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Wahlteil A2

Aufgaben
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Das Modell eines Carports wird in einem kartesichen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A,$ $B;$ $C,$ $D,$ $E,$ $F,$ $G$ und $H$ bestimmt. Zur Unterbringung von Gartengeräten ist ein zum Carport hin offener Abstellraum aus Blech angebaut. Im Modell wird er durch die Eckpunkte $D,$ $C$, $I,$ $K,$ $H$ und $G$ festgelegt.
Die Koordinaten lauten: $A(9\mid 0\mid 0),$ $B(9\mid 5\mid 0),$ $C(0\mid 5\mid 0),$ $D(0\mid 0\mid 0),$ $E(9\mid 0\mid 4),$ $F(9\mid 5\mid 4),$ $G(0\mid 5\mid 3),$ $H(0\mid 0\mid 3),$ $I(-4\mid 5\mid 0)$ und $K(-4\mid 0\mid 0).$ Die Ebene $\epsilon$ enthält die Punkte $E,$ $F,$ $G$ und $H.$
Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
2.1
Stelle das Modell in einem kartesischen Koordinatensystem dar.
(3 BE)
2.2
Ermittle eine Koordinatengleichung für die Ebene $\epsilon .$
Berechne den Neigungswinkel der Ebene $\epsilon$ bezüglich der Grundfläche $ABCD.$
(6 BE)
#neigungswinkel#koordinatenform
2.3
Zeige, dass folgende Aussagen wahr sind.
  • $A:$ Das Viereck $BCGF$ ist ein Trapez.
  • $B:$ Das Dreieck $CIG$ ist rechtwinklig.
(4 BE)
#rechtwinkligesdreieck#trapez
2.4
Berechne das Verhältnis der Volumina $V_{\text{Carport}}: V_{\text{Abstellraum}}.$
Bestimme, wie viele Quadratmeter Blech für die Herstellung der drei Seitenflächen des Abstellraumes mindestens benötigt werden.
(6 BE)
2.5
Ein nasser Ball rollt von der Mitte der Strecke $\overline{HG}$ zur Mitte der Strecke $\overline{IK}$ und hinterlässt dabei eine geradlinige Spur.
Diese Spur kann mit Hilfe einer Geraden $g$ beschrieben werden.
Gib eine Gleichung für $g$ an.
Prüfe, ob der Punkt $P\left(-3\mid 3\mid \frac{3}{4} \right)$ auf der Geraden $g$ liegt.
Weise nach, dass $P$ innerhalb des Vierecks $GIKH$ liegt. Berechne den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $\epsilon .$
(10 BE)
2.6
Eine Firma fertigt Blechteile für den Abstellraum als Massenware.
Die Fehlerquote beträgt dabei $13\,\%.$ Der laufenden Produktion werden nacheinander $50$ Blechteile zufällig entnommen und untersucht, ob sie einwandfrei oder defekt sind.
2.6.1
Begründe, dass man dieses Experiment als Bernoulli-Kette beschreiben kann.
(2 BE)
#bernoullikette
2.6.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse.
  • $A:$ Alle Blechteile sind einwandfrei.
  • $B:$ Höchstens ein Blechteil ist defekt.
