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A1 - Analysis

Aufgaben
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Auf einem See breitet sich eine Algenart aus. Zu Beginn der Beobachtung ist etwa eine Fläche von $0,1\,\text{a}$ des Sees mit Algen bedeckt ($\text{a}$ steht für die Flächeneinheit $\text{Ar}$, $1\,\text{a}$ entspricht einem Flächeninhalt von $100\,\text{m}^2$). Nach zwei Monaten sind bereits $3\,\text{a}$ des Sees mit Algen bedeckt.
Das weitere Wachstum soll prognostiziert werden. Dafür liegen drei unterschiedliche Modelle $A$, $B$ und $C$ vor.
1.
Im Modell $A$ wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion $f$ mit den Parametern $r$ und $k$ beschrieben mit $f(t)= r\cdot \mathrm e^{k\cdot t}$, $t \geq 0$, $r,k > 0$.
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$f(t)$: Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in $a$
1.1
Bestimme die zu den oben genannten Werten passenden Parameter $r$ und $k$.
(4 BE)
#parameter
1.2
Ermittle unter Verwendung der Ergebnisse aus Aufgabe 1.1 für die Gleichung $f(t)= r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$ den Wert von $p$.
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
Falls du den Wert des Parameters $k$ in Aufgabe 1.1 nicht bestimmen konntest, verwende als Ersatzwert $k = 1,71$.
(3 BE)
2.
Modell $B$ prognostiziert ein Wachstum, bei dem die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ näherungsweise durch die Funktion $g$ mit $g(t)= \left(-0,5t^2 +t+2\right)\cdot \mathrm e^{-0,5t}$, $t \geq 0$, beschrieben wird.
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$g(t)$: Änderungsrate in $\text{a}$ pro Monat
#änderungsrate
2.1
Berechne für $t \geq 0$ die Null- und Extremstellen von $g$. Die zweite Ableitung
$g''(t) = \left(-0,125t^2+1,25t-1,5\right)\cdot \mathrm e^{-0,5t}$
$ g''(t)= … $
kann ohne Herleitung verwendet werden.
(11 BE)
#nullstelle#extrempunkt
2.2
Deute die in Aufgabe 2.1 berechneten Null- und Extremstellen im Sachzusammenhang.
(5 BE)
#extrempunkt#nullstelle
2.3
In Material 1 ist ein Ansatz zur Ermittlung der Stammfunktionen von $g$ angegeben.
Benenne die verwendete Integrationsmethode und wende die Methode erneut an, um die Herleitung der Stammfunktionen von $g$ zu vervollständigen.
[zur Kontrolle: $G(t) = \left(t^2+2t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +C$]
(5 BE)
#stammfunktion
2.4
Untersuche, unter welchen Bedingungen Modell $B$ näherungsweise zu den im einleitenden Text beschriebenen Werten passt.
(3 BE)
3.
Im Modell $C$ wird der Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche durch die Funktion $h$ beschrieben mit
$h(t)= \dfrac{0,35}{0,1+3,4\cdot \mathrm e^{-2,66 \cdot t}}$, $t\geq 0.$
Dabei gilt:
$t$: Zeit in Monaten nach Beginn der Beobachtung
$h(t)$: Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in $\text{a}$
Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{t\to +\infty} h(t).$
Deute diesen Wert im Sachzusammenhang.
(3 BE)
4.
Im Material 2 sind drei Graphen $\text{(I)}$, $\text{(II)}$ und $\text{(III)}$ abgebildet, die den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche in Abhängigkeit von der Zeit $t$ über mehrere Monate für die drei Modelle $A$, $B$ und $C$ beschreiben.
Ordne die Graphen den entsprechenden Modellen zu und erörtere im Sachzusammenhang, wie realistisch die drei Modelle sind.
