Rein quadratische Gleichungen
Kommen in einer Gleichung neben einer quadrierten Variable nur Zahlen vor, dann handelt es sich um eine rein quadratische Gleichung.
Eine rein quadratische Gleichung wird zunächst nach 
aufgelöst und anschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.
Die Anzahl der Lösungen erkennt man am Radikand (=Wert unter der Wurzel):
![\(\begin{array}[t]{rll}
4x^2+7&=&23 &\quad \scriptsize \mid\;-7 \\[5pt]
4x^2&=&16 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt]
x^2&=&4&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,}\\[5pt]
x_{1,2}&=&\pm\sqrt{4}\\[5pt]
x_1&=&2\\[5pt]
x_2&=&-2\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/59e3285fd27f4b16da05591fe2e8b132837313ccf2e0ad411600051ce00a0906_light.svg)
aufgelöst und anschließend wird auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel gezogen.
Die Anzahl der Lösungen erkennt man am Radikand (=Wert unter der Wurzel):
- Radikand
: Zwei Lösungen - Radikand
: Eine Lösung - Radikand
: Keine Lösung
Beispiel
1
Löse die Gleichung im Kopf oder rechnerisch.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
2
Gib die Anzahl der Lösungen an.
a)
b)
c)
d)
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1
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2&=&81 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=&9\\[5pt]
x_2&=&-9
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/145fdb784906e9136ff05f04802e19b84517e582feb3aee475d343c6ee714ac6_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
x^2&=&169 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=&13\\[5pt]
x_2&=&-13
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfff325be57639f26c8cfb32b7352cf87ff1f3405789aecda5708a7139ed7061_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x^2&=&98 &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt]
x^2&=&49 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=&7\\[5pt]
x_2&=&-7
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/752957ed061e736a830fc98b66ffba4ea39836eb73281b9480b70981d9e94b23_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
3x^2&=&363 &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt]
x^2&=&121 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=&11\\[5pt]
x_2&=&-11
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/18b8c70dcd1b37706eb2227eb777bc0fe862effb8dc869b39281747d150d3317_light.svg)
e)
![\(\begin{array}[t]{rll}
2x^2-20&=& 30 &\quad \scriptsize \mid\;+20 \\[5pt]
2x^2&=& 50 &\quad \scriptsize \mid\;: 2 \\[5pt]
x^2&=& 25 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=& 5\\[5pt]
x_2&=& -5
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/4091c953a51c8e3eeca0f3e6080b27b8e8ceb7f564c48c7d80e82301fd0b3776_light.svg)
f)
![\(\begin{array}[t]{rll}
\frac{1}{2}x^2-35&=&165 &\quad \scriptsize \mid\;+35 \\[5pt]
\frac{1}{2}x^2&=&200 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2 \\[5pt]
x^2&=&400 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
x_1&=&20\\[5pt]
x_2&=&-20
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/a171bff955660c96ee6e8faf534cfc092aeaba1b72a89a6bb4a00146d5cb2f41_light.svg)
2
a)
Keine Lösung
b)
Zwei Lösungen
c)
Zwei Lösungen
d)
Eine Lösung
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