(4 BE)
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Lösungen
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2.1
$\blacktriangleright$  Modell darstellen
2.2
$\blacktriangleright$  Koordinatengleichung ermitteln
Die Ebene $\epsilon$ soll die vier Punkte $E,$ $F,$ $G$ und $H$ enthalten. Ein Normalenvektor der Ebene ergibt sich beispielsweise mit dem Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren dieser Punkte:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{EF}\times \overrightarrow{FG} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\5\\0}\times\pmatrix{-9\\0\\-1} \\[5pt] &=& \pmatrix{5\cdot (-1) -0\cdot 0\\ 0\cdot (-9) - 0\cdot (-1)\\ 0\cdot 0- 5\cdot (-9)}\\[5pt] &=& \pmatrix{-5\\0\\45} \\[5pt] &=& 5\cdot \pmatrix{-1\\0\\9} \end{array}$
$ \overrightarrow{n} = 5\cdot \pmatrix{-1\\0\\9} $
Da für den Normalenvektor nur die Richtung, nicht aber die Länge von Bedeutung ist, kann auch der gekürzte Vektor verwendet werden $\overrightarrow{n}_1 = \pmatrix{-1\\0\\9}.$ Eine vorläufige Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet damit:
$\epsilon:\; -x+9z =d$
$d$ kann nun mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von $H$ ermittelt werden:
$\begin{array}[t]{rll} -x+9z&=& d&\quad \scriptsize \mid\;H(0\mid 0\mid 3) \\[5pt] -0+9\cdot 3&=&d \\[5pt] 27&=& d \end{array}$
$ 27 = d $
Eine Koordinatengleichung von $\epsilon$ lautet:
$\epsilon:\; -x+9z = 27$
$\blacktriangleright$  Neigungswinkel berechnen
Die Punkte $A,$ $B,$ $C$ und $D$ haben dieselbe $z$-Koordinate $z=0$ und liegen daher alle in der $xy$-Ebene. Da die Grundfläche in der $xy$-Ebene liegt, kann der Neigungswinkel von $\epsilon$ bezüglich der Grundfläche $ABCD$ über den Schnittwinkel von $\epsilon$ bezüglich der $xy$-Ebene berechnet werden. Mit dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}_1$ von $\epsilon$ und $\overrightarrow{n}_2 = \pmatrix{0\\0\\1}$ der $xy$-Ebene, folgt mithilfe der Formel für den Schnittwinkel $\alpha$ zweier Ebenen:
$\begin{array}[t]{rll} \cos \alpha &=& \dfrac{\left| \overrightarrow{n}_1\circ\overrightarrow{n}_2 \right|}{\left|\overrightarrow{n}_1 \right| \cdot \left|\overrightarrow{n}_2 \right|} \\[5pt] \cos \alpha &=& \dfrac{\left| \pmatrix{-1\\0\\9}\circ\pmatrix{0\\0\\1} \right|}{\left|\pmatrix{-1\\0\\9} \right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1} \right|} \\[5pt] \cos \alpha&=&\dfrac{9}{ \sqrt{(-1)^2+0^2+9^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} \\[5pt] \cos \alpha&=& \dfrac{9}{\sqrt{82}} &\quad \scriptsize \mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx& 6,34^{\circ} \\[5pt] \end{array}$
$ \alpha\approx 6,34^{\circ} $
$\epsilon$ ist gegenüber der Grundfläche um ca. $6,34^{\circ}$ geneigt.
2.3
$\blacktriangleright$  Trapezform nachweisen
Damit das Viereck $BCGF$ ein Trapez ist, müssen zwei gegenüberliegende Seiten parallel sein. Dies ist der Fall, wenn die zugehörigen Verbindungsvektoren linear abhängig, also Vielfache voneinander sind.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CG}&=&k\cdot \overrightarrow{BF} \\[5pt] \pmatrix{0\\0\\3}&=& k\cdot \pmatrix{0\\0\\4} \\[5pt] \end{array}$
Für $k = \frac{3}{4}$ ist diese Gleichung erfüllt, $\overrightarrow{CG}$ und $\overrightarrow{BF}$ sind also linear abhängig und somit parallel. Damit sind auch die beiden Seiten $BF$ und $CG$ parallel. Das Viereck $BCGF$ ist also ein Trapez.
$\blacktriangleright$  Rechtwinkligkeit nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{CG}\circ\overrightarrow{IC}&=& \pmatrix{0\\0\\3}\circ\pmatrix{4\\0\\0} \\[5pt] &=& 0\cdot 4+0\cdot 0+0\cdot 0\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$ \overrightarrow{CG}\circ\overrightarrow{IC} = 0 $
Die Vektoren $\overrightarrow{CG}$ und $\overrightarrow{IC}$ und damit auch die Seiten $CG$ und $IC$ des Dreiecks stehen senkrecht zueinander. Das Dreieck $CIG$ besitzt also bei $C$ einen rechten Winkel und ist damit rechtwinklig.
#skalarprodukt#lineareabhängigkeit
2.4
$\blacktriangleright$  Verhältnis der Volumina berechnen
Das Carport hat die Form eines Prismas mit der trapezförmigen Grundfläche $BCGF.$ Da alle Eckpunkte des Trapezes die gleiche $y$-Koordinate $y= 5$ haben, ist das Trapez parallel zur $xz$-Ebene. Da alle Eckpunkte der Deckfläche $ADHE$ die $y$-Koordinate $y=0$ haben, liegt die Deckfläche vollständig in der $xz$-Ebene.
