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Aufgaben
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Eine Schokoladenglocke soll mathematisch modelliert werden. Dazu werden an sieben verschiedenen Stellen die Radien der Glocke gemessen. Im Material 1 sind die Messdaten als Punkte eingetragen. Die Punkte liegen auf dem oberen Rand der Querschnittsfläche, die bei einem Querschnitt durch eine Symmetrieebene der Glocke entsteht. Durch Rotation des oberen Randes der Querschnittsfläche um die $x$-Achse erhält man die Glockenform.
Die Wertetabelle gibt die im Koordinatensystem eingetragenen Punkte an. Eine Einheit entspricht dabei einem Zentimeter.

$x$$-1,5$$-1,0$$-0,5$$0,0$$0,5$$1,0$$1,5$
$y$$0,00$$0,55$$0,80$$1,00$$1,20$$1,45$$2,00$


1.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem ersten Modell anhand der in der Wertetabelle gegebenen Punkte annähernd durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion $f$ beschrieben werden.
1.1
Begründe unter Verwendung von Material 1, warum die ganzrationale Funktion $f$ mindestens dritten Grades sein muss.
(4P)
#ganzrationalefunktion
1.2
Bestimme eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades so, dass ihr Graph durch $(0,5\;|\;1,20)$ und $(1,5\;|\;2,00)$ verläuft und in $(0,0\;|\;1,00)$ einen Wendepunkt besitzt.
(8P)
#wendepunkt
2.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem zweiten Modell annähernd durch den Graphen der Funktion $g$ mit $g(x)=0,16x^3+0,34x+1$ beschrieben werden.
Bestimme als Näherungswert für das Volumen der Glocke das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion $g$ im Intervall $[-1,5;1,5]$ um die $x$-Achse entsteht.
(3P)
#rotation
3.
Die Form des oberen Randes der Querschnittsfläche soll in einem dritten Modell in einer Umgebung von $x=0$ für eine geeignete Wahl des Parameters $t$ näherungsweise durch einen Graphen der Funktionenschar $f_t$ mit $f_t(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{tx}-\mathrm{e}^{-tx}}{5t}+1$ und $t\neq0$ beschrieben werden (Material 2).
3.1
Bestätige, dass für $t=1,183$ der Graph von $f_t$ durch den Punkt $(1,000\;|\;1,500)$ verläuft, wenn man auf drei Nachkommastellen rundet.
(2P)
#punktprobe#funktionenschar
3.2
Zeige, dass alle Graphen der um eine Einheit in Richtung der negativen $y$-Achse verschobenen Schar $f_t$ punktsymmetrisch zum Ursprung sind, und stelle dar, was sich hieraus für die Symmetrieeigenschaft der Graphen der Schar $f_t$ ergibt.
(5P)
#symmetrie
3.3
Zeige, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen, und entscheide, ob dort ein Wechsel von einer Rechts- in eine Linskrümmung oder ein Wechsel von einer Links- in eine Recktskrümmung erfolgt.
(7P)
#krümmung#wendepunkt
4.
Die Schokoladenglocke soll mit Blattgold verziert werden. Dazu wird eine extrem dünne, essbare Blattgoldfolie benötigt. Das Blattgold soll in einem Streifen von $x_1=0$ bis $x_2=1$ rund um die Glocke aufgetragen werden. Um einen ersten Näherungswert für den Materialbedarf zu erhalten, wird zunächst vereinfachend eine Funktion $k$ betrachtet, deren Graph vom Punkt $(0\;|\;1)$ bis zum Punkt $(1\;|\;1,5)$ geradlinig verläuft und in diesem Intervall um die $x$-Achse rotiert. Es ergibt sich die Form eines geraden Kegelstumpfs. Als Maß für den Materialbedarf dient der Flächeninhalt der Mantelfläche des Kegelstumpfs.
4.1
Zeige, dass beim Bestimmen des Flächeninhalts der Mantelfläche des Kegelstumpfs, der bei Rotation des Graphen von $k$ für $0\leq x\leq 1$ um die $x$-Achse entsteht, beide in Material 3 angegebenen Methoden A und B zum gleichen Ergebnis führen.
