Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
MV, Gymnasium
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
VERA 8
Abitur eA (WTR...
Prüfung
wechseln
Abitur eA (WTR)
Abitur eA (CAS)
Abitur gA (WTR)
Abitur gA (CAS)
VERA 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Wahlteil B1

Aufgaben
Download als Dokument:PDF

Analysis und Stochastik

1.1
Gegeben ist eine Funktionsschar $f_a$ durch die Gleichung
$f_a(x)=\dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$ mit $x\in\mathbb{R};a\in\mathbb{R}; a>0; x^2\neq a$.
Die zugehörige Kurvenschar ist $G_a$
#funktionenschar
1.1.1
Gib die Gleichungen aller Asymptoten von $G_a$ an.
Berechne die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ und begründe mit Hilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums.
Beschreibe das Monotonieverhalten von $G_a$ im gesamten Definitionsbereich.
#monotonie#extrempunkt#asymptote
1.1.2
Für jeden Wert von $a$ schneidet $G_a$ die $x-$Achse für $x>0$ im Punkt $A$. Betrachtet werden in $A$ die Tangente $t$ und die Normale $n$ an $G_a$.
Bestimme je eine Gleichung für $t$ und $n$ in Abhängigkeit von $a$.
Die Tangente $t$ und die Koordinatenachsen begrenzen das Dreieck $D_t$.
Die Normale $n$ und die Koordinatenachsen begrenzen das Dreieck $D_n$.
$D_t$ und $D_n$ rotieren um die $x-$Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina $V_t$ bzw. $V_n$.
Ermittle den Wert von $a$ so, dass $V_n$ neunmal so groß ist wie $V_t$.
#normalengleichung#tangente#rotationsvolumen
1.1.3
Zeige, dass $F_a(x)=\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \mathrm{ln}(x+\sqrt{a})$-$\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \mathrm{ln}(x-\sqrt{a})+x $
eine Stammfunktion von $f_a$ mit $a>0$ und $x>\sqrt{a}$ ist.
#stammfunktion
1.2
Eine Urne enthält eine rote Kugel, zwei blaue, drei grüne und vier schwarze Kugeln.
Bei einem Spiel zahlt ein Spieler zunächst einen Einsatz in der Höhe $e$ an den Spielleiter. Anschließend zieht der Spieler mit einem Griff drei Kugeln aus der Urne.
  • Haben alle gezogenen Kugeln die gleiche Farbe, so erhält der Spieler das Achtfache seines Einsatzes vom Spielleiter zurück.
  • Sind zwei Kugeln blau, so erhält der Spieler das Vierfache seines Einsatzes zurück.
  • Wurde eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel gezogen, so erhält der Spieler das Doppelte seines Einsatzes zurück.
  • Bei allen anderen Ausgängen verliert der Spieler seinen Einsatz.
$ $
Gib die Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers an.
Entscheide, ob das Spiel fair ist und begründe.

(30P)
#wahrscheinlichkeit
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen
Du hast die Funktion $f_a$ gegeben und sollst nun die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen. Die Funktion $f_a$ ist hierbei mit der Gleichung $f_a(x)=\dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$ gegeben.
Nun sollst du zur gegebenen Funktion die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen.
Beginne hierbei zunächst mit der senkrechten Asymptote. Eine senkrechte Asymptote liegt vor, wenn der Nenner der Funktion gleich Null ist.
Für die waagrechten Asymptoten muss man das Grenzverhalten von $f_a$ untersuchen für $x\to\infty$. Für die Gleichung der Asymptoten gilt dann $y=\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)$.
Du kannst die Regel von l'Hospital verwende.
$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g'(x)}{h'(x)}$
$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g'(x)}{h'(x)}$
$\blacktriangleright$Koordinaten des Extrempunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen und mithilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums bestimmen.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $f'$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, mithilfe der ersten Ableitung.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1.1.2
$\blacktriangleright$ Tangenten- und Normalengleichung aufstellen
In dieser Aufgabe sollst du die Tangentengleichungen $t$ und die Normalengleichungen $n$ im Punkt $A$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen. Der Punkt $A$ ist als Nullstelle von $f_a$ für $x>0$ gegeben. Berechnen also zuerst die Nullstelle für $x>0$ in Abhängigkeit von $a$ und setze anschließend die Koordinaten von $A$ in die allgemeine Tangenten- und Normalengleichung ein.
