Quadratische Gleichungen der Form x²+px+q=0
Quadratische Gleichungen lassen sich auch mit der sogenannten quadratischen Ergänzung lösen.
Dabei wird die linke Seite der Gleichung mit Hilfe eines Binoms in einen quadratischen Term umgeformt. Dazu wird der ursprüngliche Term auf der linken Seite so verändert, dass ein Binom stehen bleibt.
Auf der linken Seite wird der Term 
um die Zahl 
ergänzt, damit ein Binom entsteht. Da der Wert des Terms dadurch erhöht wird, muss die Zahl wieder subtrahiert werden:
Aus dem Term links kann ein Binom gebildet werden, die Zahlen 
und 
können zusammengefasst werden:
Die Gleichung wird nun in die Form 
gebracht, indem die Zahl 
auf die rechte Seite gebracht wird:
![\(\begin{array}[t]{rll}
(x+3)^2&=&16 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,}
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/786fa754c2df33b5508344c8cd546be88d3f1fe072ff799b0d89d6e2c7516e8b_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+3&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt]
x&=&1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/7f253114f7aad6fd594bb2350e10ec225b8e08358f6c3f2452206003dfd690c3_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+3&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\;-3\\[5pt]
x&=&-7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/e30cf3d18d414c916c255e57a3edca49a40832721da529444c1af19c19c93efb_light.svg)
Beispiel
Auf der linken Seite wird der Term um die Zahl ergänzt, damit ein Binom entsteht. Da der Wert des Terms dadurch erhöht wird, muss die Zahl wieder subtrahiert werden:
Aus dem Term links kann ein Binom gebildet werden, die Zahlen und können zusammengefasst werden:
Die Gleichung wird nun in die Form gebracht, indem die Zahl auf die rechte Seite gebracht wird:
Erste Lösung:
Zweite Lösung:
1
Löse die Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
a)
b)
c)
d)
2
Bestimme die Lösungsmenge.
a)
b)
c)
d)
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-4x&=&12 \\[5pt]
x^2-4x+\boldsymbol{4}-\boldsymbol{4}&=&12 \\[5pt]
(x-2)^2-4&=&12 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt]
(x-2)^2&=&16 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/760af18c437db41a1756b7333cbfa41d88674a72f452b6901b409bca92f81040_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;+2\\[5pt]
x&=&6
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cbf66d377f313d7842d01305050a99ce0a53fa3848bfdf7dc811f24b6c2adc1a_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-2&=&-4 &\quad \scriptsize \mid\;+2\\[5pt]
x&=&-2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/52d82d223d1d5f8d1e42bba28b4d4dd66bae4d68616dc1883584b0f9cec55306_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2+2x-8&=&0 \\[5pt]
x^2+2x+\boldsymbol{1}-\boldsymbol{1}-8&=&0 \\[5pt]
(x+1)^2-9&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+9 \\[5pt]
(x+1)^2&=&9 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ed95e80ff19a0cbd1dfa741024e32e5ee92037262e711be266d5edfff77c1d21_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+1&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/35258d33b2bed3f9f5b47a2641945aa648951c64286ec8a5d9dbd89f5bcde949_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+1&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\;-1\\[5pt]
x&=&-4
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/6035f84374b5bbcae1b40e6ac586d89c6bc9a5effd4f9910b00eca891985114e_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2+10x-24&=&0 \\[5pt]
x^2+10x+\boldsymbol{25}-\boldsymbol{25}-24&=&0 \\[5pt]
(x+5)^2-49&=&0 & \scriptsize \mid\;+49 \\[5pt]
