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Aufgaben
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Der Lärchenwickler zählt zu den Forstschädlingen. Er ruft besonders schwere Schäden bei der in den Alpen verbreiteten Europäischen Lärche hervor.
1
Ende April eines jeden Jahres fangen die ersten Larven an aus den Eiern zu schlüpfen. In dieser Zeit beginnt die Larvenphase, in der sich die Larven von den Nadeln der Lärchen ernähren, bis sie sich zu verpuppen beginnen.
1.1
Die Größe einer Larve in $\text{mm}$ lässt sich in den ersten Lebenstagen durch eine Exponentialfunktion $f$ der Form $f(t) = a \cdot \mathrm e^{k \cdot t}$ ($t:$ Zeit in Tagen nach dem Schlüpfen) mit $a,k > 0$ modellieren. Berechne mithilfe der Daten für $t = 1$ und $t = 10$ der folgenden Tabelle die zugehörige Funktion $f.$
Die Modellierung kann als gut bezeichnet werden, wenn die Abweichung der Daten von den im Modell ermittelten Werten maximal $3\,\%$ beträgt. Prüfen Sie anhand der übrigen Daten, ob die Modellierung als gut bezeichnet werden kann.
$t$ (in Tagen)$ 1$$2 $$ 4$$10 $
Larvengröße (in $\text{mm}$)$3,2 $$3,5 $$4,1 $$7,3 $
$t$ (in Tagen)Larvengröße (in $\text{mm}$)
$ 1$$ 3,2$
$ 2$$3,5 $
$4 $$4,1 $
$10 $$7,3 $
(7 BE)
1.2
Alternativ lässt sich die Größe einer Larve in $\text{mm}$ mithilfe der Funktion $g$ mit $g(t)=\dfrac{19,4}{1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t}}$ ($t:$ Zeit in Tagen nach dem Schlüpfen) modellieren.
Für die Funktion $g$ gilt:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&g'(t)&=& \frac{0,12}{19,4}\cdot g(t)\cdot (19,4-g(t)) \text{ und}\\ \text{II}\quad&g'(t)&>& 0 \text{ für alle } t\geq 0 \\ \end{array}$
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&g'(t)&=&…\\ \text{II}\quad&g'(t)&>& … \\ \end{array}$
1.2.1
Begründe anhand des Funktionsterms, dass die sogenannte Sättigungsgrenze $S = \lim_{t\to\infty} g(t)$ der Funktion $g$ den Wert $19,4$ annimmt, und deute diesen Wert im Sachzusammenhang. Begründe, warum die Funktion $g$ die Größe einer Larve für große Werte von $t$ besser beschreibt als die Funktion $f.$
(4 BE)
1.2.2
Zeige unter Verwendung der Eigenschaft $(\text{I}),$ dass gilt:
$g''(t) = \dfrac{0,12}{19,4}\cdot g'(t) \cdot ( 19,4 − 2 \cdot g(t))$
$ g''(t) = … $
(4 BE)
#ableitung
1.2.3
Zeige unter Verwendung des Terms von $g''(t)$ aus Aufgabe 1.2.2 und der Eigenschaft $(\text{II}),$ dass zu dem Zeitpunkt innerhalb des betrachteten Intervalls, an dem die Larve am stärksten wächst, die Hälfte der Sättigungsgrenze aus Aufgabe 1.2.1 erreicht wird. Berechne diesen Zeitpunkt.
Hinweise: Die Untersuchung der notwendigen Bedingung ist ausreichend. Eine Randwertbetrachtung ist nicht erforderlich.
(7 BE)
2
In gewissen Regionen in den Alpen traten die Massenvermehrungen des Lärchenwicklers seit Beobachtungsbeginn im Jahr 1989 $(t = 0)$ mit erstaunlicher Regelmäßigkeit alle 9 Jahre auf. Die maximale Larvendichte (Anzahl der Larven pro $\text{kg}$ Zweige) eines jeden Kalenderjahres in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Jahren nach Beobachtungsbeginn kann mit der Funktion $k$ mit
$k(t) = 249,975 \cdot \sin\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (t+0,25) \right) +250,025$ $(t\in \mathbb{R}_0^+)$
$ k(t) =… $
näherungsweise modelliert werden. Jahreszeitlich bedingte Schwankungen werden bei dieser Modellierung nicht berücksichtigt. Der Graph von $k$ ist in Material 1 dargestellt.
