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B1 - Analysis

Aufgaben
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Biologen untersuchen eine Bakterienkultur unter Laborbedingungen. Es kann festgestellt werden, dass sich die Entwicklung der Anzahl der Bakterien sehr gut durch die Funktion $f$ mit
$f(t)=\dfrac{4\cdot 10^6}{1+1000\cdot e^{-2t}}$, $t\geq0$, beschreiben lässt.
Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ ist die Anzahl der Bakterien.
#cas
1.1
Zeige rechnerisch, dass die Funktion $f$ auch durch die Funktionsgleichung
$f(t)=\dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{1000 + \mathrm e^{2t}}$ beschrieben werden kann.
(2 BE)
1.2
Gib die erste Ableitung der Funktion $f$ an und erkläre deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
(2 BE)
#ableitung
1.3
Gib die Werte der Funktion $f$ sowie ihrer Ableitung $f'$ zu Beobachtungsbeginn sowie 1, 2, 3, 4, 5 und 6 Stunden nach Beobachtungsbeginn in einer Wertetabelle an. Zeichne die Graphen der Funktion $f$ sowie ihrer Ableitung $f'$ in ein geeignetes Koordinatensystem.
(7 BE)
#ableitung
1.4
Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur am schnellsten wächst, und gib die maximale Wachstumsgeschwindigkeit an.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
Bestimme die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall $[0;6]$.
(6 BE)
1.5
Bestimme die Anzahl der Bakterien, der sich die Bakterienkultur langfristig annähert, und ermittle den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur 95$\,\%$ dieser Anzahl erreicht.
(4 BE)
1.6
Die Biologen interessieren sich nicht nur für die Anzahl der Bakterien zu einem bestimmten Zeitpunkt, sondern auch für den Zuwachs an Bakterien über einen gewissen Zeitraum. Erkläre, warum das Integral $\displaystyle\int_{t_2}^{t_1}f'(t)dt$ mit $t_1 > t_2$ diesen Zuwachs angibt.
(3 BE)
#integral
Biologen verwenden zur Modellierung von Wachstumsprozessen häufig logistische Funktionen. Diese sind Funktionen vom Typ:
$h_{a,S,k}(t)=\dfrac{S\cdot e^{kt}}{a+e^{kt}}$, $a, S, k >0$
#funktionenschar
2.1
Die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieses Typs. Gib die Zahlenwerte von $a, S$ und $k$ für die in Aufgabe 1 betrachtete Bakterienkultur an.
(3 BE)
2.2
Bestimme den Wendepunkt der Funktionenschar $h_{a,S,k}$ und die Steigung an der Wendestelle in Abhängigkeit von den Parametern $a,$ $S$ und $k.$ Gib die Bedeutung des Parameters $S$ bezogen auf das Wachstum an und beschreibe den Einfluss des Parameters $k$ auf die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt.
(6 BE)
#wendepunkt
Für die folgenden Aufgaben wird die Funktionenschar $f_a$ eines Wachstumsprozesses in der Darstellung $f_a(t)=\dfrac{4\cdot 10^6\cdot e^{2t}}{a+e^{2t}}$, $a>0, t\geq 0$, betrachtet.
2.3
Berechne einen Term, mit dem für einen gegebenen Anfangswert $f_a(0)=C$ der Parameter $a$ ermittelt werden kann.
(3 BE)
2.4
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktionenschar $f_a$ und gib den Wertebereich von $f_a$ in Abhängigkeit von $a$ als Intervall an.
(4 BE)
#wertebereich#monotonie
Zur Modellierung der Entwicklung der Bakterienanzahl zu Beginn des Wachstums verwenden Biologen häufig eine einfache Exponentialfunktion.
3.1
Ermittle aus den beiden Punkten $P_1(0\mid f(0))$ und $P_2(3\mid f(3))$ eine Exponentialfunktion $g$ der Form $g(t)=b\cdot e^{c\cdot t}.$ Verwende dazu den Funktionsterm $f(t)=\dfrac{4\cdot10^6}{1+1000\cdot e^{-2t}}$ aus Aufgabe 1.
(3 BE)
#exponentialfunktion
3.2
Es soll angenommen werden, dass die Funktion $f$ aus Aufgabe 1 den Wachstumsprozess auf dem Intervall $[0;3]$ bestmöglich modelliert. Als Maß für die Güte der Modellierung des Wachstumsprozesses durch die Funktion $g$ soll daher im Intervall $[0;3]$ die maximale Abweichung $d_{max}$ der Funktionswerte von $g$ von den Funktionswerten von $f$ an einer Stelle betrachtet werden.
Bestimme das so definierte Gütemaß $d_{max}$ sowie die zugehörige prozentuale Abweichung der Funktionswerte der beiden Funktionen bezogen auf den Wert der Funktion $f$ an der zugehörigen Stelle $t_{max}$.
Falls du die Funktion $g$ in Aufgabe 3.1 nicht bestimmen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion $g_E$ mit $g_E(t)=4000\cdot e^{1,89t}$.