(6 BE)
Material 1
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int\left( -0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt&=& \left(-0,5t^2 +t+2\right)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int\left(-t+1\right)\cdot(-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt\\[5pt] &=& \left(t^2-2t-4\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \displaystyle\int \left(-2t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt\\[5pt] \end{array}$
$ \displaystyle\int\left( -0,5t^2 +t +2 \right)… $
Material 2
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Funktion für Modell $A$ soll die Form $f(t) = r\cdot\mathrm e^{k\cdot t} $ haben und den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in $\text{a}$ angeben. Lies aus den Informationen des Einführungstextes geforderte Funktionswerte ab. Mit diesen kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $r$ und $k$ lösen kannst.
1.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{p}$ berechnen
Du sollst die Gleichung von $f$ wie folgt umformen:
$r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$
Setze also die berechneten Werte von $r$ und $k$ ein und forme die Gleichung nach $p$ um.
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang deuten
Die Darstellungsweise $f(t)= r\cdot(1+p)^t$ kennst du aus den Formeln für exponentielles Wachstum. $p$ gibt dort die Wachstumsrate an, also den Prozentsatz, um den die betrachtete Größe pro Zeiteinheit zunimmt.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen von $g$. Setze also $g(t) = 0$ und löse die Gleichung nach $t$.
$\blacktriangleright$  Extremstellen berechnen
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $g'$, die zweite ist dir in der Aufgabenstellung gegeben.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $g$ beschreibt die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche. Ist $g(t)=0$, nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ also weder zu noch ab. Dies ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle der Funktion $G$, die den Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ beschreibt.
Der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche kann hier also sein Maximum bzw. Minimum annehmen.
$\blacktriangleright$  Extremstellen im Sachzusammenhang deuten
Zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ nimmt $g$ ein Maximum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am größten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am schnellsten aus.
Zum Zeitpunkt $t_2 = 6$ nimmt $g$ ein Minimum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am kleinsten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am langsamsten aus oder reduzieren ihren Bestand sogar.
2.3
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode benennen
Der Funktionsterm von $g$ setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Zur Bestimmung der Stammfunktionen solcher Funktionen wird häufig die partielle Integration verwendet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
$\blacktriangleright$  Herleitung vervollständigen
Wende die Formel von oben erneut an.
2.4
$\blacktriangleright$  Bedingungen untersuchen
Zu Modell $B$ ist dir die Funktion $g$ gegeben, die die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche beschreibt. Oben hast du bereits die Gleichungen der Stammfunktionen $G$ von $g$ bestimmt.
Da $g$ die Änderungsrate beschreibt, kann $G$ verwendet werden, um den Flächeninhalt zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Gesucht ist nun $C$, damit $G$ näherungsweise die Werte aus dem Einführungstext erfüllt.
Setze also die Werte wie in Aufgabe 1.1 in $G(t)$ ein und löse nach $C$ auf.
3.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Gesucht ist der Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)$. Der Funktionsterm von $h(t)$ ist ein Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht. Betrachte also zunächst den Nenner und bilde anschließend den Grenzwert der gesamten Funktion.
$\blacktriangleright$  Grenzwert im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $h$ beschreibt im Modell $C$ den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Der Grenzwert beschreibt die Entwicklung auf lange Sicht.
4.
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Du sollst die Graphen $\text{(I)}$,$\text{(II)}$ und $\text{(III)}$ den Modellen $A$, $B$ und $C$ zuordnen. Die Graphen beschreiben den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Stelle zunächst alle entsprechenden Funktionsgleichungen zusammen:
  • $A$: $f(t) = 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t}$
  • $B$:
    $G(t)= \left(t^2 +2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +0,1$
    $ G(t)= … $
  • $C$:
    $h(t)= \dfrac{0,35}{0,1+ 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}}$
    $h(t)= \frac{0,35}{0,1+ 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}}$
Betrachte die drei Graphen und suche nach Auffälligkeiten. Ordne anhand dieser Auffälligkeiten zu, indem du Ergebnisse aus den letzten Aufgabenteilen verwendest. Alternativ kannst du auch die Funktionswerte für einen Wert von $t$ berechnen und mit den Graphen abgleichen.
$\blacktriangleright$  Eignung erörtern
Du sollst erörtern, wie realistisch die drei Modelle im Sachzusammenhang sind. Beachte dabei Faktoren, wie Nahrungsangebot oder eine mögliche Begrenzung der Fläche.