2.1
Beschreibe, wie der Graph von $k$ aus dem Graphen der allgemeinen Sinusfunktion $s$ mit $s(t) = \sin(t)$ hervorgeht, und bestätige rechnerisch, dass $k$ die Periode $9$ hat.
(5 BE)
2.2
Ein Befall wird erst sichtbar, wenn der Wert der maximalen Larvendichte größer als $100$ ist.
Erläutere den Rechenansatz in der Zeile ($\text{I}$) des Kastens im Sachzusammenhang und zeige mithilfe des Ergebnisses in Zeile ($\text{III}$), dass der Befall ab dem Jahr 2022 erstmals nach 2018 wieder nicht mehr sichtbar ist.
$\begin{array}{llll} \text{I}\quad& k(t)=100 \\[5pt] \text{II}\quad& \sin \left(\frac{2}{9}\pi \cdot (t+0,25) \right)=\frac{-150,025}{249,975} \\[5pt] \text{III}\quad& t_1 \approx -1,172 +9\cdot n\; \lor\, t_2\approx 5,172+9\cdot n;\, n\in \mathbb{N} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{llll} \text{I}\quad& k(t)=100 \\[5pt] \text{II}\quad& … \\[5pt] \text{III}\quad&… \\[5pt] \end{array}$
(7 BE)
2.3
Um die zu erwartende durchschnittliche maximale Larvendichte pro Jahr im Zeitraum von 2018 bis einschließlich 2037 zu berechnen, werden zwei Strategien verfolgt:
$(\text{I})$
Bestimmung von $d_{\text{I}}$ wie in Material 2 angegeben.
$(\text{II})$
Bestimmung von $d_{\text{II}}$ unter Verwendung der Funktion $k$ und dem Ansatz $d_{\text{II}} = \frac{1}{20}\displaystyle\int_{28,5}^{48,5}k(t)\;\mathrm dt.$
Erläutere die beiden Strategien.
Bestimme $d_{\text{II}}$ unter Verwendung der Funktion $k$ und dem Ansatz und vergleiche diesen Wert mit $d_{\text{I}}.$
(6 BE)
#integral
Material 1
Material 2
$t$$29 $$30 $$31 $$… $$46 $$47 $$48 $
$k(t)$$ 500$$441,52 $$293,43 $$ …$$441,52 $$500$$441,52$
$t$$k(t)$
$29 $$500 $
$30 $$441,52 $
$31 $$293,43 $
$… $$… $
$46 $$441,52 $
$47 $$500 $
$48 $$441,52 $
$d_{\text{I}} = \dfrac{500+441,52+293,43+…+441,52+500+442,52}{20}\approx 272,10$
$ d_{\text{I}} = … $
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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1.1
$\blacktriangleright$  Funktion berechnen
Mit den beiden Werten aus der Tabelle für $t=1$ und $t=10$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{lrll} \text{I}\quad&3,2&=& f(1) \\ &3,2&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot 1} \\ &3,2&=& a\cdot \mathrm e^{k} \\[5pt] \text{II}\quad&7,3&=& f(10) \\ &7,3&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot 10} \\ \end{array}$
Löse beispielsweise die erste Gleichung nach $a$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} 3,2 &=& a\cdot \mathrm e^{k} &\quad \scriptsize \mid\;:\mathrm e^{k} \\[5pt] \frac{3,2}{\mathrm e^k} &=& a \end{array}$
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} 7,3&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot 10} &\quad \scriptsize \mid\;a=\frac{3,2}{\mathrm e^k} \\[5pt] 7,3&=& \frac{3,2}{\mathrm e^k} \cdot \mathrm e^{k\cdot 10} \\[5pt] 7,3&=& \frac{3,2}{\mathrm e^k} \cdot \left(\mathrm e^{k}\right)^{10} \\[5pt] 7,3&=& 3,2\cdot \left(\mathrm e^{k}\right)^{9} \\[5pt] 7,3&=& 3,2\cdot \mathrm e^{9k} &\quad \scriptsize \mid\;:3,2 \\[5pt] \frac{7,3}{3,2}&=& \mathrm e^{9k} &\quad \scriptsize \mid\; \ln \\[5pt] \ln \left(\frac{7,3}{3,2} \right) &=& 9k &\quad \scriptsize \mid\; :9\\[5pt] \frac{1}{9}\cdot \ln \left(\frac{7,3}{3,2} \right) &=& k \\[5pt] 0,092&\approx& k \\[5pt] \end{array}$
$ k\approx 0,092 $
Einsetzen in $a$ liefert:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \dfrac{3,2}{\mathrm e^k}&\quad \scriptsize \mid\; k\approx 0,092\\[5pt] &=& \dfrac{3,2}{\mathrm e^{0,092}} \\[5pt] &\approx& 2,919 \end{array}$
$ a\approx 2,919 $
Eine Gleichung der Funktion $f$ lautet also $f(t)= 2,919 \cdot \mathrm e^{0,092\cdot t}.$
$\blacktriangleright$  Modellierung prüfen
Berechne die jeweilige Abweichung zwischen Modellwert und den Daten:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3,5 - f(2)}{3,5} &=& \dfrac{3,5 - 2,919 \cdot \mathrm e^{0,092\cdot 2} }{3,5} \\[5pt] &\approx& -0,002 \\[5pt] &=& -0,2\,\% \\[10pt] \dfrac{4,1 - f(4)}{4,1} &=& \dfrac{4,1 - 2,919 \cdot \mathrm e^{0,092\cdot 4} }{4,1} \\[5pt] &\approx& -0,029 \\[5pt] &=& -2,9\,\% \\[10pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3,5 - f(2)}{3,5} &\approx& -0,2\,\% \\[10pt] \dfrac{4,1 - f(4)}{4,1} &\approx& -2,9\,\% \\[10pt] \end{array}$
Die größte Abweichung der Daten von den im Modell ermittelten Werten beträgt ca. $2,9\,\%$ und ist damit geringer als $3\,\%.$ Die Modellierung mit der Funktion $f$ kann daher als gut bezeichnet werden.
1.2.1
$\blacktriangleright$  Sättigungsgrenze begründen
Für $t\to \infty$ gilt für den Nenner des Funktionsterms von $g:$
$\underbrace{1+5,72\cdot \underbrace{\mathrm e^{-0,12\cdot t}}_{\to 0}}_{\to 1} $
$ …\to 1 $
Für den gesamten Funktionsterm gilt daher $g(t) \to 19,4$ für $t\to \infty.$ Die Sättigungsgrenze der Funktion $g$ ist also $19,4.$
Die Größe der Larven ist also auf $19,4\,\text{mm}$ begrenzt. Mit der Zeit nähert sich die Größe zwar immer weiter dem Wert an, wird ihn aber niemals erreichen oder überschreiten. Die Larven können nach diesem Modell also nicht größer als $19,4\,\text{mm}$ werden.
$\blacktriangleright$  Bessere Eignung begründen
Bei der Funktion $f$ handelt es sich um eine reine Exponentialfunktion. Es gilt $f(t)\to \infty$ für $t\to \infty.$ Die Larven würden bei diesem Modell also unendlich weiter wachsen ohne Begrenzung. Beim Modell mit der Funktion $g$ ist das Wachstum der Larve begrenzt. Dieses ist daher für große Werte von $t$ besser geeignet als die Funktion $f.$
#grenzwert
1.2.2
$\blacktriangleright$  Gültigkeit nachweisen
Mit der Produktregel und der Eigenschaft $\text{I}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g'(t) &=& \frac{0,12}{19,4}\cdot g(t)\cdot (19,4-g(t)) \\[10pt] g''(t) &=& \frac{0,12}{19,4}\cdot\left( g'(t)\cdot (19,4-g(t))+ g(t)\cdot (-g'(t)) \right) \\[5pt] &=& \frac{0,12}{19,4}\cdot\left( g'(t)\cdot (19,4-g(t))- g(t)\cdot g'(t) \right) \\[5pt] &=& \frac{0,12}{19,4}\cdot g'(t)\cdot \left(19,4-g(t)-g(t)\right) \\[5pt] &=& \frac{0,12}{19,4}\cdot g'(t)\cdot \left(19,4-2\cdot g(t)\right) \\[5pt] \end{array}$
$ g''(t)=… $
#produktregel
1.2.3
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt berechnen
Die Wachstumsrate der Larve wird durch die Funktion $g'$ beschrieben. Der Zeitpunkt, zu dem die Larve am stärksten wächst, wird also durch die Stelle $t$ beschrieben, in der $g'$ ihr Maximum annimmt.
