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Wahlteil A2

Aufgaben
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Von einem Prisma $ABCDEF$ mit der Grundfläche $ABC$ und der Kante $AD$ sind die Punkte $A(10\mid 10\mid 0),$ $B(90\mid 70\mid 0),$ $C(-50\mid 90\mid 0)$ und $D(10\mid 10\mid 70)$ bekannt.
Ein Aquarium hat die Form dieses Prismas. Die Dicke der Glasscheiben wird vernachlässigt. Eine Längeneinheit entspricht einem Zentimeter.
#prisma
2.1
Bestimme die Koordinaten der Punkte $E$ und $F.$
Stelle das Prisma grafisch dar.
Zeige, dass die Grundfläche ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck ist.
Überprüfe, ob es sich bei dem Prisma um ein gerades Prisma handelt.
(13 BE)
#gleichschenkligesdreieck#rechtwinkligesdreieck
2.2
Es gibt eine Faustregel, die besagt, dass einem Fisch im Aquarium pro Zentimeter Körperlänge etwa $3$ Liter Wasser zur Verfügung stehen sollen. Im Aquarium sollen Guppys gehalten werden. Diese Fische können bis zu $6\,\text{cm}$ lang werden.
Bestimme, wie viele Guppys man in diesem Aquarium unter der Beachtung der Faustregel höchstens halten könnte, wenn das Wasser bis zu $5\,\text{cm}$ unter der Aquariumoberkante steht.
(5 BE)
2.3
Auf den Boden des Aquariums wird Sand mit einer Dichte von $1,6\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ eingebracht.
Die Oberfläche des Sandes ist eben aber zur Grundfläche $ABC$ geneigt. Der Aquariensand steht an den Kanten $BE$ und $CF$ jeweils $5\,\text{cm},$ an der Kante $AD$ $10\,\text{cm}$ hoch.
Ermittle, wie viel Kilogramm Sand benötigt werden.
(7 BE)
2.4
Ein gerader Stab berührt den Boden im Punkt $P,$ ragt im Punkt $Q(-10\mid 70\mid 6)$ aus dem Sand und lehnt im Punkt $R(-35\mid 70\mid 60)$ an der Wand $ACFD$ des Aquariums.
Erstelle eine Koordinatengleichung der Ebene $ACFD.$
Bestimme die Gesamtlänge des Stabs und unter welchem Winkel er gegen die Wand gelehnt ist.
(10 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform
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2.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten bestimmen
Der Punkt $D$ entsteht durch Verschiebung des Punktes $A$ entlang des Vektors $\overrightarrow{AD}.$ Da $AD$ eine Kante des Prismas ist und die Grundfläche die Eckpunkte $A,$ $B$ und $C$ besitzt, müssen die Kanten $BE$ und $CF$ parallel zur Kante $AD$ sein und die gleiche Länge besitzen. Daher entsteht $E$ durch Verschiebung des Punkts $B$ entlang des Vektors $\overrightarrow{AD}$ und $F$ durch Verschiebung von $C$ entlang des gleichen Vektors.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=& \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \pmatrix{90\\70\\0}+\pmatrix{10-10\\10-10\\70-0} \\[5pt] &=& \pmatrix{90\\70\\0}+\pmatrix{0\\0\\70} \\[5pt] &=&\pmatrix{90\\70\\70} \\[10pt] \overrightarrow{OF}&=& \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=& \pmatrix{-50\\90\\0}+\pmatrix{0\\0\\70} \\[5pt] &=&\pmatrix{-50\\90\\70} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OE}&=&\pmatrix{90\\70\\70} \\[10pt] \overrightarrow{OF}&=&\pmatrix{-50\\90\\70} \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ besitzt die Koordinaten $E(90\mid 70\mid 70),$ der Punkt $F$ die Koordinaten $F(-50\mid 90\mid 70).$
$\blacktriangleright$  Prisma grafisch darstellen
In einem dreidimensionalen Koordinatensystem ergibt sich beispielsweise folgende Darstellung:
Wahlteil A2
Abb. 1: Grafische Darstellung im Koordinatensystem
Wahlteil A2
Abb. 1: Grafische Darstellung im Koordinatensystem
$\blacktriangleright$  Gleichschenkligkeit nachweisen
Die Seitenlängen des Dreiecks lassen sich über die Beträge der zugehörigen Verbindungsvektoren berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=&\left| \pmatrix{80\\60\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{80^2+60^2+0^2} \\[5pt] &=& 100 \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right|&=&\left| \pmatrix{140\\-20\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{140^2+(-20)^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{20.000} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CA} \right|&=&\left| \pmatrix{60\\-80\\0}\right| \\[5pt] &=& \sqrt{60^2+(-80)^2+0^2} \\[5pt] &=& 100 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left|\overrightarrow{AB} \right|&=& 100 \\[10pt] \left|\overrightarrow{CB} \right|&=& \sqrt{20.000} \\[10pt] \left|\overrightarrow{CA} \right|&=&100 \\[5pt] \end{array}$
Das Dreieck $ABC$ besitzt also genau zwei gleich lange Seiten, $AB$ und $CA.$
$\blacktriangleright$  Rechtwinkligkeit nachweisen
Das Dreieck besitzt bei $A$ einen rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt der zu den einschließenden Seiten gehörenden Verbindungsvektoren $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CA}$ null ist.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{CA}&=& \pmatrix{80\\60\\0}\circ \pmatrix{60\\-80\\0} \\[5pt] &=& 80\cdot 60 +60\cdot (-80) +0\cdot 0\\[5pt] &=& 4.800 - 4.800 +0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{AB}\circ \overrightarrow{CA} = 0$
Das Skalarprodukt von $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{CA}$ ist null, die beiden Vektoren stehen also senkrecht zueinander. Das Dreieck $ABC$ besitzt also bei $A$ einen rechten Winkel.
