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Wahlteil B1

Aufgaben
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Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung
$f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+\frac{4}{9.375}x^3-\frac{13}{250}x^2+\frac{8}{5}x+140$
$ f:\quad x\mapsto -\frac{1}{10^6}x^4+… $
und dem Definitionsbereich $\mathbb{R}.$
1.1
Berechne die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $f$ und bestimme die Art dieser Extrempunkte.
(5 BE)
#extrempunkt
1.2
Für $50 < x < 130$ gibt es ein Paar von $x$-Werten, die sich um $60$ unterscheiden und für die die zugehörigen Funktionswerte übereinstimmen. Bestimme dieses Paar von $x$-Werten und gib den zugehörigen Funktionswert an.
(4 BE)
1.3
Der Graph von $f$ schließt mit den Koordinatenachsen und der Geraden mit der Gleichung $x = 240$ ein Flächenstück ein.
Bestimme eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und dieses Flächenstück halbiert.
(4 BE)
1.4
1.4.1
Hohe Glukosewerte über längere Zeit gelten als Risikofaktor. Ermittle anhand der Grafik für den betrachteten Zeitraum, wie lange Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen wurden.
(3 BE)
1.4.2
Berechne für den betrachteten Zeitraum denjenigen Zeitpunkt, zu dem der Glukosewert am stärksten ansteigt.
(4 BE)
1.4.3
Veranschauliche jeden der folgenden Terme in der Abbildung durch eine Gerade und gib jeweils die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang an:
$\text{II}$
$\lim\limits_{x\to60}\dfrac{f(60)-f(x)}{60-x}$
(4 BE)
Zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn nimmt der Patient Traubenzucker zu sich. Die anschließende Entwicklung des Glukosewerts soll im Modell mithilfe einer Funktion $g$ beschrieben werden, die folgende Bedingung erfüllt:
Die beiden Werte, die das Modell zum Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn für den Glukosewert und für dessen momentane Änderungsrate liefert, sollen unabhängig davon sein, ob sie mithilfe der Funktion $f$ oder mithilfe der Funktion $g$ ermittelt werden.
Zur Bestimmung eines Funktionsterms von $g$ sollen zunächst die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k(x)=50-50\cdot(k\dot x+1)^2 \cdot \mathrm e^{-k\cdot x}$ mit $k\in \mathbb{R}^+$ betrachtet werden.
1.4.4
Bestimme den Wert von $k$ so, dass die momentane Änderungsrate, die sich unter Verwendung von $h_k$ für den Zeitpunkt $0$ ergibt, mit der momentanen Änderungsrate übereinstimmt, die $f$ für den Zeitpunkt $240$ Minuten nach Beobachtungsbeginn liefert.
(2 BE)
#änderungsrate
1.4.5
Die für die Funktion $g$ angegebene Bedingung lässt sich erfüllen, wenn der Graph von $g$ durch eine geeignete Verschiebung aus dem Graphen von $h_k$ für $k= \frac{308}{3.125}$ hervorgeht. Beschreibe diese Verschiebung und gib einen Funktionsterm von $g$ an.
(4 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Koordinaten der Extrempunkte bestimmen
Mit dem CAS kannst du die Ableitungen definieren:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{\text{d}}{\text{d}\Box}$
Mit dem solve-Befehl und dem Ableitungsbefehl des CAS folgt für das notwendige Kriterium für Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x)&=& 0 \\[5pt] x_3&=& 20 \\[5pt] x_4&=& 100 \\[5pt] x_5&=& 200 \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium folgt ebenfalls mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_3)&=& f''(20) \\[5pt] &=& -\frac{36}{625} < 0\\[10pt] f''(x_4)&=& f''(100) \\[5pt] &=& \frac{4}{125} > 0 \\[10pt] f''(x_5)&=& f''(200) \\[5pt] &=& -\frac{9}{125} < 0 \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f''(x_3)& < 0\\[10pt] f''(x_4)& > 0 \\[10pt] f''(x_5)& < 0 \\[10pt] \end{array}$
An der Stelle $x_3$ und $x_5$ besitzt der Graph von $f$ also jeweils einen Hochpunkt und an der Stelle $x_4$ einen Tiefpunkt. Für die $y$-Koordinaten folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x_3)&=& f(20) \\[5pt] &=& \frac{11.584}{75} \\[10pt] f(x_4)&=& f(100) \\[5pt] &=& \frac{320}{3} \\[10pt] f(x_5)&=& f(200) \\[5pt] &=& \frac{580}{3} \\[10pt] \end{array}$
Der Graph von $f$ besitzt zwei Hochpunkte $H_1\left(20\mid \frac{11.584}{75}\right)$ und $H_2\left(200\mid \frac{580}{3}\right)$ und einen Tiefpunkt $T\left(100\mid \frac{320}{3}\right).$
1.2
$\blacktriangleright$  Wertepaar bestimmen
Es ist $x$ gesucht mit $f(x)=f(x+60)$ und $50< x< 130.$ Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& f(x+60) &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x &=& 69,1528 \end{array}$
$ x = 69,1528 $
Die übrigen Lösungen der Gleichung liegen außerhalb des geforderten Bereichs.