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1.1
$\blacktriangleright$  Parameterwerte bestimmen
Die Funktion für Modell $A$ soll die Form $f(t) = r\cdot\mathrm e^{k\cdot t} $ haben und den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in $\text{a}$ angeben. Lies aus den Informationen des Einführungstextes geforderte Funktionswerte ab. Mit diesen kannst du ein Gleichungssystem aufstellen, das du nach $r$ und $k$ lösen kannst.
Du erhältst $ f(0)= 0,1$ und $f(2) = 3$. Setze dies in die Funktionsgleichung ein:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&0,1&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 0}\\ &0,1&=& r \\[5pt] \text{II}\quad&3&=& r\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}\\ \end{array}$
Setze $\text{I}$ in $\text{II}$ ein und löse nach $k$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3&=& 0,1\cdot \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\; :0,1\\[5pt] 30&=& \mathrm e^{k\cdot 2}&\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln(30)&=&k\cdot 2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] \dfrac{\ln(30)}{2}&=& k\\[5pt] 1,7&\approx& k\\[5pt] \end{array}$
$ k\approx 1,7 $
Aus den genannten Werten ergeben sich für die Parameter $r = 0,1$ und $k\approx 1,7$.
1.2
$\blacktriangleright$  Wert von $\boldsymbol{p}$ berechnen
Du sollst die Gleichung von $f$ wie folgt umformen:
$r\cdot \mathrm e^{k\cdot t} = r\cdot (1+p)^t$
Setze also die berechneten Werte von $r$ und $k$ ein und forme die Gleichung nach $p$ um.
$\begin{array}[t]{rll} 0,1\cdot \mathrm e^{1,7t}&=& 0,1\cdot (1+p)^t &\quad \scriptsize \mid\; :0,1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7t}&=& (1+p)^t \\[5pt] \left(\mathrm e^{1,7}\right)^t&=&(1+p)^t \\[5pt] \mathrm e^{1,7}&=& 1+p &\quad \scriptsize \mid\;-1 \\[5pt] \mathrm e^{1,7}-1&=& p \\[5pt] 4,5 &\approx& p \\[5pt] \end{array}$
$ p \approx 4,5 $
Mit den in Aufgabe 1.1 berechneten Parameterwerten ergibt sich $p \approx 4,5.$
$\blacktriangleright$  Wert im Sachzusammenhang deuten
Die Darstellungsweise $f(t)= r\cdot(1+p)^t$ kennst du aus den Formeln für exponentielles Wachstum. $p$ gibt dort die Wachstumsrate an, also den Prozentsatz, um den die betrachtete Größe pro Zeiteinheit zunimmt.
Beziehe dies auf den Sachzusammenhang.
$p$ beschreibt die Wachstumsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Pro Monat nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche also um ca. $450\,\%$ zu.
2.1
$\blacktriangleright$  Nullstellen berechnen
Gesucht sind die Nullstellen von $g$. Setze also $g(t) = 0$ und löse die Gleichung nach $t$.
$\begin{array}[t]{rll} 0&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t} \neq 0 \\[5pt] 0&=& -0,5t^2 +t +2&\quad \scriptsize \mid\; : (-0,5) \\[5pt] 0&=& t^2 - 2t-4&\quad \scriptsize \mid\; p-q-\text{Formel} \\[5pt] t_{1,2}&=& -\dfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2 - (-4)} \\[5pt] &=& 1\pm \sqrt{5} \\[5pt] t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&\approx& 3,24 \\[5pt] t_2&\approx& -1,24\\[5pt] \end{array}$
Da $t\geq 0$ vorgegeben ist, ist die einzige Nullstelle von $g$ im betrachteten Bereich $t_1 \approx 3,24.$
$\blacktriangleright$  Extremstellen berechnen
Für eine Extremstelle $t_E$ benötigst du die beiden folgenden Kriterien:
  • Notwendiges Kriterium: $\, g'(t_E)=0$
  • Hinreichendes Kriterium:
    • Ist $f''(t_E)> 0$, handelt es sich um eine Minimalstelle.