Die Höhe des Prismas ist daher $h=5.$
Die Seite $BC$ des Trapezes liegt in der $xy$-Ebene und parallel zur $x$-Achse, da beide Punkte $B$ und $C$ die gleiche $y$-Koordinaten $y = 5$ und $z$-Koordinaten $z=0$ haben.
Die Seiten $CG$ und $BF$ des Trapezes sind senkrecht zur $xy$-Ebene. Das Trapez besitzt also in $C$ und $B$ jeweils einen rechten Winkel. Die Höhe des Trapezes ist daher die Länge der Strecke $\overline{BC}.$
Der Flächeninhalt der Grundfläche, also des Trapezes $BCGF$ ergibt sich daher zu:
$\begin{array}[t]{rll} G_{BCGF}&=& \frac{1}{2}\left(\left|\overline{BF} \right| +\left| \overline{CG}\right| \right) \cdot \left|\overline{BC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\left(\left|\overrightarrow{BF} \right| +\left| \overrightarrow{CG}\right| \right) \cdot \left|\overrightarrow{BC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\left( \left| \pmatrix{0\\0\\4}\right|+ \left| \pmatrix{0\\0\\3}\right|\right) \cdot \left| \pmatrix{-9\\0\\0}\right|\\[5pt] &=&\frac{1}{2} \left( 4+3\right)\cdot 9 \\[5pt] &=& \frac{63}{2} \end{array}$
$ G_{BCGF} = \frac{63}{2} $
Das Volumen des Prismas $P_{1},$ das das Carport darstellt ergibt sich daher wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{P_1}&=& G_{BCGF}\cdot h \\[5pt] &=& \frac{63}{2} \cdot 5 \\[5pt] &=& \frac{315}{2}\\[5pt] \end{array}$
$ V_{P_1} = \frac{315}{2} $
Das Carport besitzt also ein Volumen von $V_{\text{Carport}}=\frac{315}{2}\,\text{m}^3.$
Der Abstellraum wird ebenfalls durch ein Prisma mit der Höhe $h=5$ dargestellt. Die Grundfläche bildet das Dreieck $CIG.$ Dieses besitzt wie im letzten Aufgabenteil gezeigt einen rechten Winkel bei $C.$
Der Flächeninhalt der Grundfläche des zweiten Prismas ergibt sich daher wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} G_{CIG}&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overline{CG} \right| \cdot \left|\overline{IC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{CG} \right| \cdot \left|\overrightarrow{IC} \right| \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{0\\0\\3}\right| \cdot \left|\pmatrix{4\\0\\0}\right|\\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4 \\[5pt] &=& 6 \end{array}$
$ G_{CIG} = 6 $
Damit lässt sich das Volumen des zweiten Prismas $P_2$ berechnen, das den Abstellraum darstellt:
$\begin{array}[t]{rll} V_{P_2}&=& G_{CIG}\cdot h \\[5pt] &=& 6\cdot 5 \\[5pt] &=& 30 \end{array}$
Der Abstellraum hat also ein Volumen von $V_{\text{Abstellraum}} = 30 \,\text{m}^3.$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_{\text{Carport}}}{V_{\text{Abstellraum}}}&=& \dfrac{\frac{315}{2}}{30} \\[5pt] &=&\frac{21}{4} \end{array}$
Die beiden Volumina stehen im Verhältnis $21:4$.
$\blacktriangleright$  Menge an Material berechnen
Die beiden dreieckigen Seitenflächen sind gleichgroß. Eine von beiden wird im Modell durch das Dreieck $CIG$ dargestellt. Die beiden dreieckigen Seitenflächen besitzen also jeweils eine Größe von $6\,\text{m}^2.$
Die dritte Seitenfläche wird durch das Rechteck $KIGH$ dargestellt. Der zugehörige Flächeninhalt ergibt sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_{KIGH}&=& \left|\overrightarrow{KI} \right|\cdot \left| \overrightarrow{IG}\right| \\[5pt] &=&\left| \pmatrix{0\\5\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{4\\0\\3} \right| \\[5pt] &=& 5\cdot \sqrt{4^2+0^2+3^2}\\[5pt] &=& 5\cdot 5 &=&25 \end{array}$
$ A_{KIGH} = 25 $
Die rechteckige Seitenfläche ist also $25\,\text{m}^2$ groß. Insgesamt werden $25\,\text{m}^2+2\cdot 6\,\text{m}^2 = 37\,\text{m}^2$ Blech benötigt.
