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Pflichtaufgabe B0

Aufgaben
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1 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)= -x^3+9x^2-15x-25.$
Weise nach, dass $f$ folgende Eigenschaften besitzt:
Der Graph von $f$ besitzt an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $A\left(5\mid f(5)\right)$ die $x$-Achse als Tangente.
Die Tangente $t$ an den Graphen der Funktion $f$ im Punkt $B\left(-1\mid f(-1) \right)$ kann durch die Gleichung $y=-36x-36$ beschrieben werden.
(5 BE)
#tangente#zentraleraufgabenpool

2 Analysis

2.1
Bestimme zu den Graphen $A$ und $B$ jeweils den zugehörigen Wert von $k.$
(3 BE)
2.2
Zeige, dass alle Graphen von $f_k$ genau einen gemeinsamen Punkt haben.
(2 BE)
#extrempunkt#funktionenschar

3 Analytische Geometrie

Für jeden Wert von $a$ mit $a\in \mathbb{R}$ ist eine Gerade $g_a$ gegeben durch
$g_a:\quad \overrightarrow{X} =$ $\pmatrix{2\\a-4\\4} +t\cdot \pmatrix{2\\-2\\1},$ $t \in \mathbb{R}.$
3.1
Bestimme in Abhängigkeit von $a$ die Koordinaten des Punkts, in dem $g_a$ die $xy$-Ebene schneidet.
(2 BE)
3.2
Für genau einen Wert von $a$ hat die Gerade $g_a$ einen Schnittpunkt mit der $z$-Achse. Ermittle die Koordinaten dieses Schnittpunkts.
(3 BE)
#zentraleraufgabenpool

4 Stochastik

Betrachtet wird ein Bernoulli-Experiment mit unbekannter Trefferwahrscheinlichkeit $p.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei zweimaliger Durchführung dieses Bernoulli-Experimentes genau ein Treffer erzielt wird, beträgt $\frac{3}{8}.$
4.1
Zeige, dass $\frac{3}{4}$ ein möglicher Wert der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist.
(2 BE)
4.2
Weise nach, dass für alle möglichen Werte der Trefferwahrscheinlichkeit $p$ die Gleichung $p^2-p +\frac{3}{16} =0$ gilt.
(3 BE)
#bernoullikette
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1 Analysis

1.1
$\blacktriangleright$  Steigung nachweisen
Die Steigung des Graphen von $f$ wird durch $f'$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -3\cdot 0^2+18\cdot 0-15\\[5pt] &=& -15 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& -3x^2+18x-15\\[10pt] f'(0)&=& -15 \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt also an der Stelle $x=0$ die Steigung $-15.$
1.2
$\blacktriangleright$  Tangente nachweisen
Die $x$-Achse ist im Punkt $A(5\mid f(5))$ eine Tangente an den Graphen von $f,$ wenn dort sowohl der Funktionswert, als auch die Steigung übereinstimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& -5^3+9\cdot 5^2 -15\cdot 5 -25 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& -3\cdot 5^2 +18\cdot 5 -15 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(5)&=& 0 \\[10pt] f'(5)&=& 0 \end{array}$
Die $x$-Achse mit der Gleichung $y= 0$ ist also eine Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $A.$
1.3
$\blacktriangleright$  Tangente nachweisen
Die Gerade zu $y= -36x-36$ besitzt die Steigung $-36.$ Für die Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(-1)&=& -3\cdot(-1)^2+18\cdot (-1)-15 \\[5pt] &=& -36 \end{array}$
$ f'(-1) = -36 $
Die Steigung der Geraden stimmt also mit der Steigung des Graphen von $f$ im Punkt $B$ überein. Für die Funktionswerte folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -36\cdot (-1) -36 \\[5pt] &=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&-(-1)^3 +9\cdot (-1)^2 -15\cdot (-1) -25 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 0 \\[10pt] f(-1)&=&0 \end{array}$
Sowohl Steigung, als auch Funktionswert der Gerade zu $y= -36x-36$ stimmen mit den Werten für $f$ überein. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $B$ kann also durch $y= -36x-36$ beschrieben werden.
#ableitung

