Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
HE, Gesamtschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 13
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Ku...
Lernstandserhebung 8 G-Ku...
Abitur LK (WT...
Prüfung
wechseln
Abitur LK (GTR)
Abitur LK (WTR)
Abitur LK (CAS)
Abitur GK (GTR)
Abitur GK (WTR)
Abitur GK (CAS)
Realschulabschluss
Hauptschulabschluss
Lernstandserhebung 8 E-Kurs
Lernstandserhebung 8 G-Kurs
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Abitur LK (WTR)
Abi 2018
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2017
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geo...
B2 - Analytische Geom...
C - Stochastik
Abi 2016
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
Abi 2015
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
Abi 2014
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2013
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2012
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2011
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2010
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2009
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2008
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
Abi 2007
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik
LV-Abi 1
A1 - Analysis
A2 - Analysis
B1 - Analytische Geom...
B2 - Analytische Geom...
C1 - Stochastik
C2 - Stochastik

A2 - Analysis

Aufgaben
Download als Dokument:PDFWord
Das Moses Mabhida Stadion in Durban, Südafrika (Material 1) ist eines der Stadien, in denen die Fußballweltmeisterschaft 2010 ausgetragen wurde. Das charakteristische Element ist der Stahlbogen, der das Stadion überspannt. Die äußere Bogenspannweite am Boden beträgt 340 m und die Höhe im Scheitelpunkt 103 m.
Wählen Sie für die folgenden Berechnungen das Koordinatensystem so, dass die Bodenlinie auf der $x$-Achse und der höchste Punkt des Bogens auf der $y$-Achse liegt.
1. Der äußere Rand des Bogens soll zum einen durch die Polynomfunktion $p$ mit
$p(x)$$=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})$, zum anderen durch die Kosinusfunktion $c$ mit $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$ beschrieben werden.
Bestimmen Sie die Parameter $a$ und $x_{1}$ sowie $A$ und $T$ so, dass die Graphen der Funktionen jeweils die im Text genannten Eigenschaften haben.
(8P)
2. Eine andere Möglichkeit, die Bogenform durch eine Funktion zu modellieren, ist die umgekehrte Kettenlinie $k$ mit
$k(x)$$=C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)$
und den Parametern $C\in\mathbb{R}$ und $\lambda\in\mathbb{R}^+$.
2.1 Zeigen Sie, dass der Graph dieser Funktion symmetrisch zur $y$-Achse ist, und erläutern Sie die Bedeutung von $C$ für den Funktionsgraphen.
(4P)
2.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Hochpunktes des Graphen dieser Funktion in Abhängigkeit von $C$ und $\lambda$. Die Überprüfung der notwendigen Bedingung ist ausreichend.
(8P)
3. Für die Länge $L_{a}(x)$ des Bogens des Graphen einer Funktion $f$ von der Stelle
$a$ bis zur Stelle $x$ wird in Material 3 die Formel $L_{a}'(x)$$=\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}$ hergeleitet.
3.1 Erklären Sie die Herleitungsschritte in Material 3 bis einschließlich Zeile (3).
Beachten Sie dazu die Zeichnung in Material 2.
(7P)
3.2 Zeigen Sie, dass $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C$ gilt.
Hinweis: Bilden Sie zunächst auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung.
(8P)
3.3 Entlang des Stahlbogens verläuft auf einer Seite eine Bahn, mit der man vom Boden bis zur Aussichtsplattform im Scheitelpunkt des Bogens fahren kann.
Bestimmen Sie mithilfe der oben genannten Formel für $L_{a}'(x)$ und der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Länge der dabei zurückgelegten Strecke für $\lambda=0,00645$.
(5P)
Material 1
A2 - Analysis Quelle: http://www.designboom.com/cms/images/ridoz/durb03.jpg
A2 - Analysis Quelle: http://www.designboom.com/cms/images/ridoz/durb03.jpg
Material 2
A2 - Analysis
A2 - Analysis
Material 3
Nachfolgend bedeutet $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ die Länge des Kurvenbogens zwischen den Punkten $A$ und $Q$.
