A – Wahlaufgaben

Analysis (Niveau 2)

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten, differenzierbaren Funktionen $f$ und $g.$ Für $x \in \mathbb{R}$ gilt $g(x)=f(x) \cdot \mathrm{e}^{x}.$

5.1

Weise nach, dass die folgende Aussage wahr ist:

Wenn der Graph von $g$ im Punkt $(a \mid g(a))$ mit $a \in \mathbb{R}$ eine waagerechte Tangente besitzt, dann gilt $\(f$

(3 BE)

5.2

Die Abbildung stellt den Graphen von $f$ dar. Zeige mithilfe der Abbildung, dass der Graph von $g$ im Punkt $(1 \mid g(1))$ keine waagerechte Tangente besitzt.

(2 BE)

Analysis (Niveau 2)

6.1

Skizziere den Graphen $G_f$ der Funktion $f$ mit $f(x)=\cos (x)+1$ im Intervall $[0 ; 2 \pi].$

Begründe ohne Verwendung einer Stammfunktion, dass $\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\cos (x)+1)\;\mathrm dx=\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{2}=\pi$ gilt.

(3 BE)

6.2

Erkläre, wie man ohne Verwendung einer Stammfunktion den Wert des Integrals $\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos (x)+2)\;\mathrm dx$ ermitteln kann, und gib diesen Wert an.

(2 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 2)

Gegeben ist die Schar der Ebenen $E_{k}: kx+(2-k) \cdot y=k$ mit $k \in \mathbb{R}.$

7.1

Es gibt eine Koordinatenebene, zu der alle Ebenen der Schar senkrecht stehen.
Gib diese an.

(1 BE)

7.2

Zeige, dass jeweils zwei verschiedene Ebenen der Schar nicht parallel zueinander sind.

(4 BE)

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 1)

Gegeben ist ein Übergangsprozess, bei welchem der Übergang von einer Stufe zur nächsten durch die Matrix M mit $M=\pmatrix{0 & 0 & 2\\0,5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0}$ beschrieben werden kann.

Es gilt: $M^3=\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1}$

8.1

Bestimme $M^2$ und $M^4.$

(3 BE)

8.2

Beschreibe die langfristige Entwicklung des durch die Matrix $M$ beschriebenen Übergangsprozesses.

(2 BE)

Stochastik (Niveau 1)

Betrachtet wird ein (fairer) Würfel, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert sind.

9.1

Der Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt das Produkt der dabei erzielten Zahlen an. Begründe, dass $P(X=10)=P(X=15)$ ist.

(2 BE)

9.2

Nun wird der Würfel $n$ -mal geworfen, wobei $n$ größer als $2$ ist. Ermittle einen Term, mit dem man die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis berechnen kann: „Das Produkt der $n$ erzielten Zahlen ist $2, 3$ oder $5.$ “

(3 BE)

Stochastik (Niveau 1)

Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit den Parametern $n$ und $p,$ mit $p\lt1.$ Es ist bekannt, dass $P(X=1)$ vierzehnmal so groß ist wie $P(X=0)$ und dass der Erwartungswert von $X$ gleich $10$ ist. Berechne die Werte von $p$ und $n.$

(5 BE)

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Analysis (Niveau 2)

5.1

Für die Ableitung von $g$ gilt:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Der Graph von $g$ besitzt eine waagerechte Tangente in einem Punkt, wenn die Ableitung von $g$ dort gleich Null ist. Nullsetzen der Ableitung an der Stelle $x=a$ liefert:

$\(\begin{array}[t]{rlll} g$

Da die $\mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts $\(f$ und somit $\(f$

5.2

Aus der Abbildung folgt, dass sowohl $\(f$ als auch $f(1)\lt0$ gilt. Somit ist für $a=1$ die Gleichung $\(f$ aus Teilaufgabe 5.1 nicht erfüllt und damit kann der Graph von $g$ im Punkt $(1\mid g(1))$ keine waagerechte Tangente besitzen.

Analysis (Niveau 2)

6.1

Graphen skizzieren

Gleichung begründen

Der Wert des Integrals aus der Aufgabenstellung ist gegeben durch den Inhalt der Fläche, die $G_f$ mit der $x$ -Achse einschließt.

