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Wahlteil A3

Aufgaben
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A3 Stochastik

Die Verwaltung einer Stadt in Mecklenburg-Vorpommern gab als Veranstalter eines Volksfestes 2008 eine repräsentative Umfrage in Auftrag, die über Wirtschaftswert des Volksfestes, Beucherstruktur, Image und Unterhaltungswert Auskunft geben sollte.
Die überwiegende Mehrheit der Festbesucher kam mit $72\,\%$ aus M-V ($M$), $9\,\%$ der Gäste reisten aus den übrigen deutschen Bundesländern ($D$) an. Die restlichen $19\,\%$ der Festgäste kamen aus dem Ausland (A).
3.1
Bei der Umfrage wurden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort mit den Antwortmöglichkeiten $M$, $D$, $A$ befragt.
Stelle für dieses Zufallsexperiment ein vollständiges Baumdiagramm auf und gib eine Ergebnismenge $\Omega$ an.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:
  • $E_1$: Beide Besucher stammen aus Mecklenburg-Vorpommern.
  • $E_2$: Mindestens ein Besucher kommt aus dem Ausland.
#ergebnismenge#baumdiagramm#ereignis
3.2
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der ausländischen Besucher bei einer Befragung von $5$ Personen.
Begründe, dass $X$ als binomialverteilt angesehen werden kann.
Berechne für jeden Wert von $X$ die Wahrscheinlichkeit und stelle diese Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar.
#binomialverteilung#wahrscheinlichkeit
3.3
Vier Besucher wurden bezüglich ihrer Anfahrt befragt. Ein Großteil der Besucher benutzte öffentliche Verkehrsmittel ($O$), die anderen private Fahrzeuge ($P$).
Gib die folgenden Ereignisse als Teilmengen der Ergebnismenge an.
  • $E_3$: Genau drei Personen fahren mit einem privaten Fahrzeug.
  • $E_4$: Die dritte Person fährt mit öffentlichen Verkehrsmitteln.
Formuliere das Gegenereignis von $E_4$ in Worten.
#ereignis#ergebnismenge#gegenereignis
3.4
Das Volksfest war ein Fest für alle Generationen, Jung und Alt feierten gemeinsam. So hatte die Altersgruppe „30 Jahre und älter“ einen Anteeil von $53\,\%$. Weibliche Besucher waren mit $49\,\%$ vertreten. Rund $6\,\%$ aller Festbesucher waren Kinder (untr 14 Jahre).
3.4.1
Man geht bei der Befragung davon aus, dass die Eigenschaften „Geschlecht“ und „Alter“ voneinander unabhängig sind.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Befragung die Person
  • männlich und „unter 30“ ist.
  • weiblich und nicht „unter 30“ ist.
#wahrscheinlichkeit
Am Eingang einer bei allen Festbesuchern besonders beliebten Attraktion wird geprüft, wie viele der Besucher Kinder sind.
3.4.2
Es werden $120$ Besucher dieser Attraktion befragt. Die Befragung kann als Bernoulli-Kette aufgefasst werden.
Mit wie vielen Kindern muss bei der Prüfung gerechnet werden?
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den $120$ Befragten
  • genau $10$ Kinder sind.
  • mindestens $2$, aber weniger als $8$ Kinder gefunden werden.
#wahrscheinlichkeit
3.4.3
Berechne, wie viele Personen befragt werden müssen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens zwei Kinder unter den Besuchern zu finden.
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Tipps
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3.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm aufstellen
Es werden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort befragt. Bei jedem von ihnen gibt es drei Möglichkeiten:
  • $M$: Mecklenburg-Vorpommern
  • $D$: Eins der übrigen deutschen Bundesländer
  • $A$: Ausland
Du benötigst also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen mit jeweils drei Ästen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du der Aufgabenstellung entnehmen.
$\blacktriangleright$  Ergebnismenge angeben
Du sollst eine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment angeben. Verwende dafür die Kürzel $M$, $D$ und $A$. Beachte, dass zwei Personen befragt werden. In der Ergebnismenge müssen alle Ergebnisse aufgeführt werden, die eintreten können. Du kannst dich an dem Baumdiagramm orientieren, indem du alle möglichen Pfade aufzählst.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse berechnen. Nutze dazu das Baumdiagramm, indem du die Pfadadditions- und Pfadmultiplikationsregel verwendest.