$\blacktriangleright$ Volumen der Rotationskörper bestimmen
In dieser Aufgabe bilden die Tangete $t$ und die Normale $n$ zusammen mit den Koordinatenachsen das Dreieck $D_t$ und das Dreieck $D_n$. Diese Dreiecke rotieren um die $x$-Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina $V_t$ und $V_n$. Nun sollst du den Wert von $a$ ermitteln, sodass $V_n$ neunmal so groß ist wie $V_t$.
In dieser Aufgabe rotieren Dreiecke, um die $x$-Achse, das bedeutet, dass der entstehende Rotationskörper die Form eines Kegels besitzt. Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
Nun musst du dir nur verdeutlichen, welcher Größe in unserem Fall der Höhe $h$ und dem Radium $r$ etspricht.
Der Radius $r$ entspricht genau dem Betrag des $y$-Achsenabschnitts unserer Tangenten- bzw. Normalenfunktion.
1.1.3
$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Funktion $F_a(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a} \cdot \ln(x+ \sqrt{a})-\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \ln(x-\sqrt{a})+x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechne dazu die Ableitung der gegebenen Stammfunktion und überprüfe, ob diese Ableitung mit der Funktion $f_a(x)$ übereinstimmt.
1.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben
In dieser Aufgabe sollst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers angeben. Als Gewinn des Spielers wird hierbei der echte Gewinn bezeichnet, also den erhaltenen Betrag subtrahiert mit dem Einsatz. Stelle hierbei eine Tabelle für die jeweiligen Gewinnstufen auf.
Da hierbei drei Kugeln in einem Griff gezogen werden handelt es sich , um eine ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen. Zunächst musst du also die Anzahl aller Möglichkeiten berechnen, die auftreten können, wenn man mit einem Griff drei Kugeln aus der gegebenen Urne zieht. Anschließend musst du die Anzahl der Möglichkeiten für die verschiedenen Ereignisse berechnen und erhalten so die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.1.1
$\blacktriangleright$ Asymptoten bestimmen
Du hast die Funktion $f_a$ gegeben und sollst nun die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen. Die Funktion $f_a$ ist hierbei mit der Gleichung $f_a(x)=\dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$ gegeben.
Nun sollst du zur gegebenen Funktion die Gleichungen aller Asymptoten bestimmen.
Beginne hierbei zunächst mit der senkrechten Asymptote. Eine senkrechte Asymptote liegt vor, wenn der Nenner der Funktion gleich Null ist. Somit folgt für die Gleichung der Asymptoten:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-a&=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, +a \\[5pt] x^2&=& a & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_1&=& +\sqrt{a} \\[5pt] x_2&=& -\sqrt{a} \\[5pt] \end{array}$
Für die senkrechten Asymptoten gelten somit die Gleichungen $x_1= +\sqrt{a}$ und $x_2= -\sqrt{a}$.
Für die waagrechten Asymptoten muss man das Grenzverhalten von $f_a$ untersuchen für $x\to\infty$. Für die Gleichung der Asymptoten gilt dann $y=\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)$. Somit folgt:
$\lim\limits_{x\to\infty} f_a(x)= \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4a}{x^2-a}$
Hierbei würdest du den Ausdruck $\dfrac{+\infty}{+\infty}$ erhalten. Ist dies der Fall $\left(\text{ oder auch } \dfrac{- \infty}{-\infty}, \dfrac{0}{0}\right)$ kannst du die Regel von l'Hospital verwenden:
$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g'(x)}{h'(x)}$
$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{g'(x)}{h'(x)}$
Mit der Regel von l'Hospital folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} &=& \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{2x}{2x} \\[5pt] &=& \lim\limits_{x\to\infty} 1 \\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{x\to\infty} \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} = 1 $
Somit lautet die Gleichung der waagrechten Asymptoten $y=1$.
