Aufgabe B2
In einem Koordinatensystem sind die Punkte 
und 
die Schnittpunkte der Ebene 
mit den Koordinatenachsen. Sie sind die Eckpunkte des in Abbildung 1 dargestellten Dreiecks 
Abbildung 1
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks
Bestimme eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform.
(zur Kontrolle: 
)
Begründe, dass die folgende Aussage falsch ist:
Für jeden Punkt 
im Innern des Dreiecks 
gilt:
Der Punkt 
liegt ebenfalls im Innern des Dreiecks
Betrachtet wird zusätzlich die Gerade 
mit 
Weise nach, dass die Gerade 
in der Ebene liegt.
Betrachtet wird die Schar der Ebenen 
mit 
Jede Ebene dieser Schar entspricht einer Position, in die durch Drehung um die Gerade gebracht werden kann.
Die Ebene wird nun durch eine solche Drehung um einen Winkel der Größe 
in eine neue Position gebracht.
Berechne die Werte von 
für die die jeweilige Ebene 
einer solchen Position entspricht.
Betrachtet werden alle Dreiecke, bei denen die Eckpunkte auf drei verschiedenen Koordinatenachsen liegen.
Bei solchen Dreiecken liegt jeder der drei Eckpunkte entweder auf dem positiven oder auf dem negativen Teil der zugehörigen Koordinatenachse.
Dementsprechend unterscheidet man bei solchen Dreiecken zwischen acht verschiedenen Lagen.
In Abbildung 2 sind zwei dieser Lagen dargestellt (Lage 1 und Lage 2).
Abbildung 2
Für jeden Wert von 
mit 
und 
schneidet die Ebene die 
-Achse im Punkt 
die 
-Achse im Punkt 
und die 
-Achse im Punkt 
Das Dreieck 
kann eine der beiden dargestellten Lagen annehmen, die andere nicht.
Entscheide, welche der beiden Lagen nicht angenommen werden kann, und begründe die Entscheidung.
Bestimme für die andere Lage alle zugehörigen Werte von 
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der Kante 
folgt:
![Formula: \begin{array}{rlll}
A&=& \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A B}| \cdot|\overline{M C}| \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\pmatrix{-12\\12\\0}\right\vert \cdot\left\vert\pmatrix{-6\\-6\\6}\right\vert \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{288} \cdot\sqrt{108} \\[5pt]
&\approx&88,18
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c7c4eefe6f5354ad5b7bee68b61f615d20f8f32abcb3e449bc3e139885ad725c_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
A&=& \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A B}| \cdot|\overline{M C}| \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\pmatrix{-12\\12\\0}\right\vert \cdot\left\vert\pmatrix{-6\\-6\\6}\right\vert \\[5pt]
&=& \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{288} \cdot\sqrt{108} \\[5pt]
&\approx&88,18
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c7c4eefe6f5354ad5b7bee68b61f615d20f8f32abcb3e449bc3e139885ad725c_dark.svg)
Ein Normalenvektor 
muss die folgenden zwei Gleichungen erfüllen:
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{n}&=& 0 \\[5pt]
\pmatrix{-12\\12\\0}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}&=& 0 \\[5pt]
-12n_1+12n_2&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c9be99879d9e2eaefb7080f6b79f5e318aec8fbfa9b507bfc160b740250fa76a_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{n}&=& 0 \\[5pt]
\pmatrix{-12\\12\\0}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}&=& 0 \\[5pt]
-12n_1+12n_2&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c9be99879d9e2eaefb7080f6b79f5e318aec8fbfa9b507bfc160b740250fa76a_dark.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{n}&=& 0 \\[5pt]
\pmatrix{-12\\0\\6}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}&=& 0 \\[5pt]
-12n_1+6n_3&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/415a49e67d3a86287dcdd55a9e639dcf549800516531472e2bdbd18afd4c06d8_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{AC}\circ\overrightarrow{n}&=& 0 \\[5pt]
\pmatrix{-12\\0\\6}\circ\pmatrix{n_1\\n_2\\n_3}&=& 0 \\[5pt]
-12n_1+6n_3&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/415a49e67d3a86287dcdd55a9e639dcf549800516531472e2bdbd18afd4c06d8_dark.svg)
Nach Wahl von 
liefert Auflösen dieser beiden Gleichungen mit dem MMS:
![Formula: \begin{array}{rlll}
n_1&=& 1 \\[5pt]
n_2&=& 1 \\[5pt]
n_3&=&2
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/421d91d0688bef0fef89a37342595dd54d57bc31d94323bfc409b9c0ed2747ac_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
n_1&=& 1 \\[5pt]
n_2&=& 1 \\[5pt]
n_3&=&2
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/421d91d0688bef0fef89a37342595dd54d57bc31d94323bfc409b9c0ed2747ac_dark.svg)
Einsetzen der Koordinaten von z.B. 
in die allgemeine Gleichung 
liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
12+0+2\cdot0&=& d \\[5pt]
12&=&d
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/59629609e36ec052f9f75c3d348a4816ea8b815a3053d7d7013d19ef2f6c0488_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
12+0+2\cdot0&=& d \\[5pt]
12&=&d
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/59629609e36ec052f9f75c3d348a4816ea8b815a3053d7d7013d19ef2f6c0488_dark.svg)
Damit ergibt sich 
Der Punkt 
z.B. liegt im Innern des Dreiecks 
da 
gilt und alle Koordinaten positiv sind.