    • Ist $f''(t_E)< 0$, handelt es sich um eine Maximalstelle.
Du kannst also wie folgt vorgehen:
  1. Bestimme die erste Ableitungsfunktion $g'$, die zweite ist dir in der Aufgabenstellung gegeben.
  2. Wende das notwendige Kriterium an, indem du $g'(t)=0$ setzt und nach $t$ löst.
  3. Überprüfe das hinreichende Kriterium, indem du die Lösung aus 2. in $g''(t)$ einsetzt. So bestimmst du gleichzeitig die Art der Extrema.
1. Schritt: Ableitungsfunktion bestimmen
Verwende die Produkt- und die Kettenregel.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] g'(t)&=& \left(2\cdot (-0,5)t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(-0,5t^2 +t +2 \right)\cdot (-0,5)\mathrm e^{-0,5\cdot t}\\[5pt] &=& \left(-t +1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \left(0,25t^2 -0,5t -1 \right)\mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[10pt] &=& \left(-t +1+ 0,25t^2 -0,5t -1 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] &=& \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] g''(t)&=& \left(-0,125t^2+1,25t-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} \\[5pt] \end{array}$
$ g'(t)= … $
2. Schritt: Notwendiges Kriterium anwenden
Durch Gleichsetzen von $g'(t)$ mit null, erhältst du mögliche Extremstellen:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t)&=&0 \\[5pt] \left(0,25t^2 -1,5t\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; : \mathrm e^{-0,5\cdot t}\neq 0 \\[5pt] 0,25t^2 -1,5t&=&0 \\[5pt] t\cdot (0,25t-1,5) &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;t_1 = 0 \\[5pt] 0,25t-1,5 &=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+1,5 \\[5pt] 0,25t&=&1,5&\quad \scriptsize \mid\;: 0,25\\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} t_1&=& 0 \\[5pt] t_2&=& 6 \end{array}$
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 0^2+1,25\cdot 0-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=& \left(-0,125\cdot 6^2+1,25\cdot 6-1,5 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 6} \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} g''(t_1)&=&g''(0) \\[5pt] &=& -1,5 < 0\\[10 pt] g''(t_2)&=&g''(6) \\[5pt] &=&1,5\cdot \mathrm e^{-3} \\[5pt] &\approx& 0,07 > 0 \end{array}$
$g$ besitzt die Maximalstelle $t_1 = 0$ und die Minimalstelle $t_2 = 6$.
2.2
$\blacktriangleright$  Nullstellen im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $g$ beschreibt die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche. Ist $g(t)=0$, nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ also weder zu noch ab. Dies ist ein notwendiges Kriterium für eine Extremstelle der Funktion $G$, die den Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt $t$ beschreibt.
Der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche kann hier also sein Maximum bzw. Minimum annehmen.
Nach Modell $B$ nimmt der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche zum Zeitpunkt ca. $3,24$ Monate nach Beobachtungsbeginn weder zu noch ab. Zu diesem Zeitpunkt könnte der Flächeninhalt sein Maximum bzw. Minimum erreicht haben.
$\blacktriangleright$  Extremstellen im Sachzusammenhang deuten
Zum Zeitpunkt $t_1 = 0$ nimmt $g$ ein Maximum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am größten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am schnellsten aus.
Zum Zeitpunkt $t_2 = 6$ nimmt $g$ ein Minimum an. Hier ist die Änderungsrate des Flächeninhalts der mit Algen bedeckten Fläche also am kleinsten, die Algen breiten sich zu diesem Zeitpunkt am langsamsten aus oder reduzieren ihren Bestand sogar.
Nach Modell $B$ breitet sich die Algenart zu Beobachtungsbeginn am schnellsten aus. $6$ Monate nach Beobachtungsbeginn ist das Algenwachstum dagegen am langsamsten.
