) &=& 5,50 &\quad \scriptsize \mid\;CAS \\[5pt] t_1 &\approx& 9,24 \\[5pt] t_2 &\approx& 17,61 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,24\cdot 60 &\approx& 14 \\[5pt] 0,61 \cdot 60 &=& 37 \end{array}$
Um ca. 09:14 Uhr und 17:37 Uhr ist eine Wassertiefe von ca. $5,50\,\text{m}$ zu erwarten.
Zeitpunkt der minimalen Wassertiefe
$w'(t) = \cos \left(\frac{1}{2}t-2 \right)\cdot \frac{1}{2}$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen von $w$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} w'(t) &=& 0 \\[5pt] \cos \left(\frac{1}{2}t-2 \right)\cdot \frac{1}{2} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{1}{2}\\[5pt] \cos \left(\frac{1}{2}t-2 \right) &=& 0 \\[5pt] \frac{1}{2}t-2 &=& \frac{\pi}{2}+ a\cdot \pi ;\quad a\in \mathbb{Z} &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] \frac{1}{2}t &=& \frac{\pi}{2}+ a\cdot \pi +2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] t &=& \pi+ 2a\cdot \pi +4 \end{array}$
$ t = \pi+ 2a\cdot \pi +4 ;$ $ a\in \mathbb{Z}$
Im betrachteten Bereich $6\leq t \leq 20$ liegen $t_1 = \pi +4,$ $t_2 = 3\pi +4 $ und $t_3 = 5\pi+4.$
An diesen Stellen besitzt $w$ lokale Extrema.
$\begin{array}[t]{rll} w(\pi +4) &=& \sin\left(\frac{1}{2}\cdot (\pi +4)-2\right) +5 \\[5pt] &=& 6\\[10pt] w(3\pi +4) &=& \sin\left(\frac{1}{2}\cdot (3\pi +4)-2\right) +5 \\[5pt] &=& 4\\[10pt] w(5\pi +4) &=& \sin\left(\frac{1}{2}\cdot (5\pi +4)-2\right) +5 \\[5pt] &=& 6\\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} w(\pi +4) &=& 6\\[10pt] w(3\pi +4) &=& 4\\[10pt] w(5\pi +4) &=& 6\\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $t_2 = 3\pi +4 \approx 13, 42$ nimmt $w$ also ihren minimalen Funktionswert an. Dies entspricht einer Uhrzeit zwischen 13:00 Uhr und 14:00 Uhr.
Die minimale Wassertiefe beträgt dabei $4\,\text{m}.$
Zeiträume der Zunahme
$t_1= \pi +4\approx 7,14$
$0,14 \cdot 60 \approx 8$
$t_2 \approx 13,42 $
$0,42\cdot 60 \approx 25 $
$t_3 = 5\pi +4 \approx 19,71$
$0,71\cdot 60 \approx 43$
  • Von 06:00 Uhr bis ca. 07:08 Uhr nimmt die Wassertiefe zu.
  • Von ca. 13:25 Uhr bis ca. 19:43 Uhr nimmt die Wassertiefe zu.
1.3.1
1.3.2
$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{6}b_2(x)\;\mathrm dx - \displaystyle\int_{2,5}^{6}s(x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \frac{55323}{3125} - \frac{17143}{4800} \\[5pt] &=& \frac{8479141}{600000} \\[5pt] &\approx& 14,1319 \end{array}$
$ A\approx 14,1319 $
Umrechnen der Einheiten
Die Hafeneinfahrt ist 175 Meter breit. Im Modell ist sie $6-2,5 = 3,5$ Längeneinheiten lang. Es ist also:
$\begin{array}[t]{rll} 3,5\,\text{LE} &\mathrel{\widehat{=}}& 175\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;:3,5 \\[5pt] 1\,\text{LE} &\mathrel{\widehat{=}}& 50\,\text{m} \end{array}$
Für die Flächeneinheiten gelten dementsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 1\,\text{FE} &\mathrel{\widehat{=}}& 50\,\text{m} \cdot 50\,\text{m} \\[5pt] 1\,\text{FE} &\mathrel{\widehat{=}}& 2500\,\text{m}^2 \end{array}$
Für die abgesperrte Fläche gilt also:
$A\approx 14,1319\cdot 2500\,\text{m}^2 = 35\,329,75\,\text{m}^2$
$ A\approx 35\,329,75\,\text{m}^2 $
Die abgesperrte Fläche ist ca. $35\,329,75\,\text{m}^2$ groß.
#integral#extrempunkt
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