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Wahlteil B1

Aufgaben
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B 1 Analysis und Stochastik

1.1
Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x)=x\cdot\sqrt{4-x}$ mit $x\in \mathbb R, -0,5\leq x\leq 4$.
Der Graph von $f$ ist $K$.
Für jeden Wert von $a$ ist eine Funktion $g_{a}$ gegeben mit der Gleichung $g_{a}(x)=2\cdot\sin(a\cdot x)$ mit $x\in \mathbb R,\ -0,5\leq x\leq 4,\ a\in \mathbb R,\ a>0.$
Der Graph von $g_{a}$ ist jeweils $G_{a}$
1.1.1
Zeige, dass $f'(x)=\frac{8-3 x}{2\cdot\sqrt{4-x}}$ die Ableitungsfunktion von $f$ ist.
Berechne die Koordinaten des lokalen Extrempunktes von $K$.
Weise die Art des Extremums nach.
6 BE
1.1.2
Gib die Koordinaten der lokalen Extrempunkte von $G_{a}$ für $a=\frac{\pi}{2}$ im gegebenen lntervall an.
Nenne die Art dieser Extrema.
2 BE
1.1.3
Stelle $K$ und $G_{a}$ mit $a=\frac{\pi}{2}$ jeweils im gegebenen lntervall in einem Koordinatensystem grafisch dar.
2 BE
1.1.4
Der Graph $K$ und die $x$-Achse schließen ein Flächenstück vollständig ein.
Bei der Drehung dieses Flächenstücks um die $x$-Achse entsteht ein Rotationskörper. Berechne dessen Volumen.
3 BE
1.1.5
Die $x$-Achse, die Gerade $x=4$ und die Tangente an $K$ im Koordinatenursprung bilden ein Dreieck.
Die $x$-Achse, die Gerade $x=4$ und die Tangente an $G_{a}$ im Koordinatenursprung bilden ein weiteres Dreieck. Berechne das Verhältnis der Flächeninhalte dieser Dreiecke in Abhängigkeit von $a.$
6 BE
1.1.6
Die Normale zu $K$ im Punkt $P(u\mid f(u))$ mit $u\in \mathbb R, -0,5<u<4$, schneidet die $x$-Achse im Punkt $(x_{N}\mid 0)$ .
Bestimme $x_{N}$ in Abhängigkeit von $u.$
Gib eine Gleichung der Normalen $n_{1}$ für den Wert $u_{1}=3$ an.
Gib eine Gleichung der Normalen $n_{2}$ für den Wert $u_{2}=\frac{8}{3}$ an und beschreibe die Lage von $n_2$ im Koordinatensystem.
6 BE
1.2
Eine Firma stellt Taschenlampen her. Die Firma behauptet, dass eine Lampe mit mehr als 80% iger Wahrscheinlichkeit funktionstüchtig ist.
Die Anzahl der defekten Lampen wird als binomialverteilt angenommen.
Ein Händler erhält eine Lieferung mit 50 dieser Taschenlampen.
Bestimme die Anzahl defekter Lampen, mit der er bei einer solchen Lieferung im Mittel zu rechnen hat, falls die Behauptung der Firma stimmt. Der Händler stellt fest, dass in der Lieferung 15 Lampen defekt sind. Begründe, ob der Händler bei einer lrrtumswahrscheinlichkeit von 8 % der Angabe des Herstellers zustimmen kann.
