Schnittpunkte

Die Schnittpunkte zweier Graphen können zeichnerisch oder rechnerisch ermittelt werden.

Um die Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen, werden die Funktionsterme gleichgesetzt.

Zwei Parabeln können keinen, einen oder zwei Schnittpunkt(e) haben.

Eine Parabel und eine Gerade können ebenfalls keinen, einen oder zwei Schnittpunkt(e) haben.
Haben eine Gerade und eine Parabel nur einen gemeinsamen Schnittpunkt, heißt dieser auch Berührpunkt.

Beispiele

Schnittpunkt zweier Parabeln

$p_1:y=x^2-2$

$p_2:y=-2x^2+12x-14$

Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch Schnittpunkte

Schnittpunkt(e) berechnen durch Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} p_1&=&p_2 \\[5pt] x^2-2&=&-2x^2+12x-14 & \scriptsize \mid\; +2x^2\\[5pt] 3x^2-2&=&12x-14 & \scriptsize \mid\; -12x\\[5pt] 3x^2-12x-2&=&-14 & \scriptsize \mid\; +14\\[5pt] 3x^2-12x+12&=&0& \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] x^2-4x+4&=&0&\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=&-\dfrac{-4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-4} \\[5pt] &=&2\pm0\\[5pt] x&=&2 \end{array}$

$x=2$ ist die einzige Lösung. Um die $y$ -Koordinate des Schnittpunkts zu berechnen, wird die $x$ -Koordinate in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt:

$x=2$ in $p_1:$ $y=2^2-2=2$

Am Schaubild lässt sich erkennen, dass sich die Parabeln in diesem Punkt nur berühren und nicht schneiden. Der Schnittpunkt wird daher auch Berührpunkt genannt.

$B(2\mid 2)$

Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden

$p:y=x^2-4x+2$

$g:y=x-2$

Realschule Baden-Württemberg Digitales Schulbuch Schnittpunkt Parabel Gerade

Schnittpunkte berechnen durch Gleichsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} p&=&g \\[5pt] x^2-4x+2&=&x-2 & \scriptsize \mid\; -x\\[5pt] x^2-5x+2&=&-2 & \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] x^2-5x+4&=&0\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=&-\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-4} \\[5pt] &=&2,5\pm 1,5\\[5pt] x_1&=&1\\[5pt] x_2&=&4 \end{array}$

Um die $y$ -Koordinaten der Schnittpunkte zu berechnen, werden die $x$ -Koordinaten jeweils in eine der beiden Funktionsgleichungen eingesetzt. Am besten eignet sich dafür die Gerade $g:$