Wahlaufgaben

5 Analysis

Die Graphen der Funktionen $f_R$ und $f_E$ beschreiben die Geschwindigkeitsverläufe eines Rennradfahrers bzw. eines E-Bikers auf einer Rennstrecke. Dabei geben $f_R(\text{t})$ und $f_E(\text{t})$ jeweils die Geschwindigkeit in $\frac{\text{m}}{\text{s}}$ (Meter pro Sekunde) an und $\text{t}$ die Zeit in $\text{s}$ (Sekunden).

Zum Zeitpunkt $\text{t}=0$ fahren beide Fahrer gemeinsam los.

Grafik zeigt die Geschwindigkeitsentwicklung eines Rennrads und E-Bikes über die Zeit.

5.1

Gib mithilfe der Abbildung den Zeitpunkt an, zu dem beide Fahrer mit derselben Geschwindigkeit fahren.

(1 BE)

5.2

Ermittle mithilfe der Abbildung den Zeitpunkt, zu dem der Rennradfahrer den E-Bike-Fahrer eingeholt hat. Veranschauliche dein Vorgehen in der Abbildung.

(4 BE)

6 Analysis

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=\text{e}^x-a x^2$ und $a \in \mathbb{R}.$

Für alle $a$ gilt: $\(f_a$

6.1

Zeige, dass für alle $a$ gilt: $f_a(0)=1$

(1 BE)

6.2

Es gibt Werte von $a$ und $b$ mit $b \in \mathbb{R}$ und $b\gt0,$ sodass gilt:

$\displaystyle\int_0^b f_a(x) \;\text{d} x=0$ sowie $f_a(b)=0$

Begründe für diesen Fall, dass der Graph von $f_a$ für $0\lt x\lt b$ mindestens zwei lokale Extrempunkte besitzt.

(4 BE)

7 Analytische Geometrie

Der abgebildete Körper $ABCDEFGH$ ist Teil einer geraden Pyramide mit rechteckiger Grundfläche $EFGH.$ Die Rechtecke $ABCD$ und $EFGH$ liegen in zwei zueinander parallelen Ebenen mit dem Abstand $5.$ Der Flächeninhalt von EFGH ist viermal so groß wie der von $ABCD.$ Es gilt:

$A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0),$ $C(4\mid6\mid 0)$ und $D(0\mid6\mid 0)$

7.1

Gib eine Gleichung einer der beiden Symmetrieebenen des Körpers $ABCDEFGH$ an.

(1 BE)

7.2

Begründe, dass die Koordinaten des Punkts $F$ mit folgendem Term ermittelt werden können:

$\pmatrix{2\\3\\5}+2\cdot\left(\pmatrix{4\\0\\0}-\pmatrix{2\\3\\0}\right)$

(4 BE)

8 Analytische Geometrie

Für jede reelle Zahl $k$ wird die Gerade $g_k: \overrightarrow{x}=\pmatrix{5-6k\\3k\\4-9k}+r \cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$ mit $r \in \mathbb{R}$ betrachtet.

8.1

Zeige, dass für keinen Wert von $k$ der Punkt $(0\mid 0\mid 0)$ auf $g_k$ liegt.

(2 BE)

8.2

Beurteile die folgende Aussage:

Alle Geraden $g_k$ sind identisch.

(3 BE)

9 Stochastik

Betrachtet wird ein Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von $1$ bis $6$ durchnummeriert sind.

9.1

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an.

Begründe, dass $P(X=10)=P(X=15)$ ist.

(2 BE)

9.2

Nun wird der Würfel $n$ -mal geworfen, wobei $n$ größer als $2$ ist.

Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5.$ “

(3 BE)

10 Stochastik

Zu einem Zufallsexperiment werden zwei stochastisch unabhängige Ereignisse $A$ und $B$ betrachtet. Es gilt $P(B)=P(A)+0,6$ sowie $P(A \cap \overline{B})=0,04.$

Bestimme $P(A).$

(5 BE)

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5 Analysis

5.1

Nach ngefähr $15\;\text{s}$ fahren beide Fahrer mit derselben Geschwindigkeit.

5.2

Die zurückgelegte Strecke der jeweiligen Fahrer wird zum Zeitpunkt $t$ durch den Inhalt der zwischen der jeweiligen Funktion und der $x$ -Achse von $0$ bis $t$ eingeschlossenen Fläche beschrieben. Durch Kästchenzählen folgt:

Diagramm zur Geschwindigkeit von Rennrad und E-Bike über die Zeit.