$\begin{array}{rlll} &\overset{\displaystyle\frown}{AQ}&=&L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right), \\ &\overset{\displaystyle\frown}{AP}&=&L_{a}(x_{0}) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (1)&\overset{\displaystyle\frown}{PQ}&=&L_{a}(x_{0}+\Delta x)-L_{a}(x_{0}) \\ \\ (2)&\overline{\left|PQ\right|}&\leq&\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ \\ &\Leftrightarrow \\ \\ &\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}}&\leq& L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (3)&\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}&\leq&\dfrac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (4)&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\sqrt{1+\left(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\right)&\leq&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\dfrac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\right) \\ \\ &\Rightarrow… \\ \\ (5)&\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}}&=&L_{a}'(x) \end{array}$
$\begin{array}{rl} \overset{\displaystyle\frown}{AQ}=&L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right), \\ \overset{\displaystyle\frown}{AP}=&L_{a}(x_{0}) \\ \\ \Rightarrow \\ \\ \end{array}$ $\begin{array}{rl} (1)&\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ &= \\ &L_{a}(x_{0}+\Delta x)-L_{a}(x_{0}) \\ \\ (2)&\overline{\left|PQ\right|} \\ &\leq \\ &\overset{\displaystyle\frown}{PQ} \\ \\ &\Leftrightarrow \\ \\ &\sqrt{\left(\Delta x\right)^{2}+\left(\Delta y\right)^{2}} \\ &\leq \\ & L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right) \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (3)&\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}} \\ &\leq \\ &\frac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x} \\ \\ &\Rightarrow \\ \\ (4)&\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}\right) \\ &\leq \\ &\mathop{\lim}\limits_{\Delta x\to 0}\left(\frac{L_{a}\left(x_{0}+\Delta x\right)-L_{a}\left(x_{0}\right)}{\Delta x}\right) \\ \\ &\Rightarrow… \\ \\ (5)&\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^{2}} \\ &= \\ &L_{a}'(x) \end{array}$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Tipps
Download als Dokument:PDF
1. $\blacktriangleright$ Parameter bestimmen, damit Graphen bestimmte Eigenschaften aufweisen
Zum Lösen dieser Aufgabe hast du zwei Funktionen gegeben, die den Bogen des Stadions beschreiben:
  • $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})\\[5pt]$
  • $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$
Der Abstand zwischen beiden Nullstellen beträgt 340. Der Scheitelpunkt liegt bei $y=103$.
Nun wird die Kurve so verschoben, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegt.
Damit kannst du aus $p(x)$ die Nullstellen $x_1$ ableiten.
Berechne im 1. Schritt den Parameter $a$ durch Einsetzen des Scheitelpunkts in $p(x)$.
Eine allgemeine Form der Kosinusfunktion lautet:
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
Vergleiche im 2. Schritt die gegebene Kosinusfunktion mit der allgemeinen Funktion, um die Parameter $A$ und $T$ aus $c(x)$ abzulesen.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Symmetrie beweisen und Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ erläutern
Hier hast du eine Funktion $k(x)$ gegeben, die du auf eine $y$-Achsensymmetrie untersuchen sollst.
Eine Funktion ist dann symmetrisch zur $y$-Achse, wenn sie durch Spiegelung an der $y$-Achse wieder auf sich selbst abgebildet wird:
$f(x)=f(-x)$
Beweise im 1. Schritt die Symmetrie, indem du negative $x$-Werte in $k(x)$ einsetzt und prüfst, ob der Funktionsterm identisch mit $k(x)$ ist.
Anschließend wird im 2. Schritt die Bedeutung von $C$ erläutert. Überlege dir dazu, was für einen Effekt er auf den Graphen $k$ hat.
