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Wahlteil A3

Aufgaben
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Seilparks sind sehr beliebt, da sie Bewegung und Nervenkitzel bieten. An Masten oder Bäumen sind Plattformen installiert, zwischen denen sich die Benutzer an Seilen gesichert bewegen. In Deutschland gibt es $480$ Seilparks, in dr Schweiz $60.$
3.1
Langfristige Untersuchungen haben ergeben, dass Mängel in den Seilparks entsprechend folgender Tabelle auftreten.
getesteter SicherheitsbereichAnlegen und Benutzen der KletterausrüstungZustand der Seilekorrekte Einweisung und Beaufsichtigung
Anteil geprüfter Parks mit Mängeln$60\,\% $$20\,\% $$ 70\,\%$
getesteter Sicherheits- bereichAnteil geprüfter Parks mit Mängeln
Anlegen und Benutzen der Kletterausrüstung$60\,\% $
Zustand der Seile$ 20\,\%$
korrekte Einweisung und Beaufsichtigung$70\,\% $
Ist ein Seilpark in allen drei Bereichen mängelfrei, kann er zertifiziert werden. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
$(A)$ Ein Seilpark zeigt Mängel in allen Bereichen.
$(B)$ Ein Seilpark weist genau in einem Bereich Mängel auf.
Ermittle die Anzahl an zertifizierbaren Parks, die in Deutschland zu erwarten wären.
(7 BE)
3.2
Der Seilpark „Luftige Höhe“ bietet Parcours in drei Schwierigkeitsstufen:
leicht $(L),$ mittel $(M)$ und schwer $(S).$
Man weiß, dass etwa $22\,\%$ der Besucher S-Parcours klettern. In einer bestimmten Woche hat dieser Park $550$ Besucher.
Begründe, dass die Anzahl der S-Kletterer als binomialverteilt angenommen werden kann.
Berechne für folgende Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten:
$(C)$ Genau $137$ Besucher klettern S-Parcours.
$(D)$ Höchstens ein Viertel der Besucher absolvieren S-Parcours.
Ermittle, wie viele Personen mindestens zu einem Kletterteam gehören müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens $95\,\%$ mindestens einer aus diesem Team einen S-Parcours klettert.
In der Hauptsaison rechnet der Seilparkbetreiber wöchentlich mit $750$ Besuchern. Wenn insgesamt $1.000$ Kletterer einen der S-PArcours genutzt haben, sollen die S-Parcours eine sicherheitstechnische Intensivprüfung erhalten.
Bestimme ein sinnvolles Zeitintervall für diese Prüfung.
(12 BE)
#binomialverteilung
3.3
Das letzte Element im schwersten Parcours des Seilparks „Luftige Höhe“ ist eine Seilrutsche.
Der Verlauf des Seils über dem Erdboden kann in einem Koordinatensystem näherungsweise beschrieben werden durch die Funktion $h$ mit der Gleichung
$h(x)= -0,0000149 x^3 +0,00334x^2 -0,07991x+6$
$ h(x)=… $
und $x\in \mathbb{R},$ $0\leq x\leq 90.$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
Das Stahlseil ist in den Punkten $S(90\mid 15)$ und $Z(0\mid 6)$ an zwei Masten befestigt, die senkrecht auf dem Erdboden stehen.
Weil das Seil durchhängt, ist es $0,3\,\%$ länger als die Strecke $\overline{SZ}.$
Berechne die Länge des Seils.
Aus Sicherheitsgründen darf das Seil vom Startpunkt $S$ aus nicht zu steil nach unten verlaufen. Deshalb muss der Winkel zwischen Seil und Mast dort mindestens $67^{\circ}$ betragen.
Prüfe, ob diese Bedingung erfüllt ist.
Der zeitliche Ablauf der Abfahrt vom Startpunkt $S$ bis zum tiefsten Seilpunkt kann durch die Funktion $s=0,6t^2$ beschrieben werden, dabei ist $s$ die Maßzahl der horizontalen Entfernung vom Start und $t$ die Maßzahl der Zeit (Entfernung in Metern und Zeit in Sekunden). An der tiefsten Seilstelle wird die größte lokale Änderungsrate von $s$ (Momentangeschwindigkeit) erreicht, danach wird die Fahrt durch ein Bremssystem automatisch verlangsamt.
Der Seilparkbetreiber behauptet, dass auf der Seilrutsche maximal eine Geschwindigkeit $15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ erreicht wird.
Untersuche, ob dies zutrifft.
(16 BE)
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3.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wir verwenden folgende Bezeichnungen:
  • $K:$ Ein Seilpark zeigt Mängel beim Anlegen und Benutzen der Kletterausrüstung.
  • $S:$ Ein Seilpark zeigt Mängel beim Zustand der Seile.
  • $E:$ Ein Seilpark zeigt Mängel bei der korrekten Einweisung und Beaufsichtigung.
