Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
MV, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 5
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Wahlteil A1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

A1 Analysis

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit ihren Gleichungen
$f(x) = -x^4+2x^2+1$ $\quad$ und $\quad$ $g(x)= -\dfrac{9}{1.280}x^4+\dfrac{9}{40}x^2-\dfrac{9}{5}$ $\quad$ sowie $x\in \mathbb{R}$.
1.1
Berechne für den Graphen von $f$ die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie der Extrempunkte und bestimme die Art der Extrema.
Zeichne diesen Graphen im Intervall $-2\leq x\leq 2$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
#extrempunkt#graph#schnittpunkt
1.2
Die Gerade mit der Gleichung $y=1,5$ schließt mit dem Graphen von $f$ mehrere Flächen vollständig ein. Bestimme den Gesamtinhalt dieser Flächen.
#flächeninhalt
1.3
Weise nach, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ nie unter einem rechten Winkel schneiden.
#schnittwinkel
1.4

Im Modell wird dieser Querschnitt unten durch eine Parabel und oben durch eine Gerade begrenzt (siehe Abbildung 1). Im Koordinatensystem liegen die Gerade auf der $x$-Achse und die Parabel symmetrisch zur $y$-Achse. Die Parabel wird durch den Graphen der Funktion $g$ im Intervall $-4\leq x\leq 4$ erfasst. Eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter.
1.4.1
Aus Sicherheitsgründen dürfen die Wände ungesicherter Auffangbecken nirgends steiler als $30^{\circ}$ sein. Andernfalls müssen sie umzäunt werden. Überprüfe, ob die Errichtung eines Zauns für dieses Auffangbecken auch entlang der Seiten $AB$ und $CD$ erforderlich ist.
1.4.2
1.4.3
Das Auffangbecken ist bis zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Ermittle, wie viel Liter Flüssigkeit noch in das Becken fließen können, sodass es randvoll gefüllt ist.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF

A1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen berechnen
Gesucht sind die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. Die $y$-Koordinate eines Schnittpunkts mit der $x$-Achse ist immer $0$. Setze also $f(x)=0$, und löse die Gleichung nach der passenden $x$-Koordinate auf.
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse befindet sich immer an der Stelle $x=0$. Setze also $x = 0$ in den Funktionsterm ein, um die passende $y$-Koordinate zu berechnen.
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrema bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Du sollst den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $-2 \leq x \leq 2$ zeichnen. Du kennst bereits die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie der Extrempunkte.
Berechne zusätzlich die Funktionswerte an den Randstellen $x_1 = -2$ und $x_2 =2$. Zeichne anschließend ein geeignetes Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Nutze diese Punkte zur Orientierung.
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 1: Eingeschlossene Flächen
Wahlteil A1
Abb. 1: Eingeschlossene Flächen
Die einzelnen Flächeninhalte $A_1$ und $A_2$ kannst du jeweils mit Hilfe eines Integrals über die Differenzfunktion $f-h$ berechnen. Wähle als Grenzen die entsprechenden Schnittstellen der beiden Funktionen. Beachte, dass Flächeninhalte immer positiv sind.
1.3
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel überprüfen
Du sollst nachweisen, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ nie im rechten Winkel schneiden. Berechne dazu die Schnittstellen von $f$ und $g$ und überprüfe, ob sich die Graphen dort im rechten Winkel schneiden. Zwei Graphen schneiden sich im rechten Winkel, wenn für die Steigungen der beiden Graphen im Schnittpunkt folgendes gilt:
$ m_f\cdot m_g = -1 $
$ m_f\cdot m_g = -1$
Berechne also anschließend die Steigungen der beiden Graphen in den Schnittpunkten und überprüfe die Gleichung. Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben.
1.4.1
$\blacktriangleright$  Errichtung eines Zauns überprüfen
Ein Zaun muss errichtet werden, wenn der Boden um mehr als $30^{\circ}$ abfällt. Der Verlauf des Bodens wird durch eine Parabel mit der Funktion $g$ beschrieben, die symmetrisch zur $y$-Achse ist. Es genügt also, wenn du den rechten Teil des Bodens betrachtest.
In diesem Teil steigt der Graph von $g$. Berechne also die Stelle mit der größten Steigung der Parabel und anschließend den Steigungswinkel an dieser Stelle. Ist dieser kleiner als $30^{\circ}$, müssen keine Zäune errichtet werden.
Da die Steigung eines Graphen durch die erste Ableitung beschrieben wird, ist also die globale Maximalstelle der ersten Ableitung $g'$ im Intervall $ [-4;4]$ gesucht. Berechne dazu wie in Aufgabenteil a) mit Hilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums die lokalen Maxima von $g'$ und überprüfe anschließend noch auf Randextrema. Achte darauf, dass du nun nicht Extremstellen von $g$, sondern von $g'$ berechnen sollst.
