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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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Drei Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bewegen sich jeweils entlang einer Geraden:
$\begin{array}{rll} A_t \text{ auf der Geraden } g_a:&\vec{a}_t=&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b:&\vec{b}_t=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c:&\vec{c}_t=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
$\begin{array}{rl} A_t \text{ auf der Geraden } g_a: \\ \vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\text{,} \\ B_t \text{ auf der Geraden } g_b: \\ \vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} \text{ und} \\ C_t \text{ auf der Geraden } g_c: \\ \vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\text{.} \end{array}$
Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden für alle $t\in\mathbb{R}$ ein Dreieck $\Delta_t$.
1.
1.1 Zeichnen Sie in das Koordinatensystem (Material 1) die drei Geraden sowie die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ ein.
(4P)
1.2 Untersuchen Sie, ob die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind.
(3P)
1.3 Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ legen für jedes $t$ eine Ebene $E_t$ fest.
Bestimmen Sie eine Ebenengleichung $E_t$ in Parameterform.
Zeigen Sie, dass alle diese Ebenen parallel zueinander sind, und bestimmen Sie den Abstand zweier beliebiger dieser Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ mit $k\in\mathbb{R}$.
(11P)
1.4 Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_t$ und untersuchen Sie, ob es einen minimalen Flächeninhalt gibt.
(4P)
2. Es sei $\varphi(t)$ der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_{0}=\vec{b}_{0}-\vec{a}_{0}$ und $\vec{u}_{t}=\vec{b}_{t}-\vec{a}_{t}$.
Bestätigen Sie, dass $f(t)=\cos\left(\varphi(t)\right)=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^{2}-t+1}}$ gilt.
Beschreiben Sie mithilfe des Graphen der Funktion $f$ sowie der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften die Bewegung der Dreiecke. Untersuchen Sie in diesem Zusammenhang auch das Verhalten für betragsmäßig große $t$-Werte.
(8P)
Material
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Tipps
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben, die die Koordinaten der Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ darstellen. Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ liegen folglich auf den Geraden und sind vom Parameter $t$ abhängig.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Zeichne die Geraden und die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Dreiecke kannst du die Eckpunkte zunächst berechnen:
Die Eckpunkte des Dreiecks $\Delta_0$ erhältst du, indem du den Parameter $t=0$ in die drei Geradengleichungen einsetzt und somit die Punkte $A_0$, $B_0$ und $C_0$ bestimmst. Wir erhalten also:
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_0=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_0=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_0(1\mid 0 \mid 0)}$, $\boldsymbol{B_0(0\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_0(0\mid 0 \mid 1)}$
Analog verfahren wir für die Eckpunkte der Dreiecke $\Delta_1$ und $\Delta_2$.
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Das Dreieck $\Delta_t$ soll nun auf Gleichseitigkeit untersucht werden. Das heißt, du musst überprüfen, ob alle Kanten unabhängig vom Parameter $t$ des Dreiecks gleich lang sind.
Die Länge einer Vektors können wir mit Hilfe des Betrags berechnen. Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\\[5pt]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Kanten bzw. Verbindungsvektoren $\overrightarrow{A_tB_t}$, $\overrightarrow{B_tC_t}$ und $\overrightarrow{A_tC_t}$.
  • Berechne den Betrag der Verbindungsvektoren.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung zur Ebene $\boldsymbol{E_t}$ in Parameterform aufstellen
Die von $t$ abhängigen Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ spannen die Ebene $E_t$ auf. Stelle die zugehörige Ebenengleichung in Parameterform auf. eine Gleichung in Parameterform hat allgemein die Form:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$
Hier entspricht $\overrightarrow{p}$ dem Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ bzw $\overrightarrow{v}$ den nicht-kollinearen Richtungsvektoren. Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, kannst du einen der Punkte als Stützvektor der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren aufstellen zu können. Wir wählen beispielsweise den Ortsvektor zum Punkt $A_t$ als Stützvektor und $A_tB_t$ bzw. $A_tC_t$ als Richtungsvektoren. Dann ergibt sich für die Parametergleichung:
$\boldsymbol{E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})}$
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass alle Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ parallel zueinander sind
Des Weiteren sollst du zeigen, dass alle Ebenen $E_t$ parallel zueinander sind. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren bis auf ein Vielfaches übereinstimmen. Ermittle also dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ der Ebenenschar $E_t$. Damit die Ebenen parallel voneinander sind, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ für jeder $t$ ein Vielfaches ergeben.
Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ orthogonal auf alle Vektoren der Ebene steht, steht er auch orthogonal auf den beiden Richtungsvektoren, die du zuvor ermittelt hast. Den Normalenvektor einer Ebene kannst du folglich mit Hilfe des Vektorproduktes ermitteln.
$\blacktriangleright$ Abstand zwischen zwei Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ und $\boldsymbol{E_{t+k}}$ bestimmen
Wir betrachten zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ für ein beliebiges $k$ aus den reelle Zahlen. Deine Aufgabe ist es, den Abstand zwischen diesen beide Ebenen in Abhängigkeit von $k$ zu bestimmen. Da du zuvor gezeigt hast, dass alle Ebenen $E_t$ zueinander parallel sind, genügt es, den Abstand von einem Punkt der Ebene $E_{t+k}$ zur Ebene $E_t$ zu bestimmen. Hier eignet sich die Hesse'sche Normalenform
Gehe dabei folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung zu $E_t$.
  • Ermittle den Abstand mit Hilfe der Hesse'schen Normalenform.
Die Hesse'sche Normalenform ist für einen Ebene $E$ mit $E: a\cdot x + b \cdot y + c \cdot z =d$ und einen Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ wie folgt gegeben:
$d(E,P)= \left|\dfrac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d}{|\vec{n}|}\right|$
Hier sind $n_{1,2,3}$ die Komponenten des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zur Ebene $E$.
