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Wahlteil B2

Aufgaben
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B2 Analytische Geometrie

In einem kartesischen Koordinatensystem kann die Lage der Startbahn eines Flughafens folgendermaßen beschrieben werden:
Die $x$-Achse verläut von Westen nach Osten und die $y$-Achse von Süden nach Norden. Die $z$-Achse entspricht der Höhe (alle Einheiten in $\text{km}$). Die $3,5\,\text{km}$ laange Startbahn beginnt im Koordinatenursprung und verläuft in Nord-Ost-Richtung, die Spitze eines Sendemastes befindet sich im Punkt $S(-1\mid -1\mid 0,02)$.
Die bei den nachfolgenden Flugzeugen betrachteten Abschnitte von Flugbahnen werden als Geraden modelliert. Ein Flugzeug $1$ fliegt in der Startphase von $A(6\mid 6\mid 1)$ nach $B(18\mid 18\mid 2)$, ein Flugzeug $2$ befindet sich im Landeanflug von Punkt $C(-20\mid -22\mid 6)$ in Richtung zum Punkt $D(-8\mid -10\mid 5)$.
2.1
Berechne den Steigungswinkel von Flugzeug $1$ auf dem Weg von $A$ nach $B$.
2.2
Zum selben Zeitpunkt, in dem sich das Flugzeug $1$ im Punkt $A$ befindet, passiert Flugzeug $2$ den Punkt $C$.
Untersuche, nach welcher Zeit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, wenn man voraussetzt, dass sich beide mit einer konstanten Geschwindigkeit von $250\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ bewegen.
2.3
Bestimme die kürzeste Entfernung des zweiten Flugzeuges zur Spitze des Sendemastes.
2.4
Begründe, dass der Punkt $E(2\mid 2\mid 0)$ auf der Startbahn liegt.
Gäste auf der Besucherterasse des Flughafengebäudes haben den start vin Flugzeig $1$ beobachtet. Es war deutlich zu erkennen, dass das Flugzeug vom Abheben von der Startbahn bis zum Punkt $A$ deutlich steiler aufgestiegen ist als später von $A$ nach $B$.
Ein Gast behauptet: „ Das war'n ja mindestens $30$ Grad“.
Überprüfe diese Behauptung.
Später hat sich ein drittes Flugzeug von dieser Startbahn vom Startpunkt $E$ aus mit einem konstanten Steigungswinkel von $10,5^{\circ}$ zum Punkt $A$ bewegt. Bestimme die Koordinaten von $E$.
2.5
Die Besucherterrasse wird von einem Sonnensegel in Dreiecksform beschattet. Bei leerer Terrasse fällt der Schatten des Segels vollständig auf den Terrassenboden. Der Boden liegt in der Ebene $T$ mit der Gleichung: $z -0 ,01 = 0$. Die Eckpunkte des Sonnensegels befinden sich in den Punkten
$U(0,5\mid 0,005 \mid 0,015)$, $\quad$ $V(0,49\mid 0 \mid 0,012)$, $\quad$ $W(0,51\mid 0 \mid 0,012)$.
Die Sonnenstrahlen verlaufen in Richtung $\pmatrix{3\\-2\\-1}$-
Berechne die Größe des Sonnensegels in $\text{m}^2$.
Vergleiche diese Größe mit der Größe des Schattens des Sonnensegels.
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B2 Analytische Geometrie

2.1
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Gesucht ist der Steigungswinkel von Flugzeug $1$ auf dem Weg von $A$ nach $B$. Laut Aufgabenstellung können die Flugbahnen der Flugzeuge als Geraden modelliert werden.
Stelle also die Gleichung einer Gerade $g$ auf, die die Flugbahn von Flugzeug $1$ von $A$ nach $B$ modelliert. Der Boden wird durch die $x$-$y$-Ebene dargestellt. Gesucht ist also der Schnittwinkel zwischen $g$ und der $x$-$y$-Ebene. Einen solchen Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor der Gerade.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der gleichen Flughöhe bestimmen
Du sollst untersuchen, nach welcher Zeit Flugzeug $1$ und Flugzeug $2$ die gleiche Flughöhe erreicht haben. Flugzeug $1$ ist dabei auf dem Weg von $A$ nach $B$ und Flugzeug $2$ auf dem Weg von $C$ zu $D$.
Die $z$-Koordinate entspricht laut Aufgabenstellung der Höhe. Damit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, müssen also die $z$-Koordinaten der Punkte, in denen sich die Flugzeuge gerade befinden, identisch sein.
Stelle dazu die Gleichungen zweier Geraden auf, die die jeweilige Flugbahn der Flugzeuge beschreiben. Setze dann die $z$-Koordinaten der beiden Geraden gleich.
2.3
$\blacktriangleright$  Kürzeste Entfernung bestimmen
Die Spitze des Sendemastes liegt im Punkt $S(-1\mid -1\mid 0,02)$, die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird durch die Gerade $g_2$ beschrieben. Du kannst die kürzeste Entfernung des Sendemastes zum Flugzeug also als Abstand des Punkts $S$ zur Gerade $g_2$ bestimmen. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ auf, die senkrecht auf $g_2$ steht und $S$ enthält.
  2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $F$ von $g_2$ und $H$. Dies ist der Fußpunkt des Lotes von $S$ auf $g_2$.
  3. Berechne die Länge der Strecke $\overline{SF}$.
2.4
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes begründen
Du sollst begründen, dass der Punkt $E$ auf der Startbahn liegt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Startbahn im Ursprung beginnt und in Nord-Ost Richtung verläuft. Verwende die Ausrichtungen der Koordinatenachsen und betrachte die Koordinaten von $E$.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel überprüfen
Betrachtest du die Koordinaten des Punktes $A$, kannst du erkennen, dass er über der verlängerten Startbahn liegt, aber nicht direkt über der Startbahn. Der Flug in Richtung des Punktes $A$ ist demnach am flachsten, wenn das Flugzeug direkt am Beginn der Startbahn abheben würde. Am steilsten ist der Flug, wenn das Flugzeug erst am Endpunkt der Startbahn abhebt.
Berechne also zunächst die Koordinaten des Endpunkts $P$ und anschließend den Steigungswinkel der Gerade durch die Punkte $P$ und $A$.
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Die sollst die Koordinaten des Punktes $E$ bestimmen, von dem aus das dritte Flugzeug in einem Winkel von ca. $10,5^{\circ}$ in Richtung $A$ fliegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Koordinaten aller Punkte $E_t$ auf der Startbahn in Abhängigkeit eines Parameters $t$ auf.