5 BE

Tabelle der Binomialverteilung (Summenfunktion) für $n=50$, $p=0,2$

$k$1011121314151617
$F_{50;\,0,2}(k)$0,58360,71070,81390,88940,93930,96920,98560,9937
$k$$F_{50;\,0,2}(k)$
100,5836
110,7107
120,8139
130,8894
140,9393
150,9692
160,9856
170,9937
#extrempunkt#binomialverteilung#funktionenschar#ableitung
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Lösungen
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1.1
Ableitung
Mit der Produktregel und der Kettenregel folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& x\cdot \sqrt{4-x} \\[10pt] &=& x\cdot (4-x)^{\frac{1}{2}} \\[10pt] f'(x) &=& x\cdot \frac{1}{2}\cdot(4-x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (-1) + 1\cdot (4-x)^{\frac{1}{2}} \\[5pt] &=& -\dfrac{x}{2\sqrt{4-x}} + \sqrt{4-x} \\[5pt] &=&-\dfrac{x}{2\sqrt{4-x}} + \dfrac{\sqrt{4-x}\cdot 2\sqrt{4-x}}{2\sqrt{4-x}} \\[5pt] &=& -\dfrac{x}{2\sqrt{4-x}} + \dfrac{2(4-x)}{2\sqrt{4-x}} \\[5pt] &=& \dfrac{-x+8-2x}{2\sqrt{4-x}} \\[5pt] &=&\dfrac{8-3x}{2\sqrt{4-x}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=&x\cdot (4-x)^{\frac{1}{2}} \\[10pt] f'(x) &=&… \end{array}$
Extrempunkt
1. Schritt: Notwendiges Kriterium für lokale Extrema anwenden
$\begin{array}[t]{rll} f'(x) &=& 0 \\[5pt] \dfrac{8-3x}{2\sqrt{4-x}} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\sqrt{4-x} \\[5pt] 8-3x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] -3x &=& -8 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] x &=& \frac{8}{3} \end{array}$
$ x=\frac{8}{3} $
2. Schritt: Art des Extremums mit dem Vorzeichenwechselkriterium bestimmen
$f'(x) = \dfrac{8-3x}{2\sqrt{4-x}}$
Es ist $2\sqrt{4-x} > 0 $ für alle $x\in \mathbb R$ mit $0\leq x < 4.$
  • Für $x< \frac{8}{3}$ gilt $8-3x > 0$ und damit $f'(x) > 0.$
  • Für $x> \frac{8}{3}$ gilt $8-3x < 0$ und damit $f'(x) < 0.$
An der Stelle $x=\frac{8}{3}$ wechselt $f'$ also das Vorzeichen von positiv zu negativ. Der Graph $K$ geht also von einer positiven Steigung in eine negative über. An dieser Stelle besitzt $K$ einen lokalen Hochpunkt.
$f\left( \frac{8}{3}\right) = \frac{8}{3}\cdot \sqrt{4-\frac{8}{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{9}$
$K$ besitzt genau einen lokalen Extrempunkt. Dabei handelt es sich um den Hochpunkt mit den Koordinaten $H\left(\frac{8}{3}\mid \frac{16\sqrt{3}}{9}\right).$
1.1.2
Für $a=\frac{\pi}{2}$ besitzt $G_a$ im Intervall $-0,5\leq x \leq 4$ den Hochpunkt $H(1\mid2)$ und den Tiefpunkt $T(3\mid -2).$
1.1.3
Abb. 1: Graphen $G_a$ für $a= \frac{\pi}{2}$ und $K$
1.1.4
1. Schritt: Nullstellen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f(x) &=& 0 \\[5pt] x\cdot \sqrt{4-x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; x_1 = 0 \\[5pt] \sqrt{4-x} &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;^2 \\[5pt] 4-x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1 &=& 0\\[5pt] x_2 &=& 4 \end{array}$
2. Schritt: Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi \cdot \displaystyle\int_{0}^{4}f(x)^2\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \displaystyle\int_{0}^{4}x^2\cdot (4-x)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \displaystyle\int_{0}^{4}\left(4x^2-x^3 \right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \pi \cdot \left[\frac{4}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4\right]_0^4 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left( \frac{4}{3}\cdot 4^3 - \frac{1}{4}\cdot 4^4 - \left(\frac{4}{3}\cdot 0^3 - \frac{1}{4}\cdot 0^4 \right)\right) \\[5pt] &=& \pi \cdot \frac{64}{3} \\[5pt] \end{array}$
$ V=\pi \cdot \frac{64}{3} $
Das Volumen des Rotationskörpers beträgt $\pi \cdot \frac{64}{3}\,\text{VE}.$
1.1.5
1. Schritt: Tangentengleichungen aufstellen
$\begin{array}[t]{rll} m_K &=& f'(0) \\[5pt] &=& \dfrac{8-3\cdot 0}{ 2\cdot \sqrt{4-0}} \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] g_a'(x) &=& 2\cdot a\cdot \cos\left(a\cdot x \right) \\[10pt] m_{G_a} &=& g_a'(0) \\[5pt] &=& 2\cdot a\cdot \cos\left(a\cdot 0 \right) \\[5pt] &=& 2a \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} m_K &=& f'(0) \\[5pt] &=& 2 \\[10pt] g_a'(x) &=& 2\cdot a\cdot \cos\left(a\cdot x \right) \\[10pt] m_{G_a} &=& g_a'(0) \\[5pt] &=& 2a \end{array}$