Der gesuchte Zeitpunkt ist somit $t=30.$

6 Analysis

6.1

$\begin{array}[t]{rlll} f_a(0)&=&\mathrm e^0-a\cdot0^2 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

6.2

Der Graph von $f_a$ ist bei $x=0$ ansteigend und besitzt den Wert $1.$ Da er bei $b$ eine Nullstelle besitzt und die Flächenbilanz von $f_a$ zwischen $x=0$ und $x=b$ ausgeglichen ist, muss der Graph irgendwo zwischen $x=0$ und $x=b$ unterhalb der $x$ -Achse verlaufen und dann zu $x=b$ hin wieder ansteigen. Somit besitzt der Graph von $f_a$ für $0\lt x\lt b$ mindestens zwei lokale Extrempunkte.

7 Analytische Geometrie

7.1

Eine mögliche Ebenengleichung ist gegeben durch $x=2.$

7.2

Da die Pyramide gerade ist, unterscheiden sich die Koordinaten der Mittelpunkte der beiden Rechtecke $ABCD$ und $EFGH$ nur in der $z$ -Koordinate. Anhand der Koordinaten der Eckpunkte des Rechtecks $ABCD$ folgt für den Mittelpunkt direkt:

$M(2\mid3\mid0)$

Mit der Anmerkung aus der Aufgabenstellung, dass die beiden Rechtecke um $5\;\text{LE}$ auseinander liegen, und der Darstellung der Pyramide in der Abbildung folgt für die Koordinaten des Mittelpunkts des Rechtecks $EFGH$ direkt $\(M$

Die Aufgabenstellung liefert zudem, dass der Flächeninhalt von $EFGH$ viermal so groß ist, wie der von $ABCD.$ Da die Pyramide gerade ist, sind die beiden Rechtecke ähnlich und es gilt somit, dass die Diagonalen von $EFGH$ doppelt so lang sind wie die von $ABCD.$ Insgesamt folgt damit für den Ortsvektor des Punktes $F:$

$\(\begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{OF}&=&\overrightarrow{OM$

8 Analytische Geometrie

8.1

Nullsetzen der Geradengleichung liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&5-6k+2r&=&0 \\ \text{II}\quad&3k-r&=&0 \\ \text{II}\quad&4-9k+3r&=&0 \end{array}$

Aus Gleichung $\text{II}$ folgt direkt $r=3k.$ Einsetzen in z.B. Gleichung $\text{I}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 5-6k+2\cdot3k&=&0 \\[5pt] 5&=&0 \end{array}$

Da das unabhängig von $k$ falsch ist, gibt es keinen Wert von $k$ sodass $(0\mid0\mid0)$ auf $g_k$ liegt.

8.2

Aufteilen des Stützvektors von $g_k$ in Werte unabhängig von $k$ und abhängig von $k$ liefert:

$\pmatrix{5\\0\\4}+k\cdot\pmatrix{-6\\3\\-9}$

Da der zweite Vektor das $(-3)$ -fache des Richtungsvektors von $g_k$ ist, wird jede Gerade $g_k$ mit $s=r-3k$ durch folgende Geradengleichung beschrieben:

$g:\overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\0\\4}+s\cdot\pmatrix{2\\-1\\3}$

Damit sind alle Geraden $g_k$ identisch.

9 Stochastik

9.1

Sowohl $10$ als auch $15$ können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von $2$ und $5$ bzw. das Produkt von $3$ und $5.$ Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die $X=10$ bzw. $X=15$ liefern. Da jede Zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit $P(X=10)=P(X=15).$

9.2

Die Zahlen $2,3$ und $5$ sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der $n$ erzielten Zahlen $2,3$ oder $5$ ist, dass $n-1$ -mal die Zahl $1$ gewürfelt wird, und einmal $2,3$ bzw. $5.$ Da es $n$ mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich $1$ gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ somit:

$p=3\cdot n\cdot\dfrac{1}{6}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n-1}$

10 Stochastik

Da die Ereignisse stochastisch unabhängig sind, gilt $P(A)\cdot P\left(\overline{B}\right)=P\left(A\cap\overline{B}\right).$ Wenn $P(A)=x$ gesetzt wird, ergibt sich somit:

Rechenweg anzeigen

$x^2-0,4x+0,04=0$

Mit der $pq$ -Formel folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{0,4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{0,4}{2}\right)^2-0,04} \\[5pt] &=&0,2\pm\sqrt{0} \\[5pt] &=&0,2 \end{array}$

Somit gilt $P(A)=x=0,2.$

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