  2. Bilde mit Hilfe dieser Koordinaten den Verbindungsvektor $\overrightarrow{E_tA}$
  3. Setze diesen Verbindungvektor zusammen mit dem geforderten Winkel $\gamma = 10,5^{\circ}$ in die Formel für den Steigungswinkel ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$, die du lösen kannst.
2.5
$\blacktriangleright$  Größe der Fläche des Sonnensegels berechnen
Du kennst die Eckpunkte des Sonnensegels. Diese bilden ein Dreieck. Die Größe der Fläche eines solchen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
Dabei sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zwei der Verbindugnsvektoren der Eckpunkte, die das Dreieck aufspannen. Das vorliegende Dreieck wird von den Punkten $U$, $V$ und $W$ gebildet. Verwende also beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{UV}$ und $\overrightarrow{UW}$.
$\blacktriangleright$  Größen vergleichen
Die Größe des Sonnensegels hast du bereits berechnet. Um die Größe mit der des Schattens zu vergleichen, musst du zuerst die Größe des Schattens berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten der Eckpunkte des Schattens. Dies sind die Schattenpunkte $U'$, $V'$ und $W'$ der ursprünglichen Eckpunkte $U$, $V$ und $W$. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle für jeden Punkt $U$, $V$ und $W$ die Gleichung der Schattengerade auf, entlang welcher die Sonnenstrahlen verlaufen. Diese Gerade verläuft durch den jeweiligen Punkt in Richtung der Sonnenstrahlen.
  2. Die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene $T$, in der der Terrassenboden liegt, sind die Schattenpunkte der Eckpunkte.
  3. Berechne mit der Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil die Größe des Schattens.
  4. Vergleiche die beiden Größen miteinander, indem du berechnest, um wie viel $\%$ die Fläche des Schattens größer bzw. kleiner ist als die des Sonnensegels.
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B2 Analytische Geometrie

2.1
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Gesucht ist der Steigungswinkel von Flugzeug $1$ auf dem Weg von $A$ nach $B$. Laut Aufgabenstellung können die Flugbahnen der Flugzeuge als Geraden modelliert werden.
Stelle also die Gleichung einer Gerade $g$ auf, die die Flugbahn von Flugzeug $1$ von $A$ nach $B$ modelliert. Der Boden wird durch die $x$-$y$-Ebene dargestellt. Gesucht ist also der Schnittwinkel zwischen $g$ und der $x$-$y$-Ebene. Einen solchen Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor der Gerade.
Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1}$. Ein Richtungsvektor der Gerade ist beispielsweise der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{AB} = \pmatrix{18\\18\\2}- \pmatrix{6\\6\\1} = \pmatrix{12\\12\\1}$
$ \overrightarrow{r} = \pmatrix{12\\12\\1} $
Setze in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}\\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{12\\12\\1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{12\\12\\1}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{12\cdot 0 + 12\cdot 0 + 1\cdot 1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{12^2+12^2+1^2}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{ 17} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{1}{ 17}\right) \\[5pt] &\approx& 3,4^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 3,4^{\circ}$
Auf dem Weg von $A$ nach $B$ steigt das Flugzeug $1$ im Winkel $\alpha \approx 3,4^{\circ}$.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der gleichen Flughöhe bestimmen
Du sollst untersuchen, nach welcher Zeit Flugzeug $1$ und Flugzeug $2$ die gleiche Flughöhe erreicht haben. Flugzeug $1$ ist dabei auf dem Weg von $A$ nach $B$ und Flugzeug $2$ auf dem Weg von $C$ zu $D$.
Die $z$-Koordinate entspricht laut Aufgabenstellung der Höhe. Damit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, müssen also die $z$-Koordinaten der Punkte, in denen sich die Flugzeuge gerade befinden, identisch sein.
Stelle dazu die Gleichungen zweier Geraden auf, die die jeweilige Flugbahn der Flugzeuge beschreiben. Setze dann die $z$-Koordinaten der beiden Geraden gleich.
1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
Wähle als Richtungsvektor jeweils den Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt. Als Stützvektor wählst du den Ortsvektor des jeweiligen Startpunkts:
$g_1: \quad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}$
$g_2: \quad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC}+ t\cdot \overrightarrow{CD}$
Der Parameter $t$ beschreibt hier die Zeit in Stunden, nachdem die Flugzeuge ihren jeweiligen Startpunkt $A$ bzw. $C$ passiert haben. Es ergeben sich dann folgende Geradengleichungen:
$g_1: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{6\\6\\1} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\1}$
$g_2: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{-20\\-22\\6}+ t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1}$
$g_1: $$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{6\\6\\1} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\1}$
$g_2: $$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{-20\\-22\\6}+ t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1}$
2. Schritt: Gleichsetzen der $\boldsymbol{z}$-Koordinate
Setze nun die $z$ Koordinaten der Geraden gleich. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$:
$\begin{array}[t]{rll} z_1&=&z_2 \\[5pt] 1+t\cdot 1&=& 6+ t\cdot (-1)\\[5pt] 1+t&=&6-t &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 1+2t&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 2t&=& 5&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t &=& \frac{5}{2} =2,5 \end{array}$
$ t = \frac{5}{2} =2,5 $
Für $t = 2,5$ haben die beiden Geraden die gleiche $z$-Koordinate. Nach $2,5$ Stunden haben Flugzeug $1$ und Flugzeug $2$ die gleiche Flughöhe.
#geradengleichung#parameterform
2.3
$\blacktriangleright$  Kürzeste Entfernung bestimmen
Die Spitze des Sendemastes liegt im Punkt $S(-1\mid -1\mid 0,02)$, die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird durch die Gerade $g_2$ beschrieben. Du kannst die kürzeste Entfernung des Sendemastes zum Flugzeug also als Abstand des Punkts $S$ zur Gerade $g_2$ bestimmen. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ auf, die senkrecht auf $g_2$ steht und $S$ enthält.
  2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $F$ von $g_2$ und $H$. Dies ist der Fußpunkt des Lotes von $S$ auf $g_2$.
  3. Berechne die Länge der Strecke $\overline{SF}$.
1. Schritt: Gleichung der Hilfsebene aufstellen
Verwende eine Koordinatengleichung. Dazu benötigst du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}_H$ und die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene. Die Ebene soll senkrecht auf $g_2$ stehen, du kannst also den Richtungsvektor von $g_2$ als Normalenvektor verwenden. Der Punkt $S$ soll in der Ebene liegen.