$t_K:\, y = 2\cdot x$
$t_{G_a}:\, y = 2a\cdot x$
2. Schritt: Koordinaten des dritten Eckpunkts bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} t_{G_a}(4) &=& 2a\cdot 4 \\[5pt] &=& 8a \\[10pt] t_{K}(4) &=& 2\cdot 4 \\[5pt] &=& 8 \\[10pt] \end{array}$
3. Schritt: Flächeninhalte bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} A_K &=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8 \\[5pt] &=& 16 \\[5pt] A_{G_a}&=& \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8a \\[5pt] &=& 16a\\[5pt] \end{array}$
Das Verhältnis der Flächeninhalt der beiden Dreiecke beträgt also $1:a.$
1.1.6
Koordinaten
$\begin{array}[t]{rll} m_n(u) &=& -\dfrac{1}{f'(u)} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{\dfrac{8-3u}{2\sqrt{4-u}}} \\[5pt] &=& -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u} \\[5pt] \end{array}$
$ m_n(u) = -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u} $
Einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} n_U:\, y &=& m_n(u)\cdot x +b_n(u) \\[5pt] y &=& -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot x +b_n(u) &\quad \scriptsize \mid\; P(u\mid f(u))\\[5pt] f(u) &=& -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u +b_n(u) \\[5pt] u\cdot \sqrt{4-u} &=& -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u +b_n(u) &\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u\\[5pt] u\cdot \sqrt{4-u} +\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u&=& b_n(u) \\[5pt] \end{array}$
$ b_n(u) = … $
Eine Gleichung der Normalen zu $K$ im Punkt $P(u\mid f(u))$ lautet also:
$n_U:\, y = -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot x + u\cdot \sqrt{4-u} +\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u$
$ n_U:\, y = … $
$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot x + u\cdot \sqrt{4-u} +\dfrac{2\sqrt{4-u}}{8-3u}\cdot u &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{4-u} \neq 0 \\[5pt] -\dfrac{2}{8-3u}\cdot x + u +\dfrac{2}{8-3u}\cdot u &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-u ;-\dfrac{2}{8-3u}\cdot u \\[5pt] -\dfrac{2}{8-3u}\cdot x &=& -u -\dfrac{2}{8-3u}\cdot u &\quad \scriptsize \mid\; :\left( -\dfrac{2}{8-3u}\right) \\[5pt] x &=& -\left(-u -\dfrac{2}{8-3u}\cdot u\right) \cdot \dfrac{8-3u}{2} \\[5pt] &=& u\cdot \dfrac{8-3u}{2} + u \\[5pt] &=& 5u -1,5u^2 \end{array}$
$ x=5u -1,5u^2 $
$x_N(u)= 5u -1,5u^2$
Normalengleichung $n_1$
$\begin{array}[t]{rll} n_1:\quad y &=& -\dfrac{2\sqrt{4-3}}{8-3\cdot 3}\cdot x + 3\cdot \sqrt{4-3} +\dfrac{2\sqrt{4-3}}{8-3\cdot 3}\cdot 3 \\[5pt] n_1:\quad y&=& 2\cdot x -3 \end{array}$
$ n_1:\quad y= 2\cdot x -3 $
Normalengleichung $n_2$
An der Stelle $x=\frac{8}{3}$ besitzt $K$ einen Extrempunkt. Die Tangente an $K$ in diesem Punkt ist also waagerecht. Die Normale verläuft dementsprechend orthogonal zur $x$-Achse durch $x= \frac{8}{3}.$
$n_2:\, x = \frac{8}{3}$
1.2
Betrachte die Zufallsgröße $x,$ die die zufällige Anzahl defekter Lampen in einer Stichprobe von $50$ Lampen beschreibt. Stimmt die Behauptung der Firma, kann man $X$ als binomialverteilt mit $n=50$ und $p=0,2$ annehmen.
Erwartete Anzahl defekter Lampen Der zugehörige Erwartungswert beträgt dann:
$\mu = n\cdot p = 50\cdot 0,2 = 10$
Der Händler kann bei einer Lieferung von $50$ Lampen im Mittel mit $10$ defekten Lampen rechnen, falls die Behauptung der Firma stimmt.
Behauptung überprüfen
$H_0:\, p \leq 0,2$
$H_1:\, p > 0,2$
Gesucht ist das kleinste $k$ mit:
$\begin{array}[t]{rll} P(X > k)&\leq& 0,08 \\[5pt] 1- P(X \leq k) &\leq& 0,08 \\[5pt] P(X \leq k) &\geq& 0,92 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Tabelle} \\[5pt] k&\geq& 14 \end{array}$
$ k \geq 14 $
Bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von $8\,\%$ ergibt sich also der Ablehnungsbereich von $[14;50].$ Bei einer Lieferung von $15$ defekten Lampen kann der Händler der Angabe des Herstellers also nicht zustimmen.
#rotationsvolumen#normalengleichung#produktregel#binomialverteilung#kettenregel
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