(7P)
#rotation
4.2
Bestimme mithilfe der Methode A den Inhalt der mit Blattgold bedeckten Fläche unter Verwendung der Funktion $g(x)=0,16x^3+0,34x+1$ aus Aufgabe 2 und vergleiche das Ergebnis mit dem Ergebnis aus Aufgabe 4.1.
(4P)
#rotation#funktionswert

Material 1



Material 2



Material 3


Methode A:
Lässt man den Graphen einer Funktion $f$ für $x_1 \leq x \leq x_2$ um die $x$-Achse rotieren, dann lässt sich der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche des Rotationskörpers folgendermaßen mithilfe eines Integrals ermitteln:
$M=2\pi\cdot\displaystyle\int_{x_1}^{x_2} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx$ für $f(x)\geq0$

Methode B:
Der Flächeninhalt $M$ der Mantelfläche eines geraden Kreiskegelstumpfs lässt sich mit folgender Formel berechnen:
$M=\pi\cdot(r_1+r_2)\cdot\;s$

Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$f''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführen allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
2.
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch die Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,16x^3+0,34x+1$
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die x-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
3.1
$\blacktriangleright$  Zeige, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen liegt
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch die Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst zeigen, dass für $t=1,183$ der Graph durch den Punkt $(1,000\mid 1,500)$ verläuft, sofern man auf drei Nachkommastellen rundet.
Dazu setzt du den $x$-Wert $x=1$ und den $t$-Wert $t=1,183$ in den Funktionsterm der Schar ein und rundest das Ergebnis dann auf die dritte Nachkommastelle.
3.2
$\blacktriangleright$  Punktsymmetrie und Symmetrieeigenschaften von Funktionenscharen untersuchen
Du sollst zeigen, dass die um eins in negative $y$-Richtung verschobenen Graphen der Funktionenschar $f_t$, punktsymmetrisch sind und darstellen, was sich hieraus für die Symmetrieeigenschaft der Graphen der Schar $f_t$ ergibt, also ob $f_t$ in Symmetrie zu $f_{-t}$ steht..
Für eine Funktion, die punktsymmetrisch ist, gilt allgemein
$f(-x)=-f(x)$
$f(-x)=-f(x)$
Zur Untersuchung der Symmetrie bezüglich $t$ gehst du ähnlich wie bei der Punktsymmetrie vor und betrachtest die Schar für $-t$.
3.3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Anschließend sollst du entscheiden, ob sich an dem Wendepunkt die Krümmung von links nach rechts ändert oder von rechts nach links.
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Um zu entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert setzt du den Punkt in die dritte Ableitung der Schar und überprüfst, ob das Ergebnis größer oder kleiner als Null ist.
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätz werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion $g(x)=0,16x^3+0,34x^2+1$ im Intervall [-1,5, 1,5] beschrieben wird. Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche mit Hilfe folgender Funktion:
$ M = 2\pi\cdot\displaystyle\int_{-1,5} ^{1,5}g(x)\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx $
Dieses Integral kannst du mit deinem Taschenrechner lösen.
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Grad der Funktion begründen
Du sollst begründen, dass die Funktion, die die Punkte aus der Wertetabelle abbildet, mindestens dritten Grades ist.
Achte auf Extrem- und Wendepunkte und überlege, welche dieser Punkte eine Funktion nten Grades aufweisen kann.
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion ersten Grades besitzt weder Extrem- noch Wendepunkte
  • Der Graph einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades ist parabelförmig und besitzt einen Hoch- oder Tiefpunkt.
  • Der Graph einer ganzrationale Funktion dritten (oder höheren) Grades kann neben Extrem- auch Wendepunkte besitzen, also Punkte, an denen sich die Krümmung ändert aber die Steigung ihr Vorzeichen beibehält.
Betrachtest du nun den beschriebenen Graphen, wird dir auffallen, dass vom Punkt $(-1,5\mid 0,0)$ bis zum Punkt $(0,0\mid 1,0)$ eine positive Steigung auftritt, die langsam abflacht. Vom Punkt $(0,0\mid 1,0)$ bis zum Punkt $(1,5\mid 2,0)$ gibt es ebenfalls eine positive Steigung, die zunimmt. Es handelt sich bei $(0,0\mid 1,0)$ also um einen Wendepunkt. Es muss sich somit um eine ganzrationale Funktion mindestens dritten Grades handeln.