$\overrightarrow{n}_H = \pmatrix{12\\12\\-1}$
$H: \quad 12x + 12y -z = d$
Setze nun die Koordinaten von $S$ ein, um $d$ zu bestimmen:
$d = 12\cdot (-1) + 12\cdot(-1) -0,02 = -24,02 $
$ d=-24,02 $
Die Gleichung der Hilfseben lautet also:
$H: \quad 12x + 12y -z = -24,02 $
$H:\, 12x + 12y -z = -24,02 $
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Setze die Koordinaten von $g_2$ in die Koordinatengleichung von $H$ ein und löse die Gleichung nach $t$ auf. Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Ortsvektor des Schnittpunkts $F$ der Hilfsebene und der Gerade $g_2$:
$x_{g_2} = -20 + t\cdot 12$
$y_{g_2} = -22 + t\cdot 12$
$z_{g_2} = 6 + t\cdot (-1)$
Einsetzen in $H$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H: \quad 12x + 12y -z &=& -24,02 \\[5pt] 12\cdot (-20+12t) + 12\cdot(-22+12t) -(6-t) &=& -24,02 \\[5pt] -510 +289t&=& -24,02&\quad \scriptsize \mid\; +510 \\[5pt] 289t&=&485,98 &\quad \scriptsize \mid\; : 289\\[5pt] t&=& \dfrac{48.598}{28.900} \end{array}$
$ t = \dfrac{48.598}{28.900} $
Setze dies nun in die Geradengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \pmatrix{-20\\-22\\6} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t =\dfrac{48.598}{28.900} \\[5pt] &=& \pmatrix{-20\\-22\\6} + \dfrac{48.598}{28.900}\cdot \pmatrix{12\\12\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{1.294}{7.225}\\ \dfrac{-13.156}{7.225}\\\dfrac{62.401}{14.450}}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OF} = \pmatrix{\dfrac{1.294}{7.225}\\ \dfrac{-13.156}{7.225}\\\dfrac{62.401}{14.450}} $
Die Gerade $g_2$ schneidet die Hilfsebene $H$ im Punkt $F\left( \dfrac{1.294}{7.225} \,\bigg \vert \, \dfrac{-13.156}{7.225} \,\bigg \vert \, \dfrac{62.401}{14.450}\right)$.
3. Schritt: Abstand berechnen
Berechne nun den Abstand der beiden Punkte $F$ und $S$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FS}&=& \pmatrix{\dfrac{8.519}{7.225}\\ \dfrac{-5.931}{7.225}\\ \dfrac{31.056}{7.225}}\\[5pt] \left|\overrightarrow{FS} \right| &=&\sqrt{\left(\dfrac{8.519}{7.225}\right)^2 +\left(\dfrac{-5.931}{7.225}\right)^2 + \left(\dfrac{31.056}{7.225}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3.710.122}}{425} \\[5pt] &\approx& 4,53 \,[\text{km}] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{FS} \right| \approx 4,53 \,[\text{km}]$
Der kürzeste Abstand zwischen dem Flugzeug $2$ und der Spitze des Sendemastes beträgt ungefähr $4,53\,\text{km}$.
#verbindungsvektor#vektorbetrag#hilfsebene
2.4
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes begründen
Du sollst begründen, dass der Punkt $E$ auf der Startbahn liegt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Startbahn im Ursprung beginnt und in Nord-Ost Richtung verläuft. Verwende die Ausrichtungen der Koordinatenachsen und betrachte die Koordinaten von $E$.
Die $x$-Achse verläuft von Westen nach Osten, die $y$-Achse von Süden nach Norden. Der positive Bereich der $x$-Achse beschreibt also den östlichen Teil und der positive Teil der $y$-Achse den nördlichen Teil. Da die Startbahn im Ursprung startet und dann in Nord-Ost-Richtung verläuft, müssen also die $x$- und $y$-Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn positiv sein. Wird die Startbahn als Gerade aufgefasst, müssen wegen der Nord-Ost-Ausrichtung die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte auf der Gerade gleich sein.
Zudem liegt die Startbahn auf dem Boden, also innerhalb der $x$-$y$-Ebene. Ihre Punkte müssen also die Koordinate $z = 0$ haben.
Der Punkt $E$ liegt also auf der Geraden, die die Startbahn modelliert. Nun muss noch die Länge der Startbahn berücksichtigt werden, um auszuschließen, dass der Punkt $E$ zwar in der richtigen Richtung, aber trotzdem außerhalb der Startbahn liegt.
Die Startbahn ist $3,5\,\text{km}$ lang. Der Punkt $E$ darf also höchstens $3,5 \,\text{LE}$ vom Ursprung entfernt sein:
$\left|\overrightarrow{OE} \right| = \left| \pmatrix{2\\2\\0} \right| = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} \approx 2,8 < 3,5$
$ \left|\overrightarrow{OE} \right| \approx 2,8 < 3,5 $
Also muss der Punkt $E$ auf der Startbahn liegen.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel überprüfen
Betrachtest du die Koordinaten des Punktes $A$, kannst du erkennen, dass er über der verlängerten Startbahn liegt, aber nicht direkt über der Startbahn. Der Flug in Richtung des Punktes $A$ ist demnach am flachsten, wenn das Flugzeug direkt am Beginn der Startbahn abheben würde. Am steilsten ist der Flug, wenn das Flugzeug erst am Endpunkt der Startbahn abhebt.
Berechne also zunächst die Koordinaten des Endpunkts $P$ und anschließend den Steigungswinkel der Gerade durch die Punkte $P$ und $A$.
1. Schritt: Koordinaten des Endpunkts berechnen
Im Aufgabenteil zuvor hast du bereits gesehen, dass für die Punkte auf der Startbahn gelten muss $x = y$ und $z=0$. Da die Startbahn $3,5\,\text{km}$ lang ist, liegt der Endpunkt $P$ $3,5\,\text{LE}$ vom Ursprung entfernt.
Den Abstand zwischen dem Punkt $P(x\mid x\mid 0)$ und dem Ursprung kannst du wie folgt berechnen:
$d = \sqrt{x^2+x^2+0^2} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}\cdot x$
$ d = \sqrt{2}\cdot x$
Dieser Abstand soll $d = 3,5$ betragen:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 3,5 \\[5pt] \sqrt{2}\cdot x&=&3,5 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{2}\\[5pt] x&=& \frac{3,5}{\sqrt{2}} \\[5pt] &=&\frac{7}{\sqrt{8}} \end{array}$
Der Endpunkt der Startbahn hat also die Koordinaten $P\left(\frac{7}{\sqrt{8}} \mid \frac{7}{\sqrt{8}} \mid 0\right)$.