Koordinaten des Extrempunktes bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Koordinaten des Extrempunktes von $G_a$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen und mithilfe der ersten Ableitung die Art des Extremums bestimmen.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $f'$.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $f'(x)=0$ setzt und nach $x$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, mithilfe der ersten Ableitung.
  4. Berechne die Funktionswerte von $f$ an den Extremstellen.
1. Schritt: Ableitungsfunktionen bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} \\[5pt] f_a(x)&=& (x^2-4a) \cdot \dfrac{1}{x^2-a}\\[5pt] f_a'(x)&=& 2x \cdot \dfrac{1}{x^2-a} + (x^2-4a) \cdot (-1) \cdot \dfrac{1}{(x^2-a)^2} \cdot 2x \\[5pt] &=& \dfrac{2x}{x^2-a} - \dfrac{2x\cdot (x^2-4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{2x\cdot (x^2-a)}{(x^2-a)^2} - \dfrac{2x\cdot (x^2-4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{2x\cdot (x^2-a-x^2+4a)}{(x^2-a)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}\\[5pt] \end{array}$
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $f'(x)$ mit Null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f_a '(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot (x^2-a)^2 \\[5pt] 6ax &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:6a \\[5pt] x&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt $G_a$ bei $x=0$ einen Extrempunkt.
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen und Monotomieverhalten beschreiben.
Die erste Ableitungsfunktion ist mit $f_a '(x)=\dfrac{6ax}{(x^2-a)^2}$ gegeben. Nun sollst du mit dieser Ableitung begründen, um welche Art es sich bei diesem Extrempunkt handelt.
Wenn du den Nenner betrachtest weißt du, dass er immer größer Null sein muss, da $x^2\neq 0$ gilt.
Der Zähler der Ableitungsfunktion ist positiv für $x>0$ und negativ für $x<0$, da $a$ immer größer als Null ist. Somit ist der Graph von $f_a$ für $x<0$ streng monoton fallend und für $x>0$ streng monoton steigend. Daraus folgt, dass es sich bei der Extremstelle, um ein Minimum handeln muss.
4. Schritt: Funktionswert berechnen
Nun sollst du noch den Funktionswert des Extrempunktes berechnen, um die Koordinaten des Extrempunktes anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} \\[5pt] f(0)&=& \dfrac{0-4a}{0-a} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$
Somit besitzt $G_a$ einen Extrempunkt mit den Koordinaten $(0\mid 4)$.
#asymptote#l'hospital#extrempunkt#monotonie#funktionswert
1.1.2
$\blacktriangleright$ Tangenten- und Normalengleichung aufstellen
In dieser Aufgabe sollst du die Tangentengleichungen $t$ und die Normalengleichungen $n$ im Punkt $A$ in Abhängigkeit von $a$ bestimmen. Der Punkt $A$ ist als Nullstelle von $f_a$ für $x>0$ gegeben. Berechnen also zuerst die Nullstelle für $x>0$ in Abhängigkeit von $a$ und setze anschließend die Koordinaten von $A$ in die allgemeine Tangenten- und Normalengleichung ein.
Punkt $\boldsymbol{A}$ bestimmen
Zur Berechnung der Nullstelle von $f_a$ musst du $f_a(x)=0$ setzen und nach $x$ auflösen. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f_a(x)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{x^2-4a}{x^2-a} &=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, \cdot (x^2-a) \\[5pt] x^2-4a&=& 0 & \scriptsize \quad \mid \, +4a \\[5pt] x^2&=& 4a & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{} \\[5pt] x_1&=& +2\cdot \sqrt{a}\\[5pt] x_2&=& -2\cdot \sqrt{a}\\[5pt] \end{array}$
Da hierbei muss $x=+2\cdot \sqrt{a}$ sein, da $x>0$ gelten muss und $a>0$ gilt. Somit besitzt der Punkt $A$ die Koordinaten $(2\cdot \sqrt{a}\mid 0)$
Tangenten- und Normalengleichung aufstellen
Die allgemeine Tangentengleichung lautet:
$t(x)= f_a '(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 $
$t(x)= f_a '(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 $
Für die allgemeine Normalengleichung gilt:
$n(x)= - \dfrac{1}{f '(x_1)} \cdot (x-x_1)+y_1 $
$n(x)= - \dfrac{1}{f '(x_1)} \cdot (x-x_1)+y_1 $
Hiebei geben $x_1$ und $y_1$ die Koordinaten des Punktes $A$ an.