#ganzrationalefunktion#wendepunkt#ableitung#extrempunkt
1.2
$\blacktriangleright$  Ganzrationale Funktion dritten Grades bestimmen
Du sollst eine ganzrationale Funktion $f$ dritten Grades aus den Punkten $P_1(0,5\mid 1,2)$, $P_2(1,5\mid 2,0)$ und $W(0,0\mid 1,0)$ bestimmen, wobei $W(0,0\mid 1,0)$ ein Wendepunkt ist.
Allgemein gilt für Funktionen dritten Grades
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$
Das notwendige Kriterium für Wendepunkte ist, dass die zweite Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null ist.
$f''(x_W)=0$
Mit Hilfe dieser Bedingung, der oben aufgeführen allgemeinen Form der Funktion und den gegebenen Koordinaten der Punkte kannst du ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Damit lassen sich dann die Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ bestimmen.
Die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion dritten Grades sieht folgendermaßen aus:
$p''(x_W)=6ax_W+2b=0$
Somit ergeben sich die folgenden Bedingungen
$\begin{array}[t]{rll} f(0,5)&\stackrel{!}{=}& 1,2 \\[5pt] f(1,5)&\stackrel{!}{=}& 2 \\[5pt] f(0)&\stackrel{!}{=}& 1 \\[5pt] f''(0)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \end{array}$
Diese Bedingungen führen zu dem nun aufgeführten Gleichungssystem
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=& a\cdot0,5^3+b\cdot0,5^2+c\cdot0,5+d \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+b\cdot1,5^2+c\cdot1,5+d \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3+b\cdot0^2+c\cdot0+d \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& 1,2&=&a\cdot0,5^3+ … \\[5pt] &\text{II}& 2,0&=& a\cdot1,5^3+… \\[5pt] &\text{III}& 1,0&=& a\cdot0^3… \\[5pt] &\text{IV}& 0,0&=& 6a\cdot0+2b \\[5pt]\end{array}$
Die letzte Gleichung liefert dir direkt, dass $b=0$. Außerdem muss laut $\text{III }d=1$ sein. Um nun noch $a$ und $c$ zu berechnen, setzt du deine bisherigen Ergebnisse in das Gleichungssytem ein und löst das Gleichungssystem 2 mit zwei Gleichungen (zur Vereinfachung werden die Dezimalzahlen nun in Brüchen geschrieben).
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& \quad \dfrac{12}{10}&=& a\cdot\dfrac{1}{8}+c\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{10}{10} &\quad \scriptsize \mid\ \cdot(-3) \\[5pt] &\text{II}& \quad\dfrac{20}{10}&=& a\cdot\dfrac{27}{8}+c\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{10}{10} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& \quad \dfrac{12}{10}&=& a\cdot\dfrac{1}{8}+… \\[5pt] &\text{II}& \quad\dfrac{20}{10}&=& a\cdot\dfrac{27}{8}+… \\[5pt] \end{array}$
Nachdem du $\text{I}$ mit $-3$ multipliziert hast, kannst du Gleichung $\text{Ia}$ und Gleichung $\text{II}$ addieren und so den Term mit $c$ eliminieren. Du erhältst so die Gleichung $\text{II'}$
$\begin{array}{} &\text{Ia}& \quad \dfrac{-36}{10}&=& -a\cdot\dfrac{3}{8}-c\cdot\frac{3}{2}-\dfrac{30}{10} \\[5pt] &\text{II}& \quad\dfrac{20}{10}&=& a\cdot\dfrac{27}{8}+c\cdot\dfrac{3}{2}+\dfrac{10}{10} \quad \scriptsize\mid\;\text{Rechne: }\text{I}+\text{II}\\[5pt] \hline &\text{II'}& \quad \dfrac{-16}{10}&=&\dfrac{24}{8}a-\dfrac{20}{10} \\[5pt] \end{array}$
$ \text{II'} \quad\dfrac{-16}{10}=\dfrac{24}{8}a-\dfrac{20}{10} $
Aus Gleichung $\text{II'}$ kann $a$ bestimmt werden.
