C1.1 - Lineare Algebra/Analytische Geometrie

Die Abbildung in Material 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline {AB},$ $\overline {BC}$ und $\overline {CD}$ mit $A (11\mid 11\mid 0), B(-11\mid 11\mid 28),$ $C(11\mid -11\mid 28)$ und $D(-11\mid -11\mid 0)$ besteht (Material 2). $A$ , $B$ , $C$ und $D$ sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Material 1

ni abi ea gtr 2022 aufgabe 3a saarpolygon koordinatensystem

Material 2

1.1

Begründe, dass die Punkte $B$ und $C$ symmetrisch bezüglich der $x_3$ -Achse liegen.

(2 BE)

1.2

Berechne die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

(3 BE)

Die Ebene $E$ enthält die Punkte $A$ , $B$ und $C$ , die Ebene $F$ die Punkte $B$ , $C$ und $D.$

2.1

Gib eine Gleichung der Ebene $E$ in Parameterform an.
Berechne eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: $14x_1 + 14x_2 + 11x_3 = 308$ ist eine mögliche Koordinatengleichung der Ebene $E$ .]

(4 BE)

2.2

Berechne die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1$ - $x_2$ -Ebene schneidet.
Gib einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann.

(5 BE)

2.3

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimme den Anteil des Volumens des pyramidenförmigen Teilkörpers am Volumen des Quaders, ohne die Volumina zu berechnen.

(3 BE)

3.1

Das Saarpolygon wird aus verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 1 und 2 in Material 3 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.
Gib zu jeder der beiden Abbildungen 1 und 2 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt.
Stelle das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 3

Abb. 1

Mecklenburg-Vorpommern Abi 2022 Saarpolygon Abbildung 4

Abb. 2

Material 3

(4 BE)

3.2

Der Punkt $P(0\mid 0\mid h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}, \overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand.
Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h:$

$\text{I}$	$\overrightarrow {OQ}= \pmatrix{11\\11\\0}+r\cdot \pmatrix{-22\\0\\28},$ $r\in [0;1]$
$\text{II}$	$\overrightarrow {PQ} \circ \overrightarrow {AB}=0$
$\text{III}$	$\begin{vmatrix}\overline{PQ}\\\end{vmatrix} = 28-h$

Erläutere die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

(4 BE)

Eine Drohne (unbemanntes Luftfahrzeug mit Kamera) fliegt geradlinig. Im Modell liegt ihre Flugbahn auf der Geraden $g: \overrightarrow x = \pmatrix{8\\-10\\0} + t \cdot \pmatrix{-3\\1\\4}.$
Der Parameter $t$ beschreibt die Zeit in Sekunden nach dem Start bei $t =0$ . Der Erdboden liegt im Modell in der $x_1$ - $x_2$ -Ebene.

4.1

Erläutere, warum die Drohne vom Erdboden startet und sich im Steigflug befindet.
Bestimme den Steigungswinkel der Flugbahn.

(5 BE)

4.2

Untersuche rechnerisch, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ des Saarpolygons kollidiert.

(5 BE)

4.3

Zeige rechnerisch, dass die Drohne in einer Sekunde eine Strecke von ungefähr 5,1 Metern zurücklegt, und berechne die Geschwindigkeit der Drohne in der Einheit Kilometer pro Stunde.

(4 BE)

4.4

Die Sonne scheint zu einer bestimmten Uhrzeit in Richtung des Vektors $\overrightarrow v=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -2\end{array}\right).$

4.4.1

Ermittle die Gleichung der Schattengeraden $\(g$ , auf welcher sich der Schatten der Drohne in der $x_1$ - $x_2$ -Ebene bewegt.

(4 BE)

4.4.2

Begründe, dass der Schatten der Strecke $\overline{BC}$ des Saarpolygons auf dem Erdboden genau so lang ist wie die Strecke $\overline{BC}$ selbst.

(3 BE)

4.4.3

In der Abbildung in Material 4 sind in der $x_1$ - $x_2$ -Ebene die Eckpunkte eines Trapezes $GHIJ$ sowie der Schatten des Saarpolygons dargestellt.

Material 4

Gib für jeden der Punkte $A$ , $B$ , $C$ , $D$ des Saarpolygons an, welcher der Eckpunkte des Trapezes den zugehörigen Schattenpunkt darstellt.

(4 BE)

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1.1

Sowohl die $x_1$ -Koordinaten als auch die $x_2$ -Koordinaten von $B$ und $C$ unterscheiden sich nur in ihren Vorzeichen, die $x_3$ -Koordinaten stimmen überein. Somit sind die beiden Punkte symmetrisch zur $x_3$ -Achse.