#prisma
2.5
$\blacktriangleright$  Geradengleichung angeben
Mit der Formel zur Berechnung des Ortsvektors des Mittelpunkts einer Strecke folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{HG}&=& \frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OH}+\overrightarrow{OG}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{0\\5\\6} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\ 3} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_{IK}&=& \frac{1}{2}\cdot \left( \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OK}\right) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{-8\\5\\0} \\[5pt] &=& \pmatrix{-4\\\frac{5}{2}\\ 0} \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{OM}_{HG}&=&\pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\ 3} \\[10pt] \overrightarrow{OM}_{IK}&=& \pmatrix{-4\\\frac{5}{2}\\ 0} \\[10pt] \end{array}$
Die Gerade soll also durch die beiden Punkte $M_{HG}\left(0\mid \frac{5}{2}\mid 3\right)$ und $M_{IK}\left(-4\mid \frac{5}{2}\mid 0\right)$ verlaufen. Als Richtungsvektor kann $\overrightarrow{M_{IK}M_{HG}}$ und als Stützvekor einer der beiden Ortsvektoren, beispielsweise $\pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\3},$ gewählt werden:
$\begin{array}[t]{rll} g: \; \overrightarrow{x} &=& \overrightarrow{OM}_{HG} + t\cdot \overrightarrow{M_{IK}M_{HG}} \\[5pt] &=& \pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\3} + t\cdot \pmatrix{4\\0\\3 }\\[5pt] \end{array}$
$ g: \; \overrightarrow{x} = … $
$\blacktriangleright$  Punktprobe durchführen
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\3\\\frac{3}{4}}&=&\pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\3} + t\cdot \pmatrix{4\\0\\3 } &\quad \scriptsize \mid\;-\pmatrix{0\\\frac{5}{2}\\3} \\[5pt] \pmatrix{-3\\\frac{1}{2}\\-\frac{9}{4}}&=& t\cdot \pmatrix{4\\0\\3 } \\[5pt] \end{array}$
$ \pmatrix{-3\\\frac{1}{2}\\-\frac{9}{4}}= t\cdot \pmatrix{4\\0\\3 } $
Wegen der zweiten Zeile $\frac{1}{2} = t\cdot 0$ ist die Gleichung nicht gültig. Der Punkt $P$ liegt damit nicht auf der Geraden $g.$
$\blacktriangleright$  Lage des Punkts nachweisen
Betrachtet werden die beiden Dreiecke $GIK$ und $KHG.$ Liegt $P$ innerhalb eines der beiden Dreiecke, liegt er auch in dem Viereck $GIKH.$ $P$ liegt innerhalb des Dreiecks $GIK,$ wenn es $s\geq 0$ und $t\geq 0$ mit $s+t \leq 1$ gibt, sodass folgende Gleichung erfüllt ist:
$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OG}+ s\cdot \overrightarrow{GI}+ t\cdot \overrightarrow{GK}$
Einsetzen liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \pmatrix{-3\\3\\\frac{3}{4}}&=& \pmatrix{0\\5\\3}+s\cdot \pmatrix{-4\\0\\-3}+t\cdot \pmatrix{-4\\-5\\-3} &\quad \scriptsize \mid\; -\pmatrix{0\\5\\3}\\[5pt] \pmatrix{-3\\-2\\-\frac{9}{4}}&=& s\cdot \pmatrix{-4\\0\\-3}+t\cdot \pmatrix{-4\\-5\\-3} \end{array}$
$ \pmatrix{-3\\-2\\-\frac{9}{4}} = … $
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&-3&=& -4s-4t \\[5pt] \text{II}\quad&-2&=& 0s-5t \\ &-2&=&-5t &\quad \scriptsize \mid\; :(-5) \\ &\frac{2}{5}&=&t \\[5pt] \text{III}\quad&-\frac{9}{4}&=&-3s-3t \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}&-3&=& -4s-4t \\[5pt] \text{II}&-2&=& 0s-5t \\ &\frac{2}{5}&=&t \\[5pt] \text{III}&-\frac{9}{4}&=&-3s-3t \\ \end{array}$