Mit Hilfe der Skizze und der Symmetrie des Kosinus lässt sich erkennen, dass $G_f$ das durch die beiden grünen Strecken und die Koordinatenachsen begrenzte Rechteck in zwei gleichgroße Hälften teilt. Da das Rechteck die Seitenlängen $\pi$ und $2$ besitzt, folgt somit:

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\cos(x)+1)\;\mathrm dx=\pi\cdot2\cdot\frac{1}{2}=\pi$

6.2

Anhand der Skizze de Graphen von $G_f$ lässt sich erkennen, dass aufgrund dessen Symmetrie zur Geraden $x=\pi$ gilt:

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos(x)+1)\;\mathrm dx=2\cdot\pi$

Da der Graph der Funktion mit der Gleichung $y=\cos(x)+2$ durch Verschiebung von $G_f$ um eine Längeneinheit in $y$ -Richtung entsteht, vergrößert sich die eingeschlossene Fläche mit der $x$ -Achse um ein Rechteck mit den Seitenlängen $1$ und $2\pi.$ Somit folgt:

$\displaystyle\int_{0}^{2\pi}(\cos(x)+2)\;\mathrm dx=2\cdot\pi+2\cdot\pi=4\pi$

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 2)

7.1

Alle Ebenengleichungen der Schar enthalten $z$ nicht. Somit stehen die Ebenen der Schar senkrecht zur $x$ - $y$ -Ebene.

7.2

Zwei Ebenen $E_{k_1}$ und $E_{k_2}$ der Schar sind parallel genau dann, wenn ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind:

$\pmatrix{k_1\\2-k_1\\0}=a\cdot\pmatrix{k_2\\2-k_2\\0}$

Aus den ersten beiden Zeilen folgt:

$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&k_1&=& a\cdot k_2 \\ \text{II}\quad&2-k_1&=&a\cdot(2-k_2) \\ \end{array}$

Addieren von $\text{I}$ und $\text{II}$ liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} 2&=&2a &\mid\;:2\\[5pt] 1&=&a \end{array}$

Der einzige mögliche Wert ist somit $a=1.$ Für diesen Wert sind die beiden Vektoren allerdings keine Vielfachen voneinander, sondern der gleiche Vektor und gehören somit zur gleichen Ebene. Zwei verschiedene Ebenen der Schar sind damit nicht parallel zueinander.

Lineare Algebra/Analytische Geometrie (Niveau 1)

8.1

$\begin{array}[t]{rlll} M^2&=&M\cdot M \\[5pt] &=&\pmatrix{0 & 0 & 2\\0,5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0}\cdot\pmatrix{0 & 0 & 2\\0,5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 & 2 & 0\\0 & 0 & 1\\0,5 & 0 & 0} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} M^4&=&M^3\cdot M \\[5pt] &=&\pmatrix{1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1}\cdot\pmatrix{0 & 0 & 2\\0,5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0 & 0 & 2\\0,5 & 0 & 0\\0 & 1 & 0} \end{array}$

8.2

Der durch die Matrix $M$ beschriebene Übergangsprozess ist zyklisch, da $M^4=M$ gilt. Es handelt sich somit um einen zyklischen Übergangsprozess, bei dem sich die Zustände nach jeweils drei Stufen wiederholen.

Stochastik (Niveau 1)

9.1

Sowohl $10$ als auch $15$ können jeweils nur durch genau ein Produkt von zwei Zahlen erhalten werden, nämlich das Produkt von $2$ und $5$ bzw. das Produkt von $3$ und $5.$ Hierbei ist egal, in welcher Reihenfolge die beiden Zahlen gewürfelt werden, d.h. es gibt jeweils zwei Ergebnisse, die $X=10$ bzw. $X=15$ liefern. Da jede zahl auf dem Würfel mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt wird, gilt damit $P(X=10)=P(X=15).$

9.2

Die Zahlen $2,3$ und $5$ sind Primzahlen. Somit ist die einzige Möglichkeit, dass das Produkt der $n$ erzielten Zahlen $2,3$ oder $5$ ist, dass $n-1$ -mal die Zahl $1$ gewürfelt wird, und einmal $2,3$ bzw. $5.$ Da es $n$ mögliche Würfe gibt, in denen die Zahl ungleich $1$ gewürfelt werden kann, folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit $p$ somit: