3 Stochastik

3.1

Eine Schokoladenfabrik stellt Pralinen mit mehreren gleichartigen Maschinen her. Zum Firmenjubiläum erhalten einige dieser Pralinen eine Prägung. Der Anteil der Pralinen mit Prägung an der gesamten Produktion beträgt $60 \,\%.$ Alle Pralinen werden gemischt und in Packungen zu je $20$ Stück verpackt. Eine Packung wird zufällig der laufenden Produktion entnommen. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Pralinen mit Prägung in dieser Packung an.

Eine der folgenden Abbildungen stellt die Verteilung der Zufallsgröße $X$ dar.

Binomialverteilung Balkendiagramm Abi 2023

Abbildung I

Abbildung II

3.1.1

Begründe, dass die Binomialverteilung dafür geeignet ist, Vorhersagen zu diesem Vorgang zu treffen.

(2 BE)

3.1.2

Gib an, welche der beiden Abbildungen die Verteilung von $X$ darstellt. Begründe deine Entscheidung.

(2 BE)

Für ein Schulfest werden $10$ Packungen gekauft und die Pralinen zufällig auf mehrere Teller verteilt. Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der Pralinen mit Prägung aus diesen $10$ Packungen an.

3.1.3

Mit dem Erwartungswert $E(Y)$ und der Standardabweichung $s$ von $Y$ ist der folgende Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gegeben:

$P(E(Y) \lt Y \lt E(Y) + m \cdot s)$

Ermittle für $m=2$ die möglichen Werte von $Y,$ die zu diesem Ereignis gehören.

(4 BE)

3.1.4

Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95 \,\%$ sollen auf jedem Teller wenigstens 3 Pralinen mit Prägung liegen.

Ermittle unter Beachtung dieser Bedingung die größtmögliche Anzahl der Teller auf diesem Schulfest.

(5 BE)

3.2

Eine andere Produktionslinie dieser Schokoladenfabrik stellt kugelförmige Pralinen aus dunkler Schokolade und aus heller Schokolade her. Pralinen beider Schokoladenarten können eine Füllung enthalten. Unter allen kugelförmigen Pralinen sind drei Viertel aus dunkler Schokolade, davon wiederum enthalten $70 \,\%$ eine Füllung.

Aus der gesamten Produktion kugelförmiger Pralinen wird eine zufällig entnommen. Folgende Ereignisse werden untersucht:

$D$ : „Die Praline ist aus dunkler Schokolade.“
$F$ : „Die Praline enthält eine Füllung.“

Es gilt: $P\left(\overline{D} \cap \overline{F}\right)=0,1$

3.2.1

Zeige, dass $P(D \cap F)=0,525$ gilt.

(1 BE)

3.2.2

Interpretiere die Gleichung $P\left(\overline{D} \cap \overline{F}\right)=0,1$ im Sachzusammenhang.

(2 BE)

3.2.3

Stelle diesen Sachverhalt in einer Vierfeldertafel oder in einem Baumdiagramm dar.

(2 BE)

3.2.4

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Praline entweder eine gefüllte Praline aus heller Schokolade ist oder eine ungefüllte aus dunkler Schokolade.

(2 BE)

3.2.5

Eine zufällig ausgewählte Praline ist ungefüllt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine Praline aus heller Schokolade handelt.

(2 BE)

3.2.6

Die Pralinen aus dunkler Schokolade haben $8$ verschiedene Füllungen, die Pralinen aus heller Schokolade haben $7$ verschiedene Füllungen. Die gefüllten Pralinen werden in Tüten verpackt, jede Tüte enthält $11$ Pralinen. In einer Tüte sind sowohl Pralinen aus dunkler Schokolade mit mindestens $5$ verschiedenen Füllungen als auch Pralinen mit heller Schokolade, ebenfalls mit mindestens $5$ verschiedenen Füllungen. Keine Pralinensorte ist mehrfach in einer Tüte enthalten.

Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten, diese Pralinentüten zu füllen.