2. Schritt: Steigungswinkel berechnen
Den Steigungswinkel kannst du wie in Aufgabe 2.1 mit Hilfe des Richtungsvektors $\overrightarrow{PA}$ berechnen:
$\overrightarrow{PA} = \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}$
Der Steigungswinkel $\beta_{max}$ ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{PA}\right|}{\left| \overrightarrow{n}\right| \cdot \left| \overrightarrow{PA}\right|} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}\right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left| \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}\right|}\\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{1}{\sqrt{\left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + \left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + 1^2}} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{1}{\sqrt{2\left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + 1^2}} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{2}{\sqrt{341-168\sqrt{2}}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \beta_{max}&=& \sin^{-1} \left( \dfrac{2}{\sqrt{341-168\sqrt{2}}}\right) \\[5pt] \beta_{max}&\approx& 11,34^{\circ} \end{array}$
$ \beta_{max}\approx 11,34^{\circ} $
Beim Abflug in Richtung des Punktes $A$ steigt das Flugzeug maximal mit einem Winkel von ca. $11,3^{\circ}$. Die Behauptung stimmt also nicht.
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Die sollst die Koordinaten des Punktes $E$ bestimmen, von dem aus das dritte Flugzeug in einem Winkel von ca. $10,5^{\circ}$ in Richtung $A$ fliegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Koordinaten aller Punkte $E_t$ auf der Startbahn in Abhängigkeit eines Parameters $t$ auf.
  2. Bilde mit Hilfe dieser Koordinaten den Verbindungsvektor $\overrightarrow{E_tA}$
  3. Setze diesen Verbindungvektor zusammen mit dem geforderten Winkel $\gamma = 10,5^{\circ}$ in die Formel für den Steigungswinkel ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$, die du lösen kannst.
1. Schritt: Koordinaten der Startbahn bestimmen
Du weißt bereits, dass für die Punkte auf der Startbahn $x= y$ und $z=0$ gelten muss. Es gibt also nur eine Unbekannte. Setzt du für diese den Parameter $t$ ein, erhältst du folgende Koordinaten für die Punkte auf der Startbahn:
$E_t(t\mid t\mid 0 )$
2. Schritt: Verbindungsvektor aufstellen
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{E_tA}$ ist der Richtungsvektor der Geraden, auf der sich das Flugzeug bewegt:
$\overrightarrow{E_tA}= \pmatrix{6-t\\6-t\\1}$
3. Schritt: Gleichung aufstellen
Gesucht ist das $t$, bei dem der Steigungswinkel $10,5^{\circ}$ beträgt. Setze dies also wie zuvor in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\gamma\right)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{E_tA}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{E_tA}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{6-t\\6-t\\1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|\cdot \left| \pmatrix{6-t\\6-t\\1}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{ \sqrt{ (6-t)^2 +(6-t)^2 +1^2 }} \\[5pt] \sin\left(10,5^{\circ}\right)&=&\dfrac{1}{\sqrt{73-24t+2t^2}} \\[5pt] \end{array}$
$ \sin\left(10,5^{\circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{73-24t+2t^2}} $
Abb. 1: Gleichung lösen
Abb. 1: Gleichung lösen
2.5
$\blacktriangleright$  Größe der Fläche des Sonnensegels berechnen
Du kennst die Eckpunkte des Sonnensegels. Diese bilden ein Dreieck. Die Größe der Fläche eines solchen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
Dabei sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zwei der Verbindugnsvektoren der Eckpunkte, die das Dreieck aufspannen. Das vorliegende Dreieck wird von den Punkten $U$, $V$ und $W$ gebildet. Verwende also beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{UV}$ und $\overrightarrow{UW}$. Das Kreuzprodukt kannst du mit folgender Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 -a_3b_2 \\a_3b_1 -a_1b_3 \\ a_1b_2 -a_2b_1 }$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 -a_3b_2 \\a_3b_1 -a_1b_3 \\ a_1b_2 -a_2b_1 }$
Setze also in die Formel ein. Die Verbindungsvektoren ergeben sich wie folgt:
$\overrightarrow{UV} = \pmatrix{-0,01\\ -0,005 \\ -0,003}$
$\overrightarrow{UW} = \pmatrix{0,01\\ -0,005 \\ -0,003 }$
$\begin{array}[t]{rll} F_{UVW}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{UV}\times \overrightarrow{UW} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-0,01\\ -0,005 \\ -0,003}\times\pmatrix{0,01\\ -0,005 \\ -0,003 } \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0 \\ -0,00006\\ 0,0001} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + (-0,00006)^2 + 0,0001^2} \\[5pt] &\approx& 0,000058 \,[\text{km}^2] \\[5pt] &=&58 \,[\text{m}^2] \end{array}$
$ F_{UVW}\approx 58 \,[\text{m}^2] $
Die Fläche des Sonnensegels ist ca. $58\,\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Größen vergleichen
Die Größe des Sonnensegels hast du bereits berechnet. Um die Größe mit der des Schattens zu vergleichen, musst du zuerst die Größe des Schattens berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten der Eckpunkte des Schattens. Dies sind die Schattenpunkte $U'$, $V'$ und $W'$ der ursprünglichen Eckpunkte $U$, $V$ und $W$. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle für jeden Punkt $U$, $V$ und $W$ die Gleichung der Schattengerade auf, entlang welcher die Sonnenstrahlen verlaufen. Diese Gerade verläuft durch den jeweiligen Punkt in Richtung der Sonnenstrahlen.
  2. Die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene $T$, in der der Terrassenboden liegt, sind die Schattenpunkte der Eckpunkte.
  3. Berechne mit der Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil die Größe des Schattens.
  4. Vergleiche die beiden Größen miteinander, indem du berechnest, um wie viel $\%$ die Fläche des Schattens größer bzw. kleiner ist als die des Sonnensegels.
1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
Verwende für die Geraden den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und den Ortsvektor des jeweiligen Punktes als Stützvektor.
$g_U: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_V: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,49\\ 0 \\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_W: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_U: $$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_V:$$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,49\\ 0 \\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_W: $$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
2. Schritt: Koordinaten der Schattenpunkte berechnen
Berechne die Schnittpunkte der drei Geraden mit der Ebene $T$, indem du jeweils die Koordinaten der Punkte auf der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt und nach $t$ auflöst. Dieses $t$ kannst du dann wiederum in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so den Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen.
Da in der Ebene $T$ nur die $z$-Koordinate vorkommt, reicht es diese abzulesen:
$z_{g_U} = 0,015 -t$
Setze dies in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} T: \quad z- 0,01&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; z = 0,015 -t \\[5pt] 0,015-t-0,01&=& 0 \\[5pt] 0,005 -t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 0,005&=&t \end{array}$
$ 0,005=t $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OU'}&=& \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,005 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + 0,005\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,515\\-0,005\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OU'} =\pmatrix{0,515\\-0,005\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $U$ hat also die Koordinaten $U'(0,515\mid -0,005\mid 0,01)$.