Somit gilt für die Gleichung von $t$:
$\begin{array}[t]{rll} t(x)&=& f_a '(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 \\[5pt] &=& f_a '(2\cdot \sqrt{a}) \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})+0 \\[5pt] &=& \dfrac{6a\cdot 2\cdot \sqrt{a}}{((2\cdot \sqrt{a})^2-a)^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{(4a-a)^2} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{(3a)^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& \dfrac{12a\cdot \sqrt{a}}{9a^2}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt]\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot \sqrt{a}}{3a}\cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt]\\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot \sqrt{a}}{3a}\cdot x- \dfrac{8}{3}\\[5pt]\\[5pt] \end{array}$
Für die Normalengleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} n(x)&=& f_a '(x_1) \cdot (x-x_1)+y_1 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{f_a '(2\cdot \sqrt{a})} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})+0 \\[5pt] &=& - \dfrac{3a}{4\cdot \sqrt{a}} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& - \dfrac{3\sqrt{a}}{4} \cdot (x-2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& -\dfrac{3\sqrt{a}}{4}\cdot x +\dfrac{3\sqrt{a}}{4} \cdot 2\cdot \sqrt{a})\\[5pt] &=& -\dfrac{3\sqrt{a}}{4}\cdot x +\dfrac{3}{2} \cdot a\\[5pt]\\[5pt] \end{array}$
Volumen der Rotationskörper bestimmen
In dieser Aufgabe bilden die Tangete $t$ und die Normale $n$ zusammen mit den Koordinatenachsen das Dreieck $D_t$ und das Dreieck $D_n$. Diese Dreiecke rotieren um die $x$-Achse. Die entstehenden Rotationskörper besitzen die Volumina $V_t$ und $V_n$. Nun sollst du den Wert von $a$ ermitteln, sodass $V_n$ neunmal so groß ist wie $V_t$.
In dieser Aufgabe rotieren Dreiecke, um die $x$-Achse, das bedeutet, dass der entstehende Rotationskörper die Form eines Kegels besitzt. Für das Volumen eines Kegels gilt folgende Formel:
$V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h$
Nun musst du dir nur verdeutlichen, welcher Größe in unserem Fall der Höhe $h$ und dem Radium $r$ etspricht.
Der Radius $r$ entspricht genau dem Betrag des $y$-Achsenabschnitts unserer Tangenten- bzw. Normalenfunktion. Somit folgt:
$r_n=\dfrac{3}{2} \cdot a$ und $r_t=\dfrac{8}{3}$
Nun musst du noch die jeweilige Höhe $h$ bestimmen. Die Höhe $h$ entspricht der Nullstelle der Tangenten- bzw. Normalengleichung. Da die Tangente bzw. die Normale allerdings immer durch die Nullstelle der Funktion $f_a$ geht, weißt du, dass die Nullstelle der Funktion $f_a$ auch mit der Nullstelle der Tangenten- und Normalengleichung übereinstimmt. Dadurch gilt für die entsprechenden Höhen $h_t$ und $h_n$:
$h_t=h_n=2\cdot \sqrt{a}$
Aus derr Aufgabe ist außerdem bekannt, dass $\dfrac{V_n}{V_t}=9$ gelten muss. Nun kannst du wiefolgt nach $a$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{V_n}{V_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_n^2 \cdot h_n}{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_t^2 \cdot h_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_n^2 \cdot h_n}{\dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r_t^2 \cdot h_t}&=& 9\\[5pt] \dfrac{r_n^2}{r_t^2}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\left(\frac{3}{2}a\right)^2}{\left(\frac{8}{3}\right)^2}&=& 9\\[5pt] \dfrac{\frac{9}{4}a^2}{\frac{64}{9}}&=& 9\\[5pt] \dfrac{81}{256}a^2&=& 9 & \scriptsize \quad \mid \, \cdot \dfrac{256}{81}\\[5pt] a^2&=& \dfrac{256}{9} & \scriptsize \quad \mid \, \sqrt{}\\[5pt] a&=& \pm \dfrac{16}{3}\\[5pt] \end{array}$
Da $a>0$ sein muss, gilt $a = \dfrac{16}{3}$.