3.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsgröße $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann, gibt es zwei Bedingungen:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: „Erfolg“ oder „Misserfolg“
  • In jedem Durchgang bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg gleich.
Begründe, dass diese Bedingungen im vorliegenden Zufallsexperiment erfüllt sind.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen und grafisch darstellen
Du hast bereits begründet, dass $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von $X$ berechnen. Möglich sind $X=0$, $X=1$, $X=2$, $X=3$, $X=4$ und $X=5$. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ mit folgender Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus dem Ausland kommt, beträgt $19\,\%$, also ist $p = 0,19$. Es werden insgesamt $5$ Personen befragt, also ist $n = 5$. Setze dies in die Formel ein.
3.3
$\blacktriangleright$  Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge angeben
Überlege dir, für welche Ergebnisse die Ereignisse jeweils eintreten und wie du diese am besten beschreiben kannst.
$\blacktriangleright$  Gegenereignis formulieren
Du sollst das Gegenereignis von $E_4$ in Worten formulieren. $E_4$ ist das Ereignis, bei dem die dritte Person mit öffentlichen Verkehrsmitteln reist. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn $E_4$ nicht eintritt.
3.4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei geht es um Kombinationen verschiedener voneinander unabhängiger Eigenschaften bzw. Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei voneinander unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ gemeinsam eintreten, kannst du mit folgender Formel berechnen:
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
3.4.2
$\blacktriangleright$  Erwartete Anzahl Kinder angeben
Es werden insgesamt $120$ Personen befragt. Betrachtest du die Zufallsvariable $K$, die die Anzahl der Kinder unter den $120$ Befragten beschreibt, ist der Erwartungswert von $K$ gesucht.
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Befragung als Bernoulli-Kette aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass $K$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ kannst du wie folgt berechnen:
$\mu = n \cdot p$
$\mu = n \cdot p$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen, die sich auf die Anzahl der Kinder unter den $120$ Befragten beziehen. Du kannst dafür also die binomialverteilte Zufallsvariable $K$ wie oben verwenden.
3.4.3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Befragten berechnen
Die Anzahl der Befragten soll so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Kinder höher als $80\,\%$ ist. Gesucht ist also $n$, sodass $P(2 \leq K_n ) > 0,8$ gilt.
Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung aus Aufgabe 3.2 so weit um, dass du sie nach $n$ auflösen kannst.
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Lösungen TI
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3.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm aufstellen
Es werden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort befragt. Bei jedem von ihnen gibt es drei Möglichkeiten:
  • $M$: Mecklenburg-Vorpommern
  • $D$: Eins der übrigen deutschen Bundesländer
  • $A$: Ausland
Du benötigst also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen mit jeweils drei Ästen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du der Aufgabenstellung entnehmen.
Wahlteil A3
Abb. 1: Baumdiagramm
Wahlteil A3
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Ergebnismenge angeben
Du sollst eine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment angeben. Verwende dafür die Kürzel $M$, $D$ und $A$. Beachte, dass zwei Personen befragt werden. In der Ergebnismenge müssen alle Ergebnisse aufgeführt werden, die eintreten können. Du kannst dich an dem Baumdiagramm orientieren, indem du alle möglichen Pfade aufzählst.
$\Omega = \{MM,MD,MA,DM,$$DD,DA,AM,AD,AA\}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse berechnen. Nutze dazu das Baumdiagramm, indem du die Pfadadditions- und Pfadmultiplikationsregel verwendest.
Für $E_1$ benötigst du den Pfad $MM$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(E_1\right)&=& P(MM) \\[5pt] &=&0,72\cdot 0,72 \\[5pt] &=& 0,5184\\[5pt] &=& 51,84\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $51,84\,\%$ kommen beide Besucher aus Mecklenburg-Vorpommern
Beim Ereignis $E_2$ kommt mindestens ein Besucher aus dem Ausland. Es gibt also mehrere Pfade für dieses Ereignis, deren Wahrscheinlichkeiten du addieren musst:
$MA$, $DA$, $AM$, $AD$, $AA$
$\begin{array}[t]{rll} P\left( E_2\right)&=& P(MA) + P(DA) + P(AM) + P(AD) + P(AA)\\[5pt] &=& 0,72\cdot 0,19 + 0,09\cdot 0,19 + 0,19\cdot 0,72+0,19\cdot0,09+0,19\cdot0,19) \\[5pt] &=& 0,3439 \\[5pt] &=&34,39\,\% \end{array}$
$ P\left( E_2\right) = 34,39\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $34,39\,\%$ kommt mindestens einer der beiden Besucher aus dem Ausland.