$z_{g_V} = 0,012-t$
$\begin{array}[t]{rll} T: \quad z- 0,01&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; z = 0,015 -t \\[5pt] 0,012-t-0,01&=& 0 \\[5pt] 0,002 -t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 0,002&=&t \end{array}$
$ 0,002=t $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OV'}&=& \pmatrix{0,49\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,002 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,49\\ 0\\ 0,012}+ 0,002\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,496\\-0,004\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OV'} = \pmatrix{0,496\\-0,004\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $V$ hat also die Koordinaten $V'(0,496\mid -0,004\mid 0,01)$.
$z_{g_W} = 0,012 -t $
Dies ist die gleiche $z$-Koordinate wie bei $g_V$. Du erhältst also wieder $t = 0,002$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OW'}&=& \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,002 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012}+ 0,002\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,516\\-0,004\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OW'} = \pmatrix{0,516\\-0,004\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $W$ hat also die Koordinaten $W'(0,516\mid -0,004\mid 0,01)$.
3. Schritt: Größe des Schattens berechnen
Zwei der Verbindungsvektoren sind beispielsweise:
$\overrightarrow{V'U'} = \pmatrix{0,019\\-0,001\\0}$
$\overrightarrow{V'W'}= \pmatrix{0,02\\0\\0}$
Setze diese in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} F_{U'V'W'}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{V'U'} \times \overrightarrow{V'W'} \right|\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0,019\\-0,001\\0} \times \pmatrix{0,02\\0\\0} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0 \\ 0\\ 0,00002} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 +0^2 +0,00002^2} \\[5pt] &=& 0,00001\,[\text{km}^2] \\[5pt] &=& 10\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ F_{U'V'W'} = 10\,[\text{m}^2]$
4. Schritt: Größen vergleichen
Berechne, um wie viel Prozent die Schattenfläche kleiner als die Fläche des Sonnensegels ist:
$\dfrac{F_{U'V'W'}}{F_{UVW}} = \dfrac{10\,\text{m}^2}{58\,\text{m}^2} \approx 0,1724 = 17,24\,\%$
$ \dfrac{F_{U'V'W'}}{F_{UVW}} \approx 17,24\,\% $
Die Fläche des Schattens besitzt ca. $17,24\,\%$ der Größe der Fläche des Sonnensegels.
#kreuzprodukt
Bildnachweise [nach oben]
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B2 Analytische Geometrie

2.1
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel berechnen
Gesucht ist der Steigungswinkel von Flugzeug $1$ auf dem Weg von $A$ nach $B$. Laut Aufgabenstellung können die Flugbahnen der Flugzeuge als Geraden modelliert werden.
Stelle also die Gleichung einer Gerade $g$ auf, die die Flugbahn von Flugzeug $1$ von $A$ nach $B$ modelliert. Der Boden wird durch die $x$-$y$-Ebene dargestellt. Gesucht ist also der Schnittwinkel zwischen $g$ und der $x$-$y$-Ebene. Einen solchen Schnittwinkel $\alpha$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
$\sin(\alpha) = \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}$
Dabei ist $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor der Ebene und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor der Gerade.
Ein Normalenvektor der $x$-$y$-Ebene ist $\overrightarrow{n} = \pmatrix{0\\0\\1}$. Ein Richtungsvektor der Gerade ist beispielsweise der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$.
$\overrightarrow{r} = \overrightarrow{AB} = \pmatrix{18\\18\\2}- \pmatrix{6\\6\\1} = \pmatrix{12\\12\\1}$
$ \overrightarrow{r} = \pmatrix{12\\12\\1} $
Setze in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{r}\right|}{\left| \overrightarrow{n} \right| \cdot \left| \overrightarrow{r}\right|}\\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{12\\12\\1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right| \cdot \left|\pmatrix{12\\12\\1}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{12\cdot 0 + 12\cdot 0 + 1\cdot 1}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\cdot \sqrt{12^2+12^2+1^2}} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{ 17} &\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \sin^{-1}\left(\dfrac{1}{ 17}\right) \\[5pt] &\approx& 3,4^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 3,4^{\circ}$
Auf dem Weg von $A$ nach $B$ steigt das Flugzeug $1$ im Winkel $\alpha \approx 3,4^{\circ}$.
2.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt der gleichen Flughöhe bestimmen
Du sollst untersuchen, nach welcher Zeit Flugzeug $1$ und Flugzeug $2$ die gleiche Flughöhe erreicht haben. Flugzeug $1$ ist dabei auf dem Weg von $A$ nach $B$ und Flugzeug $2$ auf dem Weg von $C$ zu $D$.
Die $z$-Koordinate entspricht laut Aufgabenstellung der Höhe. Damit beide Flugzeuge die gleiche Flughöhe haben, müssen also die $z$-Koordinaten der Punkte, in denen sich die Flugzeuge gerade befinden, identisch sein.
Stelle dazu die Gleichungen zweier Geraden auf, die die jeweilige Flugbahn der Flugzeuge beschreiben. Setze dann die $z$-Koordinaten der beiden Geraden gleich.
1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
Wähle als Richtungsvektor jeweils den Verbindungsvektor zwischen Start- und Endpunkt. Als Stützvektor wählst du den Ortsvektor des jeweiligen Startpunkts:
$g_1: \quad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OA} + t\cdot \overrightarrow{AB}$
$g_2: \quad \overrightarrow{OX} = \overrightarrow{OC}+ t\cdot \overrightarrow{CD}$
Der Parameter $t$ beschreibt hier die Zeit in Stunden, nachdem die Flugzeuge ihren jeweiligen Startpunkt $A$ bzw. $C$ passiert haben. Es ergeben sich dann folgende Geradengleichungen:
$g_1: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{6\\6\\1} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\1}$
$g_2: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{-20\\-22\\6}+ t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1}$
$g_1: $$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{6\\6\\1} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\1}$
$g_2: $$\overrightarrow{OX} = \pmatrix{-20\\-22\\6}+ t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1}$
2. Schritt: Gleichsetzen der $\boldsymbol{z}$-Koordinate
Setze nun die $z$ Koordinaten der Geraden gleich. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$:
$\begin{array}[t]{rll} z_1&=&z_2 \\[5pt] 1+t\cdot 1&=& 6+ t\cdot (-1)\\[5pt] 1+t&=&6-t &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 1+2t&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] 2t&=& 5&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] t &=& \frac{5}{2} =2,5 \end{array}$
$ t = \frac{5}{2} =2,5 $
Für $t = 2,5$ haben die beiden Geraden die gleiche $z$-Koordinate. Nach $2,5$ Stunden haben Flugzeug $1$ und Flugzeug $2$ die gleiche Flughöhe.