$\begin{array}[t]{rll} &\text{II'}& \quad \dfrac{-16}{10}&=&\dfrac{24}{8}a-\dfrac{20}{10} &\quad \scriptsize \mid\ +\dfrac{20}{10} \\[5pt] &\text{II'}& \quad \dfrac{4}{10}&=&\dfrac{24}{8}a &\quad \scriptsize \mid\ \cdot\dfrac{8}{24} \\[5pt] && \quad\dfrac{2}{15}&=& a \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{2}{15}= a $
Nun kann $a$ in Gleichung $\text{I}$ eingesetzt werden, um so auf $c$ zu kommen:
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& \quad \dfrac{12}{10}&=&\dfrac{2}{15}\cdot\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{2}c+\dfrac{10}{10} &\quad \scriptsize \mid\ -\dfrac{10}{10} \\[5pt] &\text{I}& \quad \dfrac{2}{10}&=&\dfrac{1}{60}+\dfrac{1}{2}c &\quad \scriptsize \mid\ -\dfrac{1}{60} \\[5pt] &\text{I}& \quad \dfrac{11}{60}&=&\dfrac{1}{2}c &\quad \scriptsize \mid\ \cdot 2 \\[5pt] && \quad \dfrac{11}{30}&=& c \\[5pt] \end{array}$
$ \dfrac{11}{30}= c $
Eine Lösung der Funktion dritten Grades lautet somit
$f(x)=\dfrac{2}{15}x^3+\dfrac{11}{30}x+1$
#gleichungssystem#wendepunkt#ganzrationalefunktion
2.
$\blacktriangleright$  Volumenintegral berechnen
Du sollst das Volumen einer Glocke berechnen. Die Querschnittsfläche der Glocke wird durch die Funktion $g(x)$ begrenzt:
$g(x)=0,16x^3+0,34x+1$
Das Volumen soll durch die Rotation der Querschnittsfläche um die x-Achse beschrieben werden. Die Rotation geschieht in dem Intervall [-1,5; 1,5].
Die allgemeine Form des Volumenintegrals bei Rotation um die x-Achse im Intervall [a; b] ist beschrieben durch die Gleichung
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
$V(x)=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2\;\mathrm dx$
Setzt du nun den Funktionterm $g(x)$ in diese Gleichung ein, kommst du auf
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=&\pi \displaystyle\int_{-1,5}^{1,5}(0,16x^3+0,34x+1)^2\;\mathrm dx \\[5pt] V(x)&=&\pi \displaystyle\int_{-1,5}^{1,5}(0,16^2x^6+2\cdot 0,34\cdot0,16x^4+2\cdot 0,16x^3 + 0,34^2x^2+2\cdot0,34x+1)\;\mathrm dx \\[5pt] V(x)&=&\pi \cdot \left[\dfrac{1}{7}\cdot0,16^2x^7+\dfrac{1}{5}\cdot0,34\cdot 0,32 x^5+0,08x^4+\dfrac{1}{3}\cdot0,34^2x^3+0,34x^2+x\right]_{-1,5}^{1,5} \end{array}$
$ V(x)= \pi \cdot [… $
Nun musst du die Grenzen einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=&\pi \cdot \left(\dfrac{1}{7}\cdot0,16^2\cdot(1,5)^7+\dfrac{1}{5}\cdot0,34\cdot 0,32\cdot (1,5)^5+0,08\cdot(1,5)^4 \right. \\[5pt] &&\left. +\dfrac{1}{3}\cdot 0,34^2\cdot(1,5)^3+0,34\cdot(1,5)^2+1,5\right)\\[5pt] &&- \pi \cdot \left(\dfrac{1}{7}\cdot0,16^2\cdot(-1,5)^7+\dfrac{1}{5}\cdot0,34\cdot 0,32\cdot (-1,5)^5+0,08\cdot(-1,5)^4 \right. \\[5pt] &&\left. +\dfrac{1}{3}\cdot 0,34^2\cdot(-1,5)^3+0,34\cdot(-1,5)^2-1,5\right) \\[5pt] \end{array}$
$ V(x)= \pi \cdot (… $
Durch sinnvolles Ausklammern, kann dieser längliche Term vereinfacht werden.
Kleiner Tipp: $(-1,5)^n=(1,5)^n$ für n gerade und $(-1,5)^k=-(1,5)^k$ für k ungerade.