3.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsgröße $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann, gibt es zwei Bedingungen:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: „Erfolg“ oder „Misserfolg“
  • In jedem Durchgang bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg gleich.
Begründe, dass diese Bedingungen im vorliegenden Zufallsexperiment erfüllt sind.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt laut Aufgabenstellung die Anzahl der ausländischen Besucher unter $5$ befragten Personen.
Im Einführungstext der Aufgabe ist angegeben, dass die Umfrage repräsentativ ist. Dies beinhaltet, dass eine hinreichend große Menschenmenge befragt wird, sodass die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Herkunftsländer bei jeder Person annähernd gleich bleibt, unabhängig davon, wie viele schon befragt wurden. Bei jeder der $5$ ausgewählten Personen besteht also die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass diese aus dem Ausland kommt.
Außerdem wird hier nur noch zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden: „Kommt aus dem Ausland“ oder „Kommt nicht aus dem Ausland“. Beide Bedingungen sind also erfüllt, sodass $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen und grafisch darstellen
Du hast bereits begründet, dass $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von $X$ berechnen. Möglich sind $X=0$, $X=1$, $X=2$, $X=3$, $X=4$ und $X=5$. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ mit folgender Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus dem Ausland kommt, beträgt $19\,\%$, also ist $p = 0,19$. Es werden insgesamt $5$ Personen befragt, also ist $n = 5$. Setze dies in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \binom{5}{0}\cdot 0,19^0\cdot 0,81^5 \\[5pt] &\approx& 34,87\,\% \\[10pt] P(X=1)&=&\binom{5}{1}\cdot 0,19^1\cdot 0,81^4\\[5pt] &\approx& 40,89\,\% \\[10pt] P(X=2)&=&\binom{5}{2}\cdot 0,19^2\cdot 0,81^3\\[5pt] &\approx&19,19\,\% \\[10pt] P(X=3)&=& \binom{5}{3}\cdot 0,19^3\cdot 0,81^2 \\[5pt] &\approx& 4,50\,\%\\[10pt] P(X=4)&=& \binom{5}{4}\cdot 0,19^4\cdot 0,81^1 \\[5pt] &\approx& 0,53\,\% \\[10pt] P(X=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,19^5\cdot 0,81^0 \\[5pt] &\approx& 0,02\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\approx& 34,87\,\% \\[10pt] P(X=1)&\approx& 40,89\,\% \\[10pt] P(X=2)&\approx& 19,19\,\% \\[10pt] P(X=3)&\approx& 4,50\,\%\\[10pt] P(X=4)&\approx& 0,53\,\% \\[10pt] P(X=5)&\approx& 0,02\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du nun beispielsweise in einem Säulendiagramm darstellen.
Wahlteil A3
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahlteil A3
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung
3.3
$\blacktriangleright$  Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge angeben
Überlege dir, für welche Ergebnisse die Ereignisse jeweils eintreten und wie du diese am besten beschreiben kannst.
Die Ergebnismenge kann zum Beispiel wie folgt angegeben werden:
$\Omega = \{ \omega = abcd \text{ mit } a,b,c,d \in\{O,P\}\}$
$ \Omega = $
Für $E_3$ kannst du zum Beispiel folgendes angeben:
$E_3 = \{\omega \in \Omega \mid \omega \text{ enthält dreimal } P\}$
$ E_3 = … $
Bei $E_4$ muss der dritte Eintrag ein $O$ sein:
$E_4: = \{\omega \in \Omega \mid c = O \}$
$\blacktriangleright$  Gegenereignis formulieren
Du sollst das Gegenereignis von $E_4$ in Worten formulieren. $E_4$ ist das Ereignis, bei dem die dritte Person mit öffentlichen Verkehrsmitteln reist. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn $E_4$ nicht eintritt.
Das Gegenereignis von $E_4$ ist also:
$\overline{E}_4$: Die dritte Person fährt nicht mit öffentlichen Verkehrsmitteln.
