D – Stochastik

Unter den Touristen eines Naturparks nutzen erfahrungsgemäß $14\,\%$ das Fahrrad für Ausflüge vor Ort. Im Folgenden werden diese Touristen als Radausflügler bezeichnet.
Es soll davon ausgegangen werden, dass in einer zufälligen Auswahl von Touristen des Naturparks die Anzahl der Radausflügler binomialverteilt ist.

Für eine Stichprobe werden $300$ Touristen des Naturparks zufällig ausgewählt.

1.1

Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich in der Stichprobe genau $36$ Radausflügler befinden.

(1 BE)

1.2

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Anzahl der Radausflügler in der Stichprobe um mindestens $10\,\%$ größer ist als der Erwartungswert für diese Anzahl.

(3 BE)

Um den Naturpark als Reiseziel attraktiver zu machen, setzt der dortige Tourismusverband Shuttlebusse ein. Die Fahrkarten für diese Busse können ausschließlich online gebucht werden und sind jeweils für einen bestimmten Tag gültig. Erfahrungsgemäß werden $80\,\%$ aller gebuchten Fahrkarten spätestens am Vortag der Fahrt gebucht. Von diesen spätestens am Vortag gebuchten Fahrkarten werden $90\,\%$ auch tatsächlich genutzt. Bei den restlichen, erst am Tag der Fahrt gebuchten Fahrkarten liegt dieser Anteil mit $95\,\%$ etwas höher.

2.1

Stelle den Sachverhalt in einem beschrifteten Baumdiagramm dar.

(3 BE)

2.2

Betrachtet wird eine zufällig ausgewählte, nicht genutzte Fahrkarte.
Beurteile die folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Fahrkarte spätestens am Vortag gebucht wurde, ist achtmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie erst am Tag der Fahrt gebucht wurde.

(3 BE)

Der Tourismusverband vermutet, dass sich der bisherige Anteil der Radausflügler unter den Touristen von $14\,\%$ durch den Einsatz der Shuttlebusse erhöht hat. Die Verantwortlichen planen die Durchführung eines Signifikanztests mit einem Signifikanzniveau von $8\,\%$ und der Nullhypothese „Der Anteil der Radausflügler unter allen Touristen liegt bei höchstens $14\,\%$ .“ Vor der Durchführung des Tests wird festgelegt, die Shuttlebusse nur dann weiterzubetreiben, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt wird.

2.3

Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von $500$ Touristen durchzuführen. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(5 BE)

2.4

Angenommen, der beschriebene Test wird auf der Grundlage einer Stichprobe von nur $200$ Touristen durchgeführt. In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn sich unter diesen mehr als $35$ Radausflügler befinden. Damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art höchstens $15\,\%$ beträgt, muss der tatsächliche Anteil der Radausflügler unter allen Touristen mindestens einen bestimmten Wert haben.
Ermittle diesen Wert auf ganze Prozent genau und beschreibe die Bedeutung des Fehlers zweiter Art im Sachzusammenhang.

(5 BE)

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1.1

Die Zufallsvariable $X,$ die die Anzahl der Radausflügler angibt, ist binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,14.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit folgt somit:

Rechenweg anzeigen

$P_{0,14}^{300}(X=36) \approx 4,2\,\%$

1.2

Für den Erwartungswert gilt:

$\mu=n\cdot p=300\cdot0,14=42$

Es gilt $42\cdot0,1=4,2$ und $42+4,2=46,2.$ Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,14}^{300}(X\geq46,2)&=&P_{0,14}^{300}(X\geq47) \\[5pt] &=&1-P_{0,14}^{300}(X\leq46) \\[5pt] &\approx&1-0,7757 \\[5pt] &=&0,2243 \\[5pt] &=&22,43\,\% \end{array}$

2.1

$A:$

„Die Fahrkarte wird spätestens am Vortag gebucht.“

$B:$

„Die Fahrkarte wird tatsächlich genutzt.“

2.2

$\begin{array}[t]{rlll} P_\overline{B}(A)&=& \dfrac{P\left(\overline{B}\cap A\right)}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,8\cdot0,1}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,08}{P\left(\overline{B}\right)} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} P_\overline{B}\left(\overline{A}\right)&=& \dfrac{P\left(\overline{B}\cap \overline{A}\right)}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,2\cdot0,05}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,01}{P\left(\overline{B}\right)} \end{array}$

Damit folgt:

$\begin{array}[t]{rlll} 8\cdot P_\overline{B}\left(\overline{A}\right)&=&8\cdot\dfrac{0,01}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{0,08}{P\left(\overline{B}\right)} \\[5pt] &=&P_\overline{B}(A) \end{array}$

Die Aussage aus der Aufgabenstellung ist somit richtig.

2.3

Die Nullhypothese liefert $p_0\leq0,14.$ Die Zufallsvariable $Y,$ die die Anzahl der Radausflügler angibt, ist somit binomialverteilt mit $n=500$ und $p=0,14$ und es wird der kleinstmögliche Wert von $k$ gesucht, sodass gilt:

$P_{0,14}^{500}(P\geq k)\leq8\,\%$

Stichprobenartiges Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,14}^{500}(P\geq 81)&=&1-P_{0,14}^{500}(P\leq 80) \\[5pt] &\approx&1-0,9102 \\[5pt] &=&0,0898 \\[5pt] &=&8,98\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,14}^{500}(P\geq 82)&=&1-P_{0,14}^{500}(P\leq 81) \\[5pt] &\approx&1-0,9286 \\[5pt] &=&0,0714 \\[5pt] &=&7,14\,\% \end{array}$

Die zugehörige Entscheidungsregel lautet somit, dass die Nullhypothese dann abgelehnt wird, wenn sich mindestens $82$ Radausflügler in der Stichprobe befinden.

2.4

Wert ermitteln

Es wird die kleinstmögliche Wahrscheinlichkeit $p$ gesucht, sodass gilt:

$P_p^{200}(X\leq35)\leq15\,\%$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,2}^{200}(P\leq 35)&\approx&0,2151 \\[5pt] &=&21,51\,\% \\[5pt] &\approx&22\,\% \end{array}$

$\begin{array}[t]{rlll} P_{0,21}^{200}(P\leq 35)&\approx&0,1284 \\[5pt] &=&12,84\,\% \\[5pt] &\approx&13\,\% \end{array}$

Der tatsächliche Anteil der Radausflügler muss somit mindestens $21\,\%$ betragen.

Sachzusammenhang beschreiben

Die Verantwortlichen entscheiden sich dafür, den Betrieb der Shuttlebusse einzustellen, obwohl der Anteil der Radausflügler auf über $14\,\%$ gestiegen ist.

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