$\begin{array}[t]{rll} V(x)&=& 2\cdot \pi\cdot 1,5 \cdot \left( \dfrac{1}{7}\cdot 0,16^2\cdot(1,5)^6 +\dfrac{1}{5}\cdot 0,34\cdot 0,32\cdot (1,5)^4 +\dfrac{1}{3}\cdot 0,34^2\cdot(1,5)^2+1\right) \\[5pt] &\approx& 11,673 \end{array}$
$ V(x) \approx 11,673$
#rotationsvolumen#integral
3.1
$\blacktriangleright$  Zeige, ob ein bestimmter Punkt auf dem Graphen liegt
Der obere Rand der Querschnittsfläche einer Schokoladenglocke soll durch die Funktionenschar
$f_t(x)=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}+1; \quad t\neq 0$
beschrieben werden
Du sollst zeigen, dass für $t=1,183$ der Graph durch den Punkt $(1,000\mid 1,500)$ verläuft, sofern man auf drei Nachkommastellen rundet.
Dazu setzt du den $x$-Wert in den Funktionsterm der Schar ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_t(1,000)&=&\dfrac{e^{1,183\cdot 1}-e^{-1,183\cdot 1}}{5\cdot 1,183}+1 \\[5pt] &=& 0,500049654+1 \\[5pt] &=& 1,500049654 \\[5pt] \end{array}$
Dies auf die dritte Kommastelle gerundet, ergibt folgendes:
$ f_t(1,000)=1,500 $
Dadurch hast du gezeigt, dass der Punkt $(1,000\mid 1,500)$ für $t=1,183$ auf dem Graphen liegt.
#punktprobe#funktionenschar
3.2
$\blacktriangleright$  Punktsymmetrie und Symmetrieeigenschaften von Funktionenscharen untersuchen
Du sollst zeigen, dass die um eins in negative $y$-Richtung verschobenen Graphen der Funktionenschar $f_t$, punktsymmetrisch sind und darstellen, was sich hieraus für die Symmetrieeigenschaft der Graphen der Schar $f_t$ ergibt, also ob $f_t$ in Symmetrie zu $f_{-t}$ steht..
Zunächst verschiebst du die Schar um eins in negative $y$-Richtung, sprich, du ziehst vom Funktionsterm eins ab:
$f_t(x)-1=\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t}$
Als nächstes zeigst du die Punktsymmetrie. Für eine Funktion, die punktsymmetrisch ist, gilt allgemein
$f(-x)=-f(x)$
$f(-x)=-f(x)$
Setze nun $-x$ in die gegebene Funktionenschar ein
$f_t(-x)=\dfrac{e^{-tx}-e^{tx}}{5t}$
und forme den Funktionsterm soweit um, bis die Bedingung für die Punktsymmetrie gezeigt ist.
$\begin{array}[t]{rll} f_t(-x)&=&\dfrac{e^{-tx}-e^{tx}}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-(-e^{-tx})+(-e^{tx})}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{(-e^{tx})-(-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-1\cdot(e^{tx} - e^{-tx})}{5t} \\[5pt] &=& -\dfrac{e^{tx}-e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=& -f_t(x) \\[5pt] \end{array}$
Als nächstes betrachtest du die Symmetrie bezüglich $t$. Dazu gehst du ähnlich wie eben bei der Punktsymmetrie vor und betrachtest die Schar für $-t$:
$\begin{array}[t]{rll} f_{-t}(x)&=&\dfrac{e^{-tx}-e^{tx}}{-5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-e^{tx}+e^{-tx}}{-5t} \\[5pt] &=& \dfrac{-1(e^{tx}- e^{-tx})}{(-1)\cdot5t} \\[5pt] &=& \dfrac{e^{tx}- e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=& f_t(x) \\[5pt] \end{array}$
Es gilt also
$f_{-t}(x)=f_t(x)$.
#punktsymmetrie#symmetrie
3.3
$\blacktriangleright$  Wendepunkt bestimmen und Krümmungsverhalten untersuchen
Du sollst zeigen, dass alle Graphen der Schar $f_t$ genau einen Wendepunkt besitzen. Anschließend sollst du entscheiden, ob sich an dem Wendepunkt die Krümmung von links nach rechts ändert oder von rechts nach links.
Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung an diesem Punkt gleich Null ist:
$f_t''(x_W)\stackrel{!}{=}0$
Du leitest die Funktion also zunächst zweimal nach $x$ ab (Achtung: nicht Ausversehen nach $t$ ableiten, $t$ wird hier wie eine Konstante behandelt).
$\begin{array}[t]{rll} f_t'(x)&=&\dfrac{te^{tx}+te^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t''(x)&=&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] \end{array}$

Nun setzt du die zweite Ableitung gleich Null und überprüfst und berechnest, für welche $x$ die Gleichung erfüllt ist.

$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}&\dfrac{t^2e^{tx}-t^2e^{-tx}}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{t^2(e^{tx}-e^{-tx})}{5t} \\[5pt] \end{array}$
Diese Gleichung ist nach dem Satz vom Nullprodukt erfüllt, wenn die Klammer im Zähler gleich Null ist
$\begin{array}[t]{rll} 0&\stackrel{!}{=}& e^{tx}-e^{-tx} &\quad \scriptsize \mid\ +e^{-tx} \\[5pt] e^{tx}&=&e^{-tx}&\quad \scriptsize \mid\ \ln() \\[5pt] tx&=& -tx \\[5pt] \end{array}$
Die letzte Gleichung ist nur erfüllt, wenn $t$ oder $x$ gleich Null ist. Da aber die Bedingung für die Kurvenschar ist, dass $t\neq 0$, kann nur gelten
$x=0$
Es gibt keinen anderen $x$ Wert, der diese Gleichung erfüllt.
Wenn du $x=0$ nun in die Kurvenschar einsetzt, kommst du auf den Wendepunkt
$f_t(x_W=0)=1$
Als nächstes sollst du entscheiden, wie sich die Krümmung an dem Wendepunkt ändert. Dazu setzt du den Punkt in die dritte Ableitung der Schar
$\begin{array}[t]{rll} f_t'''(x)&=&\dfrac{t^3e^{tx}+t^3e^{-tx}}{5t} \\[5pt] f_t'''(x_W=0)&=&\dfrac{t^3\cdot 1+t^3\cdot 1}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2\cdot t^3}{5t} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{5}t^2 \\[5pt] &>& 0\\[5pt] \end{array}$
Die letzte Ungleichung gilt, da $t\neq 0$ und $t^2>0$.
Ist die dritte Ableitung am Wendepunkt einer Funktion größer Null, erfolgt an diesem Wendepunkt eine Änderung der Krümmung von rechts nach links.
#krümmung#ableitung#wendepunkt
4.1
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen und Methodenvergleich durchführen
Um eine Schokoladenglocke mit Blattgold zu verzieren, soll der Materialbedarf abgeschätz werden. Dazu sollst du den Flächeninhalt der Mantelfläche eines Kegelstumpfs bestimmen. Dieser Kegel entsteht durch Rotation der Funktion $k$ um die $\color{#87c800}{x}$-Achse im Intervall [0,1]. Der Graph von $k$ verläuft geradlinig vom Punkt $(0\mid 1)$ zum Punkt $(1\mid 1,5)$.
In Material 3 werden dir die Methoden A und B zur Berechnung des Flächeninhalts vorgestellt. Du sollst nun zeigen, dass beide Methoden dasselbe Ergebnis für den oben beschriebenen Kegel liefern. Gehe dazu nach folgenden Schritten vor:
  1. Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
  2. Mantelfläche nach Methode A berechnen
  3. Mantelfläche nach Methode B berechnen
  4. Ergebnisse vergleichen
1. Schritt: Funktionsgleichung $k(x)$ aufstellen
Stelle die Funktionsgleichung $k(x)$ auf indem du die gegeben Koordinaten in die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Grades einsetzt. Die allgemeine Form der Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion ersten Gradeslautet
$f(x)=ax+b$
$f(x)=ax+b$
Um auf die Steigung $a$ und den y-Achsenabschnitt $b$ zu kommen, setzt du die Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$ ein und löst das so entstandene Gleichungssystem.
