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Wahlteil A2

Aufgaben
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2.1
Bestimme die Koordinaten von $D.$ Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche $ABE$ liegt.
[Zur Kontrolle: $\epsilon_{ABE}: -3x-4y+8z-23=0$]
(4 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform
2.2
Berechne die Länge der Traufe.
(3 BE)
2.3
Die beiden dreiecksförmigen Dachflächen haben jeweils dieselbe Neigung zum Dachboden. Außerdem weiß man, dass die trapezförmigen Dachflächen eine Neigung von etwa $31^{\circ}$ haben.
Eine Faustregel besagt, dass bei annähernd gleicher Neigung der Dachflächen gilt:
„Firstlänge $\approx$ Länge des Hauses - Breite des Hauses“
Beurteile, ob die Faustregel für dieses Haus anwendebar ist und die Maße des Hauses die Regel bestätigen.
(6 BE)
2.4
Ein Balken verbindet die Mittelpunkte des Firstes und der Dachkante $BC.$
Weise nach, dass es sich bei dem Balken um einen Sparren handelt und berechne seine Länge.
(5 BE)
2.5
Das Haus wird mit gewellten Hohlfalzziegeln eingedeckt, deren Maße $25\,\text{cm} \times 44\,\text{cm}$ betragen.
Bei der Verlegung der Dachziegel muss aufgrund von Überlappung und Verschnitt mit einem Mehrbedarf von $23\,\%$ gerechnet werden.
Berechne die Anzahl der benötigten Ziegel für das vollständige Decken des Daches.
(8 BE)
2.6
Ermittle das Volumen des Dachraumes $ABCDEF.$
(5 BE)
2.7
Am Ende eines im Punkt $E$ befestigten Seiles soll ein als punktförmig angenommener Beleuchtungskörper aufgehängt werden.
Prüfe, ob bei einer Seillänge von $80\,\text{cm}$ der Abstand des Beleuchtungskörpers von der Dachfläche $ABE$ noch mindestens $90\,\text{cm}$ beträgt.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmenWahlteil A2
Da $ABCD$ ein Rechteck ist, lässt sich der Ortsvektor von $D$ wie folgt bestimmen:
$\overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} = \pmatrix{3,00\\4,00\\6,00} + \pmatrix{8,25 \\ 11,00\\0,00} = \pmatrix{11,25\\15,00\\6,00}$
$ \overrightarrow{OD} = \pmatrix{11,25\\15,00\\6,00} $
Die Koordinaten lauten $D(11,25\mid 15,00\mid 6,00).$
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung ermitteln
Einen Normalenvektor der Ebene kannst du mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte bestimmen. Dazu kannst du den crossP-Befehl deines CAS verwenden.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt] &=& \pmatrix{8,00\\-6,00\\0,00}\times \pmatrix{6,88\\0,84\\3,00} \\[5pt] &=& \pmatrix{-6,00\cdot 3,00 - 0,00 \cdot 0,84 \\0,00\cdot 6,88 - 8,00\cdot 3,00 \\8,00\cdot 0,84- (-6,00)\cdot 6,88 } \\[5pt] &=& \pmatrix{-18\\-24\\48} \\[5pt] &=& 6\cdot \pmatrix{-3\\-4\\8} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{n}=6\cdot \pmatrix{-3\\-4\\8} $
Du kannst nun sowohl die gekürzte als auch die ungekürzte Variante verwenden. Setze den berechneten Normalenvektor in die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene ein:
$\epsilon_{ABE} :\; -3x-4y+8z -d = 0$
Setze dort nun die Koordinaten eines der drei Punkte $A,$ $B$ oder $E$ ein, um $d$ zu berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} -3x-4y+8z -d&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;A(3,00\mid 4,00\mid 6,00) \\[5pt] -3\cdot 3,00 -4\cdot 4,00 +8\cdot 6,00 -d&=& 0 \\[5pt] 23-d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +d \\[5pt] 23 &=& d \end{array}$
$ d = 23 $
Eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche $ABE$ liegt, lautet also:
$\epsilon_{ABE} :\; -3x-4y+8z -23 = 0$
#kreuzprodukt
2.2
$\blacktriangleright$  Länge der Traufe berechnen
Die Länge der Traufe kann über den Umfang des Rechtecks $ABCD$ berechnet werden. Die zugehörigen Seitenlängen können über die Beträge der entsprechenden Verbindngsvektoren berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{8,00 \\ -6,00 \\ 0,00} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{8,00^2 +(-6,00)^2 + 0,00^2} \\[5pt] &=& 10 \\[10pt] \left|\overrightarrow{BC} \right|&=& \left|\pmatrix{8,25\\11,00\\0,00} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{8,25^2 +11,00^2 + 0,00^2} \\[5pt] &=& 13,75 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& 10 \\[10pt] \left|\overrightarrow{BC} \right|&=& 13,75 \\[10pt] \end{array}$
Der Gesamtumfang des Rechtecks beträgt also:
$U_{ABCD} = 2\cdot 10\,\text{LE} +2\cdot 13,75\,\text{LE} = 47,5\,\text{LE} $
$ U_{ABCD} = 47,5\,\text{LE} $
Die Traufe ist $47,5\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag
2.3
$\blacktriangleright$  Anwendung der Faustregel beurteilen
Die Faustregel ist anwendbar, wenn alle Dachflächen annähernd gleich geneigt sind. Die Neigung der trapezförmigen Dachflächen ist mit $31^{\circ}$ bekannt. Bestimme also die Neigung der dreieckigen Dachflächen, die laut Aufgabenstellung bei beiden gleich ist. Die vier Eckpunkte des Dachbodens besitzen alle die gleiche $z$-Koordinate, $z = 6,00.$ Dadurch liegt die Dachbodenfläche in der Ebene $E:\;z = 6,00.$
Die dreiecksförmige Dachfläche $ABE$ liegt in der Ebene $\epsilon_{ABE}.$ Berechne also den Neigungswinkel $\alpha$ der beiden Ebenen mit der entsprechenden Formel. Ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\overrightarrow{n}_E = \pmatrix{0\\0\\1}.$
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{-3\\-4\\8}\circ\pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left| \pmatrix{-3\\-4\\8}\right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{8}{\sqrt{(-3)^2 +(-4)^2+8^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{8}{\sqrt{89}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 32^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx 32^{\circ} $
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die beiden dreiecksförmigen Dachflächen im gleichen Winkel geneigt sind.
Die Neigung der dreiecksförmigen Dachflächen weicht also nur um ca. $1^{\circ}$ von der Neigung der trapezförmigen Dachflächen ab. Man kann also von einer annähernd gleichen Neigung sprechen und daher die Faustregel anwenden.
$\blacktriangleright$  Einhaltung der Maße beurteilen
Oben hast du bereits die Länge des Hauses über den Vektorbetrag $\left|\overrightarrow{BC} \right|$ und die Breite über den Vektorbetrag $\left| \overrightarrow{AB}\right| $ berechnet:
$l= 13,75\,\text{m}$ und $b = 10\,\text{m}.$
Berechne nun noch die Länge des Firstes über den entsprechenden Vektorbetrag:
$\begin{array}[t]{rll} f&=& \left|\overrightarrow{EF} \right|\,\text{m} \\[5pt] &=& \left|\pmatrix{2,49\\3,32\\0,00} \right|\,\text{m} \\[5pt] &=& \sqrt{2,49^2 +3,32^2 +0,00^2} \,\text{m} \\[5pt] &=& 4,15\,\text{m} \end{array}$
$ f = 4,15\,\text{m} $
Nach der Regel müsste die Firstlänge ungefähr $13,75\,\text{m} - 10\,\text{m}=3,75\,\text{m}$ betragen. Die tatsächliche Länge des Firstes weicht um ca. $40\,\text{cm}$ davon ab. Dies kann man noch als angemessene Abweichung ansehen. Die Faustregel kann bei dem betrachteten Haus also als erfüllt angesehen werden.
