Wahlteil A2
Der Dachboden eines Hauses mit einem Walmdach wird durch ein Rechteck 
mit 
und 
beschrieben.
Die begrenzenden Flächen des Walmdaches haben die Form von zwei gleichschenkligen kongruenten Dreiecken und zwei Trapezen.
Die umlaufende Dachkante wird als Traufe bezeichnet. An ihr verläuft die Dachrinne. Die zur Dachkante
parallel Dachlinie 
mit 
und 
nennt man First.
Als Dachsparren bezeichnet man die Träger, die rechtwinklig von der Traufe zum First verlaufen.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
mit und beschrieben.
Die begrenzenden Flächen des Walmdaches haben die Form von zwei gleichschenkligen kongruenten Dreiecken und zwei Trapezen.
Die umlaufende Dachkante wird als Traufe bezeichnet. An ihr verläuft die Dachrinne. Die zur Dachkante
parallel Dachlinie mit und nennt man First.
Als Dachsparren bezeichnet man die Träger, die rechtwinklig von der Traufe zum First verlaufen.
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
2.1
Bestimme die Koordinaten von 
Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche 
liegt.
[Zur Kontrolle:
]
Ermittle eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche liegt.
[Zur Kontrolle:
]
(4 BE)
2.2
Berechne die Länge der Traufe.
(3 BE)
2.3
Die beiden dreiecksförmigen Dachflächen haben jeweils dieselbe Neigung zum Dachboden. Außerdem weiß man, dass die trapezförmigen Dachflächen eine Neigung von etwa 
haben.
Eine Faustregel besagt, dass bei annähernd gleicher Neigung der Dachflächen gilt: „Firstlänge
Länge des Hauses - Breite des Hauses“
Beurteile, ob die Faustregel für dieses Haus anwendebar ist und die Maße des Hauses die Regel bestätigen.
haben.
Eine Faustregel besagt, dass bei annähernd gleicher Neigung der Dachflächen gilt: „Firstlänge
Länge des Hauses - Breite des Hauses“
Beurteile, ob die Faustregel für dieses Haus anwendebar ist und die Maße des Hauses die Regel bestätigen.
(6 BE)
2.4
Ein Balken verbindet die Mittelpunkte des Firstes und der Dachkante 
Weise nach, dass es sich bei dem Balken um einen Sparren handelt und berechne seine Länge.
Weise nach, dass es sich bei dem Balken um einen Sparren handelt und berechne seine Länge.
(5 BE)
2.5
Das Haus wird mit gewellten Hohlfalzziegeln eingedeckt, deren Maße 
betragen.
Bei der Verlegung der Dachziegel muss aufgrund von Überlappung und Verschnitt mit einem Mehrbedarf von
gerechnet werden.
Berechne die Anzahl der benötigten Ziegel für das vollständige Decken des Daches.
betragen.
Bei der Verlegung der Dachziegel muss aufgrund von Überlappung und Verschnitt mit einem Mehrbedarf von
gerechnet werden.
Berechne die Anzahl der benötigten Ziegel für das vollständige Decken des Daches.
(8 BE)
2.6
Ermittle das Volumen des Dachraumes 
(5 BE)
2.7
Am Ende eines im Punkt 
befestigten Seiles soll ein als punktförmig angenommener Beleuchtungskörper aufgehängt werden.
Prüfe, ob bei einer Seillänge von
der Abstand des Beleuchtungskörpers von der Dachfläche noch mindestens 
beträgt.
Bildnachweise [nach oben]
befestigten Seiles soll ein als punktförmig angenommener Beleuchtungskörper aufgehängt werden.
Prüfe, ob bei einer Seillänge von
der Abstand des Beleuchtungskörpers von der Dachfläche noch mindestens beträgt.
(4 BE)
© - SchulLV.
2.1
Koordinaten bestimmen ein Rechteck ist, lässt sich der Ortsvektor von 
wie folgt bestimmen:
Die Koordinaten lauten 
Vollständige Lösung anzeigen
Koordinatengleichung ermitteln
Einen Normalenvektor der Ebene kannst du mithilfe des Kreuzprodukts zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte bestimmen. Dazu kannst du den crossP-Befehl deines CAS verwenden.
