B1 - Analysis
Biologen untersuchen eine Bakterienkultur unter Laborbedingungen. Es kann festgestellt werden, dass sich die Entwicklung der Anzahl der Bakterien sehr gut durch die Funktion
mit
beschreiben lässt.
Dabei ist
die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und
ist die Anzahl der Bakterien.
,
eines Wachstumsprozesses in der Darstellung
,
betrachtet.
1.1
Zeige rechnerisch, dass die Funktion
auch durch die Funktionsgleichung
beschrieben werden kann.
(2 BE)
1.2
Gib die erste Ableitung der Funktion
an und erkläre deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
(2 BE)
1.3
Gib die Werte der Funktion
sowie ihrer Ableitung
zu Beobachtungsbeginn sowie
und
Stunden nach Beobachtungsbeginn in einer Wertetabelle an.
Zeichne die Graphen der Funktion
sowie ihrer Ableitung
in ein geeignetes Koordinatensystem.
Zeichne die Graphen der Funktion
(7 BE)
1.4
Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur am schnellsten wächst, und gib die maximale Wachstumsgeschwindigkeit an.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
Bestimme die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall
(6 BE)
1.5
Bestimme die Anzahl der Bakterien, der sich die Bakterienkultur langfristig annähert, und ermittle den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur 
dieser Anzahl erreicht.
(4 BE)
1.6
Die Biologen interessieren sich nicht nur für die Anzahl der Bakterien zu einem bestimmten Zeitpunkt, sondern auch für den Zuwachs an Bakterien über einen gewissen Zeitraum. Erkläre, warum das Integral
mit
diesen Zuwachs angibt.
Biologen verwenden zur Modellierung von Wachstumsprozessen häufig logistische Funktionen. Diese sind Funktionen vom Typ:
(3 BE)
2.1
Die Funktion
aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieses Typs. Gib die Zahlenwerte von
und
für die in Aufgabe 1 betrachtete Bakterienkultur an.
(3 BE)
2.2
Bestimme den Wendepunkt der Funktionenschar
und die Steigung an der Wendestelle in Abhängigkeit von den Parametern
und
Gib die Bedeutung des Parameters
bezogen auf das Wachstum an und beschreibe den Einfluss des Parameters
auf die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt.
Für die folgenden Aufgaben wird die Funktionenschar Gib die Bedeutung des Parameters
(6 BE)
2.3
Berechne einen Term, mit dem für einen gegebenen Anfangswert
der Parameter
ermittelt werden kann.
(3 BE)
2.4
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktionenschar
und gib den Wertebereich von
in Abhängigkeit von
als Intervall an.
Zur Modellierung der Entwicklung der Bakterienanzahl zu Beginn des Wachstums verwenden Biologen häufig eine einfache Exponentialfunktion.
(4 BE)
3.1
Ermittle aus den beiden Punkten
und
eine Exponentialfunktion
der Form
Verwende dazu den Funktionsterm
aus Aufgabe 1.
(3 BE)
3.2
Es soll angenommen werden, dass die Funktion
aus Aufgabe 1 den Wachstumsprozess auf dem Intervall
bestmöglich modelliert. Als Maß für die Güte der Modellierung des Wachstumsprozesses durch die Funktion
soll daher im Intervall
die maximale Abweichung
der Funktionswerte von
von den Funktionswerten von
an einer Stelle betrachtet werden.
Bestimme das so definierte Gütemaß
sowie die zugehörige prozentuale Abweichung der Funktionswerte der beiden Funktionen bezogen auf den Wert der Funktion
an der zugehörigen Stelle
.
Falls du die Funktion
in Aufgabe 3.1 nicht bestimmen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion
mit
.
Falls du die Funktion
(7 BE)