#parameterform#geradengleichung
2.3
$\blacktriangleright$  Kürzeste Entfernung bestimmen
Die Spitze des Sendemastes liegt im Punkt $S(-1\mid -1\mid 0,02)$, die Flugbahn des zweiten Flugzeugs wird durch die Gerade $g_2$ beschrieben. Du kannst die kürzeste Entfernung des Sendemastes zum Flugzeug also als Abstand des Punkts $S$ zur Gerade $g_2$ bestimmen. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Gleichung einer Hilfsebene $H$ auf, die senkrecht auf $g_2$ steht und $S$ enthält.
  2. Berechne die Koordinaten des Schnittpunkts $F$ von $g_2$ und $H$. Dies ist der Fußpunkt des Lotes von $S$ auf $g_2$.
  3. Berechne die Länge der Strecke $\overline{SF}$.
1. Schritt: Gleichung der Hilfsebene aufstellen
Verwende eine Koordinatengleichung. Dazu benötigst du einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}_H$ und die Koordinaten eines Punktes $P$ in der Ebene. Die Ebene soll senkrecht auf $g_2$ stehen, du kannst also den Richtungsvektor von $g_2$ als Normalenvektor verwenden. Der Punkt $S$ soll in der Ebene liegen.
$\overrightarrow{n}_H = \pmatrix{12\\12\\-1}$
$H: \quad 12x + 12y -z = d$
Setze nun die Koordinaten von $S$ ein, um $d$ zu bestimmen:
$d = 12\cdot (-1) + 12\cdot(-1) -0,02 = -24,02 $
$ d=-24,02 $
Die Gleichung der Hilfseben lautet also:
$H: \quad 12x + 12y -z = -24,02 $
$H:\, 12x + 12y -z = -24,02 $
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Setze die Koordinaten von $g_2$ in die Koordinatengleichung von $H$ ein und löse die Gleichung nach $t$ auf. Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Ortsvektor des Schnittpunkts $F$ der Hilfsebene und der Gerade $g_2$:
$x_{g_2} = -20 + t\cdot 12$
$y_{g_2} = -22 + t\cdot 12$
$z_{g_2} = 6 + t\cdot (-1)$
Einsetzen in $H$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} H: \quad 12x + 12y -z &=& -24,02 \\[5pt] 12\cdot (-20+12t) + 12\cdot(-22+12t) -(6-t) &=& -24,02 \\[5pt] -510 +289t&=& -24,02&\quad \scriptsize \mid\; +510 \\[5pt] 289t&=&485,98 &\quad \scriptsize \mid\; : 289\\[5pt] t&=& \dfrac{48.598}{28.900} \end{array}$
$ t = \dfrac{48.598}{28.900} $
Setze dies nun in die Geradengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OF}&=& \pmatrix{-20\\-22\\6} + t\cdot \pmatrix{12\\12\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t =\dfrac{48.598}{28.900} \\[5pt] &=& \pmatrix{-20\\-22\\6} + \dfrac{48.598}{28.900}\cdot \pmatrix{12\\12\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{\dfrac{1.294}{7.225}\\ \dfrac{-13.156}{7.225}\\\dfrac{62.401}{14.450}}\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OF} = \pmatrix{\dfrac{1.294}{7.225}\\ \dfrac{-13.156}{7.225}\\\dfrac{62.401}{14.450}} $
Die Gerade $g_2$ schneidet die Hilfsebene $H$ im Punkt $F\left( \dfrac{1.294}{7.225} \,\bigg \vert \, \dfrac{-13.156}{7.225} \,\bigg \vert \, \dfrac{62.401}{14.450}\right)$.
3. Schritt: Abstand berechnen
Berechne nun den Abstand der beiden Punkte $F$ und $S$ über den Betrag des Verbindungsvektors.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{FS}&=& \pmatrix{\dfrac{8.519}{7.225}\\ \dfrac{-5.931}{7.225}\\ \dfrac{31.056}{7.225}}\\[5pt] \left|\overrightarrow{FS} \right| &=&\sqrt{\left(\dfrac{8.519}{7.225}\right)^2 +\left(\dfrac{-5.931}{7.225}\right)^2 + \left(\dfrac{31.056}{7.225}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{\sqrt{3.710.122}}{425} \\[5pt] &\approx& 4,53 \,[\text{km}] \end{array}$
$ \left|\overrightarrow{FS} \right| \approx 4,53 \,[\text{km}]$
Der kürzeste Abstand zwischen dem Flugzeug $2$ und der Spitze des Sendemastes beträgt ungefähr $4,53\,\text{km}$.
#verbindungsvektor#hilfsebene#vektorbetrag
2.4
$\blacktriangleright$  Lage des Punktes begründen
Du sollst begründen, dass der Punkt $E$ auf der Startbahn liegt. Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Startbahn im Ursprung beginnt und in Nord-Ost Richtung verläuft. Verwende die Ausrichtungen der Koordinatenachsen und betrachte die Koordinaten von $E$.
Die $x$-Achse verläuft von Westen nach Osten, die $y$-Achse von Süden nach Norden. Der positive Bereich der $x$-Achse beschreibt also den östlichen Teil und der positive Teil der $y$-Achse den nördlichen Teil. Da die Startbahn im Ursprung startet und dann in Nord-Ost-Richtung verläuft, müssen also die $x$- und $y$-Koordinaten aller Punkte auf der Startbahn positiv sein. Wird die Startbahn als Gerade aufgefasst, müssen wegen der Nord-Ost-Ausrichtung die $x$- und $y$-Koordinaten der Punkte auf der Gerade gleich sein.
Zudem liegt die Startbahn auf dem Boden, also innerhalb der $x$-$y$-Ebene. Ihre Punkte müssen also die Koordinate $z = 0$ haben.
Der Punkt $E$ liegt also auf der Geraden, die die Startbahn modelliert. Nun muss noch die Länge der Startbahn berücksichtigt werden, um auszuschließen, dass der Punkt $E$ zwar in der richtigen Richtung, aber trotzdem außerhalb der Startbahn liegt.
Die Startbahn ist $3,5\,\text{km}$ lang. Der Punkt $E$ darf also höchstens $3,5 \,\text{LE}$ vom Ursprung entfernt sein:
$\left|\overrightarrow{OE} \right| = \left| \pmatrix{2\\2\\0} \right| = \sqrt{2^2+2^2+0^2} = \sqrt{8} \approx 2,8 < 3,5$
$ \left|\overrightarrow{OE} \right| \approx 2,8 < 3,5 $
Also muss der Punkt $E$ auf der Startbahn liegen.