1.4.2
$\blacktriangleright$  Größe der Abdeckungsfläche berechnen
Du sollst die Größe der Fläche der Abdeckung berechnen. Diese Fläche kannst du als Rechteck betrachten. Zwei gegenüberliegende Seiten des Rechtecks sind die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$, deren Längen du in der Aufgabenstellung gegeben hast. Der Verlauf der anderen beiden Seiten wird durch den Graphen der Funktion $q$ zwischen den beiden Punkten $A$ und $D$ beschrieben. Die Länge dieser beiden Seiten des Rechtecks ergibt sich also aus der Bogenlänge des Graphen von $q$ im Intervall $[-4,4]$. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$s_{f[a;b]} = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
$s_{f[a;b]} $$= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ beträgt $5\,\text{m}$. Berechne nun die verbleibende Seitenlänge mit Hilfe der Formel.
1.4.3
$\blacktriangleright$  Volumen des Wassers berechnen
Das Becken ist bis zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Gesucht ist das Volumen an Wasser, das noch in das Becken passt. Dazu musst du die Größe der Querschnittsfläche des noch leeren Beckenteils mit der Länge des Beckens multiplizieren. Zuerst musst du also die Größe der Querschnittsfläche des leeren Beckenteils berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 2: Querschnittsfläche
Wahlteil A1
Abb. 2: Querschnittsfläche
  • Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und die roten Flächen Flächen zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse sind, besitzen die beiden roten Flächen die gleiche Größe $A_1$. Diese kannst du mit einem Integral mit den Grenzen $-4$ und $x_S$ über $g$ berechnen, wobei $x_S$ die $x$-Koordinate von $S$, also die negative Schnittstelle von $g$ und $h$ ist.
  • Die grüne Fläche ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen sich aus dem Betrag der Koordinaten von $S$ ergeben.
Du musst also die Koordinaten von $S$ berechnen, indem du $g(x) =h(x)$ setzt. Dafür benötigst du die Geradengleichung von $h$. Da $h$ ein Drittel der Beckenhöhe modelliert, musst du zunächst die Tiefe des gesamten Beckens berechnen. Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, liegt der tiefste Punkt genau an der Stelle $x=0$. Die Tiefe des Beckens ergibt sich also aus dem Funktionswert von $g$ an der Stelle $x=0$.
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[2]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen TI
Download als Dokument:PDF

A1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen berechnen
Gesucht sind die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. Die $y$-Koordinate eines Schnittpunkts mit der $x$-Achse ist immer $0$. Setze also $f(x)=0$, und löse die Gleichung nach der passenden $x$-Koordinate auf.
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse befindet sich immer an der Stelle $x=0$. Setze also $x = 0$ in den Funktionsterm ein, um die passende $y$-Koordinate zu berechnen.
Beide Rechnungen kannst du mit deinem CAS durchführen. Definiere dazu zuerst die Funktion $f$. Die Gleichung $f(x)=0$ kannst du mit dem solve-Befehl lösen.
Wahlteil A1
Abb. 1: Schnittpunkte mit den Achsen
Wahlteil A1
Abb. 1: Schnittpunkte mit den Achsen
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrema bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableitungen
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableitungen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wahlteil A1
Abb. 3: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Notwendiges Kriterium
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Wahlteil A1
Abb. 4: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: Hinreichendes Kriterium
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne nun die vollständigen Koordinaten der drei Extrempunkte, indem du die Extremstellen jeweils in $f(x)$ einsetzt. Dies kannst du wie zuvor mit deinem CAS tun. Du erhältst dann folgende Koordinaten:
$H_1 (-1 \mid 2)$ $\quad $ $T(0\mid 1)$ $\quad$ $H_2(1\mid 2)$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1 (-1 \mid 2)$ und $H_2(1\mid 2)$ sowie einen Tiefpunkt $T(0\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Du sollst den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $-2 \leq x \leq 2$ zeichnen. Du kennst bereits die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie der Extrempunkte.
Berechne zusätzlich die Funktionswerte an den Randstellen $x_1 = -2$ und $x_2 =2$. Zeichne anschließend ein geeignetes Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Nutze diese Punkte zur Orientierung.
$f(-2) = -7$, $\quad f(2)=-7$
#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 6: Eingeschlossene Flächen
Wahlteil A1
Abb. 6: Eingeschlossene Flächen
Die einzelnen Flächeninhalte $A_1$ und $A_2$ kannst du jeweils mit Hilfe eines Integrals über die Differenzfunktion $f-h$ berechnen. Wähle als Grenzen die entsprechenden Schnittstellen der beiden Funktionen. Beachte, dass Flächeninhalte immer positiv sind.