(x+5)^2&=&49 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/24d0a0176a8778c1322d5d632db4f133d504156ce201e919a96187d075c2eca5_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+5&=&7 &\quad \scriptsize \mid\;-5\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/0a9083ba8ebc3f5758e6575e85247d8e76219e7495761575ad3bd4daccd49751_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+5&=&-7 &\quad \scriptsize \mid\;-5\\[5pt]
x&=&-12
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/13b09daa7eab4f8cc623835d418283a92db7f827888872a1db386221f409ceae_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-8x-13&=&-4 \\[5pt]
x^2-8x+\boldsymbol{16}-\boldsymbol{16}-13&=&-4 \\[5pt]
(x-4)^2-29&=&-4 & \scriptsize \mid\;+29 \\[5pt]
(x-4)^2&=&25 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/616a4fa990d9b7bbf0714249c00f1753b30e34cf30d208fd4166de155520aabb_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-4&=&5 &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt]
x&=&9
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/69b27904071348fdd0ed3bdc3410e6e2973252ee926b552fc994cbe9a4cac371_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-4&=&-5 &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt]
x&=&-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2886ae496def639fe64c6e7e55d6da965df9917f603a13b9d1b86ee6d0dcc8f2_light.svg)
2
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2+8x&=&20 \\[5pt]
x^2+8x+\boldsymbol{16}-\boldsymbol{16}&=&20 \\[5pt]
(x+4)^2-16&=&20 &\quad \scriptsize \mid\;+16 \\[5pt]
(x+4)^2&=&36 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/61f066ac100382cc0ba5cacf489e19662a1e3da0059986320ce52e3dad460077_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+4&=&6 &\quad \scriptsize \mid\;-4\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/1dfb6577f57d3d6d15286090f153dd4443801f8220413f5a2beeb6aa8e477982_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+4&=&-6 &\quad \scriptsize \mid\;-4\\[5pt]
x&=&-10
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3c5e1cbce373f62c3e8449b2983cba84cb2dc319c443e381a2137d0709e9a8ef_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2+8x-14&=&6 \\[5pt]
x^2+8x+\boldsymbol{16}-\boldsymbol{16}-14&=&6 \\[5pt]
(x+4)^2-30&=&6 &\scriptsize \mid\;+30 \\[5pt]
(x+4)^2&=&36 &\scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8b4bb251d7f8075fb72cc1d554bdb0fa3b651ebd518ccfe7426b03c0b69ceba7_light.svg)
Erste Lösung:
Zweite Lösung:
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2+12x+22&=&11 \\[5pt]
x^2+12x+\boldsymbol{36}-\boldsymbol{36}+22&=&11 \\[5pt]
(x+6)^2-14&=&11 & \scriptsize \mid\;+14 \\[5pt]
(x+6)^2&=&25 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/8a8cc9f955347129f2ac4abc3786c67f8d01664cf96a0f5b3737def0ede99edc_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+6&=&5 &\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt]
x&=&-1
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/b3bd5423a7bcca9b5ee1b239d8004b2b05c5774f74b79abf7315080e114ccecd_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x+6&=&-5 &\quad \scriptsize \mid\;-6\\[5pt]
x&=&-11
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/3a81313b64fa025df565c8def64c11da12c5fbcf8560675113aad0b9b738557e_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2-10x+12&=&-4 \\[5pt]
x^2-10x+\boldsymbol{25}-\boldsymbol{25}+12&=&-4 \\[5pt]
(x-5)^2-13&=&-4 & \scriptsize \mid\;+13 \\[5pt]
(x-5)^2&=&9 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/36caaa1c33d5e328397b03f5054592332c23f015606bf91f39e0be1ae7e439e0_light.svg)
Erste Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-5&=&3 &\quad \scriptsize \mid\;+5\\[5pt]
x&=&8
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/2120d6d9b078dac4fe339027b02c842fd43f7b958400672ba1a13d7579b26371_light.svg)
Zweite Lösung:
![\(\begin{array}[t]{rll}
x-5&=&-3 &\quad \scriptsize \mid\;+5\\[5pt]
x&=&2
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/ec6897099e7c8f1d9628f13aa77b1de0e373f6f6d41f95350fe5be404ead1312_light.svg)
