B1 - Analysis

Biologen untersuchen eine Bakterienkultur unter Laborbedingungen. Es kann festgestellt werden, dass sich die Entwicklung der Anzahl der Bakterien sehr gut durch die Funktion \(f\) mit
\(f(t)=\dfrac{4\cdot 10^6}{1+1000\cdot \mathrm{e}^{-2t}},\) \(t\geq0,\) beschreiben lässt.
Dabei ist \(t\) die Zeit in Stunden nach Beobachtungsbeginn und \(f(t)\) ist die Anzahl der Bakterien.
1.1
Zeige rechnerisch, dass die Funktion \(f\) auch durch die Funktionsgleichung
\(f(t)=\dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm{e}^{2t}}{1000 + \mathrm {e}^{2t}}\) beschrieben werden kann.
(2 BE)
1.2
Gib die erste Ableitung der Funktion \(f\) an und erkläre deren Bedeutung im Sachzusammenhang.
(2 BE)
1.3
Gib die Werte der Funktion \(f\) sowie ihrer Ableitung \(f zu Beobachtungsbeginn sowie \(1,\) \(2,\) \(3,\) \(4,\) \(5\) und \(6\) Stunden nach Beobachtungsbeginn in einer Wertetabelle an.
Zeichne die Graphen der Funktion \(f\) sowie ihrer Ableitung \(f in ein geeignetes Koordinatensystem.
(7 BE)
1.4
Bestimme den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur am schnellsten wächst, und gib die maximale Wachstumsgeschwindigkeit an.
Hinweis: Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
Bestimme die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit im Intervall \([0;6].\)
(6 BE)
1.5
Bestimme die Anzahl der Bakterien, der sich die Bakterienkultur langfristig annähert, und ermittle den Zeitpunkt, an dem die Bakterienkultur \(95\)\(\,\%\) dieser Anzahl erreicht.
(4 BE)
1.6
Die Biologen interessieren sich nicht nur für die Anzahl der Bakterien zu einem bestimmten Zeitpunkt, sondern auch für den Zuwachs an Bakterien über einen gewissen Zeitraum. Erkläre, warum das Integral \(\displaystyle\int_{t_2}^{t_1}f mit \(t_1 \gt t_2\) diesen Zuwachs angibt.
(3 BE)
Biologen verwenden zur Modellierung von Wachstumsprozessen häufig logistische Funktionen. Diese sind Funktionen vom Typ:
\(h_{a,S,k}(t)=\dfrac{S\cdot \mathrm e^{kt}}{a+\mathrm e^{kt}}\), \(a, S, k \gt0\)
2.1
Die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 ist eine Funktion dieses Typs. Gib die Zahlenwerte von \(a,\) \(S\) und \(k\) für die in Aufgabe 1 betrachtete Bakterienkultur an.
(3 BE)
2.2
Bestimme den Wendepunkt der Funktionenschar \(h_{a,S,k}\) und die Steigung an der Wendestelle in Abhängigkeit von den Parametern \(a,\) \(S\) und \(k.\)
Gib die Bedeutung des Parameters \(S\) bezogen auf das Wachstum an und beschreibe den Einfluss des Parameters \(k\) auf die Wachstumsgeschwindigkeit im Wendepunkt.
(6 BE)
Für die folgenden Aufgaben wird die Funktionenschar \(f_a\) eines Wachstumsprozesses in der Darstellung \(f_a(t)=\dfrac{4\cdot 10^6\cdot \mathrm e^{2t}}{a+\mathrm e^{2t}}\), \(a\gt 0, t\geq 0,\) betrachtet.
2.3
Berechne einen Term, mit dem für einen gegebenen Anfangswert \(f_a(0)=C\) der Parameter \(a\) ermittelt werden kann.
(3 BE)
2.4
Untersuche das Monotonieverhalten der Funktionenschar \(f_a\) und gib den Wertebereich von \(f_a\) in Abhängigkeit von \(a\) als Intervall an.
(4 BE)
Zur Modellierung der Entwicklung der Bakterienanzahl zu Beginn des Wachstums verwenden Biologen häufig eine einfache Exponentialfunktion.
3.1
Ermittle aus den beiden Punkten \(P_1(0\mid f(0))\) und \(P_2(3\mid f(3))\) eine Exponentialfunktion \(g\) der Form \(g(t)=b\cdot \mathrm e^{c\cdot t}.\) Verwende dazu den Funktionsterm \(f(t)=\dfrac{4\cdot10^6}{1+1000\cdot \mathrm e^{-2t}}\) aus Aufgabe 1.
(3 BE)
3.2
Es soll angenommen werden, dass die Funktion \(f\) aus Aufgabe 1 den Wachstumsprozess auf dem Intervall \([0;3]\) bestmöglich modelliert. Als Maß für die Güte der Modellierung des Wachstumsprozesses durch die Funktion \(g\) soll daher im Intervall \([0;3]\) die maximale Abweichung \(d_{\text{max}}\) der Funktionswerte von \(g\) von den Funktionswerten von \(f\) an einer Stelle betrachtet werden.
Bestimme das so definierte Gütemaß \(d_{\text{max}}\) sowie die zugehörige prozentuale Abweichung der Funktionswerte der beiden Funktionen bezogen auf den Wert der Funktion \(f\) an der zugehörigen Stelle \(t_{\text{max}}\).
Falls du die Funktion \(g\) in Aufgabe 3.1 nicht bestimmen konntest, verwende stattdessen die Ersatzfunktion \(g_E\) mit \(g_E(t)=4000\cdot \mathrm e^{1,89t}\).
(7 BE)