1.4 $\blacktriangleright$ Berechnen des Flächeninhalts
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_t$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du über folgende Formel:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Hier beschreibt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks. Zuvor hast du aber gezeigt, dass die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind. Bei gleichseitigen Dreiecken ist jede Kante eine Grundseite und für die Höhe gilt: $h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g$. Wir können unsere Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes also folgendermaßen vereinfachen:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g =\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot g^2$
Verwende für die Grundseite einen beliebigen Kantenvektor.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann der Flächeninhalt minimal wird
Zuvor hast du den Flächeninhalt der Dreiecks $\Delta_t$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ bestimmt. Für irgendein $t$ wird dieser Flächeninhalt minimal. Deine Aufgabe ist es, ein solches $t$ zu bestimmen.
Dazu kannst du den berechneten Flächeninhalt als eine neue Funktion $h(t)$ interpretieren:
$ \boldsymbol{h(t)=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1)}{2}} $
Setzt du in diese Funktionsterm verschiedene Werte für $t$ ein, so erhältst du den zugehörigen Flächeninhalt zum Dreieck $\Delta_t$. Um nun herauszufinden, für welches $t$ dieser minimal wird, müssen wir die Funktion $h(t)$ auf Minima untersuchen.
Für das Minimum $t_M$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{h'(t_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{h''(t_M)>0}$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Überprüfe die notwendige Bedingung für die Funktion $h$.
  • Überprüfe die hinreichende Bedingung für die Funktion $h$.
  • Berechne den minimale Flächeninhalt.
2. $\blacktriangleright$ Bestätigen, dass $\boldsymbol{f(t)=\cos(\phi(t))}$ gilt
Bei dieser Aufgabe hast du die Funktion $f$ gegeben, mit:
$ \boldsymbol{ f(t)=\cos(\phi(t))=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} }$
Hier sollst du bestätigen, dass die Funktion $f$ den Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ beschreibt. Die Vektoren $u_0$ und $u_t$ sind wie folgt definiert:
  • $u_0=b_0-a_0$ und
  • $u_t=b_t-a_t$.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $u_0$ und $u_t$ kannst du berechnen mit:
$\boldsymbol{\cos(\phi(t))=\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{|\vec{u}_0|\cdot|\vec{u}_t|}}$
Um zu zeigen, dass die gegebene Funktion $f$ mit dem Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ übereinstimmt, kannst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  • Stelle die Vektoren $u_0$ und $u_t$ auf.
  • Setzte diese anschließend in die Formel zur Berechnung eines Winkels ein.
$\blacktriangleright$ Bewegung der Dreiecke beschreiben
Zum Schluss sollst du die Bewegung der Dreiecke mit Hilfe des Graphen zur Funktion $f$ und der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften der Dreiecke beschreiben.
Hier kannst du dabei so vorgehen:
  • Erstelle eine Zeichnung des Graphen zur Funktion $f$ mit Hilfe deines CAS.
  • Interpretiere den Graphen von $f$ im Sachzusammenhang, gehe hierbei insbesondere auf betragsmäßig große Werte für $t$ ein.
  • Fasse die Ergebnisse aus der Aufgabe 1.3 zusammen.
  • Verwende die Ergebnisse aus 1.3 für die Beschreibung.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben, die die Koordinaten der Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ darstellen. Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ liegen folglich auf den Geraden und sind vom Parameter $t$ abhängig.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Zeichne die Geraden und die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Dreiecke kannst du die Eckpunkte zunächst berechnen:
Die Eckpunkte des Dreiecks $\Delta_0$ erhältst du, indem du den Parameter $t=0$ in die drei Geradengleichungen einsetzt und somit die Punkte $A_0$, $B_0$ und $C_0$ bestimmst. Wir erhalten also:
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_0=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_0=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_0(1\mid 0 \mid 0)}$, $\boldsymbol{B_0(0\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_0(0\mid 0 \mid 1)}$
Analog verfahren wir für die Eckpunkte der Dreiecke $\Delta_1$ und $\Delta_2$:
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_1(1\mid 0 \mid 1)}$, $\boldsymbol{B_1(1\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_1(0\mid 1 \mid 1)}$
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_2=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_2(1\mid 0 \mid 2)}$, $\boldsymbol{B_2(2\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_2(0\mid 2 \mid 1)}$
Mit Hilfe der Koordinaten und der Geradengleichungen kannst du nun diese in das Koordinatensystem eintragen.
B1 - Analytische Geometrie
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1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Das Dreieck $\Delta_t$ soll nun auf Gleichseitigkeit untersucht werden. Das heißt, du musst überprüfen, ob alle Kanten unabhängig vom Parameter $t$ des Dreiecks gleich lang sind.
Die Länge einer Vektors können wir mit Hilfe des Betrags berechnen. Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\\[5pt]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Kanten bzw. Verbindungsvektoren $\overrightarrow{A_tB_t}$, $\overrightarrow{B_tC_t}$ und $\overrightarrow{A_tC_t}$.
  • Berechne den Betrag der Verbindungsvektoren.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
Du kannst die Verbindungsvektoren aufstellen, indem du die Differenz der jeweiligen Geradengleichungen bildest:
$\begin{array}{rlll} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beträge der Verbindungsvektoren berechnen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Du kannst die Beträge der Vektoren mit Hilfe des CAS bestimmen. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
$\texttt{menu } \to 7 \to 7 \to 1$
Gib die Verbindungsvektoren an und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das CAS liefert dir, dass die Beträge aller Verbindungsvektoren
$\boldsymbol{\sqrt{2 \cdot (t^2-t+1)}}$
betragen. Damit sind alle Seiten gleich lang und du hast gezeigt, dass Gleichseitigkeit vorliegt.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung zur Ebene $\boldsymbol{E_t}$ in Parameterform aufstellen
Die von $t$ abhängigen Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ spannen die Ebene $E_t$ auf. Stelle die zugehörige Ebenengleichung in Parameterform auf. eine Gleichung in Parameterform hat allgemein die Form:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$
Hier entspricht $\overrightarrow{p}$ dem Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ bzw $\overrightarrow{v}$ den nicht-kollinearen Richtungsvektoren. Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, kannst du einen der Punkte als Stützvektor der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren aufstellen zu können. Wir wählen beispielsweise den Ortsvektor zum Punkt $A_t$ als Stützvektor und $A_tB_t$ bzw. $A_tC_t$ als Richtungsvektoren. Dann ergibt sich für die Parametergleichung:
$\boldsymbol{E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})}$
Einsetzen der Geradengleichungen zu $A_t$, $B_t$ und $C_t$ liefert die Gleichung der Ebene $E_t$:
$\begin{array}{rl} E_t:\quad\vec{x}=&\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}) \\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+ r \cdot \left[\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\right] \\ &+ s \cdot \left[ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} - \left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\right] \\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+ r \cdot \left[\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \right] + s \cdot \left[ \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass alle Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ parallel zueinander sind
Des Weiteren sollst du zeigen, dass alle Ebenen $E_t$ parallel zueinander sind. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren bis auf ein Vielfaches übereinstimmen. Ermittle also dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ der Ebenenschar $E_t$. Damit die Ebenen parallel voneinander sind, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ für jeder $t$ ein Vielfaches ergeben.
Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ orthogonal auf alle Vektoren der Ebene steht, steht er auch orthogonal auf den beiden Richtungsvektoren, die du zuvor ermittelt hast. Den Normalenvektor einer Ebene kannst du folglich mit Hilfe des Vektorproduktes ermitteln.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Den Befehl $\texttt{crossP()}$ für das Vektorprodukt findest du im CAS unter
$\texttt{menu} \to 7 \to C \to 2$
Gib die beiden Richtungsvektoren an und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das CAS liefert dir folgenden Normalenvektor:
$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
Die $x$-,$y$- und $z$-Koordinaten des Normalenvektors sind für alle eingesetzten Parameter identisch. Die Normalenvektoren $\vec{n}_t$ sind somit Vielfache voneinander. Daraus folgt, dass die Ebenen parallel zueinander sind.
$\blacktriangleright$ Abstand zwischen zwei Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ und $\boldsymbol{E_{t+k}}$ bestimmen
Wir betrachten zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ für ein beliebiges $k$ aus den reelle Zahlen. Deine Aufgabe ist es, den Abstand zwischen diesen beide Ebenen in Abhängigkeit von $k$ zu bestimmen. Da du zuvor gezeigt hast, dass alle Ebenen $E_t$ zueinander parallel sind, genügt es, den Abstand von einem Punkt der Ebene $E_{t+k}$ zur Ebene $E_t$ zu bestimmen. Hier eignet sich die Hesse'sche Normalenform
Gehe dabei folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung zu $E_t$.
  • Ermittle den Abstand mit Hilfe der Hesse'schen Normalenform.
Die Hesse'sche Normalenform ist für einen Ebene $E$ mit $E: a\cdot x + b \cdot y + c \cdot z =d$ und einen Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ wie folgt gegeben:
$d(E,P)= \left|\dfrac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d}{|\vec{n}|}\right|$
Hier sind $n_{1,2,3}$ die Komponenten des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zur Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Koordinatenform der Ebene $\boldsymbol{E_t}$ aufstellen
Stelle zunächst die Koordinatenform der Ebene $E_t$ auf, um die Hesse'sche Normalenform verwenden zu können:
$\begin{array}{rl} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3=d \\ &\Longleftrightarrow\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=d \end{array}$
Um den Parameter$d$ zu erhalten, setzt du nun einen Punkt, der garantiert in der Ebene liegt, in die Koordinatengleichung ein. Hier bieten sich beispielsweise die Koordinaten des Stützvektors an.
Einsetzen von $(1 \mid 0 \mid t)$ liefert:
$\begin{array}{rll} E_t:=& (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)&\scriptsize \text{einsetzen} \\ =&(t^2-t+1)\cdot(1+0+t) \\ =&t^2-t+1 + t^3-t^2+t \\ =&t^3+1 \end{array}$
Die Koordinatengleichung zur Ebene $E_t$ lautet also:
$E_t:\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=t^3+1$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Abstand mit Hilfe der Hesse'schen Normalenform bestimmen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Den Normalenvektor der Ebene $E_t$ hast du zuvor ermittelt mit:
$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
Da wir weiterhin den Betrag von diesem benötigen, rechnen wir:
$|\vec{n}|=\sqrt{3\cdot(t^2-t+1)^2}=\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)$
Daraus ergibt sich nun die Hesse'sche Normalenform:
$d(E_t,P)=\left|\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right|$
Um den Abstand zweier Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ zu berechnen, musst du jetzt einen Punkt, der auf $E_{t+k}$ liegt, in die HNF von $E_t$ einsetzen. Ein solcher Punkt bildet sich aus den Koordinaten des Stützvektors von $E_{t+k}$.
Du kannst den Punkt $\boldsymbol{P(1\mid0\mid t+k)}$ wählen und ihn einsetzen:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(1+0+t+k)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{t^2+t^3+kt^2-t-t^2-tk+1+t+k-t^3-1}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot(t^2-t+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot \sqrt{3}}{3}\right| \end{array}$
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Der Abstand zwischen den Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt $\boldsymbol{\left|\frac{k\cdot \sqrt{3}}{3}\right|}$.
1.4 $\blacktriangleright$ Berechnen des Flächeninhalts
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_t$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du über folgende Formel:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Hier beschreibt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks. Zuvor hast du aber gezeigt, dass die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind. Bei gleichseitigen Dreiecken ist jede Kante eine Grundseite und für die Höhe gilt: $h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g$. Wir können unsere Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes also folgendermaßen vereinfachen:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g =\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot g^2$
Verwende für die Grundseite einen beliebigen Kantenvektor.
Wir wollen die Rechnung hier für $g=\overrightarrow{A_tB_t}$ zeigen. Wir stellen diesen wie folgt auf:
$g=\overrightarrow{A_tB_t}=\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Verwende im Folgenden das CAS. Gib die aufgestellte Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks an und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das CAS liefert dir, dass der Flächeninhalt
$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1)}{2}}$
beträgt.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann der Flächeninhalt minimal wird
Zuvor hast du den Flächeninhalt der Dreiecks $\Delta_t$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ bestimmt. Für irgendein $t$ wird dieser Flächeninhalt minimal. Deine Aufgabe ist es, ein solches $t$ zu bestimmen.