#rotationsvolumen#normalengleichung#tangente
1.1.3
$\blacktriangleright$ Stammfunktion zeigen
In dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass die Funktion $F_a(x)=\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a} \cdot \ln(x+ \sqrt{a})-\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \ln(x-\sqrt{a})+x$ eine Stammfunktion von $f$ ist. Berechne dazu die Ableitung der gegebenen Stammfunktion und überprüfe, ob diese Ableitung mit der Funktion $f_a(x)$ übereinstimmt.
Hierbei musst du wie folgt ableiten und umformen:
$\begin{array}[t]{rll} F_a(x)&=&\dfrac{3}{2}\cdot \sqrt{a} \cdot \ln(x+ \sqrt{a})-\dfrac{3}{2}\sqrt{a}\cdot \ln(x-\sqrt{a})+x &\quad \scriptsize \\[5pt] F_a '(x)&=&\dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}}{x+ \sqrt{a}}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}}{x- \sqrt{a}}+1 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a} \cdot (x-\sqrt{a})}{(x+ \sqrt{a})\cdot (x-\sqrt{a})}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}\cdot (x+\sqrt{a})}{(x- \sqrt{a})\cdot (x+\sqrt{a})}+\dfrac{x^2 -a}{x^2 -a}&\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a} \cdot x-\frac{3}{2}a}{x^2-a}- \dfrac{\frac{3}{2} \sqrt{a}\cdot x-\frac{3}{2}a}{x^2- a} +\dfrac{x^2 -a}{x^2 -a} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{-\frac{3}{2} a -\frac{3}{2} a+x^2 -a}{x^2-a} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{x^2 -4a}{x^2-a} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Da nun $F_a '(x)=f_a(x)$ gilt, ist $F_a$ eine Stammfunktion der Funktion $f_a$.
#stammfunktion
1.2
$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben
In dieser Aufgabe sollst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für den Gewinn des Spielers angeben. Als Gewinn des Spielers wird hierbei der echte Gewinn bezeichnet, also den erhaltenen Betrag subtrahiert mit dem Einsatz. Stelle hierbei eine Tabelle für die jeweiligen Gewinnstufen auf.
Da hierbei drei Kugeln in einem Griff gezogen werden handelt es sich , um eine ungeordnete Stichprobe ohne zurücklegen. Zunächst musst du also die Anzahl aller Möglichkeiten berechnen, die auftreten können, wenn man mit einem Griff drei Kugeln aus der gegebenen Urne zieht. Anschließend musst du die Anzahl der Möglichkeiten für die verschiedenen Ereignisse berechnen und erhalten so die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.
Insgesamt befinden sich $10$ Kugeln in der Urne. Da stets $3$ Kugeln gezogen werden gilt für die Anzahl aller Möglichkeiten $n_{Ges}$:
$\begin{array}[t]{rll} n_{Ges} &=& \binom{10}{3}\\[5pt] &=& \dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}\\[5pt] &=& \dfrac{10!}{3!\cdot(10-3)!}\\[5pt] &=& 120\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt, dass es insgesamt $120$ Möglichkeiten gibt.