3.4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei geht es um Kombinationen verschiedener voneinander unabhängiger Eigenschaften bzw. Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei voneinander unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ gemeinsam eintreten, kannst du mit folgender Formel berechnen:
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen:
  • $P(\text{männlich}) = 0,51$
  • $P(\text{weiblich})=1-P(\text{männlich})= 1-0,51 = 0,49$
  • $P(\text{„30 Jahre und älter“}) = 0,53 $
  • $P(\text{„unter 30“})= 1- P(\text{„30 Jahre und älter“}) = 1- 0,53 = 0,47 $
  • $P(\text{männlich}) = 0,51$
  • $P(\text{weiblich})=…$
  • $P(\text{„30 Jahre …} $
  • $P(\text{„unter 30“})= … $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{männlich und „unter 30“})&=& P(\text{männlich}) \cdot P(\text{„unter 30“}) \\[5pt] &=& 0,51 \cdot 0,47 \\[5pt] &=&0,2397 \\[5pt] &=& 23,97\,\% \end{array}$
$ P(\text{männlich …} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $23,97\,\%$ ist die Person bei einer Befragung männlich und „unter 30“.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{weiblich und nicht „unter 30“})&=& P(\text{weiblich}) \cdot P(\text{„30 Jahre und älter“}) \\[5pt] &=& 0,49 \cdot 0,53 \\[5pt] &=&0,2597 \\[5pt] &=& 25,97\,\% \end{array}$
$ P(\text{weiblich und …} $
Bei einer Befragung ist die Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $25,97\,\%$ weiblich und nicht „unter 30“.
3.4.2
$\blacktriangleright$  Erwartete Anzahl Kinder angeben
Es werden insgesamt $120$ Personen befragt. Betrachtest du die Zufallsvariable $K$, die die Anzahl der Kinder unter den $120$ Befragten beschreibt, ist der Erwartungswert von $K$ gesucht.
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Befragung als Bernoulli-Kette aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass $K$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ kannst du wie folgt berechnen:
$\mu = n \cdot p$
$\mu = n \cdot p$
Es werden $120$ Personen befragt, also ist $n =120$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Kind beträgt $6\,\%$, also ist $p=0,06$.
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 120 \cdot 0,06 \\[5pt] &=&7,2\\[5pt] \end{array}$
Bei der Prüfung muss mit $7$ bis $8$ Kindern gerechnet werden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Ereignisse berechnen, die sich auf die Anzahl der Kinder unter den $120$ Befragten beziehen. Du kannst dafür also die binomialverteilte Zufallsvariable $K$ wie oben verwenden.
Für die Berechnung kannst du dein CAS verwenden.
Wahlteil A3
Abb. 3: Eingabe der Parameter
Wahlteil A3
Abb. 3: Eingabe der Parameter
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $7,77\,\%$ sind unter den $120$ Befragten genau $10$ Kinder.
Die zweite gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P(2 \leq K < 8)$. Forme diesen Ausdruck in die Form $P(a \leq K \leq b)$ um. Hier handelt es sich um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Du kannst dazu den binomCdf-Befehl deines CAS verwenden.
$P(2 \leq K < 8) = P(2 \leq K \leq 7)$
Mit dem CAS erhältst du mit den Grenzen $2$ und $7$ folgendes Ergebnis:
$P(2 \leq K < 8) = P(2 \leq K \leq 7) \approx 0,5629 = 56,29\,\%$
$ P(2 \leq K < 8) \approx 56,29\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $56,29\,\%$ befinden sich unter den $120$ Befragten mindestens $2$ aber weniger als $8$ Kinder.
3.4.3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Befragten berechnen
Die Anzahl der Befragten soll so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Kinder höher als $80\,\%$ ist. Gesucht ist also $n$, sodass $P(2 \leq K_n ) > 0,8$ gilt.
Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung aus Aufgabe 3.2 so weit um, dass du sie nach $n$ auflösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} P(2 \leq K_n )& > & 0,8 \\[5pt] 1- P(K_n \leq 1 )& >& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] - P(K_n \leq 1 )& >& -0,2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(K_n \leq 1 )& < & 0,2\\[5pt] P(K_n = 0) + P(K_n=1)& < & 0,2 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,06^0 \cdot 0,94^n + \binom{n}{1} \cdot 0,06^1\cdot 0,94^{n-1}& < &0,2 \\[5pt] 0,94^n + n\cdot 0,06 \cdot 0,94^{n-1}&< & 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$ 0,94^n + … < 0,2 $
Wahlteil A3
Abb. 4: Lösen der Gleichung
Wahlteil A3
Abb. 4: Lösen der Gleichung
Es müssen also mindestens $49$ Personen befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens zwei Kinder gefunden werden.