(7 BE)
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& \dfrac{4\cdot 10^6}{1+1000\cdot \mathrm e^{-2t}} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Erweitern des Bruchs mit }\mathrm e^{2t} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{1\cdot \mathrm e^{2t}+1000\cdot \mathrm e^{-2t}\cdot \mathrm e^{2t}} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{\mathrm e^{2t}+1000\cdot \mathrm e^{-2t+2t}} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{\mathrm e^{2t}+1000\cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{1000+\mathrm e^{2t}} \end{array}$
$ f(t)=… $
1.2
$\blacktriangleright$  Erste Ableitungsfunktion angeben
Mit der Quotientenregel folgt:
$f'(t) = \dfrac{8\cdot 10^9\cdot \mathrm e^{2t}}{\left(1000 + \mathrm e^{2t}\right)^2}$
Da $f(t)$ die Anzahl der Bakterien $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn beschreibt, beschreibt $f'(t)$ die momentane Änderungsrate der Anzahl der Bakterien zum Zeitpunkt $t$ Stunden nach Beobachtungsbeginn.
#quotientenregel
1.3
$\blacktriangleright$  Wertetabelle angeben und Graphen zeichnen
$x$$0 $$1 $$2 $$3 $$4 $$5 $$ 6$
$f(x)$$3996,00 $$ 29339,43$$207086,08 $$1149837,59 $$ 2995216,73$$3826286,85 $$3975573,23 $
$f'(x)$$7984,02 $$58248,47 $$392729,84 $$1638611,93 $$1504771,83 $$332338,18 $$48555,20 $
$x$$f(x)$$f'(x)$
$0 $$3996,00$$7984,02 $
$1 $$29339,43 $$58248,47 $
$2 $$207086,08 $$392729,84 $
$3 $$1149837,59 $$1638611,93 $
$ 4$$2995216,73 $$1504771,83 $
$ 5$$3826286,85 $$ 332338,18$
$6 $$ 3975573,23$$ 48555,20$
Abb. 1: Graph von $f$ und $f'$
1.4
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt mit dem schnellsten Wachstum bestimmen
Gesucht ist ein lokales Maximum von $f'.$ Dazu gilt die notwendige Bedingung $f''(t)=0.$ Mit dem CAS ergibt sich:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} f''(t) &=& 0 \\[5pt] t &=& \dfrac{3\ln (5) + 3\ln (2)}{2} \approx 3,5 \end{array}$
ca. $3,5$ Stunden nach Beobachtungsbeginn wächst die Bakterienkultur am stärksten.
$f'(3,45) \approx 1\,999\,970 $
Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit der Bakterienkultur beträgt ca. $1\,999\,970\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}.$
$\blacktriangleright$  Mittlere Wachstumsgeschwindigkeit bestimmen
$\dfrac{f(6) -f(0)}{6-0} \approx \dfrac{3975573,23- 3996,00}{6}\approx 661\,929,54$
$ \approx 661\,929,54 $
Im Intervall $[0;6]$ beträgt die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit ca. $661\,929,54\,\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}.$
#extrempunkt#cas
1.5
$\blacktriangleright$  Langfristige Annäherung bestimmen
$\lim\limits_{t\to\infty}f(t)= \lim\limits_{t\to\infty} \dfrac{4\cdot 10^6}{1+1000\cdot e^{-2t}} = 4\cdot 10^6$
$ \lim\limits_{t\to\infty}f(t)= 4\cdot 10^6 $
Langfristig nähert sich die Bakterienanzahl $4\,000\,000$ an.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt ermitteln
$\begin{array}[t]{rll} f(t) &=& 0,95\cdot 4\,000\,000 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &\approx& 4,93 \end{array}$
$ t \approx 4,93 $
Nach fast $5$ Stunden hat die Bakterienanzahl bereits $95\,\%$ ihres langfristigen Näherungswertes erreicht.
#grenzwert
1.6
$\blacktriangleright$  Integral erklären
$f'$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Bakterienanzahl in $\frac{\text{Bakterien}}{\text{h}}.$ $f'(t)$ beschreibt also wie viele Bakterien exakt zum Zeitpunkt $t$ pro Stunde hinzukommen.
Mit dem Integral wird der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $f'$ und der $t$-Achse im Bereich $t_1 \leq t \leq t_2$ berechnet.
