Die Anzahl der Pkw unter zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen ist binomialverteilt.

Es werden Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens Pkw befinden.

Vervollständige die abgebildete Vierfeldertafel.

Untersuche, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist.

Gib dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründe die Angabe.

Beschreibe den mathematischen Zusammenhang zwischen Abbildung 1 und dem Term

und gib die Bedeutung seines Werts im Sachzusammenhang an.

Unter zufällig ausgewählten Personen, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren, sei die Anzahl derjenigen, die dabei allein im Pkw sind, näherungsweise binomialverteilt.

Mithilfe der Ungleichung können bestimmte Werte für ermittelt werden.

Gib die Bedeutung dieser Werte von im Sachzusammenhang an.

Gib alle diese Werte von an.

Um den Anteil der Alleinfahrer zu senken, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Nun soll untersucht werden, ob der beschriebene Anteil deutlich gesunken ist.

Dazu wird die Durchführung eines Signifikanztests mit einem Signifikanzniveau von und der Nullhypothese „Der Anteil der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, liegt bei mindestens “ geplant.

Der Test soll auf der Grundlage einer Stichprobe von Personen durchgeführt werden.

Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

Die Zufallsvariable die die Anzahl der Pkw unter den zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen angibt, ist binomialverteilt mit und Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit:

Der Anteil der Kraftfahrzeuge die mindestens fünf Jahre alt sind beträgt unter den Pkw:

Der Anteil der Kraftfahrzeuge die mindestens fünf Jahre alt sind beträgt unter den übrigen Kraftfahrzeugen:

Mit ist der Anteil der mindestens fünf Jahre alten Kraftfahrzeuge unter den Pkw nicht größer, sondern kleiner als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.

Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass der Pkw bis Jahre alt sind. Damit sind nach dem ersten Intervall noch weniger als erreicht. Für die ersten beiden Intervalle gilt aber Damit wird die Grenze im Intervall von bis Jahren überschritten und der gesuchte PKW muss somit zwischen und Jahre alt sein.

Beschreibung des mathematischen Zusammenhangs

Die Summanden sind jeweils das Produkt aus der unteren Intervallgrenze und dem zugehörigen Anteil der abgebildeten Zeitintervalle.

Bedeutung im Sachzusammenhang angeben

Der Wert des Terms ist eine untere Grenze für das durchschnittliche Alter der zugelassenen Pkw in Jahren.

Bedeutung angeben

Die Werte von sind die Anzahlen der zufällig ausgewählten Personen, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren, so dass mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens wenigstens zwei Personen darunter sind, die allein im Pkw sind.

Werte angeben

Auflösen der Ungleichung nach mit dem MMS liefert

Die Zufallsvariable die die Anzahl der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, angibt, ist binomialverteilt mit und Für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs ist der größte Wert gesucht, für den gilt:

Systematisches Ausprobieren mit dem MMS liefert:

Damit wird die Nullhypothese genau dann abgelehnt, wenn sich weniger als allein fahrende Personen in der Stichprobe befinden.