Du kannst nun sowohl die gekürzte als auch die ungekürzte Variante verwenden. Setze den berechneten Normalenvektor in die allgemeine Koordinatengleichung einer Ebene ein:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AE} \\[5pt]
&=& \pmatrix{8,00\\-6,00\\0,00}\times \pmatrix{6,88\\0,84\\3,00} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-6,00\cdot 3,00 - 0,00 \cdot 0,84 \\0,00\cdot 6,88 - 8,00\cdot 3,00 \\8,00\cdot 0,84- (-6,00)\cdot 6,88 } \\[5pt]
&=& \pmatrix{-18\\-24\\48} \\[5pt]
&=& 6\cdot \pmatrix{-3\\-4\\8} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b23257e9dc8b6c5722a42d71a0d09b98039186403173b77395a0dac42e918e90_light.svg)
Setze dort nun die Koordinaten eines der drei Punkte 
oder ein, um 
zu berechnen:
Eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die Dachfläche 
![\(\begin{array}[t]{rll}
-3x-4y+8z -d&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;A(3,00\mid 4,00\mid 6,00) \\[5pt]
-3\cdot 3,00 -4\cdot 4,00 +8\cdot 6,00 -d&=& 0 \\[5pt]
23-d &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +d \\[5pt]
23 &=& d
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/064585aca37cc17602511f572d7a16d4ee94c100d0de1090cdd6484905e521fc_light.svg)
liegt, lautet also:
2.2
Länge der Traufe berechnen
Die Länge der Traufe kann über den Umfang des Rechtecks berechnet werden. Die zugehörigen Seitenlängen können über die Beträge der entsprechenden Verbindngsvektoren berechnet werden:
Der Gesamtumfang des Rechtecks beträgt also:
Die Traufe ist ![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{AB} \right|&=& 10 \\[10pt]
\left|\overrightarrow{BC} \right|&=& 13,75 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1e13d0b4845bdac84d2ecb029808540ccfc88ac3e876c02b0934871a78f95fde_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{AB} \right|&=& \left|\pmatrix{8,00 \\ -6,00 \\ 0,00} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{8,00^2 +(-6,00)^2 + 0,00^2} \\[5pt]
&=& 10 \\[10pt]
\left|\overrightarrow{BC} \right|&=& \left|\pmatrix{8,25\\11,00\\0,00} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{8,25^2 +11,00^2 + 0,00^2} \\[5pt]
&=& 13,75 \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5dd5f11c992d96b0553ecda6d12c9d49719baec311fe9cbaef22845af848b9db_light.svg)
lang.
2.3
Anwendung der Faustregel beurteilen
Die Faustregel ist anwendbar, wenn alle Dachflächen annähernd gleich geneigt sind. Die Neigung der trapezförmigen Dachflächen ist mit bekannt. Bestimme also die Neigung der dreieckigen Dachflächen, die laut Aufgabenstellung bei beiden gleich ist. Die vier Eckpunkte des Dachbodens besitzen alle die gleiche 
-Koordinate, 
Dadurch liegt die Dachbodenfläche in der Ebene 
Die dreiecksförmige Dachfläche liegt in der Ebene 
Berechne also den Neigungswinkel 
der beiden Ebenen mit der entsprechenden Formel. Ein Normalenvektor der Ebene ist 
In der Aufgabenstellung ist angegeben, dass die beiden dreiecksförmigen Dachflächen im gleichen Winkel geneigt sind.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos \alpha &=& \dfrac{\left|\pmatrix{-3\\-4\\8}\circ\pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left| \pmatrix{-3\\-4\\8}\right|\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt]
\cos \alpha &=& \dfrac{8}{\sqrt{(-3)^2 +(-4)^2+8^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt]
\cos \alpha &=& \dfrac{8}{\sqrt{89}} &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx& 32^{\circ} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c4468e8b738e86fde975fc29884df629977c7b1cc2c49a0bd1c98e08c8e0c373_light.svg)
Die Neigung der dreiecksförmigen Dachflächen weicht also nur um ca.
von der Neigung der trapezförmigen Dachflächen ab. Man kann also von einer annähernd gleichen Neigung sprechen und daher die Faustregel anwenden.
Einhaltung der Maße beurteilen
Oben hast du bereits die Länge des Hauses über den Vektorbetrag 
und die Breite über den Vektorbetrag 
berechnet:
und 
Berechne nun noch die Länge des Firstes über den entsprechenden Vektorbetrag:
Nach der Regel müsste die Firstlänge ungefähr 
![\(\begin{array}[t]{rll}
f&=& \left|\overrightarrow{EF} \right|\,\text{m} \\[5pt]
&=& \left|\pmatrix{2,49\\3,32\\0,00} \right|\,\text{m} \\[5pt]
&=& \sqrt{2,49^2 +3,32^2 +0,00^2} \,\text{m} \\[5pt]
&=& 4,15\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8bd4568e50eea4f0de00c0533b41882d46a8f65d432ebf4bba318bd3911df111_light.svg)
betragen. Die tatsächliche Länge des Firstes weicht um ca. 
davon ab. Dies kann man noch als angemessene Abweichung ansehen. Die Faustregel kann bei dem betrachteten Haus also als erfüllt angesehen werden.