1.2

Länge der Strecke $\overline{AB}:$

$\overrightarrow{AB}=\pmatrix{-11\\11\\28}-\pmatrix{11\\11\\0}=\pmatrix{-22\\0\\28}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid\overrightarrow{AB} \mid &=& \sqrt{(-22)^2+0^2+28^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,\text{[m]} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{BC}:$

$\overrightarrow{BC}=\pmatrix{11\\-11\\28}-\pmatrix{-11\\11\\28}=\pmatrix{22\\-22\\0}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{BC} \mid &=& \sqrt{22^2+(-22)^2+0^2}&\\[5pt] &\approx& 31,1 \,\text{[m]} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{CD}:$

$\overrightarrow{CD}=\pmatrix{-11\\-11\\0}-\pmatrix{11\\-11\\28}=\pmatrix{-22\\0\\-28}$

$\begin{array}[t]{rll} \mid \overrightarrow{CD} \mid &=& \sqrt{(-22)^2+0^2+(-28)^2}&\\[5pt] &\approx& 35,6 \,\text{[m]} \end{array}$

Die Gesamtlänge des Streckenzugs beträgt somit $35,6\,\text{m}+31,1\,\text{m}+35,6\,\text{m}=102,3 \,\text{m}.$

2.1

Ebenengleichung in Parameterform

Ebenengleichung anzeigen

Ebenengleichung in Koordinatenform

Mit dem Kreuzprodukt lässt sich ein Normalenvektor von $E$ berechnen. Das Kreuzprodukt ergibt sich mit:

Rechenweg anzeigen

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{BC} =44 \cdot\pmatrix{14 \\ 14 \\ 11}$

Als Normalenvektor kann also der gekürzte Vektor $\vec{n}=\pmatrix{14\\14\\11}$ verwendet werden.

Einsetzen in die allgemeine Ebenengleichung in Koordinatenform und Durchführen einer Punktprobe beispielsweise mit $A$ ergibt:

Rechenweg anzeigen

$c = 308$

Eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform lautet also:

$E:\quad 14x_1 + 14x_2 +11x_3 = 308$

2.2

Der Winkel zwischen den beiden Ebenen ist der Betrag des Winkels zwischen zwei Normalenvektoren der Ebenen.

Ein Normalenvektor der Ebene $E$ ist $\pmatrix{14\\14\\11}$ und ein Normalenvektor der $x_1x_2-$ Ebene ist $\pmatrix{0\\0\\1}$ .

Der Winkel beträgt:

$\begin{array}[t]{rll} \cos \varphi &=& \dfrac{\left|\pmatrix{14\\14\\11} \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right|}{\left|\pmatrix{14\\14\\11}\right| \cdot \left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|} \\[5pt] \cos \varphi &\approx& \dfrac{11}{22,65} &\quad \scriptsize \mid\; \arccos \\[5pt] \varphi &=& \arccos\left(\dfrac{11}{22,65} \right)\\[5pt] \varphi &\approx& 60,94^\circ \\[5pt] \end{array}$

Die Ebene $E$ schneidet die $x_1x_2-$ Ebene folglich im Winkel $\varphi \approx 60,94^\circ.$

Da die Ebene $E$ bezüglich der $x_3-$ Achse symmetrisch zur Ebene $F$ ist, schneidet auch die Ebene $F$ die $x_1x_2-$ Ebene mit dem Winkel $\varphi.$

Die Größe des Winkels $\alpha$ zwischen der Ebene $E$ und der Ebene $F$ lässt sich somit durch folgenden Term berechnen:

$\alpha= 180^\circ - 2 \cdot \varphi$

2.3

Verhältnis der Volumina

Wird die Seitenfläche des Quaders, die $A$ und $C$ enthält, als Grundfläche, deren Flächeninhalt mit $G$ und die Länge der zugehörigen Höhe des Quaders mit $h$ bezeichnet, so hat der pyramidenförmige Teilkörper eine Grundfläche von $\dfrac{G}{2}$ und eine Höhe von $h.$

Somit hat er folgendes Volumen:

$\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{G}{2} \cdot h$ $= \dfrac{1}{6} \cdot G \cdot h$ .

Folglich hat der andere Teilkörper ein Volumen von $\dfrac{5}{6} \cdot G \cdot h$ .

Damit beträgt das gesuchte Verhältnis $1: 5 .$

3.1

Die erste Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht, also beispielsweise $\pmatrix{0\\1\\0}.$

Die zweite Abbildung zeigt eine seitliche Ansicht aus der Richtung einer Ecke, also beispielsweise $\pmatrix{1\\-1\\0}.$

Betrachtung von oben

Ansicht von oben - Schleswig-Holstein Abi 2022 (Analytische Geometrie)

3.2

$\text{I}\quad$ $Q$ ist ein Punkt auf der Strecke $\overline{AB}.$

$\text{II}\;\;$ $\overline{PQ}$ ist senkrecht zu $\overline{A B},$ also ist $\left|\overline{P Q}\right|$ der Abstand von $P$ zu $\overline{A B}.$

$\text{III}\,$ Dieser Abstand stimmt mit $28-h,$ dem Abstand von $P$ zu $\overline{B C}$ , überein.

4.1

Erläuterung

Für den Start bei $t=0$ gilt:

$\overrightarrow{x}=\pmatrix{8\\-10\\0}+0\cdot \pmatrix{-3\\1\\4}= \pmatrix{8\\-10\\0}$

Da die $x_3$ -Koordinate des Startpunkt null ist, startet die Drohne vom Erdboden aus.

Wegen der positiven $x_3$ -Koordinate des Richtungsvektors befindet sich die Drohne im Steigflug.

Steigungswinkel $\alpha$ bestimmen

Es muss der Winkel zwischen der Geraden $g$ und der $x_1x_2$ -Ebene bestimmt werden.

Ein Normalenvektor der $x_1x_2$ -Ebene ist $\pmatrix{0\\0\\1}.$

$\begin{array}[t]{rll} \sin (\alpha)&=&\dfrac{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\circ \pmatrix{-3\\1\\4} \right|}{\left|\pmatrix{0\\0\\1}\right|\cdot \left | \pmatrix{-3\\1\\4} \right| } & \\[5pt] \sin (\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{26} } & \quad \scriptsize \mid\; \arcsin \\[5pt] \alpha &\approx & 51,67^{\circ} \end{array}$

Der Steigungswinkel der Flugbahn beträgt somit etwa $51,67^{\circ}.$

4.2

Die Seitenkante $\overline{AB}$ kann durch eine Geradengleichung beschrieben werden:

$\begin{array}[t]{rll} g_{AB}: \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AB} & \\[5pt] &=&\pmatrix{11\\11\\0}+s\cdot \pmatrix{-22\\0\\28} \end{array}$

Um zu untersuchen, ob die Drohne mit der Seitenkante $\overline{AB}$ kollidiert, muss die Gerade $g$ der Flugbahn mit der Geraden $g_{AB}$ geschnitten werden.

Rechenweg anzeigen

$\pmatrix{8-3t\\-10+t\\4t}=\pmatrix{11-22s\\11\\28}$

Aus der zweiten Zeile folgt: $t=21.$

Durch Einsetzen von $t$ in die dritte Zeile folgt $4\cdot 21=28\cdot r$ und somit $r=3.$

Die beiden Geraden schneiden sich, jedoch ist $r=3$ und somit liegt der Schnittpunkt der beiden Geraden nicht auf $\overline{AB}.$

Die Drohne kollidiert also nicht mit der Seitenkante $\overline{AB}.$

4.3

Zurückgelegte Strecke S in einer Sekunde

Rechenweg anzeigen

$S \approx 5,1$

Die Drohne legt folglich in einer Sekunde ungefähr $5,1\,\text{m}$ zurück.

Geschwindigkeit berechnen

$5,1\dfrac{\,\text{m}}{\,\text{s}}= 0,0051\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{s}}$

Eine Stunde entspricht 3600 Sekunden:

$0,0051\dfrac{\,\text{km}}{\,\text{s}}\cdot 3600 = 18,36 \dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}$

Die Geschwindigkeit der Drohne beträgt somit $18,36 \dfrac{\,\text{km}}{\,\text{h}}.$

4.4.1

Da die Drohne vom Erdboden aus startet, liegt der Startpunkt der Drohne ebenfalls auf der Schattengerade $\(g$ .

Schattengerade g' anzeigen

Der Parameter $a$ muss so bestimmt werden, dass die $x_3$ -Koordinate abhängig von $t$ immer null wird:

$\begin{array}[t]{rll} 0+4t-2a&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+2a \\[5pt] 4t&=& 2a &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 2t&=& a \end{array}$

Somit ergibt sich die Schattengerade $\(g$

Rechenweg anzeigen

$\( g$

4.4.2

Da die Strecke $\overline{BC}$ parallel zur $x_1x_2$ -Ebene ist, wird diese lediglich in $x_1$ und $x_3$ Richtung verschoben, die Länge der Strecke bleibt jedoch gleich.

4.4.3

Da sich die Punkte $A$ und $D$ auf dem Erdboden befinden, entsprechen sie ihren Schattenpunkte.

Durch Vergleichen der Schattenpunkte mit der Abbildung aus Material 3 ergibt sich der Schattenpunkt $I$ für $A$ und der Schattenpunkt $G$ für $D.$

Da die Schattenstrecke $\overline{IJ}$ somit zur Strecke $\overline{AB}$ gehört, folgt für Punkt $B$ der Schattenpunkt $J$ und analog der Schattenpunkt $H$ für C.

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