Quadratwurzeln mit Intervallen bestimmen

Bisher wurden nur Quadratwurzeln betrachtet, deren Radikand eine Quadratzahl ist.

Beispiel
$\sqrt{16}=4$

Es gibt aber auch Quadratwurzeln, deren Radikand keine Quadratzahl ist.

Beispiel
$\sqrt{15}=3,872\,983\,334\,6...$

Da diese Quadratwurzeln unendliche viele Nachkommastellen haben, lassen sie sich nur näherungsweise bestimmen. Für die Bestimmung wird die Quadratwurzel in immer kleinere Bereiche, sogenannte Intervalle, eingeteilt.

Beispiel: Bestimmung der Quadratwurzel $\sqrt{20}$
Zwischen welchen Quadratwurzeln, deren Radikand eine Quadratzahl ist, liegt $\sqrt{20}$ ?
$\sqrt{16}\lt\sqrt{20}\lt\sqrt{25}$

Wurzelziehen der Intervalle

$4\lt\sqrt{20}\lt5$
$\Rightarrow$ Die Wurzel aus $20$ liegt also zwischen $4$ und $5.$

Mithilfe des Taschenrechners kann eine Nachkommastelle dazugenommen werden.
Durch Ausprobieren erhält man:

$4,4^2=19,36$
$4,5^2=20,25$

Damit kann das Intervall weiter eingegrenzt werden:
$4,4\lt\sqrt{20}\lt4,5$

Mithilfe des Taschenrechners kann eine weitere Nachkommastelle dazugenommen werden.
Durch Ausprobieren erhält man:

$4,47^2=19,9809$
$4,48^2=20,0704$

Damit kann das Intervall weiter eingegrenzt werden:
$4,47\lt\sqrt{20}\lt4,48$

Die Quadratwurzel von $20$ liegt also näherungsweise bei $4,5.$

Ergebnis: $\sqrt{20}\approx 4,5$

$\sqrt{4}\lt\sqrt{5}\lt\sqrt{9}$

Daraus folgt: $2\lt\sqrt{5}\lt3$

$\sqrt{1}\lt\sqrt{2}\lt\sqrt{4}$

Daraus folgt: $1\lt\sqrt{2}\lt2$

$\sqrt{16}\lt\sqrt{18}\lt\sqrt{25}$

Daraus folgt: $4\lt\sqrt{18}\lt5$

$\sqrt{25}\lt\sqrt{31}\lt\sqrt{36}$

Daraus folgt: $5\lt\sqrt{31}\lt6$

1. Schritt: Intervall mit Quadratwurzeln bestimmen

$\sqrt{64}\lt\sqrt{65}\lt\sqrt{81}$

2. Schritt: Wurzelziehen der Intervalle

$8\lt\sqrt{65}\lt9$

3. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine Nachkommastelle dazunehmen

$8,0^2=64$
$8,1^2=65,61$

$8,0\lt\sqrt{65}\lt8,1$

4. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$8,06^2=64,963\,6$
$8,07^2=65,124\,9$

$8,06\lt\sqrt{65}\lt8,07$

5. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$8,062^2=64,995\,844$
$8,063^2=65,011\,969$

$8,062\lt\sqrt{65}\lt8,063$

$\sqrt{65}\approx 8,06$

1. Schritt: Intervall mit Quadratwurzeln bestimmen

$\sqrt{81}\lt\sqrt{97}\lt\sqrt{100}$

2. Schritt: Wurzelziehen der Intervalle

$9\lt\sqrt{97}\lt10$

3. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine Nachkommastelle dazunehmen

$9,8^2=96,04$
$9,9^2=98,01$

$9,8\lt\sqrt{97}\lt9,9$

4. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$9,84^2=96,825\,6$
$9,85^2=97,022\,5$

$9,84\lt\sqrt{97}\lt9,85$

5. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$9,848^2=96,983\,104$
$9,849^2=97,002\,801$

$9,848\lt\sqrt{97}\lt9,849$

$\sqrt{97}\approx 9,85$

1. Schritt: Intervall mit Quadratwurzeln bestimmen

$\sqrt{25}\lt\sqrt{27}\lt\sqrt{36}$

2. Schritt: Wurzelziehen der Intervalle

$5\lt\sqrt{27}\lt6$

3. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine Nachkommastelle dazunehmen

$5,1^2=26,01$
$5,2^2=27,04$

$5,1\lt\sqrt{27}\lt5,2$

4. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$5,19^2=26,936\,1$
$5,20^2=27,04$

$5,19\lt\sqrt{27}\lt5,20$

5. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$5,196^2=26,998\,416$
$5,197^2=27,008\,809$

$5,196\lt\sqrt{27}\lt5,197$

$\sqrt{27}\approx 5,20$

1. Schritt: Intervall mit Quadratwurzeln bestimmen

$\sqrt{100}\lt\sqrt{118}\lt\sqrt{121}$

2. Schritt: Wurzelziehen der Intervalle

$10\lt\sqrt{118}\lt11$

3. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine Nachkommastelle dazunehmen

$10,8^2=116,64$
$10,9^2=118,81$

$10,8\lt\sqrt{118}\lt10,9$

3. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine Nachkommastelle dazunehmen

$10,86^2=117,939\,6$
$10,87^2=118,156\,9$

$10,86\lt\sqrt{118}\lt10,87$

5. Schritt: Durch Ausprobieren mit dem Taschenrechner eine weitere Nachkommastelle dazunehmen

$10,862^2=117,983\,044$
$10,863^2=118,004\,769$

$10,862\lt\sqrt{118}\lt10,863$

$\sqrt{118}\approx 10,86$

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