Der Inhalt dieser Fläche gibt damit die Summe der momentanen Änderungsraten an, also die Gesamtsumme der hinzugekommenen Bakterien im Zeitraum von $t_1$ bis $t_2.$
2.1
$\blacktriangleright$  Zahlenwerte angeben
$S= 4\cdot 10^6,$ $a= 1000,$ $k = 2$
2.2
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen
Im CAS werden die ersten drei Ableitungsfunktionen von $h_{a;S;k}$ definiert. Für eine Wendestelle muss das notwendige Kriterium $h_{a;S;k}''(t) = 0$ erfüllt sein. Mit dem CAS folgt:
$\blacktriangleright$ Casio Classpad II
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
keyboard $\to$ Math2 $\to$ $\frac{d}{d \Box}\Box$
$\begin{array}[t]{rll} h_{a;S;k}''(t) &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; CAS \\[5pt] t &=& \dfrac{\ln a}{k} \end{array}$
Für das hinreichende Kriterium folgt mit dem CAS:
$h_{a;S;k}'''\left(\dfrac{\ln a}{k}\right) = -S\cdot \frac{k^3}{8} \neq 0$
$ h_{a;S;k}'''\left(\dfrac{\ln a}{k}\right) \neq 0 $
An der Stelle $t= \dfrac{\ln a}{k}$ befindet sich also die Wendestelle von $h_{a;S;k}.$
$h_{a;S;k}\left(\dfrac{\ln a}{k} \right)= \dfrac{S}{2}$
Die Koordinaten des Wendepunkts lauten also $W_{a;S;k}\left(\frac{\ln a}{k}\mid \frac{S}{2}\right).$
$\blacktriangleright$  Steigung im Wendepunkt bestimmen
$h_{a;S;k}'\left(\frac{\ln a}{k} \right) = \frac{S\cdot k}{4}$
Die Steigung im Wendepunkt beträgt $\frac{S\cdot k}{4}.$
$\blacktriangleright$  Parameter beschreiben
$S$ gibt die Wachstumsschranke an. Dies ist der Wert dem sich die untersuchte Größe langfristig annähert, ihn aber nicht erreicht.
Die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt beträgt $\frac{S\cdot k}{4}.$ Je größer also der Parameter $k$ ist, desto größer ist auch die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt.
#cas
2.3
$\blacktriangleright$  Term berechnen
$\begin{array}[t]{rll} f_a(0)&=& C \\[5pt] \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2\cdot 0}}{a+\mathrm e^{2\cdot 0}}&=& C \\[5pt] \dfrac{4\cdot 10^6}{a+1}&=& C &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (a+1) \\[5pt] 4\cdot 10^6&=& C\cdot (a+1) &\quad \scriptsize \mid\;:C \\[5pt] \dfrac{4\cdot 10^6}{C} &=& a+1 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] \dfrac{4\cdot 10^6}{C} -1 &=& a \end{array}$
$ a=\dfrac{4\cdot 10^6}{C} -1 $
$a = \dfrac{4\cdot 10^6}{C} -1 $
2.4
$\blacktriangleright$  Monotonierverhalten untersuchen
Mit dem CAS erhält man: $f_a'(t) = \dfrac{8\cdot 10^6 \cdot a\cdot \mathrm e^{2t}}{\left(a+\mathrm e^{2t} \right)^2} $
Für $a>0$ ist sowohl der Zähler als auch der Nenner für alle $t\in \mathbb{R}$ positiv.
Die Steigung von $f_a$ ist demnach für alle $a>0$ und alle $t\in \mathbb{R}$ positiv. Jede Funktion $f_a$ ist also auf ganz $\mathbb{R}$ streng monoton wachsend.
$\blacktriangleright$  Wertebereich angeben
Da $f_a$ streng monoton wachsend ist, ist der kleinste Wert der Anfangsbestand:
$f_a(0)= \dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2\cdot 0}}{a+\mathrm e^{2\cdot 0}} = \dfrac{4\cdot 10^6}{a+1} $
Der größte Wert ist die Wachstumsschranke $S=4\cdot 10^6,$ deren Wert aber niemals angenommen wird:
$W= [\frac{4\cdot 10^6}{a+1};4\cdot 10^6[$
#cas
3.1
$\blacktriangleright$  Exponentialfunktion ermitteln
$g(t)= b\cdot \mathrm e^{c\cdot t}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad& g(0) &=& f(0) \\ \text{II}\quad& g(3) &=& f(3) \\ \end{array}$
Mit dem solve-Befehl des CAS folgt aus den beiden Gleichungen:
$b\approx 3996 $ und $c \approx 1,887$
$g(t) \approx 3996 \cdot \mathrm e^{1,887\cdot t}$
#cas
3.2
$\blacktriangleright$  Gütemaß bestimmen
$d(t)= \left| f(t)-g(t) \right|$
Mit dem notwendigen Kriterium für Extremstellen von $d$ folgt mit dem CAS:
$\begin{array}[t]{rll} d'(t) &=& 0 \\[5pt] t_1 &\approx& -0,52 \\[5pt] t_2 &\approx& 2,64 \\[5pt] \end{array}$
Es wird lediglich das Intervall $[0;3]$ betrachtet. Es bleibt also nur $t_2$ zu überprüfen.
Da ber $g$ so bestimmt wurde dass $g(0)\approx f(0)$ und $g(3)\approx f(3)$ gilt, muss das Maximum bei $t\approx 2,64$ liegen.
$d(2,64) \approx 74\,259,33019 $
Das Gütemaß der Funktion $d$ auf dem Intervall $[0;3]$ beträgt also $d_{\text{max}}\approx 74\,259,33019$
Die prozentuale Abweichung beträgt ca.:
$\dfrac{74\,259,33019}{f(2,64)} \approx 0,1131 = 11,31\,\%$
#cas
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