2.4
Sparren nachweisen
1. Schritt: Mittelpunkte bestimmen
Mit der entsprechenden Formel folgt:
2. Schritt: Rechtwinkligkeit überprüfen
Der Balken verläuft rechtwinklig zum First und zur Dachkante, wenn die zugehörigen Vektoren rechtwinklig zueinander stehen. Zwei Vektoren sind senkrecht zueinander, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.
Der Balken verläuft also rechtwinklig von der Traufe zum First. Es handelt sich bei diesem Balken also um einen Sparren.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}_{BC}&=& \pmatrix{15,125 \\ 3,50\\6,00} \\[10pt]
\overrightarrow{OM}_{EF}&=& \pmatrix{11,125 \\ 6,50 \\ 9,00} \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3b9bd7d204a4c2437d7b6bfdec03b87d4c04a119466b68a39b84366a1698cc8c_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OM}_{BC}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{11,00\\-2,00\\6,00}+\pmatrix{19,25\\9,00\\6,00}\right) \\[5pt]
&=& \pmatrix{15,125 \\ 3,50\\6,00} \\[10pt]
\overrightarrow{OM}_{EF}&=& \frac{1}{2}\cdot \left(\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF} \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left( \pmatrix{9,88\\4,84\\9,00}+\pmatrix{12,37\\8,16\\9,00}\right) \\[5pt]
&=& \pmatrix{11,125 \\ 6,50 \\ 9,00} \\[10pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8923a27d24b1d5aeadd45573fd3537a68632a00168185330a802941a3891f111_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& 0 \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0b8e3160dcf60d3918a0f4507e1bfa9a9651161dece313651a89f02c904a6782_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{EF}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& \pmatrix{2,49\\3,32\\0,00} \circ \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00} \\[5pt]
&=& 2,49\cdot 4,00 +3,32\cdot (-3,00) +0,00\cdot (-3,00) \\[5pt]
&=& 0 \\[10pt]
\overrightarrow{BC}\circ \overrightarrow{M_{EF}M_{BC}}&=& \pmatrix{8,25\\11,00\\0,00} \circ \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00} \\[5pt]
&=& 8,25\cdot 4,00 +11,00\cdot (-3,00) +0,00\cdot (-3,00) \\[5pt]
&=& 0 \\
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/68b3d5a25a6ba63ba8a366c42556034b80e5e07a3d61f8719a4feafc15906697_light.svg)
Länge berechnen
Mithilfe des Vektorbetrags ergibt sich:
Der Balken ist ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
l&=& \left|\overrightarrow{M_{EF}M_{BC}} \right| \,\text{LE} \\[5pt]
&=& \left| \pmatrix{4,00\\-3,00\\-3,00}\right| \,\text{LE}\\[5pt]
&=& \sqrt{4,00^2 +(-3,00)^2 +(-3,00)^2}\,\text{LE}\\[5pt]
&=& \sqrt{34}\,\text{LE} \\[5pt]
&\approx& 5,83 \,\text{LE}\\[5pt]
&=& 5,83\,\text{m}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/aee9c6a333b7a0582090a320b6271143b394de174f7a07d5d3d84c75b0bea45c_light.svg)
lang.
2.5
Anzahl der benötigten Ziegel berechnen
1. Schritt: Flächeninhalt der trapezförmigen Dachflächen berechnen
Da der Dachboden rechteckig ist und die beiden dreiecksförmigen Dachflächen kongruent und gleichschenklig sind, sind auch die beiden trapezförmigen Dachflächen kongruent.