Mithilfe von $g''$ und dem notwendigen Kriterium für Extremstellen folgt:
$\begin{array}[t]{rll} g''(t)&=& 0 \\[5pt] \frac{0,12}{19,4}\cdot g'(t)\cdot \left(19,4-2\cdot g(t)\right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;:\left( \frac{0,12}{19,4}\cdot g'(t)\right) \neq 0 \text{ wegen } \text{II} \\[5pt] 19,4-2\cdot g(t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-19,4 \\[5pt] -2\cdot g(t)&=& -19,4 &\quad \scriptsize \mid\;:(-2) \\[5pt] g(t)&=& 9,7 \\[5pt] \dfrac{19,4}{1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t}} &=& 9,7&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \left(1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} \right) \\[5pt] 19,4 &=& 9,7\cdot \left(1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} \right)&\quad \scriptsize \mid\;:9,7 \\[5pt] 2 &=& 1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 1&=& 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;:5,72 \\[5pt] \frac{1}{5,72}&=& \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;\ln \\[5pt] \ln\left(\frac{1}{5,72}\right) &=& -0,12\cdot t \mathrm e^{− 0,12 \cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;:(-0,12) \\[5pt] 14,53 &\approx& t \end{array}$
$ t \approx 14,53 $
Da laut Aufgabenstellung weder die Überprüfung des hinreichenden Kriteriums noch eine Randwertbetrachtung erforderlich ist, wächst die Larve ca. $14,53$ Tage nach dem Schlüpfen am schnellsten.
$\blacktriangleright$  Sättigungsgrenze nachweisen
$\begin{array}[t]{rll} g(14,53)&=& \dfrac{19,4}{1 + 5,72 \cdot \mathrm e^{− 0,12 \cdot 14,53}} \\[5pt] &\approx& 9,70 \end{array}$
$ g(14,53)\approx 9,70 $
Zum Zeitpunkt, zu dem die Larve am schnellsten wächst, hat sie also eine Größe von ca. $9,70\,\text{mm}$ und damit die Hälfte der Sättigungsgrenze erreicht.
2.1
$\blacktriangleright$  Zusammenhang der Graphen beschreiben
  • Durch den Summanden $+0,25$ im Argument des Sinus, wird der Graph von $k$ im Vergleich zu dem von $s$ um $0,25$ Einheiten nach links verschoben.
  • Durch den Faktor $b=\frac{2}{9}\pi$ innerhalb des Arguments wird die Periode $p$ verändert. Der Zusammenhang ist wie folgt:
    $\begin{array}[t]{rll} b&=& \frac{2\pi}{p}&\quad \scriptsize \mid\; b= \frac{2}{9}\pi \\[5pt] \frac{2}{9}\pi&=& \frac{2\pi}{p} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot p \\[5pt] \frac{2}{9}\pi\cdot p&=& 2\pi &\quad \scriptsize \mid\; :\left(\frac{2}{9}\pi \right) \\[5pt] p &=& 9 \end{array}$
    $ p = 9 $
    Die Periode $p$ von $k$ wird also im Vergleich zu der Periode $2\pi$ von $s$ vergrößert, der Graph wird also entlang der $t$-Achse gestreckt.
  • Der Faktor $249,975$ vor dem Sinus-Term streckt den Graphen im Vergleich zur allgemeinen Sinusfunktion entlang der $y$-Achse.
  • Durch den Summanden $250,025$ wird der Graph im Vergleich zur allgemeinen Sinusfunktion entlang der $y$-Achse um $250,025$ Einheiten nach oben verschoben.
2.2
$\blacktriangleright$  Rechenansatz im Sachzusammenhang erläutern
Die Funktion $k$ beschreibt die maximale Larvendichte eines jeden Kalenderjahrees in Abhängigkeit von der Zeit $t$ in Jahren nach Beobachtungsbeginn. Ab einer Larvendichte von mehr als $100$ Larven pro $\text{kg}$ Zweige wird der Befall sichtbar.