1. Schritt: Schnittstellen berechnen
Wahlteil A1
Abb. 7: Schnittstellen der Funktionen
Wahlteil A1
Abb. 7: Schnittstellen der Funktionen
2. Schritt: Integrale berechnen
Gesucht sind also folgende Integrale:
$A_1 = \left| \displaystyle\int_{-1,3}^{-0,54}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx\right|$ und $A_2 = \left| \displaystyle\int_{-0,54}^{0,54}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx\right|$
Wahlteil A1
Abb. 8: Berechnung der Integrale
Wahlteil A1
Abb. 8: Berechnung der Integrale
Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_1 + A_2\\[5pt] &\approx& 2\cdot 0,25 + 0,35 \\[5pt] &=& 0,85 \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade mit $y =1,5$ schließen Flächen mit einem Gesamtflächeninhalt von ca. $0,85\,\text{[FE]}$ ein.
#schnittpunkt#integral
1.3
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel überprüfen
Du sollst nachweisen, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ nie im rechten Winkel schneiden. Berechne dazu die Schnittstellen von $f$ und $g$ und überprüfe, ob sich die Graphen dort im rechten Winkel schneiden. Zwei Graphen schneiden sich im rechten Winkel, wenn für die Steigungen der beiden Graphen im Schnittpunkt folgendes gilt:
$ m_f\cdot m_g = -1 $
$ m_f\cdot m_g = -1$
Berechne also anschließend die Steigungen der beiden Graphen in den Schnittpunkten und überprüfe die Gleichung. Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben.
1. Schritt: Schnittstellen berechnen
Die Schnittstellen kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen, indem du $f(x)$ und $g(x)$ gleichsetzt. Du erhältst dann folgendes Ergebnis:
$x_{1,2} =\pm 4\cdot\sqrt{\dfrac{ \sqrt{22.835} + 71}{1.271}}$
2. Schritt: Gleichung überprüfen
Mit deinem CAS kannst du direkt $f'(x)\cdot g'(x)$ berechnen.
$f'(x_1)\cdot g'(x_1) \approx -7,46 \neq -1 $
$f'(x_2)\cdot g'(x_2) \approx -7,46 \neq -1 $
Die Gleichung ist in den Schnittpunkten also nicht erfüllt. Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich in keinem Punkt im rechten Winkel.
1.4.1
$\blacktriangleright$  Errichtung eines Zauns überprüfen
Ein Zaun muss errichtet werden, wenn der Boden um mehr als $30^{\circ}$ abfällt. Der Verlauf des Bodens wird durch eine Parabel mit der Funktion $g$ beschrieben, die symmetrisch zur $y$-Achse ist. Es genügt also, wenn du den rechten Teil des Bodens betrachtest.
In diesem Teil steigt der Graph von $g$. Berechne also die Stelle mit der größten Steigung der Parabel und anschließend den Steigungswinkel an dieser Stelle. Ist dieser kleiner als $30^{\circ}$, müssen keine Zäune errichtet werden.
Da die Steigung eines Graphen durch die erste Ableitung beschrieben wird, ist also die globale Maximalstelle der ersten Ableitung $g'$ im Intervall $ [-4;4]$ gesucht. Berechne dazu wie in Aufgabenteil a) mit Hilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums die lokalen Maxima von $g'$ und überprüfe anschließend noch auf Randextrema. Achte darauf, dass du nun nicht Extremstellen von $g$, sondern von $g'$ berechnen sollst.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wahlteil A1
Abb. 9: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 9: Notwendiges Kriterium
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_1$ und $x_2$ in die dritte Ableitung ein, um die Maximalstelle zu identifizieren. Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x_1)&=&g'''\left(\dfrac{-4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \text{CAS} \\[5pt] &=& \dfrac{9\cdot \sqrt{3} }{40}> 0\\[10pt] g'''(x_2)&=& g'''\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \text{CAS} \\[5pt] &=& \dfrac{-9\cdot \sqrt{3} }{40}< 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x_1)&=&g'''\left(\dfrac{-4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{9\cdot \sqrt{3} }{40}> 0\\[10pt] g'''(x_2)&=& g'''\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{-9\cdot \sqrt{3} }{40}< 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x_2 = \dfrac{4\cdot \sqrt{3} }{3}\approx 2,31$ befindet sich also ein lokales Maximum von $g'$.
3. Schritt: Randextrema überprüfen
Berechne nun den Funtionswert $g'(x)$, an der lokalen Maximalstelle und den Intervallgrenzen, um die globale Maximalstelle zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g'(-4)&=& 0 \\[5pt] g'(4)&=& 0 \\[5pt] g'\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \\[5pt] \end{array}$
Die größte Steigung im betrachteten Intervall hat der Graph von $g$ also an der Stelle $\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$.