(3 BE)

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3.1.1

Bei jeder Praline wird geprüft, ob sie eine Prägung hat oder nicht. Da die zu untersuchenden $20$ Pralinen aus einer sehr großen Anzahl hergestellter Pralinen zufällig ausgewählt wurden, kann davon ausgegangen werden, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Praline mit Prägung bei jeder einzelnen Prüfung gleich groß ist.

3.1.2

Erwartungswert von $X$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} E(X) &=& 20 \cdot 0,6 \\[5pt] &=& 12 \end{array}$

Die Abbildung II stellt die beschriebene Zufallsgröße dar. In der Abbildung I ist die höchste Säule bei $8,$ nicht beim Erwartungswert $12.$

3.1.3

Erwartungswert von $Y$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} E(Y)&=& 10 \cdot 20 \cdot 0,6 \\[5pt] &=&120 \end{array}$

Standardabweichung von $Y$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} s &=& \sqrt{200 \cdot 0,6 \cdot 0,4} \\[5pt] & \approx& 6,93 \end{array}$

Dann gilt:

$E(Y) +2s \approx 133,9$

Die möglichen Werte sind $\{121,122, \ldots 132,133\}.$

3.1.4

Es wird die kleinstmögliche Anzahl an Pralinen pro Teller berechnet.
Mit dem WTR ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,6}^8(X \geq 3)&=& 1-P_{0,6}^8(X \leq 2)&\\[5pt] &\approx& 95,02 \,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P_{0,6}^7(X \geq 3)&=& 1-P_{0,6}^7(X \leq 2)&\\[5pt] &\approx& 90,37 \,\% \end{array}$

Auf einen Teller müssen somit mindestens $8$ Pralinen gelegt werden. Da $200: 8=25$ , beträgt die größtmögliche Anzahl der Teller $25.$

3.2.1

$\begin{array}[t]{rll} P(D \cap F) &=& P(D)\cdot P_D(F) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{4} \cdot 0,7\\[5pt] &=& 0,525 \end{array}$

3.2.2

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Praline aus heller Schokolade und ungefüllt ist, beträgt $10\,\%$ .

3.2.3

3.2.4

$\begin{array}[t]{rll} P(\overline{D} \cap F)+P(D \cap \overline{F})&=& 0,15+0,225\\[5pt] &=& 0,375 \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $37,5\,\%$ handelt es sich bei einer zufällig ausgewählten Praline entweder um eine gefüllte Praline aus heller Schokolade oder eine ungefüllte aus dunkler Schokolade.

3.2.5

$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{F}}(\overline{D})&=& \dfrac{P(\overline{D} \cap \overline{F})}{P(\overline{F})}&\\[5pt] &=& \dfrac{0,1}{0,325}&\\[5pt] &\approx& 0,31 \\[5pt] &=& 31\,\% \end{array}$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 31 % handelt es sich bei einer zufälig ausgewählten ungefüllten Praline um eine mit heller Schokolade.

3.2.6

Da in jeder Tüte mindestens $5$ Pralinen mit heller als auch $5$ Pralinen mit dunkler Schokolade sind und sich insgesamt $11$ Pralinen in einer Tüte befinden, gibt es in jeder Tüte entweder $6$ Pralinen mit heller und $5$ mit dunkler Schokolade oder $5$ Pralinen mit heller und $6$ mit dunkler Schokolade.
Die Pralinen mit dunkler Schokolade haben alle eine unterschiedliche Füllung. Da es insgesamt $8$ verschiedene Füllungen der dunklen Pralinen gibt, gibt es je nach Tüte $\left(\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right)$ beziehungsweise $\left(\begin{array}{l} 8 \\ 6 \end{array}\right)$ Möglichkeiten die Pralinen mit dunkler Schokolade zu wählen.
Auch die Pralinen mit heller Schokolade haben alle eine unterschiedliche Füllung. Da es insgesamt $7$ verschiedene Füllungen der hellen Pralinen gibt, gibt es je nach Tüte $\left(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right)$ beziehungsweise $\left(\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}\right)$ Möglichkeiten die Pralinen mit heller Schokolade zu wählen.

Insgesamt ergibt sich:

$\left(\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 6 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{l} 8 \\ 6 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 5 \end{array}\right)=980$

Es gibt 980 Möglichkeiten die Pralinentüten zu füllen.

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