Dazu kannst du den berechneten Flächeninhalt als eine neue Funktion $h(t)$ interpretieren:
$ \boldsymbol{h(t)=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1)}{2}} $
Setzt du in diese Funktionsterm verschiedene Werte für $t$ ein, so erhältst du den zugehörigen Flächeninhalt zum Dreieck $\Delta_t$. Um nun herauszufinden, für welches $t$ dieser minimal wird, müssen wir die Funktion $h(t)$ auf Minima untersuchen.
Für das Minimum $t_M$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{h'(t_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{h''(t_M)>0}$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Überprüfe die notwendige Bedingung für die Funktion $h$.
  • Überprüfe die hinreichende Bedingung für die Funktion $h$.
  • Berechne den minimale Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Minimalstelle der Funktion $h$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $h$.
B1 - Analytische Geometrie
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Den Term der ersten Ableitungsfunktion $h'$
kannst du wie folgt bestimmen:
$\texttt{menu \( \to \) 4: Analysis \( \to \) 1: Ableitung}$
Für die notwendige Bedingung einer Minimalstelle muss $\boldsymbol{h(t_M)=0}\;$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $h'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
Den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle findest du weiterhin unter:
$\texttt{menu \( \to \) 3: Algebra \( \to \) 1: Löse}$
Das CAS liefert dir eine potentielle Minimalstelle an $\;\boldsymbol{t_{M}=\frac{1}{2}}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Damit eine Minimalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung
$\boldsymbol{h''(x_M)> 0}$
erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $h$.
Diese erhältst du, indem du den Term von $h'$ erneut ableitest.
Setze die potentielle Minimalstelle anschließend in den Term der zweiten Ableitung ein und überprüfe.
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung für $t_M=\frac{1}{2}$ erfüllt ist und damit, dass dort ein Minimum vorliegt.
Für $\;\boldsymbol{t=\frac{1}{2}}$ hat das Dreieck $\Delta_{\frac{1}{2}}$ minimalen Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Minimalen Flächeninhalt angeben
B1 - Analytische Geometrie
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Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass an der Stelle $t_M=\frac{1}{2}$ der Flächeninhalt minimal wird. Den vollständigen Wert erhältst du, indem du $t_M$ in den Funktionsterm von $h$ einsetzt und berechnest:
Gib dazu $h(t_{M}=\frac{1}{2})$ im CAS ein und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das Dreieck $\Delta_{\frac{1}{2}}$ hat den geringsten Flächeninhalt mit $\;\boldsymbol{\dfrac{3 \cdot \sqrt{3}}{8}}$ FE.
2. $\blacktriangleright$ Bestätigen, dass $\boldsymbol{f(t)=\cos(\phi(t))}$ gilt
Bei dieser Aufgabe hast du die Funktion $f$ gegeben, mit:
$ \boldsymbol{ f(t)=\cos(\phi(t))=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} }$
Hier sollst du bestätigen, dass die Funktion $f$ den Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ beschreibt. Die Vektoren $u_0$ und $u_t$ sind wie folgt definiert:
  • $u_0=b_0-a_0$ und
  • $u_t=b_t-a_t$.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $u_0$ und $u_t$ kannst du berechnen mit:
$\boldsymbol{\cos(\phi(t))=\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{|\vec{u}_0|\cdot|\vec{u}_t|}}$
Um zu zeigen, dass die gegebene Funktion $f$ mit dem Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ übereinstimmt, kannst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  • Stelle die Vektoren $u_0$ und $u_t$ auf.
  • Setzte diese anschließend in die Formel zur Berechnung eines Winkels ein.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{u_o}$ und $\boldsymbol{u_t}$ aufstellen
Um $u_0$ zu berechnen, kannst du in die Gleichung der Geraden $g_a$ und $g_b$ für $t$ den Wert 0 einsetzen und danach $b_0-a_0$ berechnen:
$\vec{u}_0$$=b_0-a_0 $$= \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $$=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
Um den Vektor $u_t$ zu berechnen kannst du ähnlich vorgehen. Subtrahiere dafür die Vektoren, die sich für $t = t$ aus Gerade $g_a$ und Gerade $g_b$ ergeben:
$\vec{u}_t$$=\vec{b}_t-\vec{a}_t$$=g_b-g_a$$=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-1+t\\1\\t\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Winkel zwischen $\boldsymbol{u_o}$ und $\boldsymbol{u_t}$ berechnen
Da du die Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ aufgestellt hast, kannst du sie in die allgemeine Formel einsetzen:
$\begin{array}{rl} f(t)=&\cos(\phi(t))\;= \;\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{\left|\vec{u}_0\right|\cdot\left|\vec{u}_t\right|}\ \\ =&\dfrac{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2 +0^2}\cdot\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2}} \\ =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2t^2-2t+2}} \\ =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \\ =&\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \\ =&f(t) \end{array}$
Dieses Resultat stimmt mit dem Term der Funktion $f$ überein. Damit hast du die Behauptung aus dem Aufgabentext gezeigt.
$\blacktriangleright$ Bewegung der Dreiecke beschreiben
Zum Schluss sollst du die Bewegung der Dreiecke mit Hilfe des Graphen zur Funktion $f$ und der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften der Dreiecke beschreiben.
Hier kannst du dabei so vorgehen:
  • Erstelle eine Zeichnung des Graphen zur Funktion $f$ mit Hilfe deines CAS.
  • Interpretiere den Graphen von $f$ im Sachzusammenhang, gehe hierbei insbesondere auf betragsmäßig große Werte für $t$ ein.
  • Fasse die Ergebnisse aus der Aufgabe 1.3 zusammen.
  • Verwende die Ergebnisse aus 1.3 für die Beschreibung.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Graph der Funktion $\boldsymbol{f}$ interpretieren
Um den Graphen zur Funktion $f$ zu interpretieren, solltest du eine Zeichnung des Graphen von $f$ erstellen. Als Hilfe kannst du dein CAS benutzen. Gib im $\texttt{Graph}$-Modus den Funktionsterm $f(t)$ ein.