4. Schritt: Steigungswinkel berechnen
Anhand der Steigung $m$ des Graphen von $g$ kannst du nun den Steigungswinkel $\alpha$ an der steilsten Stelle berechnen:
$\tan(\alpha) = m$
$\tan(\alpha) = m$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& m \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \right) \\[5pt] &\approx& 34,7^{\circ} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& m \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \\[5pt] \alpha &\approx& 34,7^{\circ} \end{array}$
An der steilsten Stelle fällt die Wand in einem Winkel von ca. $34,7^{\circ}$. Es muss also ein Zaun errichtet werden.
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema#steigungswinkel#randextremum
1.4.2
$\blacktriangleright$  Größe der Abdeckungsfläche berechnen
Du sollst die Größe der Fläche der Abdeckung berechnen. Diese Fläche kannst du als Rechteck betrachten. Zwei gegenüberliegende Seiten des Rechtecks sind die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$, deren Längen du in der Aufgabenstellung gegeben hast. Der Verlauf der anderen beiden Seiten wird durch den Graphen der Funktion $q$ zwischen den beiden Punkten $A$ und $D$ beschrieben. Die Länge dieser beiden Seiten des Rechtecks ergibt sich also aus der Bogenlänge des Graphen von $q$ im Intervall $[-4,4]$. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$s_{f[a;b]} = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
$s_{f[a;b]} $$= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ beträgt $5\,\text{m}$. Berechne nun die verbleibende Seitenlänge mit Hilfe der Formel.
Wahlteil A1
Abb. 10: Integralberechnung
Wahlteil A1
Abb. 10: Integralberechechnung
Die Größe der Fläche der Abdeckung ergibt sich also wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&\approx& 5\,\text{m} \cdot 9,18 \,\text{m} \\[5pt] &=& 45,9\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Fläche der Abdeckung ist ca. $45,9\,\text{m}^2$ groß.
#bogenlängebeigraphen
1.4.3
$\blacktriangleright$  Volumen des Wassers berechnen
Das Becken ist bis zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Gesucht ist das Volumen an Wasser, das noch in das Becken passt. Dazu musst du die Größe der Querschnittsfläche des noch leeren Beckenteils mit der Länge des Beckens multiplizieren. Zuerst musst du also die Größe der Querschnittsfläche des leeren Beckenteils berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 11: Querschnittsfläche
Wahlteil A1
Abb. 11: Querschnittsfläche
  • Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und die roten Flächen Flächen zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse sind, besitzen die beiden roten Flächen die gleiche Größe $A_1$. Diese kannst du mit einem Integral mit den Grenzen $-4$ und $x_S$ über $g$ berechnen, wobei $x_S$ die $x$-Koordinate von $S$, also die negative Schnittstelle von $g$ und $h$ ist.
  • Die grüne Fläche ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen sich aus dem Betrag der Koordinaten von $S$ ergeben.
Du musst also die Koordinaten von $S$ berechnen, indem du $g(x) =h(x)$ setzt. Dafür benötigst du die Geradengleichung von $h$. Da $h$ ein Drittel der Beckenhöhe modelliert, musst du zunächst die Tiefe des gesamten Beckens berechnen. Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, liegt der tiefste Punkt genau an der Stelle $y=0$. Die Tiefe des Beckens ergibt sich also aus dem Funktionswert von $g$ an der Stelle $y=0$.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Berechne die Tiefe des Beckens über $g(0)$:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& -\dfrac{9}{1.280}\cdot 0^4 + \dfrac{9}{40}\cdot 0^2 -\dfrac{9}{5} \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{5} \end{array}$
$ g(0) = -\dfrac{9}{5} $
Das Becken ist and er tiefsten Stelle also $\dfrac{9}{5} \,\text{m}$ tief. Das Becken ist zu einem Drittel gefüllt, also verläuft die Gerade in einer Höhe von $-\dfrac{9}{5} + \dfrac{9}{5}\cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{6}{5}$:
$h(x)= -\dfrac{6}{5}$
2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Setze $g(x)=h(x)$. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&h(x) \\[5pt] -\dfrac{9}{1.280}\cdot x^4 + \dfrac{9}{40}\cdot x^2 -\dfrac{9}{5}&=& -\dfrac{6}{5}&\quad \scriptsize \text{CAS}\\[5pt] x_1&=& \dfrac{-4\cdot \sqrt{3\cdot \left(\sqrt{6} +3\right)}}{3} \approx -5,39\\[5pt] x_2&=& \dfrac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \approx-1,71 \\[5pt] x_3&=&\dfrac{4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \approx 1,71\\[5pt] x_4&=& \dfrac{4\cdot \sqrt{3\cdot \left(\sqrt{6} +3\right)}}{3}\approx 5,39 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& … \approx -5,39\\[5pt] x_2&=& … \approx-1,71 \\[5pt] x_3&=& … \approx 1,71\\[5pt] x_4&=& …\approx 5,39 \\[5pt] \end{array}$
$x_1$ und $x_4$ fallen aus der Betrachtung raus, da die Modellierung nur den Bereich $-4 \leq x \leq 4$ betrifft. Der Punkt $S$ aus der Skizze besitzt also folgende Koordinaten
$S\left(\dfrac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}\,\bigg \vert \, -\dfrac{6}{5}\right)$
$S\left(\frac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}\,\bigg \vert \, -\frac{6}{5}\right)$
.
