Pflichtbereich

In den Teilaufgaben 1.1 bis 1.5 ist von den jeweils fünf Auswahlmöglichkeiten genau eine Antwort richtig. Kreuze das jeweilige Feld an.

1.1

Für jede reelle Zahl Formula: a ist eine Funktion Formula: f_a mit $Formula: f_a(x)=a\cdot\mathrm e^{-x}$ $Formula: f_a(x)=a\cdot\mathrm e^{-x}$ $Formula: (x\in D_{f_a})$ $Formula: (x\in D_{f_a})$ gegeben.

Die erste Ableitungsfunktion der Funktion Formula: f_a kann durch folgenden Term beschrieben werden:

	$Formula: \tfrac{a}{\mathrm e}$ $Formula: \tfrac{a}{\mathrm e}$
	$Formula: a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: 1-a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: 1-a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-x}$ $Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-x}$

1.2

Der Wert der Ableitungsfunktion Formula: f' einer in $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ differenzierbaren Funktion an der Stelle Formula: a ist

	der Wert des Differenzenquotienten von an der Stelle
	der Funktionswert von an der Stelle
	der Grenzwert von an der Stelle
	der Wert der lokalen Änderungsrate von an der Stelle
	der Wert des Terms $Formula: \displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx.$ $Formula: \displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx.$

1.3

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ definierte Funktion $Formula: f:x\mapsto\cos(x).$ $Formula: f:x\mapsto\cos(x).$

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?


	$Formula: \displaystyle\lim_{x\to\tfrac{\pi}{2}}f(x)=0$ $Formula: \displaystyle\lim_{x\to\tfrac{\pi}{2}}f(x)=0$
	$Formula: f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$ $Formula: f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$
	$Formula: f''\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$ $Formula: f''\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$
	$Formula: \displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(x)\,\mathrm dx=0$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(x)\,\mathrm dx=0$

1.4

Die Gleichungen der Asymptoten des Graphen der Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{x}{(x-1)^2}$ $Formula: f(x)=\tfrac{x}{(x-1)^2}$ und $Formula: x\in D_f$ $Formula: x\in D_f$ lauten:

	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&0 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&0 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$

1.5

Mit $Formula: x\ne a$ $Formula: x\ne a$ gilt:

$Formula: (x^2-2ax+a^2)\cdot(x-a)^{-3}=$ $Formula: (x^2-2ax+a^2)\cdot(x-a)^{-3}=$

	$Formula: \tfrac{1}{(x-a)^5}$ $Formula: \tfrac{1}{(x-a)^5}$
	$Formula: \tfrac{1}{(x-a)^2}$ $Formula: \tfrac{1}{(x-a)^2}$
	$Formula: \tfrac{1}{x-a}$ $Formula: \tfrac{1}{x-a}$



5 BE

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ definierten Funktion Formula: g mit Formula: g(x)=-2x+4.

2.1

Es gibt eine positive reelle Zahl Formula: k, die Lösung der Gleichung $Formula: \displaystyle\int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ $Formula: \displaystyle\int_0^k g(x)\,\mathrm dx=0$ ist.

Veranschauliche in der Abbildung für diese Zahl Formula: k die geometrische Bedeutung der Gleichung.

2 BE

2.2

Bestimme alle Stammfunktionen von Formula: g, die ausschließlich negative Funktionswerte haben.

3 BE

Koordinatensystem mit Gitternetz und fallender Geraden, Schnittpunkte bei y≈5 und x≈2.

In der Abbildung ist das gerade Prisma Formula: ABCDEF mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B(6\mid0\mid0),$ $Formula: B(6\mid0\mid0),$ $Formula: C(0\mid4\mid0)$ $Formula: C(0\mid4\mid0)$ und $Formula: D(0\mid0\mid3)$ $Formula: D(0\mid0\mid3)$ dargestellt.

3.1

Gib die Koordinaten des Punkts Formula: F an.