Achte darauf, dass du nicht $\texttt{RADIAN}$ sonder $\texttt{DEGREE}$ eingestellt hast, da du bei dieser Aufgabe Winkel berechnest.
Du siehst, dass sich der Graph zwei Grenzwerte annähert. Mithilfe der Wertetabelle kannst du die Grenzwerte des Graphen von $f$ näherungsweise bestimmen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Jetzt kannst du dir eine Skizze des Graphen von $f$ zeichnen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Für große, negative $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ von dem Wert 60 an. Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass für negative $t$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als $60°$ wird.
Für große, positive $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ dem Wert 120 an. Das bedeutet, dass für positive $t$-Werte der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als $120°$ wird.
Wenn du dir nun die Bewegung der Dreiecke anschaust, so kannst du erkennen, dass die Dreiecke im Uhrzeigersinn rotieren. Dies kannst du auch gut in dem Schaubild der Aufgabe 1.2 erkennen. Der Vektor $\vec{u}_0$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene. Der Vektor $\vec{u}_1$ ist im Vergleich zum Vektor $\vec{u}_0$ nach rechts gedreht.
  • Für größer werdende negative $t$ rotieren die Dreiecke im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich $60°$ an.
  • Für größer werdende positive $t$ rotieren die Dreiecke ebenfalls im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich nähert sich $120°$ an.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Ergebnisse der Aufgabe 1.3 zur Beschreibung verwenden
In der Aufgabe 1.3 hast du über die Bewegung der Dreiecke folgendes herausgefunden:
  • Die Dreiecke $\Delta_t$ sind alle parallel zueinander.
  • Der Abstand zwischen den Dreiecken wird immer größer: $d=\left|\frac{k \cdot \sqrt{3}}{3}\right|$
Für die Bewegung der Dreieck kannst du dann folgendes annehmen:
Die Dreiecke rotieren für größer werdende $t$ im Uhrzeigersinn um den Vektor $\vec{u_0}$, sind parallel und der Abstand zwischen den Dreiecken wird für größer werdende $t$ ebenfalls immer größer.
Außerdem wird der Rotationswinkel für größer werdende negative $t$ größer und nähert sich $60°$ an und für größer werdende positive $t$ wird er ebenfalls größer und nähert sich $120°$ an.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$ Geraden und Dreiecke in Koordinatensystem einzeichnen
Du hast drei Geraden $g_a$, $g_b$ und $g_c$ gegeben, die die Koordinaten der Punkten $A_t$, $B_t$ und $C_t$ darstellen. Die Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ liegen folglich auf den Geraden und sind vom Parameter $t$ abhängig.
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_t=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_t=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_t=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
$A_t$, $B_t$ und $C_t$ bilden Dreiecke $\Delta_t$.
Zeichne die Geraden und die Dreiecke $\Delta_0$, $\Delta_1$ und $\Delta_2$ in ein Koordinatensystem ein.
Für die Dreiecke kannst du die Eckpunkte zunächst berechnen:
Die Eckpunkte des Dreiecks $\Delta_0$ erhältst du, indem du den Parameter $t=0$ in die drei Geradengleichungen einsetzt und somit die Punkte $A_0$, $B_0$ und $C_0$ bestimmst. Wir erhalten also:
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_0=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_0=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_0=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_0(1\mid 0 \mid 0)}$, $\boldsymbol{B_0(0\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_0(0\mid 0 \mid 1)}$
Analog verfahren wir für die Eckpunkte der Dreiecke $\Delta_1$ und $\Delta_2$:
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+1\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_1(1\mid 0 \mid 1)}$, $\boldsymbol{B_1(1\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_1(0\mid 1 \mid 1)}$
  • $g_a$:$\quad$$\vec{a}_2=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_b$:$\quad$$\vec{b}_2=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}\\[5pt]$
  • $g_c$:$\quad$$\vec{c}_2=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}\\[5pt]$
Wir erhalten die drei Eckpunkte: $\boldsymbol{A_2(1\mid 0 \mid 2)}$, $\boldsymbol{B_2(2\mid 1 \mid 0)}$ und $\boldsymbol{C_2(0\mid 2 \mid 1)}$
Mit Hilfe der Koordinaten und der Geradengleichungen kannst du nun diese in das Koordinatensystem eintragen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
1.2 $\blacktriangleright$ Dreieck $\boldsymbol \Delta_t$ auf Gleichseitigkeit untersuchen
Das Dreieck $\Delta_t$ soll nun auf Gleichseitigkeit untersucht werden. Das heißt, du musst überprüfen, ob alle Kanten unabhängig vom Parameter $t$ des Dreiecks gleich lang sind.
Die Länge einer Vektors können wir mit Hilfe des Betrags berechnen. Der Betrag eines Vektors $\vec{v}=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}\\[5pt]$ berechnet sich mit folgender Formel:
$|\vec{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$
Du kannst also folgendermaßen vorgehen:
  • Bestimme die Kanten bzw. Verbindungsvektoren $\overrightarrow{A_tB_t}$, $\overrightarrow{B_tC_t}$ und $\overrightarrow{A_tC_t}$.
  • Berechne den Betrag der Verbindungsvektoren.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Verbindungsvektoren berechnen
Du kannst die Verbindungsvektoren aufstellen, indem du die Differenz der jeweiligen Geradengleichungen bildest:
$\begin{array}{rlll} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t}&=&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ &&=&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overrightarrow{A_tB_t}=&\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{A_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\ \overrightarrow{B_tC_t}=&\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{b_t} \\ =&\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right) \\ =&\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Beträge der Verbindungsvektoren berechnen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Du kannst die Beträge der Vektoren mit Hilfe des CAS bestimmen. Den entsprechenden Befehl findest du unter:
$\texttt{Interactive } \to \texttt{Vector } \to \texttt{norm}$
Gib die Verbindungsvektoren an und bestätige mit $\texttt{EXE}$.
Das CAS liefert dir, dass die Beträge aller Verbindungsvektoren
$\boldsymbol{\sqrt{2 \cdot (t^2-t+1)}}$
betragen. Damit sind alle Seiten gleich lang und du hast gezeigt, dass Gleichseitigkeit vorliegt.