3. Schritt: Größe der Querschnittsfläche berechnen
Die Größe der gesamten Querschnittsfläche $A$ setzt sich wie folgt zusammen:
$A = 2\cdot A_1 + A_2$
$A_2$ kannst du über die Beträge der Koordinaten von $S$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& 2\cdot \left|x_S\right|\cdot \left|y_S \right| \\[5pt] &=& 2\cdot \dfrac{4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \cdot \dfrac{6}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{16\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6}-3\right)}}{5} \\[5pt] &\approx& 4,11 \end{array}$
$ A_2 \approx 4,11$
$A_1$ kannst du mit Hilfe eines Integrals über der Funktion $g$ berechnen. Als Grenzen wählst du $a= -4$ und $b= x_S = \dfrac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}$. Das Integral kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen und erhältst dann folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\left| \displaystyle\int_{-4}^{\frac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}} g(x)\;\mathrm dx\right| &\quad \scriptsize CAS \\[5pt] &\approx& 1,11 \end{array}$
$ A_1 \approx 1,11 $
Insgesamt ergibt sich dann die Größe der Querschnittsfläche wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=&2\cdot A_1 +A_2 \\[5pt] &\approx& 2\cdot 1,11 + 4,11 \\[5pt] &=&6,33 \,\left[\text{m}^2\right] \end{array}$
4. Schritt: Volumen berechnen
Das Becken ist $5\,\text{m}$ lang. Also ergibt sich folgendes Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V&\approx& 6,33 \,\text{m}^2 \cdot 5\,\text{m} \\[5pt] &=& 31,65 \,\text{m}^3 \\[5pt] &=& 31.650 \,\text{dm}^3 \\[5pt] &=& 31.650\,l \\[5pt] \end{array}$
Bis das Becken randvoll gefüllt ist, passen noch ca. $31.650\,l$ in das Becken.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[11]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen Casio
Download als Dokument:PDF

A1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Schnittpunkte mit den Achsen berechnen
Gesucht sind die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen. Die $y$-Koordinate eines Schnittpunkts mit der $x$-Achse ist immer $0$. Setze also $f(x)=0$, und löse die Gleichung nach der passenden $x$-Koordinate auf.
Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse befindet sich immer an der Stelle $x=0$. Setze also $x = 0$ in den Funktionsterm ein, um die passende $y$-Koordinate zu berechnen.
Beide Rechnungen kannst du mit deinem CAS durchführen. Definiere dazu zuerst die Funktion $f$. Die Gleichung $f(x)=0$ kannst du mit dem solve-Befehl lösen.
Wahlteil A1
Abb. 1: Schnittpunkte mit den Achsen
Wahlteil A1
Abb. 1: Schnittpunkte mit den Achsen
$\blacktriangleright$  Koordinaten und Art der Extrema bestimmen
Du hast die Funktion $f$ gegeben und sollst deren Graph auf Extrempunkte untersuchen. Für eine Extremstelle $x_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, f'(x_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(x_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(x_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die ersten beiden Ableitungsfunktionen $f'$ und $f''$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $f''(x)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableitungen
Wahlteil A1
Abb. 2: Ableitungen
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wahlteil A1
Abb. 3: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 3: Notwendiges Kriterium
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Wahlteil A1
Abb. 4: Hinreichendes Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 4: Hinreichendes Kriterium
4. Schritt: Funktionswerte berechnen
Berechne nun die vollständigen Koordinaten der drei Extrempunkte, indem du die Extremstellen jeweils in $f(x)$ einsetzt. Dies kannst du wie zuvor mit deinem CAS tun. Du erhältst dann folgende Koordinaten:
$H_1 (-1 \mid 2)$ $\quad $ $T(0\mid 1)$ $\quad$ $H_2(1\mid 2)$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1 (-1 \mid 2)$ und $H_2(1\mid 2)$ sowie einen Tiefpunkt $T(0\mid 1)$.
$\blacktriangleright$  Graph zeichnen
Du sollst den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $-2 \leq x \leq 2$ zeichnen. Du kennst bereits die Koordinaten der Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sowie der Extrempunkte.
Berechne zusätzlich die Funktionswerte an den Randstellen $x_1 = -2$ und $x_2 =2$. Zeichne anschließend ein geeignetes Koordinatensystem und trage die Punkte ein. Nutze diese Punkte zur Orientierung.