2 Analysis

2.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Graph $A$ schneidet laut Aufgabenstellung die $x$-Achse an der Stelle $x=1.$ Es ist also $f_k(1)=0:$
$\begin{array}[t]{rll} f_k(1) &=& 0 \\[5pt] 1^3-k\cdot 1 &=& 0 \\[5pt] 1-k &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; + k \\[5pt] 1 &=& k \end{array}$
$ k=1 $
Graph $A$ gehört also zum Wert $k=1.$
Graph $B$ besitzt an der Stelle $x=1$ einen Tiefpunkt. Hier muss also $f_k'(1)=0$ gelten:
$\begin{array}[t]{rll} f_k(x) &=& x^3 -k\cdot x \\[10pt] f_k'(x) &=& 3x^2 -k \\[10pt] f_k'(1) &=& 0 \\[5pt] 3\cdot 1^2 -k &=& 0 \\[5pt] 3- k &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +k \\[5pt] 3&=& k \end{array}$
$ k=3 $
Graph $B$ gehört also zum Wert $k=3.$
2.2
$\blacktriangleright$  Gemeinsamen Punkt zeigen
$\begin{array}[t]{rll} f_{k_1}(x) &=& f_{k_2}(x) \\[5pt] x^3 -k_1\cdot x &=& x^3 -k_2\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; -x^3 \\[5pt] -k_1\cdot x &=& -k_2\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; +k_2\cdot x \\[5pt] -k_1\cdot x +k_2 \cdot x &=& 0 \\[5pt] x\cdot (k_2-k_1)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;k_2\neq k_1 \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$
$ x=0 $
Unabhängig der beiden Werte $k_1$ und $k_2$ mit $k_1\neq k_2$ gibt es also genau eine Stelle, $x=0,$ an denen sich die Graphen $k_1$ und $k_2$ schneiden.
#ableitung

3 Analytische Geometrie

a)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Punkts bestimmen
Für die $xy$-Ebene gilt die Gleichung $z=0.$ Aus der letzten Zeile der Geradengleichung folgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& 4+t \cdot 1 \\[5pt] 0&=& 4+t &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] -4&=&t \\[5pt] \end{array}$
$ t = -4 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\a-4\\4}+ (-4)\cdot \pmatrix{2\\-2\\1}&=& \pmatrix{-6\\a+4\\0} \end{array}$
$ …=\pmatrix{-6\\a+4\\0} $
Die Gerade $g_a$ schneidet die $xy$-Ebene im Punkt $P_a(-6\mid a+4\mid 0).$
b)
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Schnittpunkts bestimmen
Bei allen Punkten auf der $z$-Achse ist $x=y=0.$ Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
Aus der ersten Zeile der Geradengleichung von $g_a$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 0 &=& 2+ t \cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] -2&=& 2\cdot t &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] -1&=& t \end{array}$
$ t = -1 $
Für die zweite Zeile der Geradengleichung folgt mit dem Ergebnis:
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& a-4 +t \cdot (-2) &\quad \scriptsize \mid\; t = -1 \\[5pt] 0&=& a-4 +(-1)\cdot (-2) \\[5pt] 0&=& a -2 &\quad \scriptsize \mid\;+2 \\[5pt] 2&=& a \end{array}$
$ a = 2 $
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{2\\2-4\\4}+ (-1)\cdot \pmatrix{2\\-2\\1}&=& \pmatrix{0\\0\\3} \\[5pt] \end{array}$
$ … = \pmatrix{0\\0\\3} $
Die Gerade $g_a$ schneidet für $a=2$ die $z$-Achse im Punkt $P(0\mid 0\mid 3).$

4 Stochastik

4.1
$\blacktriangleright$  Möglichen Wert zeigen
Mit $p=\frac{3}{4}$ ergibt sich mithilfe der Pfadregeln folgende Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} & \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \\[5pt] =& \frac{6}{16} \\[5pt] =& \frac{3}{8} \end{array}$
Mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p=\frac{3}{4}$ ist also die geforderte Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung erfüllt. $p=\frac{3}{4}$ ist also ein möglicher Wert für die Trefferwahrscheinlichkeit.
4.2
$\blacktriangleright$  Gleichung zeigen
Mit den Pfadregeln folgt für die Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} & p\cdot (1-p) + (1-p)\cdot p \\[5pt] =& p -p^2 +p -p^2 \\[5pt] =& 2p-2p^2 \end{array}$
Diese Wahrscheinlichkeit soll $\frac{3}{8}$ betragen:
$\begin{array}[t]{rll} 2p-2p^2 &=& \frac{3}{8} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{3}{8}\\[5pt] 2p-2p^2 -\frac{3}{8}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] p^2-p +\frac{3}{16}&=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2p-2p^2 &=& \frac{3}{8} \\[5pt] p^2-p +\frac{3}{16}&=& 0 \end{array}$
Aufgrund der angegebenen Wahrscheinlichkeit für genau einen Treffer bei zweimaliger Durchführung gilt die Gleichung für alle möglichen Werte der Trefferwahrscheinlichkeit.
#pfadregeln
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