$\blacktriangleright$  Nachweisen, dass es sich um ein gerades Prisma handelt
Es handelt sich um ein gerades Prisma, wenn die Kanten $AD,$ $BE$ und $CF$ senkrecht zur Grundfläche verlaufen.
Da bei allen drei Eckpunkten der Grundfläche die $z$-Koordinate null ist, liegen diese alle in der $x$-$y$-Ebene. Bei dem Verbindungsvektor $\overrightarrow{AD}$ sind die beiden ersten Koordinaten null, wodurch er senkrecht zur $x$-$y$-Ebene verläuft. Gleiches gilt dadurch auch für die Kante $AD$ des Prismas. Diese verläuft damit auch senkrecht zur Grundfläche $ABC.$
Da die Kanten $BE$ und $CF$ parallel zu $AD$ verlaufen, verlaufen diese ebenfalls senkrecht zur Grundfläche. Das Prisma ist also gerade.
#skalarprodukt#vektorbetrag
2.2
$\blacktriangleright$  Anzahl Guppys berechnen
Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks $ABC$ mit dem rechten Winkel bei $A,$ lässt sich der Inhalt der Grundfläche wie folgt berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} G&=& \frac{1}{2}\cdot \left| \overrightarrow{AB}\right| \cdot \left|\overrightarrow{CA} \right| \text{cm}^2 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 100\cdot 100 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 5.000 \,\text{cm}^2 \end{array}$
$ G= 5.000 \,\text{cm}^2$
Da das Prisma gerade ist, entspricht die Höhe des Prismas der Länge der Kante $AD$ und kann damit über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{AD}$ berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \left|\overrightarrow{AD} \right|\,\text{cm} \\[5pt] &=& \left| \pmatrix{0\\0\\70}\right| \,\text{cm} \\[5pt] &=& \sqrt{0^2+0^2+70^2} \,\text{cm} \\[5pt] &=& 70\,\text{cm} \end{array}$
$ h =70\,\text{cm} $
Das Wasser soll bis $5\,\text{cm}$ unterhalb der Aquariumoberkante stehen, also beträgt die Höhe des Wassers $h_w=65\,\text{cm}.$ Für das Volumen des Wassers folgt damit:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& G\cdot h_w \\[5pt] &=& 5.000\,\text{cm}^2\cdot 65\,\text{cm} \\[5pt] &=& 325.000\,\text{cm}^3\\[5pt] &=& 325\, l \end{array}$
$ V = 325\, l $
Im Aquarium befinden sich $325\,l$ Wasser. Pro Zentimeter Körperlänge sollen ca. $3$ Liter Wasser berechnet werden. Guppys werden bis zu $6\,\text{cm}$ lang. Ein Guppy benötigt also ca. $18\,l$ Wasser.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{325\,l}{18\,\frac{l}{\text{Guppy}}}&\approx& 18,1\,\text{Guppy} \end{array}$
$ \dfrac{325\,l}{18\,\frac{l}{\text{Guppy}}} \approx … $
In dem Aquarium könnte man höchstens $18$ Guppys halten.
2.3
$\blacktriangleright$  Menge benötigten Sandes berechnen
Wahlteil A2
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
Wahlteil A2
Abb. 2: Skizze (nicht maßstäblich)
$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& G_P\cdot h \\[5pt] &=& 5.000\,\text{cm}^2\cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 25.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_D&=& \frac{1}{3}\cdot G_P \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 5.000\,\text{cm}^2\cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& \dfrac{25.000}{3}\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& 25.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_D&=& \dfrac{25.000}{3}\,\text{cm}^3 \end{array}$
Insgesamt nimmt der Sand also folgendes Volumen ein:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Sand}}&=& V_P+V_D \\[5pt] &=&\dfrac{100.000}{3} \,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Gewicht $m$ ergibt sich dann zu:
$\begin{array}[t]{rll} m&=& \dfrac{100.000}{3} \,\text{cm}^3 \cdot 1,6\,\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3} \\[5pt] &\approx& 53.333 \,\text{g} \\[5pt] &\approx& 53\,\text{kg} \end{array}$
$ m \approx 53\,\text{kg} $
Es werden ca. $53\,\text{kg}$ Sand benötigt.