Es genügt also die Größe einer Fläche zu berechnen. Da die Strecke
senkrecht zur Firststrecke und zur Dachkantenstrecke ist, entspricht ihre Länge der Höhe des Trapezes 
Die Längen der parallelen Seiten hast du ebenfalls bereits berechnet:
und 
Der Flächeninhalt ergibt sich also zu:
2. Schritt: Flächeninhalt der dreieckigen Dachflächen berechnen
Betrachte das Dreieck 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{BCFE}&=& \frac{1}{2}\cdot (a+c)\cdot h_{BCFE} \\[5pt]
&\approx& \frac{1}{2}\cdot (4,15\,\text{m}+13,75\,\text{m}) \cdot 5,83 \,\text{m} \\[5pt]
&=& 52,1785\,\text{m}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/56f5eb6210db7ab5944904bffabe7a912233805c9d16859276094ca58caf8e15_light.svg)
Die Länge der Grundseite des Dreiecks hast du bereits berechnet:
![\(g = \left|\overrightarrow{AB} \right| = 10\,\text{[m]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/59b869e561932900f976c7f2b3a7074437f7fa1d0d91110d3178d00213c321b2_light.svg)
Die Höhe kannst du über den Satz des Pythagoras berechnen, indem du zuerst die Seitenlänge 
berechnest:
Wegen der Gleichschenkligkeit des Dreiecks 
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{BE} \right|&=& \left|\pmatrix{-1,12\\ 6,84\\ 3,00} \right| \\[5pt]
&=& \sqrt{(-1,12)^2 + 6,84^2 + 3,00^2} \\[5pt]
&=& \sqrt{57,04} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8c08a991aedbc5a48a09af53b58b1c213a21f714f0a17654b1c6b12a09e54b24_light.svg)
folgt für die Höhe 
Der Flächeninhalt der dreiecksförmigen Dachfläche ![\( h\approx 5,66\,\text{[LE]} \)](https://www.schullv.de/resources/formulas/c80c3df15a022590691dcd10c980f1a89e454309e1b10e5eff5cc50341e50aac_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{BE} \right|^2&=&h^2 + \left(\frac{\left|\overrightarrow{AB} \right|}{2} \right)^2 \\[5pt]
\sqrt{57,04} ^2 &=& h^2 + 5^2 \\[5pt]
57,04 &=& h^2 + 25 &\quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt]
32,04 &=& h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt]
5,66\,\text{[LE]}&\approx& h
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5e3cd615523c1d80de123114a2959f89eac5bbb8ea1e77061846fdfb679ff0d9_light.svg)
ergibt sich daher zu:
3. Schritt: Gesamtgröße der zu deckenden Fläche berechnen
Laut Aufgabenstellung muss ein Mehrbedarf von 
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{ABE}&=& \frac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt]
&\approx& \frac{1}{2} \cdot 10\,\text{m} \cdot 5,66\,\text{m} \\[5pt]
&=& 28,30\,\text{m}^2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/9f78f541f40af9b578d2971acc9e2972aaa8c26f0e4da493b5afaea2e37fef08_light.svg)
miteinberechnet werden:
4. Schritt: Flächeninhalt eines Ziegels berechnen
5. Schritt: Anzahl der Ziegel berechnen
Um das Dach vollständig zu decken, werden also ca. 
Hohlfalzziegel benötigt.
2.6
Volumen des Dachraumes ermitteln
Zerlege den Körper 
in drei Teilkörper. Der mittlere 
ist ein Prisma mit der dreieckigen Grundfläche 
Die beiden äußeren Teilkörper sind identische vierseitige Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche.
Die Schnittkanten sind in der Skizze dargestellt.
in drei Teilkörper. Der mittlere ist ein Prisma mit der dreieckigen Grundfläche
Die beiden äußeren Teilkörper sind identische vierseitige Pyramiden mit rechteckiger Grundfläche.
Die Schnittkanten sind in der Skizze dargestellt.
Abb. 1: Skizze
Die Grundfläche ist das gleichschenklige Dreieck ![\( h_1= 4,15\,\text{[m]} \)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0bf7f6b82067aa7c3227f80ec0fdfc0cc3c14bbe3513b593977e6d1c1c104b4d_light.svg)
![\(h_1 = \left|\overrightarrow{EF} \right| = 4,15\,\text{[m]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/29c15154c80706816a452db7db9960f96e08a91e0fc67bf21cd2bc87912a412b_light.svg)
Die Strecke 
ist die Grundseite 
und ist genauso lang, wie die Strecken 
und 
Die Dachbodenfläche liegt im Modell vollständig in der Ebene 
die parallel zur 
-Ebene ist. Die Höhe des Dreiecks 
ergibt sich also mithilfe der -Koordinate von 
zu:
Die Grundfläche hat also folgenden Flächeninhalt:
Es ergibt sich für das Prisma also folgendes Volumen:
2. Schritt: Volumen einer Pyramide berechnen