2.3
$\blacktriangleright$  Integrationsmethode benennen
Der Funktionsterm von $g$ setzt sich aus zwei Faktoren zusammen. Zur Bestimmung der Stammfunktionen solcher Funktionen wird häufig die partielle Integration verwendet:
$\displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx = \left[f(x)\cdot g(x)\right]_a^b- \displaystyle\int_{a}^{b}f'(x)\cdot g(x)\;\mathrm dx$
$ \displaystyle\int_{a}^{b}\left(f(x) \cdot g'(x)\right)\;\mathrm dx =… $
Vergleichst du diese mit dem Ansatz in Material 1, stellst du fest, dass hier die partielle Integration verwendet wird.
$\blacktriangleright$  Herleitung vervollständigen
Wende die Formel von oben erneut an.
$\begin{array}[t]{rll} & \left(t^2-2t-4\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + \displaystyle\int \left(-2t+2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2-2t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}+(-2t +2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int(-2)\cdot (-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2 -2t -4+4t-4 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - \displaystyle\int 4\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t}\;\mathrm dt \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8\right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} - 4\cdot(-2)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +C \\[5pt] =& \left(t^2+2t-8 +8 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] =& \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C \\[5pt] \end{array}$
$ G(t)= \left(t^2+2t \right)\cdot …$
Insgesamt gilt also für die Stammfunktionen von $g$:
$G(t) = \left(t^2+2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + C $
#partielleintegration
2.4
$\blacktriangleright$  Bedingungen untersuchen
Zu Modell $B$ ist dir die Funktion $g$ gegeben, die die Änderungsrate des Inhalts der mit Algen bedeckten Fläche beschreibt. Oben hast du bereits die Gleichungen der Stammfunktionen $G$ von $g$ bestimmt.
Da $g$ die Änderungsrate beschreibt, kann $G$ verwendet werden, um den Flächeninhalt zum Zeitpunkt $t$ zu beschreiben. Gesucht ist nun $C$, damit $G$ näherungsweise die Werte aus dem Einführungstext erfüllt.
Setze also die Werte wie in Aufgabe 1.1 in $G(t)$ ein und löse nach $C$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} G(0)&=&0,1 \\[5pt] \left(0^2+2\cdot 0 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 0} + C&=& 0,1 \\[5pt] C&=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ C= 0,1 $
Überprüfe damit auch den zweiten Wert aus dem Einführungstext. Nach zwei Monaten bedeckt die Algenart ca. $3\,\text{a}$ des Sees, also $G(2)=3$.
$\begin{array}[t]{rll} G(2)&=& \left(2^2+2\cdot 2 \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot 2} +0,1 \\[5pt] &=& 8\cdot \mathrm e^{-1} + 0,1 \\[5pt] &\approx& 3,04\\[5pt] &\approx& 3 \end{array}$
$ G(2) \approx 3 $
Mit $C= 0,1$ passt Modell $B$ näherungsweise zu den im einleitenden Text beschriebenen Werten.
3.
$\blacktriangleright$  Grenzwert bestimmen
Gesucht ist der Grenzwert $\lim\limits_{t\to+\infty}h(t)$. Der Funktionsterm von $h(t)$ ist ein Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht. Betrachte also zunächst den Nenner und bilde anschließend den Grenzwert der gesamten Funktion.
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right)&=& 0,1+ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}\right) \\[5pt] &=& 0,1+ 3,4\cdot \underbrace{\lim\limits_{t\to+\infty} \dfrac{1}{\mathrm e^{2,66\cdot t}}}_{= 0}\\[5pt] &=& 0,1 \\[5pt] \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty} \left(0,1 + …\right) = 0,1 $
Insgesamt erhältst du damit:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty}h(t)&=& \lim\limits_{t\to+\infty}\dfrac{0,35}{0,1 + 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}} \\[5pt] &=& \dfrac{0,35}{0,1} \\[5pt] &=& 3,5 \end{array}$
$ \lim\limits_{t\to+\infty}h(t) = 3,5$
$\blacktriangleright$  Grenzwert im Sachzusammenhang deuten
Die Funktion $h$ beschreibt im Modell $C$ den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees. Der Grenzwert beschreibt die Entwicklung auf lange Sicht.
Auf lange Sicht werden nach Modell $C$ ca. $3,5\,\text{a}$ des Sees mit der Algenart bedeckt sein.
4.
