Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Smarter Learning
  • Prüfungsvorbereitung
    • Original-Prüfungsaufgaben 2004-2020
    • Abitur und Abschlussprüfungen aller Schularten und Bundesländer
  • Digitales Schulbuch
    • Spickzettel, Aufgaben und Lösungen
    • Lernvideos
  • Lektürehilfen
    • Über 30 Lektüren und Pflichtlektüren
  • Mein SchulLV
    • Eigene Inhaltsverzeichnisse
    • Eigene Favoritenlisten
über 8 Fächer
Jetzt freischalten
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
MV, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 12
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fach: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs
Abitur eA (CA...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
Mittlerer Schulabschluss
VERA 8 E-Kurs
VERA 8 G-Kurs

Wahlteil A3

Aufgaben
Download als Dokument:PDF
Betrachtet werden die Funktionen $f_k$ und $h_k$ mit den Gleichungen $f_k(x)=\dfrac{k}{x^2}$ und $h_k(x)=- \dfrac{2k}{x^3}$ mit $x,k\in\mathbb{R},x\neq 0, k>0$.
#cas
$\,$
3.1
Untersuche, ob die Wertebereiche der Funktionen $f_{18}$ und $h_{18}$ gleich sind.
(2 BE)
#wertebereich
$\,$
3.2
Für jedes $k$ schneiden sich die Graphen von $f_k$ und $h_k$ in einem Punkt.
Bestimme die Koordinaten dieses Schnittpunktes in Abhängigkeit von $k$.
Berechne die Differenz der Funktionswerte von $f_{18}$ und $h_{18}$ an der Stelle $-3$. Stelle die Graphen von $f_{18}$ und $h_{18}$ im Intervall $-6 \leq x \leq -\dfrac{3}{2}$ in einem gemeinsamen Koordinatensytem dar.
(7 BE)
$\,$
3.3
Es gibt eine Stelle $t$, an der die Tangenten an die Graphen von $f_{18}$ und $h_{18}$ parallel zueinander verlaufen.
Berechne diese Stelle $t$ und zeichne die Tangenten in das bestehende Koordinatensystem.
(5 BE)
#tangente
$\,$
3.4
Für einen positiven Wert von $\text u$ ist der Abstand der Punkte $( \text u \mid h_{18}(\text u))$ und $(- \text u \mid h_{18}(- \text u))$ minimal.
Berechne diesen Wert von $ \text u$.
(5 BE)
$\,$
3.5
Weise mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung nach, dass gilt: $\displaystyle\int_{a}^{x}h_k(w)\;\mathrm dw =f_k(x)-f_k(a)$, $(a< x < 0)$
(3 BE)
#integral
$\,$
3.6
Der Glühfaden einer Glühlampe wird als punktförmige Strahlungsquelle betrachtet, die ihre Energie gleichmäßig in alle Richtungen abgibt.
Die im Abstand $r$ zum Glühfaden der Lampe auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter ankommende Leistung $P$ wurde gemessen und in einer nachfolgenden Tabelle protokolliert.
Abstand $r$ in $cm$$5$$10$$15$$30$
Leistung $P$ in $W$$0,1910$$0,0477$$0,0212$$0,0053$
Abstand $r$ in $cm$Leistung $P$ in $W$
$5$$0,1910$
$10$$0,0477$
$15$$0,0212$
$30$$0,0053$
$\,$
3.6.1
Weise nach, dass gilt: $P\sim\dfrac{1}{r^2}$
(3 BE)
$\,$
3.6.2
Bestimme die auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter zu erwartende Leistung $P$ in einem Abstand von $20 \,\text{cm}$ zum Glühfaden.
(2 BE)
$\,$
3.7
Bei der Herstellung von Glühlampen einer bestimmten Sorte muss fortwährend auf die Einhaltung der Qualität geachtet werden. Dazu werden aus der Menge aller in einer Stunde hergestellten Glühlampen zufällig $25$ entnommen und überprüft. Die Zufallsvariable $X$ beschreibt hierbei die Anzahl fehlerhafter Glühlampen.
$\,$
3.7.1
Beschreibe, unter welchen Bedingungen $X$ als binomialverteilt angenommen werden kann.
(2 BE)
#binomialverteilung
$\,$
3.7.2
Die Zufallsvariable X wird als binomialverteilt mit $p=3,3 \,\%$ angenommen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den entnommenen Glühlampen höchstens zwei fehlerhaft sind.
(2 BE)
#binomialverteilung
$\,$
3.7.3
Die Bedingungen im Produktionsprozess haben sich verbessert. Unter $25$ geprüften Glühlampen befindet sich jetzt mit einer Wahrscheinlichkeit von rund $86 \,\%$ höchstens eine defekte Lampe.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine produzierte Glühlampe defekt ist. Runde die Prozentangabe auf eine Dezimale.
(4 BE)
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
3.1
$f_{18}(x)>0$ für alle $x\in \mathbb{R}.$
$h_{18}(x)$ kann allerdings sowohl positive als auch negative Funktionswerte annehmen. Die Wertebereiche der Funktionen $f_{18}$ und $h_{18}$ sind also nicht gleich.