Der zugehörige Punkt 
liegt allerdings wegen 
nicht in der Ebene und somit auch nicht im Dreieck. Damit ist die Aussage falsch.
Einsetzen der allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung von liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
3+r+1-r+2\cdot4&=& d \\[5pt]
12&=&d
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c8264fc291814738c1f5bd92b09bc157d2d0fc213f4f4b559fb3f1d342d14486_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
3+r+1-r+2\cdot4&=& d \\[5pt]
12&=&d
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c8264fc291814738c1f5bd92b09bc157d2d0fc213f4f4b559fb3f1d342d14486_dark.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1 \\1 \\2} \circ\pmatrix{1 \\1 \\-m}\right|}{\left|\pmatrix{1 \\1 \\2}\right| \cdot\left|\pmatrix{1 \\1 \\-m}\right|} \\[5pt]
\cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\vert2-2m\vert}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+m^2}}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/031d3dc4ccbfb4f1df3e48058874309b313f0ecade6bece06616cfc6634ee5bf_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\left|\pmatrix{1 \\1 \\2} \circ\pmatrix{1 \\1 \\-m}\right|}{\left|\pmatrix{1 \\1 \\2}\right| \cdot\left|\pmatrix{1 \\1 \\-m}\right|} \\[5pt]
\cos 60^{\circ}&=&\dfrac{\vert2-2m\vert}{\sqrt{6}\cdot\sqrt{2+m^2}}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/031d3dc4ccbfb4f1df3e48058874309b313f0ecade6bece06616cfc6634ee5bf_dark.svg)
Auflösen nach mit dem MMS liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
m_1&=& \dfrac{8-3 \cdot \sqrt{6}}{5} \\[5pt]
m_2&=&\dfrac{8+3 \cdot \sqrt{6}}{5}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b86bdebc9933ae8f1e8a3c343d331187683385268175244ce6495690d6d95e56_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
m_1&=& \dfrac{8-3 \cdot \sqrt{6}}{5} \\[5pt]
m_2&=&\dfrac{8+3 \cdot \sqrt{6}}{5}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/b86bdebc9933ae8f1e8a3c343d331187683385268175244ce6495690d6d95e56_dark.svg)
Nullsetzen der jeweiligen Koordinaten liefert für die Schnittpunkte mit den Achsen:
Das Dreieck 
nimmt Lage 2 somit nicht an, da für jeden Wert von die -Koordinate von 
und die -Koordinate von das gleiche Vorzeichen haben. Für Lage 1 müssen die -Koordinate von und die -Koordinate von positiv sein. Damit folgt:
![Formula: \begin{array}{rlll}
4-4m&\gt&0 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt]
-4m&\gt&-4 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt]
m&\lt&1
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a9ea4be942b13abedcc6def4bc9a16911966df2821f653e62d47805b72dbeb7d_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
4-4m&\gt&0 &\quad\scriptsize\mid\;-4 \\[5pt]
-4m&\gt&-4 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt]
m&\lt&1
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a9ea4be942b13abedcc6def4bc9a16911966df2821f653e62d47805b72dbeb7d_dark.svg)
Zudem geht aus der Abbildung hervor, dass die -Koordinate von 
negativ ist. Das liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
4-\dfrac{4}{m}&\lt&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{4}{m} \\[5pt]
4&\lt&\dfrac{4}{m} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot m \\[5pt]
4m&\lt&4 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt]
m&\lt&1
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/494a32a5109e5d63294ebd17b0ed1e680ae90b6c6504c1452012bcc239150fd9_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
4-\dfrac{4}{m}&\lt&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\dfrac{4}{m} \\[5pt]
4&\lt&\dfrac{4}{m} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot m \\[5pt]
4m&\lt&4 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt]
m&\lt&1
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/494a32a5109e5d63294ebd17b0ed1e680ae90b6c6504c1452012bcc239150fd9_dark.svg)
Damit hier nicht 
steht, wodurch ein Widerspruch entstehen würde, muss im zweiten Schritt mit einem positiven multipliziert werden. Insgesamt muss also 
gelten.