Katheten
Sind die Längen der Hypotenuse und einer Kathete gegeben, lässt sich mit dem Satz des Pythagoras die Länge der anderen Kathete berechnen.
Beispiel
berechnen. Dafür wird die Formel umgestellt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt]
b^2&=&c^2-a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
b&=&\sqrt{c^2-a^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{(10\,\text{cm})^2-(6\,\text{cm})^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{100\,\text{cm}^2-36\,\text{cm}^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{64\,\text{cm}^2} &\\[5pt]
b&=&8\,\text{cm} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/42fe4ff79499c33a0835ae3d998fb2c01e8c5705dff71b5ad50827a180a395a3_light.svg)
Für das nebenstehende rechtwinklige Dreieck gilt:
Die Seiten 
und umschließen den rechten Winkel und sind somit die Katheten.
Die Seite
liegt gegenüber vom rechten Winkel und bildet also die Hypotenuse.
Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich nun die Länge der Kathete 
und umschließen den rechten Winkel und sind somit die Katheten.
Die Seite
liegt gegenüber vom rechten Winkel und bildet also die Hypotenuse.
berechnen. Dafür wird die Formel umgestellt:
1
2
Es sind jeweils die Hypotenuse und eine Kathete gegeben.
Berechne mit dem Satz des Pythagoras die andere Kathete.
a)
- Kathete:
- Hypothenuse:
b)
- Kathete:
- Hypothenuse:
c)
- Kathete:
- Hypothenuse:
d)
- Kathete:
- Hypothenuse:
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1
Die Seite 
ist die zweite Kathete.
![\(\begin{array}[t]{rll}
i^2+j^2&=&h^2 &\quad \scriptsize \mid\;-i^2 \\[5pt]
j^2&=&h^2-i^2 \\[5pt]
j^2&=&(18,3\,\text{cm})^2-(14,6\,\text{cm})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
j&=&\sqrt{(18,3\,\text{cm})^2-(14,6\,\text{cm})^2} \\[5pt]
j&=&\sqrt{121,73\,\text{cm}^2} \\[5pt]
j&=&11,0\,\text{cm} \\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/cae2fdac4e7550af70828f63438bf01b06b1103356099d78f0bc41dd819d50f1_light.svg)
ist die zweite Kathete.
2
a)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt]
b^2&=&c^2-a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
b&=&\sqrt{c^2-a^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{(13\,\text{cm})^2-(11\,\text{cm})^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{169\,\text{cm}^2-121\,\text{cm}^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{48\,\text{cm}^2} &\\[5pt]
b&=&6,9\,\text{cm} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/69366c65d5631174a94d4b553099f6cdd4eac0eff8f38c3d97989260f09a5e0f_light.svg)
b)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -a^2\\[5pt]
b^2&=&c^2-a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
b&=&\sqrt{c^2-a^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{(3\,\text{km})^2-(1\,\text{km})^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{9\,\text{km}^2-1\,\text{km}^2} &\\[5pt]
b&=&\sqrt{8\,\text{km}^2} &\\[5pt]
b&=&2,8\,\text{km} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/5975a1bac69b8a1849101e0a8246ea6876538c69f6645c09986068b5f6e9c080_light.svg)
c)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt]
a^2&=&c^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
a&=&\sqrt{c^2-b^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{(18\,\text{km})^2-(10\,\text{km})^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{324\,\text{km}^2-100\,\text{km}^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{224\,\text{km}^2} &\\[5pt]
a&=&15,0\,\text{km} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/83faec739ce7fbc9b9d6ea7ae2f4ae5f383d5b03f94b1da3e13c72d748bc700c_light.svg)
d)
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\; -b^2\\[5pt]
a^2&=&c^2-b^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt]
a&=&\sqrt{c^2-b^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{(100\,\text{m})^2-(87\,\text{m})^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{10\,000\,\text{m}^2-7\,569\,\text{m}^2} &\\[5pt]
a&=&\sqrt{2\,431\,\text{m}^2} &\\[5pt]
a&=&49,3\,\text{m} &\\[5pt]
\end{array}\)](https://www.schullv.de/resources/formulas/08261d5524652fec3079236c9584ae7becb1515cb2c9f576de462b8e0eee0300_light.svg)
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