Das gesuchte Paar von $x$-Werten ist also $x_1= 69,1528$ und $x_2= 129,1528.$ Diese haben einen Abstand von $60$ und den gemeinsamen Funktionswert $f(69,1528)=120,203.$
1.3
$\blacktriangleright$  Geradengleichung bestimmen
Gesucht ist eine Gerade $x=b$ mit:
$\frac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{240}f(x)\;\mathrm dx$ $= \displaystyle\int_{0}^{b}f(x)\;\mathrm dx$
Mit dem solve-Befehl des CAS erhält man drei Lösungen für $b.$ Da die Gerade die Fläche halbieren soll, muss $b\in [0;240]$ sein. Die einzige passende Lösung ist $b\approx 135,461.$
Eine Gleichung der Geraden, die parallel zur $y$-Achse verläuft und das Flächenstück halbiert, lautet $x = 135,461.$
#integral
1.4.1
$\blacktriangleright$  Länge des Zeitraums ermitteln
Aus der Grafik kannst du ablesen, dass in etwa gilt:
$f(170)\approx 170$ und $f(225)\approx 170$
Dazwischen verläuft der Graph von $f$ oberhalb der Geraden mit $y=170.$
Es werden also ca. $55$ Minuten lang Glukosewerte über $170\,\frac{\text{mg}}{\text{dl}}$ gemessen.
1.4.2
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg berechnen
Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg ist der Zeitpunkt, zu dem $f'$ ihr Maximum annimmt. Untersuche also wie in Teilaufgabe a1) den Graphen von $f'$ auf Extrempunkte. Überprüfe anschließend die Intervallränder auf mögliche Randextrema.
Für das notwendige Kriterium für Extremstellen folgt mit dem solve-Befehl des CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f''(x)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] x_1&=& \dfrac{-20\cdot \left(\sqrt{61}-16 \right)}{3} \\[5pt] x_2&=& \dfrac{20\cdot \left(\sqrt{61}+16 \right)}{3} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=&… \\[5pt] x_2&=& … \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium für Extremstellen folgt ebenfalls mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x_1)&=& \dfrac{\sqrt{61}}{6.250} > 0\\[5pt] f'''(x_2)&=& - \dfrac{\sqrt{61}}{6.250} < 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} f'''(x_1)& > 0\\[5pt] f'''(x_2)& < 0 \end{array}$
Der Graph von $f'$ besitzt also an der Stelle $x_2$ einen Hochpunkt.
Für die Steigungswerte an diesem Hochpunkt und in den Intervallrändern gilt:
$\begin{array}[t]{rll} f'(x_2)&\approx& 1,345 \\[5pt] f'(0)&=& 1,6 \\[5pt] f'(240)&=& -4,928 \end{array}$
Der Zeitpunkt mit dem stärksten Anstieg des Glukosewertes liegt also direkt zu Beginn des Messzeitraums, bei $x=0.$
#extrempunkt
1.4.3
$\blacktriangleright$  Terme veranschaulichen
Geraden
Abb. 1: Veranschaulichung durch Geraden
Geraden
Abb. 1: Veranschaulichung durch Geraden
$\blacktriangleright$  Bedeutung im Sachzusammenhang angeben
Der erste Term beschreibt die Sekantensteigung durch die beiden Punkte $(20\mid f(20))$ und $(100\mid f(100)).$ Dies entspricht der durchschnittlichen Steigung des Graphen von $f$ zwischen diesen beiden Punkten.
Im Sachzusammenhang gibt der Term also die durchschnittliche Änderungsrate der Glukosemenge im Blut des Patienten im Zeitraum $20$ Minuten bis $100$ Minuten nach Beobachtungsbeginn.
Der zweite Term beschreibt die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=60.$ Diese entspricht der momentanen Änderungsrate des Glukosewerts im Blut des Patienten zum Zeitpunkt $60$ Minuten nach Beobachtungsbeginn.
#steigung
1.4.4
$\blacktriangleright$  Parameterwert bestimmen
Die momentane Änderungsrate wird jeweils durch die erste Ableitung beschrieben. Es soll also gelten $h_k'(0)=f'(240).$ Mit dem Ableitungs- und dem solve-Befehl des CAS folgt:
$k = \frac{308}{3.125}$
1.4.5
$\blacktriangleright$  Verschiebung beschreiben
Durch den angegebenen Wert von $k$ ist laut 3 e) bereits die geforderte momentane Änderungsrate für $h_k$ erfüllt. Damit dies erhalten bleibt, darf der Graph von $h_k$ nur in $y$-Richtung verschoben werden. Dies hat keinen Einfluss auf die momentane Änderungsrate, aber auf die Funktionswerte.
Es ist also:
$g(x)= h_{\frac{308}{3.125}}(x) + c = 50-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x} + c $
$ g(x)= … $
$c$ muss nun so gewählt werden, dass $g(0)=f(240)$ ist. Mit dem solve-Befehl des CAS ergibt sich:
$c=\frac{2.732}{25}$
Insgesamt ergibt sich für $g$ folgender Funktionsterm:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&50-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x}+ \frac{2.732}{25} \\[5pt] &=&\frac{3.982}{25}-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x} \end{array}$
$ g(x)=… $
Der Graph von $h_k$ für $k = \frac{308}{3.125}$ muss um $ \frac{2.732}{25}$ Einheiten in positive $y$-Richtung verschoben werden, damit sowohl die momentane Änderungsrate als auch der Glukosewert mit der Modellierung durch die Funktion $f$ übereinstimmt. Ein Term der Funktion $g$ lautet:
$g(x)= \frac{3.982}{25}-50\cdot \left(\frac{308}{3.125}\cdot x +1\right)^2 \cdot \mathrm e^{-\frac{308}{3.125}\cdot x}$
$ g(x)=… $
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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