1.3 $\blacktriangleright$ Ebenengleichung zur Ebene $\boldsymbol{E_t}$ in Parameterform aufstellen
Die von $t$ abhängigen Punkte $A_t$, $B_t$ und $C_t$ spannen die Ebene $E_t$ auf. Stelle die zugehörige Ebenengleichung in Parameterform auf. eine Gleichung in Parameterform hat allgemein die Form:
$E: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{p} + r \cdot \overrightarrow{u} +s \cdot \overrightarrow{v}$
Hier entspricht $\overrightarrow{p}$ dem Stützvektor und $\overrightarrow{u}$ bzw $\overrightarrow{v}$ den nicht-kollinearen Richtungsvektoren. Um aus den Punkten eine Ebenengleichung aufzustellen, kannst du einen der Punkte als Stützvektor der Ebene auswählen, um mit diesem und den anderen Punkten dann die Richtungsvektoren aufstellen zu können. Wir wählen beispielsweise den Ortsvektor zum Punkt $A_t$ als Stützvektor und $A_tB_t$ bzw. $A_tC_t$ als Richtungsvektoren. Dann ergibt sich für die Parametergleichung:
$\boldsymbol{E_t:\quad \vec{x}=\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t})}$
Einsetzen der Geradengleichungen zu $A_t$, $B_t$ und $C_t$ liefert die Gleichung der Ebene $E_t$:
$\begin{array}{rl} E_t:\quad\vec{x}=&\overrightarrow{OA_t}+r\cdot(\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t})+s\cdot(\overrightarrow{c_t}-\overrightarrow{a_t}) \\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+ r \cdot \left[\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} - \left( \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\right] \\ &+ s \cdot \left[ \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} - \left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \right)\right] \\[5pt] =&\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}+ r \cdot \left[\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} \right] + s \cdot \left[ \begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\right] \end{array}$
$\blacktriangleright$ Zeigen, dass alle Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ parallel zueinander sind
Des Weiteren sollst du zeigen, dass alle Ebenen $E_t$ parallel zueinander sind. Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren bis auf ein Vielfaches übereinstimmen. Ermittle also dazu den Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ der Ebenenschar $E_t$. Damit die Ebenen parallel voneinander sind, muss der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ für jeder $t$ ein Vielfaches ergeben.
Da der Normalenvektor $\overrightarrow{n_t}$ orthogonal auf alle Vektoren der Ebene steht, steht er auch orthogonal auf den beiden Richtungsvektoren, die du zuvor ermittelt hast. Den Normalenvektor einer Ebene kannst du folglich mit Hilfe des Vektorproduktes ermitteln.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Den Befehl $\texttt{crossP()}$ für das Vektorprodukt findest du im CAS unter
$\texttt{Interactive } \to \texttt{Vector } \to \texttt{crossP}$
Gib die beiden Richtungsvektoren an und bestätige mit $\texttt{EXE}$.
Das CAS liefert dir folgenden Normalenvektor:
$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
Die $x$-,$y$- und $z$-Koordinaten des Normalenvektors sind für alle eingesetzten Parameter identisch. Die Normalenvektoren $\vec{n}_t$ sind somit Vielfache voneinander. Daraus folgt, dass die Ebenen parallel zueinander sind.
$\blacktriangleright$ Abstand zwischen zwei Ebenen $\boldsymbol{E_t}$ und $\boldsymbol{E_{t+k}}$ bestimmen
Wir betrachten zwei Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ für ein beliebiges $k$ aus den reelle Zahlen. Deine Aufgabe ist es, den Abstand zwischen diesen beide Ebenen in Abhängigkeit von $k$ zu bestimmen. Da du zuvor gezeigt hast, dass alle Ebenen $E_t$ zueinander parallel sind, genügt es, den Abstand von einem Punkt der Ebene $E_{t+k}$ zur Ebene $E_t$ zu bestimmen. Hier eignet sich die Hesse'sche Normalenform
Gehe dabei folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Koordinatenform der Ebenengleichung zu $E_t$.
  • Ermittle den Abstand mit Hilfe der Hesse'schen Normalenform.
Die Hesse'sche Normalenform ist für einen Ebene $E$ mit $E: a\cdot x + b \cdot y + c \cdot z =d$ und einen Punkt $P(p_1 \mid p_2 \mid p_3)$ wie folgt gegeben:
$d(E,P)= \left|\dfrac{n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d}{|\vec{n}|}\right|$
Hier sind $n_{1,2,3}$ die Komponenten des Normalenvektors $\overrightarrow{n}$ zur Ebene $E$.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Koordinatenform der Ebene $\boldsymbol{E_t}$ aufstellen
Stelle zunächst die Koordinatenform der Ebene $E_t$ auf, um die Hesse'sche Normalenform verwenden zu können:
$\begin{array}{rl} E_t:&(t^2-t+1)x_1+(t^2-t+1)x_2+(t^2-t+1)x_3=d \\ &\Longleftrightarrow\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=d \end{array}$
Um den Parameter$d$ zu erhalten, setzt du nun einen Punkt, der garantiert in der Ebene liegt, in die Koordinatengleichung ein. Hier bieten sich beispielsweise die Koordinaten des Stützvektors an.
Einsetzen von $(1 \mid 0 \mid t)$ liefert:
$\begin{array}{rll} E_t:=& (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)&\scriptsize \text{einsetzen} \\ =&(t^2-t+1)\cdot(1+0+t) \\ =&t^2-t+1 + t^3-t^2+t \\ =&t^3+1 \end{array}$
Die Koordinatengleichung zur Ebene $E_t$ lautet also:
$E_t:\quad (t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)=t^3+1$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Abstand mit Hilfe der Hesse'schen Normalenform bestimmen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Den Normalenvektor der Ebene $E_t$ hast du zuvor ermittelt mit:
$\overrightarrow{n_t}= \begin{pmatrix}t^2-t+1\\t^2-t+1\\t^2-t+1\end{pmatrix}$
Da wir weiterhin den Betrag von diesem benötigen, rechnen wir:
$|\vec{n}|=\sqrt{3\cdot(t^2-t+1)^2}=\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)$
Daraus ergibt sich nun die Hesse'sche Normalenform:
$d(E_t,P)=\left|\dfrac{n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3-d}{|\vec{n}|}\right|=\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(x_1+x_2+x_3)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right|$
Um den Abstand zweier Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ zu berechnen, musst du jetzt einen Punkt, der auf $E_{t+k}$ liegt, in die HNF von $E_t$ einsetzen. Ein solcher Punkt bildet sich aus den Koordinaten des Stützvektors von $E_{t+k}$.