In Zeile $\text{I}$ wird der Funktionsterm für die maximale Larvendichte mit $100$ gleichgesetzt. Der Ansatz dient also der Bestimmung der Zeitpunkte, zu denen der Befall sichtbar bzw. nicht mehr sichtbar wird.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt begründen
Die Ergebnisse aus Schritt $\text{III}$ stellen die Zeitpunkte dar, zu denen der Befall sichtbar bzw. nicht mehr sichtbar wird. Das Jahr 2018 entspricht dem Wert $t= 29,$ das Jahr 2022 entspricht dem Wert $t=33.$
Betrachte die Lösungen aus dem dritten Schritt für $n=2$ und $n=3:$
  • $n=2:\quad$ $t_1 \approx$ $-1,172 + 9\cdot 2 = 16,828 $ und $t_2 \approx$ $5,172 +9\cdot 2 = 23,172$
  • $n=3:\quad$ $t_1 \approx$ $-1,172 + 9\cdot 3 = 25,821 $ und $t_2 \approx$ $5,172 +9\cdot 3 = 32,172$
$t_2 \approx 32,172$ ist der erste Zeitpunkt nach dem Jahr 2018, also nach $t=29$, zu dem die Larvendichte die Grenze $100$ passiert.
Der Abbildung in Material 1 kannst du entnehmen, dass der Graph von $k$ an dieser Stelle fällt, die Larvendichte zu diesem Zeitpunkt also abnimmt. Dies ist also der Zeitpunkt, zu dem der Befall nach 2018 zum ersten mal nicht sichtbar wird. Dieser Zeitpunkt $t\approx 32,172$ liegt im $33.$ Jahr nach Beobachtungsbeginn und damit im Jahr 2022.
2.3
$\blacktriangleright$  Strategien erläutern
$(\text{I})$
Bei der ersten Methode werden die einzelnen Jahreswerte für $t=29,$ $t=30,$ …, jeweils stellvertretend für das gesamte Jahr 2018, 2019,…, verwendet und deren Mittelwert gebildet.
$(\text{II})$
Bei der zweiten Strategie wird der Mittelwert aller Funktionswerte von $k$ im betrachteten Intervall inklusive einer Stetigkeitskorrektur gebildet. Dieser bezieht auch die Bewegung innerhalb der Jahre mit ein, nicht nur zu den ganzzahligen $t$-Werten.
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen und vergleichen
$\begin{array}[t]{rll} d_{\text{II}}&=& \frac{1}{20}\cdot \displaystyle\int_{28,5}^{48,5}k(t)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \frac{1}{20}\cdot \displaystyle\int_{28,5}^{48,5}\left(249,975 \cdot \sin\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (t+0,25) \right) +250,025\right)\;\mathrm dt \\[5pt] &=& \frac{1}{20}\cdot \left[-\dfrac{249,975}{\frac{2}{9}\pi}\cdot\cos\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (t+0,25) \right)+250,025\cdot t \right]_{28,5}^{48,5}\\[5pt] &=& \frac{1}{20}\cdot \left[-\frac{89.991}{80}\pi\cdot\cos\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (t+0,25) \right)+250,025\cdot t \right]_{28,5}^{48,5}\\[5pt] &=& \frac{1}{20} \cdot [ -\frac{89.991}{80}\pi\cdot\cos\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (48,5+0,25) \right)+250,025\cdot 48,5 \\[5pt] & &-\left(-\frac{89.991}{80}\pi\cdot\cos\left(\frac{2}{9}\pi\cdot (28,5+0,25) \right)+250,025\cdot 28,5 \right)]\\[5pt] &\approx& 269,56 \\[5pt] \end{array}$
$ d_{\text{II}} \approx 269,56 $
Die beiden Werte $d_{\text{I}} \approx 272,10$ und $d_{\text{II}}\approx 269,56$ weichen nur geringfügig voneinander ab. Mit beiden Strategien ergibt sich für die Jahre von 2018 bis 2037 also eine zu erwartende durchschnittliche maximale Larvendichte pro Jahr von ca. $270$ Larven pro $\text{kg}$ Zweige.
#mittelwertvonfunktionen
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