#schnittwinkel#vektorbetrag
2.4
$\blacktriangleright$  Sparren nachweisen
1. Schritt: Mittelpunkte bestimmen
Mit der entsprechenden Formel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{BC}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{11,00\\-2,00\\6,00}+\pmatrix{19,25\\9,00\\6,00}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{15,125 \\ 3,50\\6,00} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_{EF}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} \right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{9,88\\4,84\\9,00}+\pmatrix{12,37\\8,16\\9,00}\right) \\[5pt] &=& \pmatrix{11,125 \\ 6,50 \\ 9,00} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{BC}&=& \pmatrix{15,125 \\ 3,50\\6,00} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_{EF}&=& \pmatrix{11,125 \\ 6,50 \\ 9,00} \\[10pt] \end{array}$
2. Schritt: Rechtwinkligkeit überprüfen
Der Balken verläuft rechtwinklig zum First und zur Dachkante, wenn die zugehörigen Vektoren rechtwinklig zueinander stehen. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& \pmatrix{2,49\\3,32\\0,00} \circ \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00} \\[5pt] &=& 2,49\cdot 4,00 +3,32\cdot (-3,00) +0,00\cdot (-3,00) \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& \pmatrix{8,25\\11,00\\0,00} \circ \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00} \\[5pt] &=& 8,25\cdot 4,00 +11,00\cdot (-3,00) +0,00\cdot (-3,00) \\[5pt] &=& 0 \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& 0 \\[10pt] \overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& 0 \\ \end{array}$
Der Balken verläuft also rechtwinklig von der Traufe zum First. Es handelt sich bei diesem Balken also um einen Sparren.
$\blacktriangleright$  Länge berechnen
Mithilfe des Vektorbetrags ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} l&=& \left|\overrightarrow{M_{EF}M_{BC}} \right| \,\text{LE} \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00}\right| \,\text{LE}\\[5pt] &=& \sqrt{4,00^2 +(-3,00)^2 +(-3,00)^2}\,\text{LE}\\[5pt] &=& \sqrt{34}\,\text{LE} \\[5pt] &\approx& 5,83 \,\text{LE}\\[5pt] &=& 5,83\,\text{m} \end{array}$
$ l\approx 5,83\,\text{m} $
Der Balken ist ca. $5,83\,\text{m}$ lang.
#vektorbetrag#skalarprodukt
2.5
$\blacktriangleright$  Anzahl der benötigten Ziegel berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt der trapezförmigen Dachflächen berechnen
Da der Dachboden rechteckig ist und die beiden dreiecksförmigen Dachflächen kongruent und gleichschenklig sind, sind auch die beiden trapezförmigen Dachflächen kongruent.
Es genügt also die Größe einer Fläche zu berechnen.
Da die Strecke $\overline{M_{EF}M_{BC}}$ senkrecht zur Firststrecke $\overline{EF}$ und zur Dachkantenstrecke $\overline{BC}$ ist, entspricht ihre Länge der Höhe des Trapezes $BCFE:$
$h_{BCFE} \approx 5,83 \,\text{m}$
Die Längen der parallelen Seiten hast du ebenfalls bereits berechnet:
$a = 4,15\,\text{m}$ und $c = 13,75\,\text{m}$
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_{BCFE}&=& \frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h_{BCFE} \\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}\cdot (4,15\,\text{m}+13,75\,\text{m}) \cdot 5,83 \,\text{m} \\[5pt] &=& 52,1785\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A_{BCFE} \approx 52,1785\,\text{m}^2 $
2. Schritt: Flächeninhalt der dreieckigen Dachflächen berechnen
Betrachte das Dreieck $ABE.$ Die Länge der Grundseite des Dreiecks hast du bereits berechnet:
$g = \left|\overrightarrow{AB} \right| = 10\,\text{[m]}$
Die Höhe kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen, indem du zuerst die Seitenlänge $\left|\overrightarrow{BE}\right|$ berechnest:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BE} \right|&=& \left|\pmatrix{-1,12\\ 6,84\\ 3,00} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{(-1,12)^2 + 6,84^2 + 3,00^2} \\[5pt] &=& \sqrt{57,04} \\[5pt] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{BE} \right| = \sqrt{57,04} $
Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks $ABE$ folgt für die Höhe $h:$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{BE} \right|^2&=&h^2 + \left(\frac{\left|\overrightarrow{AB} \right|}{2} \right)^2 \\[5pt] \sqrt{57,04} ^2 &=& h^2 + 5^2 \\[5pt] 57,04 &=& h^2 + 25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] 32,04 &=& h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] 5,66\,\text{[LE]}&\approx& h \end{array}$
$ h\approx 5,66\,\text{[LE]} $
Der Flächeninhalt der dreiecksförmigen Dachfläche $ABE$ ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} A_{ABE}&=& \frac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &\approx& \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{m} \cdot 5,66\,\text{m} \\[5pt] &=& 28,30\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$A_{ABE} \approx 28,30\,\text{m}^2 $
3. Schritt: Gesamtgröße der zu deckenden Fläche berechnen
$A = 2\cdot A_{ABE} + 2\cdot A_{BCFE} \approx 2\cdot 28,30\,\text{m}^2 +2\cdot 52,1785\,\text{m}^2 \approx 160,96\,\text{m}^2 $
$ A\approx 160,96\,\text{m}^2$
Laut Aufgabenstellung muss ein Mehrbedarf von $23\,\%$ miteinberechnet werden:
$D= 160,96\,\text{m}^2 \cdot 1,23 \approx 197,98 \,\text{m}^2 $
$ D \approx 197,98 \,\text{m}^2 $
4. Schritt: Flächeninhalt eines Ziegels berechnen
$A_{Z} = 25\,\text{cm} \cdot 44\,\text{cm} = 1100\,\text{cm}^2 = 0,11\,\text{m}^2$
$ A_{Z}= 0,11\,\text{m}^2$
5. Schritt: Anzahl der Ziegel berechnen
$197,98 \,\text{m}^2 : 0,11\,\text{m}^2 \approx 1799,82 $
Um das Dach vollständig zu decken, werden also ca. $1800$ Hohlfalzziegel benötigt.
#vektorbetrag
2.6
$\blacktriangleright$  Volumen des Dachraumes ermitteln
Wahlteil A2
Abb. 1: Skizze
Wahlteil A2
Abb. 1: Skizze
1. Schritt: Volumen des Prismas berechnen
Die Höhe des Prismas entspricht der Länge der Strecke $\overline{EF}:$
$h_1 = \left|\overrightarrow{EF} \right| = 4,15\,\text{[m]}$
$ h_1= 4,15\,\text{[m]} $
Die Grundfläche ist das gleichschenklige Dreieck $IJF.$ Die Strecke $\overline{IJ}$ ist die Grundseite $g$ und ist genauso lang, wie die Strecken $\overline{AB}$ und $\overline{CD}:$
$g = 10\,\text{m}$
Die Dachbodenfläche liegt im Modell vollständig in der Ebene $z= 6,00,$ die parallel zur $xy$-Ebene ist. Die Höhe des Dreiecks $IJF$ ergibt sich also mithilfe der $z$-Koordinate von $F$ zu:
$h = 9,00 -6,00 = 3,00\,\text{[m]}$
$ h = 3,00\,\text{[m]} $
Die Grundfläche hat also folgenden Flächeninhalt:
$\begin{array}[t]{rll} G_1&=& \frac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 10\,\text{m} \cdot 3,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 15,00\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ G_1 = 15,00\,\text{m}^2 $
Es ergibt sich für das Prisma also folgendes Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V_1&=& G_1\cdot h_1 \\[5pt] &=& 15,00\,\text{m}^2 \cdot 4,15\,\text{m} \\[5pt] &=& 62,25\,\text{m}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_1 = 62,25\,\text{m}^3 $