$f(-2) = -7$, $\quad f(2)=-7$
#hinreichendeskriteriumfürextrema#notwendigeskriteriumfürextrema
1.2
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Wahlteil A1
Abb. 6: Eingeschlossene Flächen
Wahlteil A1
Abb. 6: Eingeschlossene Flächen
Die einzelnen Flächeninhalte $A_1$ und $A_2$ kannst du jeweils mit Hilfe eines Integrals über die Differenzfunktion $f-h$ berechnen. Wähle als Grenzen die entsprechenden Schnittstellen der beiden Funktionen. Beachte, dass Flächeninhalte immer positiv sind.
1. Schritt: Schnittstellen berechnen
Wahlteil A1
Abb. 7: Schnittstellen der Funktionen
Wahlteil A1
Abb. 7: Schnittstellen der Funktionen
2. Schritt: Integrale berechnen
Gesucht sind also folgende Integrale:
$A_1 = \left| \displaystyle\int_{-1,3}^{-0,54}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx\right|$ und $A_2 = \left| \displaystyle\int_{-0,54}^{0,54}(f(x)-h(x))\;\mathrm dx\right|$
Wahlteil A1
Abb. 8: Berechnung der Integrale
Wahlteil A1
Abb. 8: Berechnung der Integrale
Der Gesamtflächeninhalt ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_1 + A_2\\[5pt] &\approx& 2\cdot 0,25 + 0,35 \\[5pt] &=& 0,85 \end{array}$
Der Graph von $f$ und die Gerade mit $y =1,5$ schließen Flächen mit einem Gesamtflächeninhalt von ca. $0,85\,\text{[FE]}$ ein.
#integral#schnittpunkt
1.3
$\blacktriangleright$  Schnittwinkel überprüfen
Du sollst nachweisen, dass sich die Graphen von $f$ und $g$ nie im rechten Winkel schneiden. Berechne dazu die Schnittstellen von $f$ und $g$ und überprüfe, ob sich die Graphen dort im rechten Winkel schneiden. Zwei Graphen schneiden sich im rechten Winkel, wenn für die Steigungen der beiden Graphen im Schnittpunkt folgendes gilt:
$ m_f\cdot m_g = -1 $
$ m_f\cdot m_g = -1$
Berechne also anschließend die Steigungen der beiden Graphen in den Schnittpunkten und überprüfe die Gleichung. Die Steigung eines Graphen wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben.
1. Schritt: Schnittstellen berechnen
Die Schnittstellen kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen, indem du $f(x)$ und $g(x)$ gleichsetzt. Du erhältst dann folgendes Ergebnis:
$x_{1,2} =\pm 4\cdot\sqrt{\dfrac{ \sqrt{22.835} + 71}{1.271}}$
2. Schritt: Gleichung überprüfen
Mit deinem CAS kannst du direkt $f'(x)\cdot g'(x)$ berechnen.
$f'(x_1)\cdot g'(x_1) \approx -7,46 \neq -1 $
$f'(x_2)\cdot g'(x_2) \approx -7,46 \neq -1 $
Die Gleichung ist in den Schnittpunkten also nicht erfüllt. Die Graphen von $f$ und $g$ schneiden sich in keinem Punkt im rechten Winkel.
1.4.1
$\blacktriangleright$  Errichtung eines Zauns überprüfen
Ein Zaun muss errichtet werden, wenn der Boden um mehr als $30^{\circ}$ abfällt. Der Verlauf des Bodens wird durch eine Parabel mit der Funktion $g$ beschrieben, die symmetrisch zur $y$-Achse ist. Es genügt also, wenn du den rechten Teil des Bodens betrachtest.
In diesem Teil steigt der Graph von $g$. Berechne also die Stelle mit der größten Steigung der Parabel und anschließend den Steigungswinkel an dieser Stelle. Ist dieser kleiner als $30^{\circ}$, müssen keine Zäune errichtet werden.
Da die Steigung eines Graphen durch die erste Ableitung beschrieben wird, ist also die globale Maximalstelle der ersten Ableitung $g'$ im Intervall $ [-4;4]$ gesucht. Berechne dazu wie in Aufgabenteil a) mit Hilfe des notwendigen und hinreichenden Kriteriums die lokalen Maxima von $g'$ und überprüfe anschließend noch auf Randextrema. Achte darauf, dass du nun nicht Extremstellen von $g$, sondern von $g'$ berechnen sollst.
1. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Wahlteil A1
Abb. 9: Notwendiges Kriterium
Wahlteil A1
Abb. 9: Notwendiges Kriterium
2. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
Setze nun $x_1$ und $x_2$ in die dritte Ableitung ein, um die Maximalstelle zu identifizieren. Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x_1)&=&g'''\left(\dfrac{-4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \text{CAS} \\[5pt] &=& \dfrac{9\cdot \sqrt{3} }{40}> 0\\[10pt] g'''(x_2)&=& g'''\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) &\quad \scriptsize \text{CAS} \\[5pt] &=& \dfrac{-9\cdot \sqrt{3} }{40}< 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g'''(x_1)&=&g'''\left(\frac{-4\cdot \sqrt{3}}{3}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{9\cdot \sqrt{3} }{40}> 0\\[10pt] g'''(x_2)&=& g'''\left(\frac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)\\[5pt] &=& \dfrac{-9\cdot \sqrt{3} }{40}< 0 \\[5pt] \end{array}$
An der Stelle $x_2 = \dfrac{4\cdot \sqrt{3} }{3}\approx 2,31$ befindet sich also ein lokales Maximum von $g'$.
3. Schritt: Randextrema überprüfen
Berechne nun den Funtionswert $g'(x)$, an der lokalen Maximalstelle und den Intervallgrenzen, um die globale Maximalstelle zu bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g'(-4)&=& 0 \\[5pt] g'(4)&=& 0 \\[5pt] g'\left(\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}\right)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \\[5pt] \end{array}$
Die größte Steigung im betrachteten Intervall hat der Graph von $g$ also an der Stelle $\dfrac{4\cdot \sqrt{3}}{3}$.
4. Schritt: Steigungswinkel berechnen
Anhand der Steigung $m$ des Graphen von $g$ kannst du nun den Steigungswinkel $\alpha$ an der steilsten Stelle berechnen:
$\tan(\alpha) = m$
$\tan(\alpha) = m$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& m \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} &\quad \scriptsize \mid\; \tan^{-1} \\[5pt] \alpha &=& \tan^{-1}\left(\dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \right) \\[5pt] &\approx& 34,7^{\circ} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \tan(\alpha)&=& m \\[5pt] \tan(\alpha)&=& \dfrac{2\cdot\sqrt{3}}{5} \\[5pt] &\approx& 34,7^{\circ} \end{array}$
An der steilsten Stelle fällt die Wand in einem Winkel von ca. $34,7^{\circ}$. Es muss also ein Zaun errichtet werden.
#randextremum#notwendigeskriteriumfürextrema#hinreichendeskriteriumfürextrema#steigungswinkel
1.4.2
$\blacktriangleright$  Größe der Abdeckungsfläche berechnen
Du sollst die Größe der Fläche der Abdeckung berechnen. Diese Fläche kannst du als Rechteck betrachten. Zwei gegenüberliegende Seiten des Rechtecks sind die Seiten $\overline{AB}$ und $\overline{CD}$, deren Längen du in der Aufgabenstellung gegeben hast. Der Verlauf der anderen beiden Seiten wird durch den Graphen der Funktion $q$ zwischen den beiden Punkten $A$ und $D$ beschrieben. Die Länge dieser beiden Seiten des Rechtecks ergibt sich also aus der Bogenlänge des Graphen von $q$ im Intervall $[-4,4]$. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$s_{f[a;b]} = \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
$s_{f[a;b]} $$= \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}\;\mathrm dx $
Die Länge der Seite $\overline{AB}$ beträgt $5\,\text{m}$. Berechne nun die verbleibende Seitenlänge mit Hilfe der Formel.
Wahlteil A1
Abb. 10: Integralberechnung
Wahlteil A1
Abb. 10: Integralberechechnung
Die Größe der Fläche der Abdeckung ergibt sich also wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&\approx& 5\,\text{m} \cdot 9,18 \,\text{m} \\[5pt] &=& 45,9\,\text{m}^2 \end{array}$
Die Fläche der Abdeckung ist ca. $45,9\,\text{m}^2$ groß.
#bogenlängebeigraphen
1.4.3
$\blacktriangleright$  Volumen des Wassers berechnen
Das Becken ist bis zu einem Drittel seiner Höhe gefüllt. Gesucht ist das Volumen an Wasser, das noch in das Becken passt. Dazu musst du die Größe der Querschnittsfläche des noch leeren Beckenteils mit der Länge des Beckens multiplizieren. Zuerst musst du also die Größe der Querschnittsfläche des leeren Beckenteils berechnen.
Wahlteil A1
Abb. 11: Querschnittsfläche
Wahlteil A1
Abb. 11: Querschnittsfläche
  • Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist und die roten Flächen Flächen zwischen dem Graphen von $g$ und der $x$-Achse sind, besitzen die beiden roten Flächen die gleiche Größe $A_1$. Diese kannst du mit einem Integral mit den Grenzen $-4$ und $x_S$ über $g$ berechnen, wobei $x_S$ die $x$-Koordinate von $S$, also die negative Schnittstelle von $g$ und $h$ ist.
  • Die grüne Fläche ist ein Rechteck, dessen Seitenlängen sich aus dem Betrag der Koordinaten von $S$ ergeben.