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3.1
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm aufstellen
Es werden zwei Besucher nach ihrem Herkunftsort befragt. Bei jedem von ihnen gibt es drei Möglichkeiten:
  • $M$: Mecklenburg-Vorpommern
  • $D$: Eins der übrigen deutschen Bundesländer
  • $A$: Ausland
Du benötigst also ein Baumdiagramm mit zwei Ebenen mit jeweils drei Ästen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten kannst du der Aufgabenstellung entnehmen.
Wahlteil A3
Abb. 1: Baumdiagramm
Wahlteil A3
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Ergebnismenge angeben
Du sollst eine Ergebnismenge für das Zufallsexperiment angeben. Verwende dafür die Kürzel $M$, $D$ und $A$. Beachte, dass zwei Personen befragt werden. In der Ergebnismenge müssen alle Ergebnisse aufgeführt werden, die eintreten können. Du kannst dich an dem Baumdiagramm orientieren, indem du alle möglichen Pfade aufzählst.
$\Omega = \{MM,MD,MA,DM,$$DD,DA,AM,AD,AA\}$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst die Wahrscheinlichkeiten zweier Ereignisse berechnen. Nutze dazu das Baumdiagramm, indem du die Pfadadditions- und Pfadmultiplikationsregel verwendest.
Für $E_1$ benötigst du den Pfad $MM$. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P\left(E_1\right)&=& P(MM) \\[5pt] &=&0,72\cdot 0,72 \\[5pt] &=& 0,5184\\[5pt] &=& 51,84\,\% \end{array}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $51,84\,\%$ kommen beide Besucher aus Mecklenburg-Vorpommern
Beim Ereignis $E_2$ kommt mindestens ein Besucher aus dem Ausland. Es gibt also mehrere Pfade für dieses Ereignis, deren Wahrscheinlichkeiten du addieren musst:
$MA$, $DA$, $AM$, $AD$, $AA$
$\begin{array}[t]{rll} P\left( E_2\right)&=& P(MA) + P(DA) + P(AM) + P(AD) + P(AA)\\[5pt] &=& 0,72\cdot 0,19 + 0,09\cdot 0,19 + 0,19\cdot 0,72+0,19\cdot0,09+0,19\cdot0,19) \\[5pt] &=& 0,3439 \\[5pt] &=&34,39\,\% \end{array}$
$ P\left( E_2\right) = 34,39\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $34,39\,\%$ kommt mindestens einer der beiden Besucher aus dem Ausland.
3.2
$\blacktriangleright$  Binomialverteilung begründen
Damit eine Zufallsgröße $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann, gibt es zwei Bedingungen:
  • In jedem Durchgang gibt es nur zwei mögliche Ausgänge: „Erfolg“ oder „Misserfolg“
  • In jedem Durchgang bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg gleich.
Begründe, dass diese Bedingungen im vorliegenden Zufallsexperiment erfüllt sind.
Die Zufallsgröße $X$ beschreibt laut Aufgabenstellung die Anzahl der ausländischen Besucher unter $5$ befragten Personen.
Im Einführungstext der Aufgabe ist angegeben, dass die Umfrage repräsentativ ist. Dies beinhaltet, dass eine hinreichend große Menschenmenge befragt wird, sodass die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Herkunftsländer bei jeder Person annähernd gleich bleibt, unabhängig davon, wie viele schon befragt wurden. Bei jeder der $5$ ausgewählten Personen besteht also die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass diese aus dem Ausland kommt.
Außerdem wird hier nur noch zwischen zwei Möglichkeiten unterschieden: „Kommt aus dem Ausland“ oder „Kommt nicht aus dem Ausland“. Beide Bedingungen sind also erfüllt, sodass $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen und grafisch darstellen
Du hast bereits begründet, dass $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Du sollst die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte von $X$ berechnen. Möglich sind $X=0$, $X=1$, $X=2$, $X=3$, $X=4$ und $X=5$. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ mit folgender Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
$P(X=k) = \binom{n}{k}\cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Person aus dem Ausland kommt, beträgt $19\,\%$, also ist $p = 0,19$. Es werden insgesamt $5$ Personen befragt, also ist $n = 5$. Setze dies in die Formel ein.