#pyramide
2.4
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung erstellen
Ein möglicher Normalenvektor der Ebene $ACFD$ kann mit dem Kreuzprodukt von beispielsweise $\overrightarrow{CA}$ und $\overrightarrow{AD}$ berechnet werden. Mit dem crossP-Befehl des CAS ergibt sich:
Wahlteil A2
Abb. 3: Vektor: Keyboard $\to$ Math2
Wahlteil A2
Abb. 3: Vektor: Keyboard $\to$ Math2
Da nur die Richtung des Normalenvektors von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden. Eine Punktprobe liefert:
$\begin{array}[t]{rll} ACFD: \, n_1\cdot x +n_2\cdot y+n_3\cdot z&=& d &\quad \scriptsize \mid\;\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{4\\3\\0} \\[5pt] 4x+3y+0z&=&d &\quad \scriptsize \mid\; F(-50\mid 90\mid 70) \\[5pt] 4\cdot (-50)+3\cdot 90 +0\cdot 70&=&d \\[5pt] 70&=& d \\[5pt] \end{array}$
$ 70 = d $
Eine Koordinatengleichung der Ebene $ACDF$ lautet:
$ACDF:\,4x+3y = 70 $
$\blacktriangleright$  Gesamtlänge des Stabs berechnen
Die Länge des Stabs ergibt sich durch den Abstand der beiden Endpunkte $P$ und $R.$ Der Stab liegt auf der Geraden $g$ durch die Punkte $Q$ und $R$. Der Punkt $P$ muss daher ebenfalls auf $g$ liegen und ist der Schnittpunkt von $g$ mit der Ebene $E,$ in der die Grundfläche $ABC$ des Aquariums liegt, also der $x$-$y$-Ebene.
$g$ kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
$\begin{array}[t]{rll} g:\, \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OR}+ t\cdot \overrightarrow{RQ} \\[5pt] &=&\pmatrix{-35\\70\\60}+t\cdot \pmatrix{25\\0\\-54} \end{array}$
$ g:\, \overrightarrow{x} = … $
Die Punkte $P_t$ auf der Geraden $g$ haben also die Koordinaten $P_t(-35+25t\mid 70\mid 60-54t).$ Eine Gleichung der $x$-$y$-Ebene lautet $z =0.$ Einsetzen von $P_t$ in die Ebenengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} z&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;z_t=60-54t \\[5pt] 60-54t&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+54t \\[5pt] 60&=&54t &\quad \scriptsize \mid\;:54 \\[5pt] \frac{10}{9}&=&t \end{array}$
$ \frac{10}{9}=t $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor von $P:$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{-35\\70\\60}+t\cdot \pmatrix{25\\0\\-54} &\quad \scriptsize \mid\;t=\frac{10}{9} \\[5pt] &=& \pmatrix{-35\\70\\60}+\frac{10}{9}\cdot \pmatrix{25\\0\\-54}\\[5pt] &=& \pmatrix{-\frac{65}{9}\\ 70\\0} \\[5pt] \end{array}$
$ \overrightarrow{OP} =\pmatrix{-\frac{65}{9}\\ 70\\0} $
$P$ hat also die Koordinaten $P\left(-\frac{65}{9}\mid 70\mid 0\right).$
Mit dem norm-Befehl des CAS kann der Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PR}$ berechnet werden:
Wahlteil A2
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
Wahlteil A2
Abb. 4: Berechnung mit dem CAS
$\blacktriangleright$  Winkelgröße bestimmen
Gesucht ist der Schnittwinkel der Geraden $g$ mit der Ebene $ACDF.$ Dieser kann mithilfe eines Normalenvektors $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{4\\3\\0}$ und einem Richtungsvektor der Geraden $ \overrightarrow{RQ} = \pmatrix{25\\0\\-54}$ wie folgt berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} \sin \alpha&=&\dfrac{\left| \pmatrix{4\\3\\0}\circ\pmatrix{25\\0\\-54}\right|}{\left|\pmatrix{4\\3\\0} \right| \cdot\left|\pmatrix{25\\0\\-54} \right|} &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{100}{5\cdot \sqrt{3.541}} \\[5pt] \sin \alpha&=&\dfrac{20}{\sqrt{3.541}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 19,6^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 19,6^{\circ} $
Der Stab ist im Winkel von ca. $19,6^{\circ}$ gegen die Wand gelehnt.
#schnittwinkel
Bildnachweise [nach oben]
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