3.2
Schnittpunkt
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& h_k(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& -2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(-2)&=& \frac{k}{(-2)^2} \\[5pt] &=& \frac{k}{4} \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts lauten also $S\left(-2\mid \frac{k}{4}\right).$
Differenz
$\begin{array}[t]{rll} f_{18}(-3) - h_{18}(-3) &=& \frac{18}{(-3)^2}+ \frac{2\cdot 18}{(-3)^3} \\[5pt] &=& 2- \frac{4}{3}\\[5pt] &=& \frac{2}{3} \end{array}$
$ f_{18}(-3) - h_{18}(-3)=\frac{2}{3} $
3.3
$\begin{array}[t]{rll} f_{18}(x) &=& 18\cdot x^{-2} \\[10pt] f_{18}'(x) &=& 18\cdot (-2)\cdot x^{-3} \\[5pt] &=& -\frac{36}{x^3} \\[10pt] h_{18}(x) &=& -36\cdot x^{-3} \\[10pt] h_{18}'(x) &=& -36\cdot (-3)\cdot x^{-4} \\[5pt] &=& \frac{108}{x^4} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f_{18}'(x) &=& h_{18}'(x) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& -3 \end{array}$
Die gesuchte Stelle ist $t=-3.$
3.4
$\begin{array}[t]{rll} d(u) &=& \sqrt{(u-(-u))^2 +(h_{18}(u)-h_{18}(-u))^2}\\[5pt] &=& \sqrt{4u^2 +(-\frac{36}{u^3}+\frac{36}{(-u)^3})^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4u^2 +\frac{72^2}{u^6}} \\[5pt] \end{array}$
$ d(u)=\sqrt{4u^2 +\frac{72^2}{u^6}} $
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} d'(u) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] u &\approx& 2,81 \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS $d''(2,81) > 0.$
Für $u\approx 2,81$ ist der Abstand der beiden Punkte minimal.
3.5
Es gilt $f_k'(x) = -\frac{2k}{x^3} = h_k(x).$
$f_k$ ist demnach eine Stammfunktion von $h_k:$ $H_k(x)=f_k(x).$ Mit dem Hauptsatz der Differntial- und Integralrechnung folgt dann:
$\displaystyle\int_{a}^{x}h_k(w)\;\mathrm dw = H_k(x) - H_k(a) = f_k(x) -f_k(a)$
$ \displaystyle\int_{a}^{x}h_k(w)\;\mathrm dw = f_k(x) -f_k(a)$
3.6.1
Damit $P\sim \frac{1}{r^2}$ gilt, muss es einen Faktor $m$ geben, sodass für die Wertepaare $(r\mid P)$ gilt $P(r)\approx m\cdot\frac{1}{r^2}.$ 
Für die Wertepaare aus der Tabelle ergibt sich jeweils:
$\begin{array}[t]{rll} P_1 &=& m_1\cdot \frac{1}{r_1^2} \\[5pt] 0,1910 &=& m_1\cdot \frac{1}{5^2} &\quad \scriptsize\mid \cdot 25 \\[5pt] 4,775 &=& m_1 \\[10pt] P_2 &=& m_2\cdot \frac{1}{r_2^2} \\[5pt] 0,0477 &=& m_2\cdot \frac{1}{10^2} &\quad \scriptsize\mid \cdot 100 \\[5pt] 4,77 &=& m_2 \\[10pt] P_3 &=& m_3\cdot \frac{1}{r_3^2} \\[5pt] 0,0212 &=& m_3\cdot \frac{1}{15^2} &\quad \scriptsize\mid \cdot 15^2 \\[5pt] 4,77 &=& m_3 \\[10pt] P_4 &=& m_4\cdot \frac{1}{r_4^2} \\[5pt] 0,0053 &=& m_4\cdot \frac{1}{30^2} &\quad \scriptsize\mid \cdot 30^2 \\[5pt] 4,77 &=& m_4 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4,775 &=& m_1 \\[10pt] 4,77 &=& m_2 \\[10pt] 4,77 &=& m_3 \\[10pt] 4,77 &=& m_4 \\[10pt] \end{array}$
Für alle Wertepaare ergibt sich also in etwa der gleiche Faktor $m\approx 4,77.$ $P$ und $\frac{1}{r^2}$ sind also proportional zueinander.
3.6.2
$P \approx 4,77 \cdot \frac{1}{r^2} = 4,77\cdot \frac{1}{20^2} \approx 0,0119$
Bei einem Abstand von $20\,\text{cm}$ zum Glühfaden beträgt die zu erwartende Leistung auf einer Fläche von einem Quadratzentimeter ca. $0,0119\,\text{W}.$
3.7.1
  • Die Glühlampen müssen zufällig und unabhängig voneinander entnommen und überprüft werden.
  • Jede Glühlampe muss mit gleicher Wahrscheinlichkeit fehlerhaft sein, unabhängig von den übrigen Glühlampen.
3.7.2
$X$ wird als binomialverteilt mit $p=0,033$ und $n=25$ angenommen. Mit dem CAS ergibt sich:
$P(X\leq 2) \approx 0,9519 = 95,19\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $95,19\,\%$ sind unter den entnommenen Glühlampen höchstens zwei fehlerhaft.
3.7.3
Betrachtet wird nun die Zufallsgröße $Y_p,$ die die zufällige Anzahl defekter Glühlampen in einer Stichprobe von $25$ Glühlampen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=25$ und unbekanntem $p$ betrachtet werden.
$p$ soll so bestimmt werden, dass folgendes gilt:
$P(Y_p \leq 1) \approx 0,86$
Mit deinem CAS erhältst du durch Ausprobieren beispielsweise folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} p = 0,025:\, & P(Y_p \leq 1)&\approx& 0,87 \\[5pt] p = 0,026:\, & P(Y_p\leq 1) &\approx& 0,86 \\[5pt] p= 0,027:\, & P(Y_p\leq 1) &\approx& 0,85 \end{array}$
Eine Glühlampe ist nun also nurnoch mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,5\,\%$ defekt.
#proportional#ableitung#cas
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV-PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Login
Folge uns auf
SchulLV als App