Der Sachverhalt kann als dreistufiges Zufallsexperiment aufgefasst werden. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich dann, unter der Voraussetzung, dass alle Mängel unabhängig voneinander auftreten, mit den Pfadregeln wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(KSE) \\[5pt] &=& P(K)\cdot P(S)\cdot P(E) \\[5pt] &=& 0,6\cdot 0,2\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,084\\[5pt] &=& 8,4\,\% \end{array}$
$ P(A)= 8,4\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $8,4\,\%$ zeigt ein Seilpark in allen Bereichen Mängel.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(K\overline{S}\overline{E})+P(\overline{K}S\overline{E}) + P(\overline{K}\overline{S}E) \\[5pt] &=& 0,6\cdot (1-0,2)\cdot (1-0,7)+ (1-0,6)\cdot 0,2\cdot (1-0,7)+ (1-0,6)\cdot (1-0,2)\cdot 0,7 \\[5pt] &=& 0,392 \\[5pt] &=& 39,2\,\% \end{array}$
$ P(B)=39,2\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $39,2\,\%$ weist ein Park in genau einem Bereich Mängel auf.
$\blacktriangleright$  Anzahl zertifizierbarer Parks ermitteln
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Park zertifizierbar ist, entspricht der Wahrscheinlichkeit dafür, dass er in keinem der drei Bereiche Mängel aufweist.
$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{K}\overline{S}\overline{E})&=&P(\overline{K})\cdot P(\overline{S})\cdot P(\overline{E}) \\[5pt] &=& (1-0,6)\cdot (1-0,2)\cdot (1-0,7) \\[5pt] &=& 0,096 \\[5pt] &=& 9,6\,\% \end{array}$
$ P(\overline{K}\overline{S}\overline{E}) = 9,6\,\% $
Man kann also davon ausgehen, dass $9,6\,\%$ aller Seilparks in Deutschland keine Mängel in den drei Bereichen aufweisen. In Deutschland gibt es $480$ Seilparks:
$480\cdot 0,096 = 46,08$
In Deutschland wären ca. $46$ zertifizierbare Parks zu erwarten.
#pfadregeln
3.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Wir betrachten für jeden Besucher nur die Möglichkeiten „klettert einen S-Parcours“ oder „klettert keinen S-Parcours“. Jeder Besucher kann genau einer dieser beiden Möglichkeiten zugeordnet werden.
Etwa $22\,\%$ aller Besucher des Seilparks klettern einen S-Parcours. Dieser Anteil kann als Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Besucher angesehen werden, einen S-Parcours zu klettern.
Da diese Wahrscheinlichkeit nicht auf eine bestimmte Stichprobe festgelegt ist, ist sie global gegeben und daher bei jedem Besucher gleich und unabhängig von den Entscheidungen der anderen Besucher.
Jeder einzelne Besucher kann also als Bernoulli-Versuch aufgefasst werden und die Gesamtmenge der Besucher daher als Bernoullikette. Die Anzahl der S-Kletterer in einer bestimmten Stichprobe kann damit als binomialverteilt angenommen werden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wir betrachten die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der Besucher in der betrachteten Woche beschreibt, die den S-Parcours klettern. Diese kann wie oben beschrieben als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n=550$ und $p = 0,22.$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $(C)$ ergibt sich mit dem binomialPDf-Befehl des CAS:
Wahlteil A3
Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungfunktionen $\to$ diskret $\to$ binomialPDf
Wahlteil A3
Abb. 1: Interaktiv $\to$ Verteilungfunktionen $\to$ diskret $\to$ binomialPDf
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $1,05\,\%$ klettern genau $137$ Besucher einen S-Parcours.
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $D$ ergibt sich analog mit dem binomialCDf-Befehl des CAS:
Wahlteil A3
Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Wahlteil A3
Abb. 2: Interaktiv $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95\,\%$ klettert höchstens ein Viertel der Besucher, also höchstens $137$ Besucher, einen S-Parcours.
$\blacktriangleright$  Mindestgröße des Kletterteams ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsvariable $X_n,$ die die Anzahl der S-Kletterer unter $n$ Besuchern beschreibt. Diese kann wie $X$ als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p = 0,22$ angenommen werden. Gesucht ist nun das kleinste $n,$ sodass folgende Ungleichung gilt:
$P(X_n\geq 1) \geq 0,95$
Diese kann mit dem Gegenereignis, der Formel für die Binomialverteilung und dem solve-Befehl des CAS nach $n$ umgeformt werden:
Wahlteil A3
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS
Wahlteil A3
Abb. 3: Gleichung lösen mit dem CAS
Damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in einem Kletterteam mindestens einer einen S-Parcours klettert, müssen zu einem Team mindestens $13$ Personen gehören.
$\blacktriangleright$  Zeitintervall bestimmen
Unter allen Besuchern bis zur Prüfung sollen $1.000$ einen S-Parcours geklettert sein. Da ca. $750$ Besucher pro Woche erwartet werden, lässt sich das Zeitintervall über die Anzahl der Besucher ermitteln, die insgesamt den Kletterpark besuchen müssen, damit darunter $1.000$ S-Kletterer zu erwarten sind.