Einsetzen der Lösung aus $\text{II}$ in $\text{I}$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{I}\quad -3&=&-4s-4t &\quad \scriptsize \mid\;t=\frac{2}{5} \\[5pt] -3&=&-4s-4\cdot \frac{2}{5} \\[5pt] -3&=&-4s-\frac{8}{5} &\quad \scriptsize \mid\; +\frac{8}{5}\\[5pt] -\frac{7}{5}&=&-4s &\quad \scriptsize \mid\;:(-4) \\[5pt] \frac{7}{20}&=&s \end{array}$
$ \frac{7}{20} = s $
Einsetzen in die dritte Gleichung zur Probe liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \text{III}\quad -\frac{9}{4}&=& -3s-3t &\quad \scriptsize \mid\;s= \frac{7}{20}, t=\frac{2}{5} \\[5pt] -\frac{9}{4}&=& -3\cdot \frac{7}{20}-3\cdot \frac{2}{5} \\[5pt] -\frac{9}{4}&=&-\frac{9}{4} \end{array}$
$ -\frac{9}{4}=-\frac{9}{4} $
Die dritte Gleichung ist also auch erfüllt. Zudem ist $s+t = \frac{15}{20} \leq 1.$
Der Punkt $P$ liegt also innerhalb des Dreiecks $GIK$ und damit auch innerhalb des Vierecks $GIKH.$
$\blacktriangleright$  Abstand zur Ebene berechnen
Der Abstand des Punkts $P$ zur Ebene $\epsilon$ kann mit Hlfe der Hesseschen-Normalenform von $\epsilon$ bestimmt werden:
$\begin{array}[t]{rll} d(\epsilon , P)&=& \dfrac{-x+9z-27}{\sqrt{(-1)^2+0^2+9^2}}\\[5pt] &=& \dfrac{\left|-x+9z-27\right|}{\sqrt{82}}&\quad \scriptsize \mid\;P\left(-3\mid 3\mid \frac{3}{4}\right) \\[5pt] &=& \dfrac{\left|-1\cdot (-3)+9\cdot \frac{3}{4}-27\right|}{\sqrt{82}}\\[5pt] &=& \dfrac{\frac{69}{4}}{\sqrt{82}}\\[5pt] &\approx& 1,9 \\[5pt] \end{array}$
$ d(\epsilon , P) \approx 1,9 $
Der Abstand von $P$ zur Ebene $\epsilon$ beträgt ca. $1,9.$
#hesseschenormalform
2.6.1
$\blacktriangleright$  Bernoulli-Kette begründen
Die Untersuchung jedes einzelnen Blechteils kann als Bernoulli-Versuch dargestellt werden, da bei jedem dieser Teile eindeutig zwischen „defekt“ und „einwandfrei“ unterschieden wird.
Da die Fehlerquote auf die gesamte laufende Produktion gesehen $13\,\%$ beträgt, kann diese als Wahrscheinlichkeit dafür angesehen werden, dass ein zufällig ausgewähltes Blechteil defekt ist. Diese Wahrscheinlichkeit ist bei jedem Blechteil unabhängig von den Ergebnisses bei den anderen Blechteilen aus der Stichprobe gleich. Aufgrund der Unabhängigkeit der einzelnen Bernoulli-Versuche kann das Experiment daher als Bernoulli-Versuch beschrieben werden.
2.6.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
Betrachtet wird die Zufallsvariable $X,$ die die zufällige Anzahl der defekten Blechteile in der Stichprobe von $50$ zufällig ausgewählten Blechteilen beschreibt. Diese kann wegen Aufgabenteil 2.6.1 als binomialverteilt angenommen werden mit den Parametern $n=50$ und $p = 0,13.$
Mit der entsprechenden Formel für die Wahrscheinlichkeiten einer binomialverteilten Zufallsgröße ergeben sich die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X=0) \\[5pt] &=& \binom{50}{0}\cdot 0,13^0 \cdot (1-0,13)^{50} \\[5pt] &=& (1-0,13)^{50} \\[5pt] &\approx& 0,0009 \\[5pt] &=& 0,09\,\%\\[10pt] \end{array}$
$ P(A)\approx 0,09\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,09\,\%$ sind alle Blechteile einwandfrei.
$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=&P(X\leq 1) \\[5pt] &=&P(X=0)+P(X= 1) \\[5pt] &=& (1-0,13)^{50} + \binom{50}{1}\cdot 0,13^1 \cdot (1-0,13)^{49} \\[5pt] &\approx& 0,0080 \\[5pt] &=& 0,80\,\%\\[10pt] \end{array}$
$P(B) \approx 0,80\,\%$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $0,8\,\%$ ist höchstens ein Blechteil defekt.
#binomialverteilung
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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