$\begin{array}[t]{rll} &\text{I}& k(0)&=& 1 \\[5pt] && 1&=& a\cdot 0+b \\[5pt] && 1&=& b \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\text{II}& k(1)&=& 1,5\\[5pt] && 1,5&=& a \cdot 1 +b ;&\quad \text{setze $b=1$ ein}\\[5pt] && 1,5&=& a +1 &\quad \mid\ -1\\[5pt] && 0,5&=& a\\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $k(x)$ hat also folgende Funktionsgleichung:
$k(x)=0,5x+1$
Die Funktionsgleichung lautet dann $ k(x)=0,5x+1 $
2. Schritt: Mantelfläche nach Methode A berechnen
Berechne nun die Mantelfläche mit Methode A
$M_A=2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1k(x)\sqrt{1+(k'(x))^2}\;\mathrm dx$
Wie du siehst, benötigst du die erste Ableitung der Funktion $k(x)$:
$k'(x)=0,5$
Nun kannst du die Mantelfläche $M$ mit Methode A berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\sqrt{1+0,5^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=& 2\pi\cdot\sqrt{1+0,5^2}\cdot\displaystyle\int_0 ^1(0,5x+1)\;\mathrm dx\\[5pt] &=& 2\pi\cdot\sqrt{1+0,5^2}\cdot \left[\frac{1}{2}\cdot0,5x^2+x\right]_0 ^1 \\[5pt] &=& 2\pi\cdot\sqrt{1+0,5^2}\cdot \left(\frac{1}{2}\cdot0,5\cdot1^2+1-(\frac{1}{2}\cdot0,5\cdot0^2+0)\right)\\[5pt] &=& 2\pi\cdot\sqrt{1+0,5^2}\cdot 1,25 \\[5pt] &=& 2,5 \pi\cdot\sqrt{1+0,5^2}\\[5pt] &=& 8,781 \\[5pt] \end{array}$
$ M_A=8,781 $
3. Schritt: Mantelfläche nach Methode B berechnen
Als nächstes folgt Methode B
$r_1$ is der Radius der kleineren Kreisfläche des Kegelstumpfes, $r_2$ der Radius der größeren Kreisfläche. Für den Kegelstumpf aus dieser Aufgabe sind die Werte für die beiden Radien die $y$-Werte der beiden Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} r_1&=& 1 \\[5pt] r_2&=& 1,5\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der Mantellinie $s$ ist gleich der Länge der Verbindungslinie der Punkte $(0\mid 1)$ und $(1\mid 1,5)$.
$\begin{array}[t]{rll} s&=&\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1-0)^2+(1,5-1)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{(1)^2+(0,5)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] \end{array}$
Wenn du nun $r_1$ , $r_2$ und $s$ in Methode B einsetzt, erhältst du das Ergebnis für die Mantelfläche:
$\begin{array}[t]{rll} M_B&=&\pi\cdot(1+1,5)\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=&\pi\cdot 2,5\cdot \sqrt{1+0,5^2} \\[5pt] &=& 8,781 \\[5pt] \end{array}$
4. Schritt: Vergleich der Ergebnisse
Vergleichst du nun beide Ergebnisse aus A und B, siehst du, dass es sich um das selbe Ergebnis handelt.
$M_A=M_B$
#kegel#rotation
4.2
$\blacktriangleright$  Mantelfläche bestimmen
Du hast wieder die Glockenform, die durch die Rotation des Graphen der Funktion $g(x)=0,16x^3+0,34x^2+1$ im Intervall [-1,5, 1,5] beschrieben wird. Mit Hilfe der Methode A sollst du nun den Flächeninhalt des Mantels dieser Glocke berechnen. Dazu leitest du die Funktion $g(x)$ zunächst einmal ab.
$g'(x)=3\cdot0,16x^2+0,34$
Dies muss nun in die Formel aus Methode A eingesetzt werden
$\begin{array}[t]{rll} M&=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}g(x)\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx\\[5pt] &=& 2\pi\cdot\displaystyle\int_{0} ^{1}(0,16x^3+0,34x+1)\sqrt{1+(3\cdot0,16x^2+0,34)^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Dieses Integral kannst du in deinen Taschenrechner eingeben, der dir das Ergebnis $M=8,613$ liefert.
$ M\approx 8,613 $
Ein Vergleich mit $M_A=8,781$ aus Aufgabe 4.1 zeigt dir, dass das hier berechnete Ergebnis ein um 0,168 geringerer Wert ist.
#rotation#integral
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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