1 BE

3.2

Ermittle die Koordinaten des Punkts Formula: P auf der Kante $Formula: \overline{DE},$ $Formula: \overline{DE},$ für den das Dreieck Formula: ACP den gleichen Flächeninhalt wie das Viereck Formula: ACFD hat.

4 BE

Schräg dargestellter Quader ABCDEF mit eingezeichneten Raumdiagonalen und Koordinatenachsen x, y und z.

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0,5.

4.1

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

4.2

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0,5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0,5\cdot\sigma),$ $Formula: P(\mu-0,5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0,5\cdot\sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

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1.1

	$Formula: \tfrac{a}{\mathrm e}$ $Formula: \tfrac{a}{\mathrm e}$
	$Formula: a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: 1-a\cdot \mathrm e^{-x}$ $Formula: 1-a\cdot \mathrm e^{-x}$
	$Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-x}$ $Formula: -a\cdot \mathrm e^{-x}-\mathrm e^{-x}$

1.2

	der Wert des Differenzenquotienten von an der Stelle
	der Funktionswert von an der Stelle
	der Grenzwert von an der Stelle
	der Wert der lokalen Änderungsrate von an der Stelle
	der Wert des Terms $Formula: \displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx.$ $Formula: \displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx.$

1.3


	$Formula: \displaystyle\lim_{x\to\tfrac{\pi}{2}}f(x)=0$ $Formula: \displaystyle\lim_{x\to\tfrac{\pi}{2}}f(x)=0$
	$Formula: f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$ $Formula: f\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$
	$Formula: f''\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$ $Formula: f''\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=0$
	$Formula: \displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(x)\,\mathrm dx=0$ $Formula: \displaystyle\int_0^{\tfrac{\pi}{2}}f(x)\,\mathrm dx=0$

1.4

	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&-1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&0 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&0 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&0 \end{array}$
	$Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x&=&1 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$

1.5

	$Formula: \tfrac{1}{(x-a)^5}$ $Formula: \tfrac{1}{(x-a)^5}$
	$Formula: \tfrac{1}{(x-a)^2}$ $Formula: \tfrac{1}{(x-a)^2}$
	$Formula: \tfrac{1}{x-a}$ $Formula: \tfrac{1}{x-a}$



2.1

Koordinatensystem mit fallender Geraden und zwei schattierten Dreiecken A1 (links oben) und A2 (rechts unten)

2.2

Für die Stammfunktionen von Formula: g gilt:

Formula: G_c(x)=-x^2+4x+c

Da Formula: g bei Formula: x=2 eine Nullstelle hat, in der das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, haben die Stammfunktionen dort eine Hochstelle. Damit ergibt sich für den größten Funktionswert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$

Somit haben alle Stammfunktionen mit $Formula: c\lt-4$ $Formula: c\lt-4$ ausschließlich negative Funktionswerte.

3.1

$Formula: F(0\mid4\mid 3)$ $Formula: F(0\mid4\mid 3)$

3.2

Der Punkt Formula: P hat die allgemeinen Koordinaten $Formula: P(k\mid0\mid3).$ $Formula: P(k\mid0\mid3).$ Damit ergibt sich für Formula: k:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A C}| \cdot|\overline{A P}|&=&|\overline{A C}| \cdot|\overline{A D}| \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot4\cdot\sqrt{k^2+3^2}&=&4\cdot3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \sqrt{k^2+9}&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] k^2+9&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] k^2&=&27 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\sqrt{27} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{2} \cdot|\overline{A C}| \cdot|\overline{A P}|&=&|\overline{A C}| \cdot|\overline{A D}| \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot4\cdot\sqrt{k^2+3^2}&=&4\cdot3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] \sqrt{k^2+9}&=&6 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] k^2+9&=&36 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt] k^2&=&27 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\sqrt{27} \end{array}$

Die Koordinaten von Formula: P ergeben sich somit als $Formula: P(\sqrt{27}\mid0\mid3).$ $Formula: P(\sqrt{27}\mid0\mid3).$

4.1

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

4.2

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

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