Beide Pyramiden haben das gleiche Volumen. Betrachte also beispielsweise die Pyramide ![\( h = 3,00\,\text{[m]} \)](https://www.schullv.de/resources/formulas/beb2671396e6ddd4b09e25570ca7c47f41035b97b57ec224eaa8649966098150_light.svg)
![\(h = 9,00 -6,00 = 3,00\,\text{[m]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/345be90320962168651e9f099cc03da1f6786ccfef260fa4bf66b07375a4812f_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
G_1&=& \frac{1}{2}\cdot g\cdot h \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot 10\,\text{m} \cdot 3,00\,\text{m} \\[5pt]
&=& 15,00\,\text{m}^2 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/be88414594b5f47294c6f2511b2444d257e0d87c1e225b54d52ef60eced40072_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_1&=& G_1\cdot h_1 \\[5pt]
&=& 15,00\,\text{m}^2 \cdot 4,15\,\text{m} \\[5pt]
&=& 62,25\,\text{m}^3 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/77e0acbfb6e18df1157440ab2758bad5a65eeb834f734cb28a7e570d32a2411e_light.svg)
Die Höhe entspricht der Höhe des Dreiecks 
die du bereits berechnet hast:
Die Seitenlänge 
der rechteckigen Grundfläche ergibt sich wie folgt:
Die zweite Seitenlänge der Grundfläche ist:
Die Größe der Grundfläche ergibt sich daher zu:
Für das Volumen folgt dann:
3. Schritt: Gesamtvolumen berechnen
Der gesamte Dachraum ![\( a = 4,8\,\text{[m]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2a65dde420ecc47099b20ed59bd940230c42a7ce42bb3edfdec62be79a121473_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a &=& \left|\overline{IC}\right| \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot\left( \left|\overline{BC} \right| - \left|\overline{EF} \right|\right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot\left(13,75\,\text{[m]} -4,15\,\text{[m]}\right) \\[5pt]
&=& 4,8\,\text{[m]} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f514ad7d3916d6e70f6dc18b37bd9a1f8d18a17c369ffd48a2ba6764447e5802_light.svg)
![\( b =10\,\text{[m]} \)](https://www.schullv.de/resources/formulas/f1041122f3470582efbbbd0eebbb58fa16adb4484b7fa417cd58e5fd6d59d109_light.svg)
![\(b= \left|\overline{CD} \right|= \left|\overline{AB} \right| = 10\,\text{[m]}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/45e330eb05dbebe8211141d596e60358ce92fc8ea4d2f225383b7944bbf0f8ef_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
G_2&=& a\cdot b \\[5pt]
&=&4,8\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} \\[5pt]
&=& 48\,\text{m}^2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/50e62d295de792189f1cf69163d9c0fa54ea2abbce8c28a6e7fed1f93ba6f690_light.svg)
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_2&=& \frac{1}{3}\cdot G_2\cdot h_2 \\[5pt]
&=& \frac{1}{3}\cdot 48\,\text{m}^2\cdot 3,00\,\text{m}\\[5pt]
&=& 48\,\text{m}^3
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/29bfce7caca2d282b6dd703d7d8804cc15d3baf0708029ccd2772e4e725c06b8_light.svg)
besitzt ein Volumen von 
2.7
Abstand prüfen
1. Schritt: Koordinaten des Beleuchtungspunktes bestimmen
Der Punkt 
der den punktförmigen Beleuchtungskörper darstellt, hat die gleichen 
- und 
-Koordinaten wie 
da der Beleuchtungskörper an einem im Punkt befestigten Seil hängt.
Das Seil ist
also 
lang. Die -Koordinate von 
ergibt sich also aus der -Koordinate von zu
Insgesamt ergeben sich folgende Koordinaten: 
2. Schritt: Abstand des Beleuchtungspunkts zur Dachebene bestimmen
Verwende zur Abstandsberechnung die Hessesche Normalform der Ebene
Der Abstand eines Punkts 
![\(\begin{array}[t]{llll}
\epsilon_{ABE}:\quad \dfrac{-3x-4y+8z-23}{\left|\pmatrix{-3\\-4\\8} \right|} &=& 0 \\[5pt]
\dfrac{-3x-4y+8z-23}{\sqrt{(-3)^2 +(-4)^2 +8^2}} &=& 0 \\[5pt]
\dfrac{-3x-4y+8z-23}{\sqrt{89}} &=& 0 \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/39ec31fbf05d2ce0cdd7553ff7d891d81e620f2db401146de571b1979b52b4ba_light.svg)
zur Ebene 
ist also
Einsetzen der Koordinaten von 
liefert:
Der Beleuchtungskörper ist also ca. 
![\(\begin{array}[t]{rll}
d(L,\epsilon_{ABE})&=& \dfrac{\left|-3\cdot 9,88-4\cdot4,84+8\cdot 8,20-23\right|}{\sqrt{89}}\\[5pt]
&=& \dfrac{6,4}{\sqrt{89}} \\[5pt]
&\approx& 0,68
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/d2bcf877c76c3a4723fbd40eba1bf3cb5c772cbf16f9f01960f4da4cd4775b5b_light.svg)
von der Dachebene entfernt. Der Abstand von mindestens wird also nicht eingehalten.
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