$\blacktriangleright$  Steigungswinkel überprüfen
Betrachtest du die Koordinaten des Punktes $A$, kannst du erkennen, dass er über der verlängerten Startbahn liegt, aber nicht direkt über der Startbahn. Der Flug in Richtung des Punktes $A$ ist demnach am flachsten, wenn das Flugzeug direkt am Beginn der Startbahn abheben würde. Am steilsten ist der Flug, wenn das Flugzeug erst am Endpunkt der Startbahn abhebt.
Berechne also zunächst die Koordinaten des Endpunkts $P$ und anschließend den Steigungswinkel der Gerade durch die Punkte $P$ und $A$.
1. Schritt: Koordinaten des Endpunkts berechnen
Im Aufgabenteil zuvor hast du bereits gesehen, dass für die Punkte auf der Startbahn gelten muss $x = y$ und $z=0$. Da die Startbahn $3,5\,\text{km}$ lang ist, liegt der Endpunkt $P$ $3,5\,\text{LE}$ vom Ursprung entfernt.
Den Abstand zwischen dem Punkt $P(x\mid x\mid 0)$ und dem Ursprung kannst du wie folgt berechnen:
$d = \sqrt{x^2+x^2+0^2} = \sqrt{2x^2} = \sqrt{2}\cdot x$
$ d = \sqrt{2}\cdot x$
Dieser Abstand soll $d = 3,5$ betragen:
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 3,5 \\[5pt] \sqrt{2}\cdot x&=&3,5 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{2}\\[5pt] x&=& \frac{3,5}{\sqrt{2}} \\[5pt] &=&\frac{7}{\sqrt{8}} \end{array}$
Der Endpunkt der Startbahn hat also die Koordinaten $P\left(\frac{7}{\sqrt{8}} \mid \frac{7}{\sqrt{8}} \mid 0\right)$.
2. Schritt: Steigungswinkel berechnen
Den Steigungswinkel kannst du wie in Aufgabe 2.1 mit Hilfe des Richtungsvektors $\overrightarrow{PA}$ berechnen:
$\overrightarrow{PA} = \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}$
Der Steigungswinkel $\beta_{max}$ ergibt sich dann wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{PA}\right|}{\left| \overrightarrow{n}\right| \cdot \left| \overrightarrow{PA}\right|} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{\left| \pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}\right|}{\left| \pmatrix{0\\0\\1}\right| \cdot \left| \pmatrix{6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 6-\frac{7}{\sqrt{8}} \\ 1}\right|}\\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{1}{\sqrt{\left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + \left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + 1^2}} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{1}{\sqrt{2\left(6-\frac{7}{\sqrt{8}}\right)^2 + 1^2}} \\[5pt] \sin\left(\beta_{max}\right)&=& \dfrac{2}{\sqrt{341-168\sqrt{2}}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \beta_{max}&=& \sin^{-1} \left( \dfrac{2}{\sqrt{341-168\sqrt{2}}}\right) \\[5pt] \beta_{max}&\approx& 11,34^{\circ} \end{array}$
$ \beta_{max}\approx 11,34^{\circ} $
Beim Abflug in Richtung des Punktes $A$ steigt das Flugzeug maximal mit einem Winkel von ca. $11,3^{\circ}$. Die Behauptung stimmt also nicht.
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Die sollst die Koordinaten des Punktes $E$ bestimmen, von dem aus das dritte Flugzeug in einem Winkel von ca. $10,5^{\circ}$ in Richtung $A$ fliegt. Du kannst dazu wie folgt vorgehen:
  1. Stelle die Koordinaten aller Punkte $E_t$ auf der Startbahn in Abhängigkeit eines Parameters $t$ auf.
  2. Bilde mit Hilfe dieser Koordinaten den Verbindungsvektor $\overrightarrow{E_tA}$
  3. Setze diesen Verbindungvektor zusammen mit dem geforderten Winkel $\gamma = 10,5^{\circ}$ in die Formel für den Steigungswinkel ein. So erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $t$, die du lösen kannst.
1. Schritt: Koordinaten der Startbahn bestimmen
Du weißt bereits, dass für die Punkte auf der Startbahn $x= y$ und $z=0$ gelten muss. Es gibt also nur eine Unbekannte. Setzt du für diese den Parameter $t$ ein, erhältst du folgende Koordinaten für die Punkte auf der Startbahn:
$E_t(t\mid t\mid 0 )$
2. Schritt: Verbindungsvektor aufstellen
Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{E_tA}$ ist der Richtungsvektor der Geraden, auf der sich das Flugzeug bewegt:
$\overrightarrow{E_tA}= \pmatrix{6-t\\6-t\\1}$
3. Schritt: Gleichung aufstellen
Gesucht ist das $t$, bei dem der Steigungswinkel $10,5^{\circ}$ beträgt. Setze dies also wie zuvor in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(\gamma\right)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{E_tA}\right|}{\left|\overrightarrow{n} \right|\cdot \left| \overrightarrow{E_tA}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \circ \pmatrix{6-t\\6-t\\1}\right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|\cdot \left| \pmatrix{6-t\\6-t\\1}\right|} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{ \sqrt{ (6-t)^2 +(6-t)^2 +1^2 }} \\[5pt] \sin\left(10,5^{\circ}\right)&=&\dfrac{1}{\sqrt{73-24t+2t^2}} \\[5pt] \end{array}$
$ \sin\left(10,5^{\circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{73-24t+2t^2}} $
Abb. 1: Gleichung lösen
Abb. 1: Gleichung lösen
2.5
$\blacktriangleright$  Größe der Fläche des Sonnensegels berechnen
Du kennst die Eckpunkte des Sonnensegels. Diese bilden ein Dreieck. Die Größe der Fläche eines solchen Dreiecks kannst du mit folgender Formel berechnen:
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
$F_{ABC} = \dfrac{1}{2}\left| \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}\right|$
Dabei sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ zwei der Verbindugnsvektoren der Eckpunkte, die das Dreieck aufspannen. Das vorliegende Dreieck wird von den Punkten $U$, $V$ und $W$ gebildet. Verwende also beispielsweise die beiden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{UV}$ und $\overrightarrow{UW}$. Das Kreuzprodukt kannst du mit folgender Formel oder mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen:
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 -a_3b_2 \\a_3b_1 -a_1b_3 \\ a_1b_2 -a_2b_1 }$
$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = \pmatrix{a_2b_3 -a_3b_2 \\a_3b_1 -a_1b_3 \\ a_1b_2 -a_2b_1 }$
Setze also in die Formel ein. Die Verbindungsvektoren ergeben sich wie folgt:
$\overrightarrow{UV} = \pmatrix{-0,01\\ -0,005 \\ -0,003}$
$\overrightarrow{UW} = \pmatrix{0,01\\ -0,005 \\ -0,003 }$
$\begin{array}[t]{rll} F_{UVW}&=& \dfrac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{UV}\times \overrightarrow{UW} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{-0,01\\ -0,005 \\ -0,003}\times\pmatrix{0,01\\ -0,005 \\ -0,003 } \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\cdot \left| \pmatrix{0 \\ -0,00006\\ 0,0001} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 + (-0,00006)^2 + 0,0001^2} \\[5pt] &\approx& 0,000058 \,[\text{km}^2] \\[5pt] &=&58 \,[\text{m}^2] \end{array}$
$ F_{UVW}\approx 58 \,[\text{m}^2] $
Die Fläche des Sonnensegels ist ca. $58\,\text{m}^2$ groß.