Betrachtet wird die Zufallsvariable $X_n$ von oben. Gesucht ist nun $n$ so, dass der Erwartungswert von $X_n$ $1.000$ beträgt. Der Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsvariable lässt sich wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] 1.000&=&n\cdot 0,22 &\quad \scriptsize \mid\;: 0,22 \\[5pt] \frac{50.000}{11}&=& n \end{array}$
$ \frac{50.000}{11}= n $
Pro Woche werden $750$ Besucher erwartet. Die Anzahl der Wochen lässt sich berechnen durch:
$\dfrac{\frac{50.000}{11}}{750}\approx 6,06$
Die Intensivprüfung sollte im Abstand von sechs Wochen durchgeführt werden.
#erwartungswert
3.3
$\blacktriangleright$  Länge des Seils berechnen
Die Länge der Strecke $\overline{SZ}$ kann wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overline{SZ} \right|&=&\sqrt{\left(x_S-x_Z\right)^2+\left(y_S-y_Z\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{\left(90-0\right)^2+\left(15-6\right)^2} \\[5pt] &=&9\sqrt{101} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overline{SZ} \right| = 9\sqrt{101} $
Das Seil ist $0,3\,\%$ länger als die Strecke $\overline{SZ}:$
$\begin{array}[t]{rll} l&=& 1,003\cdot \left|\overline{SZ} \right| \\[5pt] &\approx& 90,72 \\[5pt] \end{array}$
Das Seil ist ca. $90,72\,\text{m}$ lang.
$\blacktriangleright$  Bedingung prüfen
Wahlteil A3
Abb. 4: Skizze
Wahlteil A3
Abb. 4: Skizze
Der Winkel $\beta,$ den die Tangente $t$ mit der $x$-Achse bildet ist der Steigungswinkel und kann mithilfe der Steigung $m$ von $t$ über den Tangens berechnet werden. Die Steigung von $t$ entspricht der Steigung des Graphen von $h$ im Punkt $S,$ also $m = h'(90).$
Mit dem Ableitungsbefehl des CAS ergibt sich:
Wahlteil A3
Abb. 5: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2
Wahlteil A3
Abb. 5: Ableitung: Keyboard $\to$ Math2
Mit der Winkelsumme des Dreiecks ergibt sich dann für $\alpha:$
$\begin{array}[t]{rll} \alpha&\approx&180^{\circ}-90^{\circ}-9,05^{\circ} \\[5pt] &=&80,95^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 80,95^{\circ}$
Der Winkel zwischen Seil und Mast ist ca. $81^{\circ}$ groß. Die Bedingung ist also erfüllt.
$\blacktriangleright$  Maximale Geschwindigkeit bestimmen
Die maximale Geschwindigkeit entspricht der maximalen lokalen Änderungsrate von $s.$ Diese wird laut Aufgabenstellung zu dem Zeitpunkt $t$ angenommen, wenn die tiefste Stelle des Seils erreicht wird.
Die tiefste Stelle des Seils, entspricht der Stelle, an der $h$ ihr Minimum annimmt. Mit dem notwendigen Kriterium für lokale Minimalstellen $h'(x_M)=0$ ergibt sich mithilfe des CAS:
Wahlteil A3
Abb. 6: Berechnung mit dem CAS
Wahlteil A3
Abb. 6: Berechnung mit dem CAS
Es ist $h(13,11) \approx 5,49.$ Damit liegt diese Stelle tiefer als das Ende der Seilbahn. Es handelt sich hierbei also um die tiefste Stelle der Seilbahn.
Das heißt, dass sich die tiefste Stelle der Seilbahn horizontal gesehen $90-13,11= 76,89$ Meter vom Startpunkt entfernt befindet.
Der gesuchte Zeitpunkt $t$ ist also der mit $s(t)\approx 76,89.$
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=&0,6^2 &\quad \scriptsize \mid\; s(t)= 76,89 \\[5pt] 76,89&=&0,6t^2 &\quad \scriptsize \mid\;:0,6 \\[5pt] 128,15&=& t^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 11,32&=& t \end{array}$
$ 11,32= t$
Nach $11,32$ Sekunden hat man also den tiefsten Punkt des Seils erreicht.
$\begin{array}[t]{rll} s(t)&=& 0,6t^2 \\[5pt] s'(t)&=&1,2t \\[5pt] s'(11,32)&=& 13,584 \end{array}$
Die maximale Geschwindigkeit wird an der tiefsten Stelle der Seilrutsche erreicht. Dort beträgt die Geschwindigkeit ca. $13,6 \,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ und ist damit geringer als $15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}.$ Der Seilparkbetreiber hat also in sofern recht, als dass die maximale Geschwindigkeit geringer als $15\,\frac{\text{m}}{\text{s}}$ ist.
#steigungswinkel
Bildnachweise [nach oben]
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