Aufgabe 4: Boje
In der Schifffahrt werden zur Kennzeichnung des Fahrwassers Schwimmkörper aus Stahlblech, sogenannte Bojen, verwendet.
Der abgebildete Querschnitt einer Boje zeigt, dass sie aus einer Halbkugel und einem Kegel mit jeweils gleicher Grundfläche zusammengesetzt ist.
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(Skizze nicht maßstabsgerecht)
a)
Der halbkugelförmige Teil der Boje hat eine Oberfläche von 
.
Zeige rechnerisch, dass der Durchmesser der Boje etwa
beträgt.
Zeige rechnerisch, dass der Durchmesser der Boje etwa
(2 P)
b)
Berechne die Gesamthöhe der Boje.
(3 P)
c)
Der kegelförmige Teil der Boje wird mit einer Rostschutzfarbe angestrichen.
der Farbe reichen für 
Berechne, wie viele Kanister mit je 5 Liter Farbe für 50 Bojen gebraucht werden.
Berechne, wie viele Kanister mit je 5 Liter Farbe für 50 Bojen gebraucht werden.
(4 P)
d)
Eine alte Boje in einem Museum ist ebenfalls aus einer Halbkugel und einem Kegel mit jeweils gleicher Grundfläche zusammengesetzt. Der Durchmesser dieser Grundfläche ist genauso lang wie die Gesamthöhe der Boje. Die alte Boje hat ein Volumen von 
Berechne die Gesamthöhe dieser Boje.
Berechne die Gesamthöhe dieser Boje.
(3 P)
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a)
b)
1. Schritt: Höhe des Kegels mit dem Satz des Pythagoras berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left(\dfrac{d}{2}\right)^2+h_K^2 &=& s^2 \quad \scriptsize \mid\; -\left(\dfrac{d}{2}\right)^2\\[5pt]
h_K^2&=& s^2-\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt]
h_K&=& \sqrt{s^2-\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} \\[5pt]
h_K&=& \sqrt{(1,9\,\text{m})^2 - (0,6\,\text{m})^2} \\[5pt]
h_K&\approx& 1,8 \,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/3ede1ff5982bbb453bc27f732ff280732c546fd25cdbe6b41e1cb2772056cdff?color=5a5a5a)
2. Schritt: Gesamthöhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h&=& r +h_K &\quad \scriptsize \\[5pt]
h&=& 0,6\,\text{m}+ 1,8 \,\text{m} &\quad \scriptsize \\[5pt]
h&=& 2,4\,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/ff6109b5d24f3edc75a01277aee8a5d0cd25182a031041050a231ca8eee528e7?color=5a5a5a)
c)
1. Schritt: Mantelfläche des Kegels berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
M_K&=& \pi \cdot r\cdot s &\quad \scriptsize \\[5pt]
M_K&=& \pi \cdot 0,6\,\text{m} \cdot 1,9 \,\text{m}&\quad \scriptsize \\[5pt]
M_K&\approx& 3,6 \,\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/623b4a14382bf582c076e51df90cca7472f6feb81dea4c34bf1095a06db38aa6?color=5a5a5a)
2. Schritt: Fläche der 50 Bojen berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_{\,\text{ges}}&=& 50 \cdot 3,6 \,\text{m}^2 &\quad \scriptsize \\[5pt]
A_{\,\text{ges}}&=& 180 \,\text{m}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/2132aceb1fff3e9e4aa6c778b955665bd4d4071c1df41b97bdb7cbc2442df2e2?color=5a5a5a)
3. Schritt: Benötigte Anzahl der Liter berechnen
Farbe reichen für
4. Schritt: Benötigte Anzahl der Kanister berechnen
Für 50 Bojen werden 7 Kanister an Farbe benötigt.
d)
1. Schritt: Radius berechnen
Mit den Volumengleichungen für die beiden Teilkörper folgt mit 
![\(\begin{array}[t]{rll}
V_B&=& V_{HK}+ V_K&\quad \scriptsize \\[5pt]
10,6\,\text{m}^3&=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 + \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h_K \\[5pt]
10,6\,\text{m}^3&=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 + \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot r \\[5pt]
10,6\,\text{m}^3&=& \pi\cdot r^3 \cdot \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) \\[5pt]
10,6\,\text{m}^3&=& \pi\cdot r^3 \quad \scriptsize \mid\; : \pi \\[5pt]
\dfrac{10,6\,\text{m}^3}{\pi}&=& r^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt]
\sqrt[3]{\dfrac{10,6\,\text{m}^3}{\pi} } &=& r \\[5pt]
1,5\,\text{m} &\approx & r
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/66024512088f4faeebaa331d4c350e158c80fef7e4f15b7a38c3272f7a597880?color=5a5a5a)
2. Schritt: Gesamthöhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h&=& 2 \cdot r \\[5pt]
&\approx& 2 \cdot 1,5\,\text{m} \\[5pt]
&=& 3\,\text{m}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6820fd0d6e61fc7e9c199aa5e9fffa45c820b109c4f5e2b6382f6daaae5acb1a?color=5a5a5a)