Aufgabe 6: Wohngebiet
In einer Stadt soll ein neues Wohngebiet entstehen. Es hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks und wird von der Goethe-, Schiller- und Lessingstraße begrenzt.
Parallel verlaufende Grenzen zur Lessingstraße zerlegen das Wohngebiet in die Bereiche I, II und III.
Die Aufteilung des Wohngebietes ist in der Abbildung dargestellt.
Skizze nicht maßstabsgerecht
a)
Zeige, dass die Länge der Wohngebietsgrenze an der Schillerstraße etwa 
beträgt.
(2 P)
b)
Während der Bauphase wird entlang der Wohngebietsgrenze ein Zaun errichtet. Berechne die Länge des Zauns.
(1 P)
c)
Der Bereich I ist 
breit. Dieser wird wie folgt in drei Grundstücke 
und 
aufgeteilt:
- Das mittlere Grundstück
ist rechteckig. Sein Flächeninhalt beträgt
- Die beiden äußeren Grundstücke
und
Skizze nicht maßstabsgerecht
(3 P)
d)
Nach der Vermessung der Bereiche II und III wurde die Abbildung mit folgenden Größenangaben ergänzt.
Für den Bereich II gilt: 
Für den Bereich III gilt: 
Berechne die Breite 
des Bereichs II.
Skizze nicht maßstabsgerecht
(3 P)
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a)
Das gleichschenklige Dreieck kann in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt werden. Mit dem Satz des Pythagoras kann dann die gesuchte Länge 
berechnet werden.
![\(\begin{array}[t]{rll}
g^2&=& \left(\dfrac{80\,\text{m}}{2}\right)^2+(100\,\text{m})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt]
g &=& \sqrt{1600\,\text{m}^2+10\,000\,\text{m}^2} \\[5pt]
&\approx& 107,7\,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4745c1e30548c6c18996d622657af2c8e7cfb5a4a34bac526752be69dccbd50c?color=5a5a5a)
b)
Da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, kann der Umfang wie folgt berechnet werden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
U&=& 80\,\text{m}+2\cdot 107,7\,\text{m} \\[5pt]
&=& 295,4 \,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/972cbb4f89aed3de8a73afd996e94ca8dc6ae041ebb7ff5d6aa3d9a91d3a58c7?color=5a5a5a)
Die Länge des Zauns beträgt ungefähr 
c)
Länge des Grundstücks entlang der Lessingstraße berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
30\,\text{m} \cdot x&=& 600\,\text{m}^2 \quad \scriptsize \mid\; :30\,\text{m} \\[5pt]
x&=& 20\,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d35ae15c3731cd9e07a343934a23e7e2d67517979e23bd851cd581978bc4f6c3?color=5a5a5a)
Länge eines trapezförmigen Grundstücks entlang der Lessingstraße:
Die Grenze des Grundstücks zur Lessingstraße ist 
lang, die Grenzen der Grundstücke und zur Lessingstraße sind jeweils 
lang.
d)
Winkel 
berechnen:
Mit einem Hilfsdreieck wie in der folgenden Skizze kann die Breite berechnet werden.
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin(\beta)&=& \dfrac{x}{c} \\[5pt]
\sin(68,2^{\circ})&=& \dfrac{x}{32}\quad \scriptsize \mid\; \cdot 32 \\[5pt]
32\cdot \sin(68,2^{\circ})&=& x \\[5pt]
x &=& 32\cdot \sin(68,2^{\circ})\\[5pt]
x&\approx& 29,7
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/caf29f053153cd1a3bf0eab5a5a4998e1f57f8c6fa463ae58646de7d2d3d18a7?color=5a5a5a)
Der Bereich II ist ca. 
breit.