Du musst also die Koordinaten von $S$ berechnen, indem du $g(x) =h(x)$ setzt. Dafür benötigst du die Geradengleichung von $h$. Da $h$ ein Drittel der Beckenhöhe modelliert, musst du zunächst die Tiefe des gesamten Beckens berechnen. Da der Graph von $g$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, liegt der tiefste Punkt genau an der Stelle $x=0$. Die Tiefe des Beckens ergibt sich also aus dem Funktionswert von $g$ an der Stelle $x=0$.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
Berechne die Tiefe des Beckens über $g(0)$:
$\begin{array}[t]{rll} g(0)&=& -\dfrac{9}{1.280}\cdot 0^4 + \dfrac{9}{40}\cdot 0^2 -\dfrac{9}{5} \\[5pt] &=& -\dfrac{9}{5} \end{array}$
$ g(0)= -\dfrac{9}{5} $
Das Becken ist and er tiefsten Stelle also $\dfrac{9}{5} \,\text{m}$ tief. Das Becken ist zu einem Drittel gefüllt, also verläuft die Gerade in einer Höhe von $-\dfrac{9}{5} + \dfrac{9}{5}\cdot \dfrac{1}{3} = -\dfrac{6}{5}$:
$h(x)= -\dfrac{6}{5}$
2. Schritt: Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Setze $g(x)=h(x)$. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl deines CAS lösen. Du erhältst folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&h(x) \\[5pt] -\dfrac{9}{1.280}\cdot x^4 + \dfrac{9}{40}\cdot x^2 -\dfrac{9}{5}&=& -\dfrac{6}{5}&\quad \scriptsize \text{CAS}\\[5pt] x_1&=& \dfrac{-4\cdot \sqrt{3\cdot \left(\sqrt{6} +3\right)}}{3} \approx -5,39\\[5pt] x_2&=& \dfrac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \approx-1,71 \\[5pt] x_3&=&\dfrac{4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \approx 1,71\\[5pt] x_4&=& \dfrac{4\cdot \sqrt{3\cdot \left(\sqrt{6} +3\right)}}{3}\approx 5,39 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&h(x) \\[5pt] x_1&=& … \approx -5,39\\[5pt] x_2&=& … \approx-1,71 \\[5pt] x_3&=& … \approx 1,71\\[5pt] x_4&=& … \approx 5,39 \\[5pt] \end{array}$
$x_1$ und $x_4$ fallen aus der Betrachtung raus, da die Modellierung nur den Bereich $-4 \leq x \leq 4$ betrifft. Der Punkt $S$ aus der Skizze besitzt also folgende Koordinaten $S\left(\frac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}\,\bigg \vert \, -\frac{6}{5}\right)$.
3. Schritt: Größe der Querschnittsfläche berechnen
Die Größe der gesamten Querschnittsfläche $A$ setzt sich wie folgt zusammen:
$A = 2\cdot A_1 + A_2$
$A_2$ kannst du über die Beträge der Koordinaten von $S$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} A_2&=& 2\cdot \left|x_S\right|\cdot \left|y_S \right| \\[5pt] &=& 2\cdot \dfrac{4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3} \cdot \dfrac{6}{5} \\[5pt] &=& \dfrac{16\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6}-3\right)}}{5} \\[5pt] &\approx& 4,11 \end{array}$
$ A_2 \approx 4,11 $
$A_1$ kannst du mit Hilfe eines Integrals über der Funktion $g$ berechnen. Als Grenzen wählst du $a= -4$ und $b= x_S = \dfrac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}$. Das Integral kannst du wie zuvor mit deinem CAS berechnen und erhältst dann folgendes Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=&\left| \displaystyle\int_{-4}^{\frac{-4\cdot \sqrt{-3\cdot \left(\sqrt{6} -3\right)}}{3}} g(x)\;\mathrm dx\right| &\quad \scriptsize CAS \\[5pt] &\approx& 1,11 \end{array}$
$ A_1 \approx 1,11 $
Insgesamt ergibt sich dann die Größe der Querschnittsfläche wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 2\cdot A_1 +A_2 \\[5pt] &\approx& 2\cdot 1,11 + 4,11 \\[5pt] &=& 6,33 \,\left[\text{m}^2\right]\\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Volumen berechnen
Das Becken ist $5\,\text{m}$ lang. Also ergibt sich folgendes Volumen:
$\begin{array}[t]{rll} V&\approx& 6,33 \,\text{m}^2 \cdot 5\,\text{m}\\[5pt] &=& 31,65 \,\text{m}^3\\[5pt] &=& 31.650 \,\text{dm}^3 \\[5pt] &=& 31.650\,l \\[5pt] \end{array}$
Bis das Becken randvoll gefüllt ist, passen noch ca. $31.650\,l$ in das Becken.
#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[11]
© 2017 – SchulLV.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App