$\blacktriangleright$  Größen vergleichen
Die Größe des Sonnensegels hast du bereits berechnet. Um die Größe mit der des Schattens zu vergleichen, musst du zuerst die Größe des Schattens berechnen. Dazu benötigst du die Koordinaten der Eckpunkte des Schattens. Dies sind die Schattenpunkte $U'$, $V'$ und $W'$ der ursprünglichen Eckpunkte $U$, $V$ und $W$. Gehe also wie folgt vor:
  1. Stelle für jeden Punkt $U$, $V$ und $W$ die Gleichung der Schattengerade auf, entlang welcher die Sonnenstrahlen verlaufen. Diese Gerade verläuft durch den jeweiligen Punkt in Richtung der Sonnenstrahlen.
  2. Die Schnittpunkte der Geraden mit der Ebene $T$, in der der Terrassenboden liegt, sind die Schattenpunkte der Eckpunkte.
  3. Berechne mit der Formel aus dem vorherigen Aufgabenteil die Größe des Schattens.
  4. Vergleiche die beiden Größen miteinander, indem du berechnest, um wie viel $\%$ die Fläche des Schattens größer bzw. kleiner ist als die des Sonnensegels.
1. Schritt: Geradengleichungen aufstellen
Verwende für die Geraden den Vektor der Sonnenstrahlen als Richtungsvektor und den Ortsvektor des jeweiligen Punktes als Stützvektor.
$g_U: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_V: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,49\\ 0 \\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_W: \quad \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_U: $$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_V:$$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,49\\ 0 \\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
$g_W: $$ \overrightarrow{OX} = \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}$
2. Schritt: Koordinaten der Schattenpunkte berechnen
Berechne die Schnittpunkte der drei Geraden mit der Ebene $T$, indem du jeweils die Koordinaten der Punkte auf der Gerade in die Ebenengleichung einsetzt und nach $t$ auflöst. Dieses $t$ kannst du dann wiederum in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und so den Ortsvektor des Schnittpunkts berechnen.
Da in der Ebene $T$ nur die $z$-Koordinate vorkommt, reicht es diese abzulesen:
$z_{g_U} = 0,015 -t$
Setze dies in die Ebenengleichung ein:
$\begin{array}[t]{rll} T: \quad z- 0,01&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; z = 0,015 -t \\[5pt] 0,015-t-0,01&=& 0 \\[5pt] 0,005 -t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 0,005&=&t \end{array}$
$ 0,005=t $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OU'}&=& \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,005 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,5\\ 0,005 \\ 0,015} + 0,005\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,515\\-0,005\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OU'} =\pmatrix{0,515\\-0,005\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $U$ hat also die Koordinaten $U'(0,515\mid -0,005\mid 0,01)$.
$z_{g_V} = 0,012-t$
$\begin{array}[t]{rll} T: \quad z- 0,01&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; z = 0,015 -t \\[5pt] 0,012-t-0,01&=& 0 \\[5pt] 0,002 -t&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +t \\[5pt] 0,002&=&t \end{array}$
$ 0,002=t $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den gesuchten Ortsvektor:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OV'}&=& \pmatrix{0,49\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,002 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,49\\ 0\\ 0,012}+ 0,002\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,496\\-0,004\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OV'} = \pmatrix{0,496\\-0,004\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $V$ hat also die Koordinaten $V'(0,496\mid -0,004\mid 0,01)$.
$z_{g_W} = 0,012 -t $
Dies ist die gleiche $z$-Koordinate wie bei $g_V$. Du erhältst also wieder $t = 0,002$.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OW'}&=& \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012} + t\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1} &\quad \scriptsize \mid\; t = 0,002 \\[5pt] &=& \pmatrix{0,51\\ 0\\ 0,012}+ 0,002\cdot \pmatrix{3\\-2\\-1}\\[5pt] &=& \pmatrix{0,516\\-0,004\\0,01 }\\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OW'} = \pmatrix{0,516\\-0,004\\0,01 } $
Der Schattenpunkt von $W$ hat also die Koordinaten $W'(0,516\mid -0,004\mid 0,01)$.
3. Schritt: Größe des Schattens berechnen
Zwei der Verbindungsvektoren sind beispielsweise:
$\overrightarrow{V'U'} = \pmatrix{0,019\\-0,001\\0}$
$\overrightarrow{V'W'}= \pmatrix{0,02\\0\\0}$
Setze diese in die Formel ein:
$\begin{array}[t]{rll} F_{U'V'W'}&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \overrightarrow{V'U'} \times \overrightarrow{V'W'} \right|\\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0,019\\-0,001\\0} \times \pmatrix{0,02\\0\\0} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left| \pmatrix{0 \\ 0\\ 0,00002} \right| \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{0^2 +0^2 +0,00002^2} \\[5pt] &=& 0,00001\,[\text{km}^2] \\[5pt] &=& 10\,[\text{m}^2] \\[5pt] \end{array}$
$ F_{U'V'W'} = 10\,[\text{m}^2]$
4. Schritt: Größen vergleichen
Berechne, um wie viel Prozent die Schattenfläche kleiner als die Fläche des Sonnensegels ist:
$\dfrac{F_{U'V'W'}}{F_{UVW}} = \dfrac{10\,\text{m}^2}{58\,\text{m}^2} \approx 0,1724 = 17,24\,\%$
$ \dfrac{F_{U'V'W'}}{F_{UVW}} \approx 17,24\,\% $
Die Fläche des Schattens besitzt ca. $17,24\,\%$ der Größe der Fläche des Sonnensegels.
#kreuzprodukt
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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