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&=& \binom{5}{0}\cdot 0,19^0\cdot 0,81^5 \\[5pt] &\approx& 34,87\,\% \\[10pt] P(X=1)&=&\binom{5}{1}\cdot 0,19^1\cdot 0,81^4\\[5pt] &\approx& 40,89\,\% \\[10pt] P(X=2)&=&\binom{5}{2}\cdot 0,19^2\cdot 0,81^3\\[5pt] &\approx&19,19\,\% \\[10pt] P(X=3)&=& \binom{5}{3}\cdot 0,19^3\cdot 0,81^2 \\[5pt] &\approx& 4,50\,\%\\[10pt] P(X=4)&=& \binom{5}{4}\cdot 0,19^4\cdot 0,81^1 \\[5pt] &\approx& 0,53\,\% \\[10pt] P(X=5)&=&\binom{5}{5}\cdot 0,19^5\cdot 0,81^0 \\[5pt] &\approx& 0,02\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P(X=0)&\approx& 34,87\,\% \\[10pt] P(X=1)&\approx& 40,89\,\% \\[10pt] P(X=2)&\approx& 19,19\,\% \\[10pt] P(X=3)&\approx& 4,50\,\%\\[10pt] P(X=4)&\approx& 0,53\,\% \\[10pt] P(X=5)&\approx& 0,02\,\% \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kannst du nun beispielsweise in einem Säulendiagramm darstellen.
Wahlteil A3
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung
Wahlteil A3
Abb. 2: Wahrscheinlichkeitsverteilung
3.3
$\blacktriangleright$  Ereignisse als Teilmenge der Ergebnismenge angeben
Überlege dir, für welche Ergebnisse die Ereignisse jeweils eintreten und wie du diese am besten beschreiben kannst.
Die Ergebnismenge kann zum Beispiel wie folgt angegeben werden:
$\Omega = \{ \omega = abcd \text{ mit } a,b,c,d \in\{O,P\}\}$
$ \Omega = $
Für $E_3$ kannst du zum Beispiel folgendes angeben:
$E_3 = \{\omega \in \Omega \mid \omega \text{ enthält dreimal } P\}$
$ E_3 = … $
Bei $E_4$ muss der dritte Eintrag ein $O$ sein:
$E_4: = \{\omega \in \Omega \mid c = O \}$
$\blacktriangleright$  Gegenereignis formulieren
Du sollst das Gegenereignis von $E_4$ in Worten formulieren. $E_4$ ist das Ereignis, bei dem die dritte Person mit öffentlichen Verkehrsmitteln reist. Das Gegenereignis tritt genau dann ein, wenn $E_4$ nicht eintritt.
Das Gegenereignis von $E_4$ ist also:
$\overline{E}_4$: Die dritte Person fährt nicht mit öffentlichen Verkehrsmitteln.
3.4.1
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Du sollst hier zwei Wahrscheinlichkeiten berechnen. Dabei geht es um Kombinationen verschiedener voneinander unabhängiger Eigenschaften bzw. Ereignisse.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zwei voneinander unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ gemeinsam eintreten, kannst du mit folgender Formel berechnen:
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
$P(A\cap B ) = P(A) \cdot P(B)$
Aus der Aufgabenstellung kannst du ablesen:
  • $P(\text{männlich}) = 0,51$
  • $P(\text{weiblich})=1-P(\text{männlich})= 1-0,51 = 0,49$
  • $P(\text{„30 Jahre und älter“}) = 0,53 $
  • $P(\text{„unter 30“})= 1- P(\text{„30 Jahre und älter“}) = 1- 0,53 = 0,47 $
  • $P(\text{männlich}) = 0,51$
  • $P(\text{weiblich})=…$
  • $P(\text{„30 Jahre …} $
  • $P(\text{„unter 30“})= … $
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{männlich und „unter 30“})&=& P(\text{männlich}) \cdot P(\text{„unter 30“}) \\[5pt] &=& 0,51 \cdot 0,47 \\[5pt] &=&0,2397 \\[5pt] &=& 23,97\,\% \end{array}$
$ P(\text{männlich …} $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $23,97\,\%$ ist die Person bei einer Befragung männlich und „unter 30“.