$\blacktriangleright$  Graphen zuordnen
Du sollst die Graphen $\text{(I)}$,$\text{(II)}$ und $\text{(III)}$ den Modellen $A$, $B$ und $C$ zuordnen. Die Graphen beschreiben den Inhalt der mit Algen bedeckten Fläche des Sees in Abhängigkeit von der Zeit $t$.
Stelle zunächst alle entsprechenden Funktionsgleichungen zusammen:
  • $A$: $f(t) = 0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t}$
  • $B$:
    $G(t)= \left(t^2 +2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} +0,1$
    $ G(t)= … $
  • $C$:
    $h(t)= \dfrac{0,35}{0,1+ 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}}$
    $h(t)= \frac{0,35}{0,1+ 3,4\cdot \mathrm e^{-2,66\cdot t}}$
Betrachte die drei Graphen und suche nach Auffälligkeiten. Ordne anhand dieser Auffälligkeiten zu, indem du Ergebnisse aus den letzten Aufgabenteilen verwendest. Alternativ kannst du auch die Funktionswerte für einen Wert von $t$ berechnen und mit den Graphen abgleichen.
Die drei Graphen unterscheiden sich beispielsweise auffällig in den Grenzwerten für $t \to +\infty$. Für $h(t)$ hast du diesen bereits berechnet:
$\lim\limits_{t\to+\infty} h(t) = 3,5$
Der zur Funktion $h$ und damit zum Modell $C$ gehörige Graph ist daher $\text{(II)}$.
Für $f$ und $G$ ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)&=& \lim\limits_{t\to+\infty}\left(0,1\cdot \mathrm e^{1,7\cdot t} \right) \\[5pt] &=& +\infty \\[10pt] \lim\limits_{t\to+\infty}G(t)&=&\lim\limits_{t\to+\infty}\left( \left(t^2 +2t \right)\cdot \mathrm e^{-0,5\cdot t} + 0,1 \right)\\[5pt] &=& 0,1 + \lim\limits_{t\to+\infty}\left( \underbrace{\left(t^2 +2t \right)}_{\to +\infty}\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,5\cdot t}}_{\to 0}\right) \\[5pt] &=& 0,1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)&=& +\infty \\[10pt] \lim\limits_{t\to+\infty}G(t)&=& 0,1 \end{array}$
Damit kannst du die anderen zwei Graphen zuordnen:
Zur Funktion $f$ und damit zu Modell $A$ gehört Graph $\text{(III)}$.
Zu $G$ und damit zum Modell $B$ gehört Graph $\text{(I)}$.
$\blacktriangleright$  Eignung erörtern
Du sollst erörtern, wie realistisch die drei Modelle im Sachzusammenhang sind. Beachte dabei Faktoren, wie Nahrungsangebot oder eine mögliche Begrenzung der Fläche.
Im Modell $A$ würde sich die Algenart unbegrenzt ausbreiten. Der See hat allerdings eine begrenzte Größe, bis zu der sich die Algen höchstens ausbreiten können. Modell $A$ ist daher nur bis zu einem gewissen Punkt realistisch, auf lange Sicht aber nicht.
Im Modell $B$ würde der Flächeninhalt der mit Algen bedeckten Fläche bis zu einem Wert von ca. $3,5\,\text{a}$ ansteigen und dann bis zu einem Wert von ca. $0,1 \text{a}$ abnehmen. Dies könnte zum Beispiel durch den erhöhten Nährstoffverbrauch bei einem großen Bestand oder beispielsweise niedrigeres Nährstoffangebot im Winter erklärt werden.
Modell $B$ könnte also durchaus realistisch sein.
In Modell $C$ wächst der Flächeninhalt bis zu einem Wert von ca. $3,5\,\text{a}$ und bleibt dann näherungsweise bei diesem. Das könnte einerseits an der begrenzten Fläche des Sees oder auch an dem begrenzten Nahrungsangebot liegen, das eventuell für in etwa diesen Bestand auf Dauer ausreicht.
Insgesamt können also Modell $B$ und $C$ als realistisch eingestuft werden, wohingegegen Modell $A$ nicht realistisch ist.
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