Du kannst den Punkt $\boldsymbol{P(1\mid0\mid t+k)}$ wählen und ihn einsetzen:
$\begin{array}{rl} d(E_t,P)=&\left|\dfrac{(t^2-t+1)\cdot(1+0+t+k)-(t^3+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{t^2+t^3+kt^2-t-t^2-tk+1+t+k-t^3-1}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot(t^2-t+1)}{\sqrt{3}\cdot(t^2-t+1)}\right| \\ =&\left|\dfrac{k\cdot \sqrt{3}}{3}\right| \end{array}$
Der Abstand zwischen den Ebenen $E_t$ und $E_{t+k}$ beträgt $\boldsymbol{\left|\frac{k\cdot \sqrt{3}}{3}\right|}$.
1.4 $\blacktriangleright$ Berechnen des Flächeninhalts
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_t$. Den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest du über folgende Formel:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot h$
Hier beschreibt $g$ die Länge der Grundseite und $h$ die Höhe des Dreiecks. Zuvor hast du aber gezeigt, dass die Dreiecke $\Delta_t$ gleichseitig sind. Bei gleichseitigen Dreiecken ist jede Kante eine Grundseite und für die Höhe gilt: $h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g$. Wir können unsere Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes also folgendermaßen vereinfachen:
$A= \frac{1}{2}\cdot g \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot g =\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot g^2$
Verwende für die Grundseite einen beliebigen Kantenvektor.
Wir wollen die Rechnung hier für $g=\overrightarrow{A_tB_t}$ zeigen. Wir stellen diesen wie folgt auf:
$g=\overrightarrow{A_tB_t}=\overrightarrow{b_t}-\overrightarrow{a_t}=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Verwende im Folgenden das CAS. Gib die aufgestellte Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks an und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das CAS liefert dir, dass der Flächeninhalt
$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}\cdot ((t-1)^2+t^2+1)}{4}=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1)}{2}}$
beträgt.
$\blacktriangleright$ Bestimmen, wann der Flächeninhalt minimal wird
Zuvor hast du den Flächeninhalt der Dreiecks $\Delta_t$ in Abhängigkeit vom Parameter $t$ bestimmt. Für irgendein $t$ wird dieser Flächeninhalt minimal. Deine Aufgabe ist es, ein solches $t$ zu bestimmen.
Dazu kannst du den berechneten Flächeninhalt als eine neue Funktion $h(t)$ interpretieren:
$ \boldsymbol{h(t)=\dfrac{\sqrt{3}\cdot (t^2-t+1)}{2}} $
Setzt du in diese Funktionsterm verschiedene Werte für $t$ ein, so erhältst du den zugehörigen Flächeninhalt zum Dreieck $\Delta_t$. Um nun herauszufinden, für welches $t$ dieser minimal wird, müssen wir die Funktion $h(t)$ auf Minima untersuchen.
Für das Minimum $t_M$ einer Funktion $h$ müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:
  • Notwendige Bedingung: $\boldsymbol{h'(t_M)=0}$
  • Hinreichende Bedingung: $\boldsymbol{h''(t_M)>0}$
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  • Überprüfe die notwendige Bedingung für die Funktion $h$.
  • Überprüfe die hinreichende Bedingung für die Funktion $h$.
  • Berechne den minimale Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Minimalstelle der Funktion $h$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $h$.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Den Term der ersten Ableitungsfunktion $h'$
kannst du wie folgt bestimmen:
$\texttt{Interactive $ \to $ Calculation $ \to $ diff}$
Für die notwendige Bedingung einer Minimalstelle muss $\boldsymbol{h(t_M)=0}\;$ gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung $h'$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
Den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle findest du weiterhin unter:
$\texttt{Interactive $ \to $ Advanced $ \to $ solve}$
Das CAS liefert dir eine potentielle Minimalstelle an $\;\boldsymbol{t_{M}=\frac{1}{2}}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Damit eine Minimalstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung
$\boldsymbol{h''(x_M)> 0}$
erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $h$.
Diese erhältst du, indem du den Term von $h'$ erneut ableitest.
Setze die potentielle Minimalstelle anschließend in den Term der zweiten Ableitung ein und überprüfe.
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung für $t_M=\frac{1}{2}$ erfüllt ist und damit, dass dort ein Minimum vorliegt.
Für $\;\boldsymbol{t=\frac{1}{2}}$ hat das Dreieck $\Delta_{\frac{1}{2}}$ minimalen Flächeninhalt.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Minimalen Flächeninhalt angeben
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass an der Stelle $t_M=\frac{1}{2}$ der Flächeninhalt minimal wird. Den vollständigen Wert erhältst du, indem du $t_M$ in den Funktionsterm von $h$ einsetzt und berechnest:
Gib dazu $h(t_{M}=\frac{1}{2})$ im CAS ein und bestätige mit $\texttt{Enter}$.
Das Dreieck $\Delta_{\frac{1}{2}}$ hat den geringsten Flächeninhalt mit $\;\boldsymbol{\dfrac{3 \cdot \sqrt{3}}{8}}$ FE.
2. $\blacktriangleright$ Bestätigen, dass $\boldsymbol{f(t)=\cos(\phi(t))}$ gilt
Bei dieser Aufgabe hast du die Funktion $f$ gegeben, mit:
$ \boldsymbol{ f(t)=\cos(\phi(t))=\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} }$
Hier sollst du bestätigen, dass die Funktion $f$ den Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ beschreibt. Die Vektoren $u_0$ und $u_t$ sind wie folgt definiert:
  • $u_0=b_0-a_0$ und
  • $u_t=b_t-a_t$.