Du weißt außerdem, dass der Spieler bei drei gleichfarbenen Kugeln das achtfache seines Einsatzes zurück bekommt, dass bedeutet, dass er einen Gewinn von $7 \cdot e$ einstreicht. Die Wahrscheinlichkeit drei Kugeln mit der gleichen Farbe zu ziehen setzt sich hierbei wie folgt zusammen:
$P(„\text{drei gleiche} “)=P(„\text{drei schwarze} “) + P(„\text{drei grüne} “)$
Somit musst du die Anzahl der Möglichkeiten drei schwarze Kugeln $n_{3s}$ und drei grüne Kugeln $n_{3g}$ zu ziehen berechnen. Insgesamt gibt es in einer Urne drei grüne Kugeln und vier schwarze Kugeln. Hiermit folgt:
$n_{3s} = \binom{4}{3} =4$
$n_{3g} = \binom{3}{3} =1$
Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit drei gleichfarbene Kugeln zu ziehen:
$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{drei gleiche} “)&=& P(„\text{drei schwarze} “) + P(„\text{drei grüne} “)\\[5pt] &=& \dfrac{n_{3s}}{n_{Ges}} + \dfrac{n_{3g}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{4}{120} + \dfrac{1}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{24} \\[5pt] \end{array}$
Der Spieler streicht einen Gewinn von $3\cdot e$ ein, falls zwei Kugeln der drei gezogenen Kugeln blau sind. Somit berechnet sich die Anzahl der Möglichkeiten zwei blaue Kugeln aus insgesamt zwei blauen Kugeln und eine andersfarbige aus den restlichen $8$ Kugeln zu ziehen wie folgt:
$n_{2b} = \binom{2}{2} \cdot \binom{8}{1} =8$
Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit zwei blaue Kugeln zu ziehen:
$\begin{array}[t]{rll} P(„\text{zwei blaue} “)&=& \dfrac{n_{2b}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{8}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{15} \\[5pt] \end{array}$
Der Spieler streicht einen Gewinn von $e$ ein, falls eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel gezogen werden. Dieses Ereignis kannst du beispielsweise mit $A$ bezeichnen. Somit berechnet sich die Anzahl der Möglichkeiten $n_{1bgs}$ wie folgt:
$n_{1bgs} = \binom{2}{1} \cdot \binom{3}{1} \cdot \binom{4}{1}=24$
Hiermit folgt für die Wahrscheinlichkeit eine blaue, eine grüne und eine schwarze Kugel zu ziehen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& \dfrac{n_{1bgs}}{n_{Ges}}\\[5pt] &=& \dfrac{24}{120}\\[5pt] &=& \dfrac{1}{5} \\[5pt] \end{array}$
Bei allen anderen Ausgängen des Spiels verliert der Spieler seinen Einsatz. Somit folgt für die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler seinen Einsatz verliert mit dem Gegenereignis:
$\begin{array}[t]{rll} P(„ \text{Verlust} “)&=& 1- P(A) - P(„\text{zwei blaue} “) - P(„\text{drei gleiche} “)\\[5pt] &=& 1 -\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{24}\\[5pt] &=& \dfrac{83}{120}\\[5pt] \end{array}$
Daraus ergibt sich folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Gewinn$-e$$e$$3e$$7e$
Wahrscheinlichkeiten$\dfrac{83}{120}$$\dfrac{1}{5}$$\dfrac{1}{15}$$\dfrac{1}{24}$
Entscheide, ob das Spiel fair ist
In dieser Teilaufgabe sollst du entscheiden, ob das Spiel fair ist und deine Entscheidung begründen. Hierzu musst du den Erwartungswert berechnen. Falls hierbei $E(X)=0$ gilt, wird das Spiel als fair bezeichnet.
Der Erwartungswert lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) +x_3\cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=x_4)$
$E(X) = x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) +x_3\cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=x_4)$
Dadurch folgt für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} E(X)&=& x_1 \cdot P(X=x_1) +x_2\cdot P(X=x_2) +x_3\cdot P(X=x_3) + x_4 \cdot P(X=x_4) \\[5pt] &=& -e \cdot \dfrac{83}{120} +e\cdot \dfrac{1}{5} +3e\cdot\dfrac{1}{15} + 7e \cdot \dfrac{1}{24} \\[5pt] &=& -\dfrac{83}{120}e +\dfrac{1}{5}e +\dfrac{3}{15}e + \dfrac{7}{24}e \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Für den Erwartungswert gilt somit $E(X)=0$. Deshalb ist das angegebene Spiel fair.
#wahrscheinlichkeit#erwartungswert
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App