2. Schritt: Volumen einer Pyramide berechnen
Beide Pyramiden haben das gleiche Volumen. Betrachte also beispielsweise die Pyramide $JICDF.$ Die Höhe entspricht der Höhe des Dreiecks $IJF,$ die du bereits berechnet hast:
$h_2 = 3,00\,\text{m}$
Die Seitenlänge $a= \left|\overline{IC} \right|$ der rechteckigen Grundfläche ergibt sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a &=& \left|\overline{IC}\right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot\left( \left|\overline{BC} \right| - \left|\overline{EF} \right|\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot\left(13,75\,\text{[m]} -4,15\,\text{[m]}\right) \\[5pt] &=& 4,8\,\text{[m]} \\[5pt] \end{array}$
$ a = 4,8\,\text{[m]}$
Die zweite Seitenlänge der Grundfläche ist:
$b= \left|\overline{CD} \right|= \left|\overline{AB} \right| = 10\,\text{[m]}$
$ b =10\,\text{[m]} $
Die Größe der Grundfläche ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} G_2&=& a\cdot b \\[5pt] &=&4,8\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} \\[5pt] &=& 48\,\text{m}^2 \end{array}$
$ G_2 = 48\,\text{m}^2 $
Für das Volumen folgt dann:
$\begin{array}[t]{rll} V_2&=& \frac{1}{3}\cdot G_2\cdot h_2 \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 48\,\text{m}^2\cdot 3,00\,\text{m}\\[5pt] &=& 48\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V_2 = 48\,\text{m}^3 $
3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen
$V= 2\cdot V_2 + V_1 = 2\cdot 48\,\text{m}^3 + 62,25\,\text{m}^3 = 158,25\,\text{m}^3$
$ V= 158,25\,\text{m}^3 $
Der gesamte Dachraum $ABCDEF$ besitzt ein Volumen von $158,25\,\text{m}^3.$
2.7
$\blacktriangleright$  Abstand prüfen
1. Schritt: Koordinaten des Beleuchtungspunktes bestimmen
Der Punkt $L,$ der den punktförmigen Beleuchtungskörper darstellt, hat die gleichen $x$- und $y$-Koordinaten wie $E,$ da der Beleuchtungskörper an einem im Punkt $E$ befestigten Seil hängt.
Das Seil ist $80\,\text{cm},$ also $0,8\,\text{LE}$ lang. Die $z$-Koordinate von $L$ ergibt sich also aus der $z$-Koordinate von $E$ zu
$z_L = z_E -0,8 = 9,00-0,8 = 8,20 $
$ z_L = 8,20 $
Insgesamt ergeben sich folgende Koordinaten: $L(9,88\mid 4,84\mid 8,20).$
2. Schritt: Abstand des Beleuchtungspunkts zur Dachebene bestimmen
Verwende zur Abstandsberechnung die Hessesche Normalform der Ebene $\epsilon_{ABE}.$
$\begin{array}[t]{llll} \epsilon_{ABE}:\quad \dfrac{-3x-4y+8z-23}{\left|\pmatrix{-3\\-4\\8} \right|} &=& 0 \\[5pt] \dfrac{-3x-4y+8z-23}{\sqrt{(-3)^2 +(-4)^2 +8^2}} &=& 0 \\[5pt] \dfrac{-3x-4y+8z-23}{\sqrt{89}} &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ \epsilon_{ABE}:\; \frac{-3x-4y+8z-23}{\sqrt{89}} = 0 $
Der Abstand eines Punkts $P(x\mid y\mid z)$ zur Ebene $\epsilon_{ABE}$ ist also
$d(P,\epsilon_{ABE}) = \dfrac{\left|-3x-4y+8z-23\right|}{\sqrt{89}}$
$ d(P,\epsilon_{ABE}) = \frac{\left|-3x-4y+8z-23\right|}{\sqrt{89}}$
Einsetzen der Koordinaten von $L$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} d(L,\epsilon_{ABE})&=& \dfrac{\left|-3\cdot 9,88-4\cdot4,84+8\cdot 8,20-23\right|}{\sqrt{89}}\\[5pt] &=& \dfrac{6,4}{\sqrt{89}} \\[5pt] &\approx& 0,68 \end{array}$
$ d(L,\epsilon_{ABE})\approx 0,68$
Der Beleuchtungskörper ist also ca. $68\,\text{cm}$ von der Dachebene entfernt. Der Abstand von mindestens $90\,\text{cm}$ wird also nicht eingehalten.
#hesseschenormalform
Bildnachweise [nach oben]
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