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $u_0$ und $u_t$ kannst du berechnen mit:
$\boldsymbol{\cos(\phi(t))=\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{|\vec{u}_0|\cdot|\vec{u}_t|}}$
Um zu zeigen, dass die gegebene Funktion $f$ mit dem Winkel zwischen $u_0$ und $u_t$ übereinstimmt, kannst du nach folgenden Schritten vorgehen:
  • Stelle die Vektoren $u_0$ und $u_t$ auf.
  • Setzte diese anschließend in die Formel zur Berechnung eines Winkels ein.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol{u_o}$ und $\boldsymbol{u_t}$ aufstellen
Um $u_0$ zu berechnen, kannst du in die Gleichung der Geraden $g_a$ und $g_b$ für $t$ den Wert 0 einsetzen und danach $b_0-a_0$ berechnen:
$\vec{u}_0$$=b_0-a_0 $$= \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+0\cdot\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} $$=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$
Um den Vektor $u_t$ zu berechnen kannst du ähnlich vorgehen. Subtrahiere dafür die Vektoren, die sich für $t = t$ aus Gerade $g_a$ und Gerade $g_b$ ergeben:
$\vec{u}_t$$=\vec{b}_t-\vec{a}_t$$=g_b-g_a$$=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot\left(\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right)$$=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$$=\begin{pmatrix}-1+t\\1\\t\end{pmatrix}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Winkel zwischen $\boldsymbol{u_o}$ und $\boldsymbol{u_t}$ berechnen
Da du die Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ aufgestellt hast, kannst du sie in die allgemeine Formel einsetzen:
$\begin{array}{rl} f(t)=&\cos(\phi(t))\;= \;\dfrac{\vec{u}_0\cdot\vec{u}_t}{\left|\vec{u}_0\right|\cdot\left|\vec{u}_t\right|}\ \\ =&\dfrac{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1+t\\1\\-t\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2 +0^2}\cdot\sqrt{(-1+t)^2+1^2+(-t)^2}} \\ =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2t^2-2t+2}} \\ =&\dfrac{2-t}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \\ =&\dfrac{2-t}{2\cdot\sqrt{t^2-t+1}} \\ =&f(t) \end{array}$
Dieses Resultat stimmt mit dem Term der Funktion $f$ überein. Damit hast du die Behauptung aus dem Aufgabentext gezeigt.
$\blacktriangleright$ Bewegung der Dreiecke beschreiben
Zum Schluss sollst du die Bewegung der Dreiecke mit Hilfe des Graphen zur Funktion $f$ und der in Aufgabe 1.3 untersuchten Eigenschaften der Dreiecke beschreiben.
Hier kannst du dabei so vorgehen:
  • Erstelle eine Zeichnung des Graphen zur Funktion $f$ mit Hilfe deines CAS.
  • Interpretiere den Graphen von $f$ im Sachzusammenhang, gehe hierbei insbesondere auf betragsmäßig große Werte für $t$ ein.
  • Fasse die Ergebnisse aus der Aufgabe 1.3 zusammen.
  • Verwende die Ergebnisse aus 1.3 für die Beschreibung.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Graph der Funktion $\boldsymbol{f}$ interpretieren
Um den Graphen zur Funktion $f$ zu interpretieren, solltest du eine Zeichnung des Graphen von $f$ erstellen. Als Hilfe kannst du dein CAS benutzen. Gib im $\texttt{Graph}$-Modus den Funktionsterm $f(t)$ ein.
Achte darauf, dass du nicht $\texttt{RADIAN}$ sonder $\texttt{DEGREE}$ eingestellt hast, da du bei dieser Aufgabe Winkel berechnest.
Du siehst, dass sich der Graph zwei Grenzwerte annähert. Mithilfe der Wertetabelle kannst du die Grenzwerte des Graphen von $f$ näherungsweise bestimmen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Jetzt kannst du dir eine Skizze des Graphen von $f$ zeichnen.
B1 - Analytische Geometrie
B1 - Analytische Geometrie
Für große, negative $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ von dem Wert 60 an. Das bedeutet im Sachzusammenhang, dass für negative $t$ der Winkel zwischen den beiden Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als $60°$ wird.
Für große, positive $\boldsymbol{t}$-Werte nähert sich der Graph von $f$ dem Wert 120 an. Das bedeutet, dass für positive $t$-Werte der Winkel zwischen den Vektoren $\vec{u}_0$ und $\vec{u}_t$ nicht größer als $120°$ wird.
Wenn du dir nun die Bewegung der Dreiecke anschaust, so kannst du erkennen, dass die Dreiecke im Uhrzeigersinn rotieren. Dies kannst du auch gut in dem Schaubild der Aufgabe 1.2 erkennen. Der Vektor $\vec{u}_0$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene. Der Vektor $\vec{u}_1$ ist im Vergleich zum Vektor $\vec{u}_0$ nach rechts gedreht.
  • Für größer werdende negative $t$ rotieren die Dreiecke im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich $60°$ an.
  • Für größer werdende positive $t$ rotieren die Dreiecke ebenfalls im Uhrzeigersinn und der Rotationswinkel nähert sich nähert sich $120°$ an.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Ergebnisse der Aufgabe 1.3 zur Beschreibung verwenden
In der Aufgabe 1.3 hast du über die Bewegung der Dreiecke folgendes herausgefunden:
  • Die Dreiecke $\Delta_t$ sind alle parallel zueinander.
  • Der Abstand zwischen den Dreiecken wird immer größer: $d=\left|\frac{k \cdot \sqrt{3}}{3}\right|$
Für die Bewegung der Dreieck kannst du dann folgendes annehmen:
Die Dreiecke rotieren für größer werdende $t$ im Uhrzeigersinn um den Vektor $\vec{u_0}$, sind parallel und der Abstand zwischen den Dreiecken wird für größer werdende $t$ ebenfalls immer größer.
Außerdem wird der Rotationswinkel für größer werdende negative $t$ größer und nähert sich $60°$ an und für größer werdende positive $t$ wird er ebenfalls größer und nähert sich $120°$ an.
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