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{weiblich und nicht „unter 30“})&=& P(\text{weiblich}) \cdot P(\text{„30 Jahre und älter“}) \\[5pt] &=& 0,49 \cdot 0,53 \\[5pt] &=&0,2597 \\[5pt] &=& 25,97\,\% \end{array}$
$ P(\text{weiblich und …} $
Bei einer Befragung ist die Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $25,97\,\%$ weiblich und nicht „unter 30“.
3.4.2
$\blacktriangleright$  Erwartete Anzahl Kinder angeben
Es werden insgesamt $120$ Personen befragt. Betrachtest du die Zufallsvariable $K$, die die Anzahl der Kinder unter den $120$ Befragten beschreibt, ist der Erwartungswert von $K$ gesucht.
Du weißt aus der Aufgabenstellung, dass die Befragung als Bernoulli-Kette aufgefasst werden kann. Das bedeutet, dass $K$ als binomialverteilt angenommen werden kann. Den Erwartungswert $\mu$ einer binomialverteilten Zufallsvariable mit den Parametern $n$ und $p$ kannst du wie folgt berechnen:
$\mu = n \cdot p$
$\mu = n \cdot p$
Es werden $120$ Personen befragt, also ist $n =120$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Kind beträgt $6\,\%$, also ist $p=0,06$.
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& n\cdot p \\[5pt] &=& 120 \cdot 0,06 \\[5pt] &=&7,2\\[5pt] \end{array}$
Bei der Prüfung muss mit $7$ bis $8$ Kindern gerechnet werden.
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten berechnen
Wahlteil A3
Abb. 3: Eingabe der Parameter
Wahlteil A3
Abb. 3: Eingabe der Parameter
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $7,77\,\%$ sind unter den $120$ Befragten genau $10$ Kinder.
Die zweite gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $P(2 \leq K < 8)$. Forme diesen Ausdruck in die Form $P(a \leq K \leq b)$ um. Hier handelt es sich um eine kumulierte Wahrscheinlichkeit. Du kannst dazu den binomCdf-Befehl, also die binomiale Verteilungsfunktion deines CAS verwenden.
$P(2 \leq K < 8) = P(2 \leq K \leq 7)$
Mit dem CAS erhältst du mit den Grenzen $2$ und $7$ folgendes Ergebnis:
$P(2 \leq K < 8) = P(2 \leq K \leq 7) \approx 0,5629 = 56,29\,\%$
$ P(2 \leq K < 8) \approx 56,29\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $56,29\,\%$ befinden sich unter den $120$ Befragten mindestens $2$ aber weniger als $8$ Kinder.
3.4.3
$\blacktriangleright$  Anzahl der Befragten berechnen
Die Anzahl der Befragten soll so bestimmt werden, dass die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Kinder höher als $80\,\%$ ist. Gesucht ist also $n$, sodass $P(2 \leq K_n ) > 0,8$ gilt.
Forme diese Ungleichung mit Hilfe des Gegenereignisses und der Formel für die Binomialverteilung aus Aufgabe 3.2 so weit um, dass du sie nach $n$ auflösen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} P(2 \leq K_n )& > & 0,8 \\[5pt] 1- P(K_n \leq 1 )& >& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] - P(K_n \leq 1 )& >& -0,2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot (-1) \\[5pt] P(K_n \leq 1 )& < & 0,2\\[5pt] P(K_n = 0) + P(K_n=1)& < & 0,2 \\[5pt] \binom{n}{0} \cdot 0,06^0 \cdot 0,94^n + \binom{n}{1} \cdot 0,06^1\cdot 0,94^{n-1}& < &0,2 \\[5pt] 0,94^n + n\cdot 0,06 \cdot 0,94^{n-1}&< & 0,2 \\[5pt] \end{array}$
$ 0,94^n + … < 0,2 $
Wahlteil A3
Abb. 4: Lösen der Gleichung
Wahlteil A3
Abb. 4: Lösen der Gleichung
Es müssen also mindestens $49$ Personen befragt werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als $80\,\%$ mindestens zwei Kinder gefunden werden.
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