2.2 $\blacktriangleright$ Koordinaten des Hochpunktes von $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Hochpunkts von $k$ bestimmen. Dazu ist hier die notwendige Bedingung ausreichend:
$k'(x_E)=0$
Bilde dazu im 1. Schritt die erste Ableitung von $k(x)$ mit der Kettenregel und setze anschließend den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null, um die Maximalstelle zu berechnen. Zum Schluss kannst du mit dieser Extremstelle durch Einsetzen in $k(x)$ die Koordinaten des Hochpunktes bestimmen.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Herleitungsschritte (1) bis (3) erklären
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Kurve in Material 2 die Herleitungsschritte aus Material 3 bis zum 3. Schritt erklären.
  • $x_0$ ist die $x$-Koordinate von $P$
  • $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$-Werte von $P$ und $Q$
  • $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$-Koordinate von $Q$ dar.
Du hast zwei Beispiele gegeben, die dir die Zusammenhänge zwischen der Kurve und der Rechnung näher bringen.
Die Bogenlänge $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ wird mit $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}=L_a(x_0+\Delta x)$ berechnet, d.h. $L_a$ wird mit der $x$-Koordinate multipliziert.
Das Gleiche gilt für $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$:$\,$$\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0)$
3.2 $\blacktriangleright$ Behauptung beweisen
Du hast eine Gleichung gegeben und sollst diese auf Gültigkeit untersuchen.
$k'(x)$ kannst du dem Aufgabenteil 2.2 entnehmen: $k'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})$
Weiterhin hast du als Hinweis gegeben, dass du die Ableitungen beider Seiten der Gleichung bestimmen sollst.
$\begin{array}{rll} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C&\scriptsize \text{Einsetzen von}\; k'(x) \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
$\begin{array}{l} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \\ \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
Die Ableitung des Integrals einer Funktion ist die Funktion selbst.
3.3 $\blacktriangleright$ Länge der zurückgelegten Strecke bestimmen
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Beziehungen/Angaben dem Aufgabentext bzw. den vorhergehenden Aufgabenteilen entnehmen:
  • $L_a'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$
  • $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C\\[5pt]$
  • $\lambda=0,00645$
  • Die halbe Bogenlänge verläuft von $x_1=0$ bis $x_2=170$
Um die Länge $L_a$ des Bogens zu bestimmen, musst du zunächst $L_a'(x)$ integrieren. Dadurch kannst du mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Intervallgrenzen in die Funktion einsetzen, um schließlich $L_a$ zu berechnen.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1. $\blacktriangleright$ Parameter bestimmen, damit Graphen bestimmte Eigenschaften aufweisen
Zum Lösen dieser Aufgabe hast du zwei Funktionen gegeben, die den Bogen des Stadions beschreiben:
  • $p(x)=a\cdot(x-x_{1})\cdot(x+x_{1})\\[5pt]$
  • $c(x)=A\cdot\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}\cdot x\right)$
Der Abstand zwischen beiden Nullstellen beträgt 340. Der Scheitelpunkt liegt bei $y=103$.
Nun wird die Kurve so verschoben, dass der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse liegt.
Damit kannst du aus $p(x)$ die Nullstellen $x_1$ ableiten.
Berechne im 1. Schritt den Parameter $a$ durch Einsetzen des Scheitelpunkts in $p(x)$.
Eine allgemeine Form der Kosinusfunktion lautet:
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
$f(x)=A\cdot\cos(\dfrac{2\pi}{T}(x-c))+d$
  • $A$: Amplitude
  • $T$: Periodenlänge
  • $c$: Verschiebung auf der $x$-Achse
  • $d$: Verschiebung auf der $y$-Achse
Vergleiche im 2. Schritt die gegebene Kosinusfunktion mit der allgemeinen Funktion, um die Parameter $A$ und $T$ aus $c(x)$ abzulesen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: $\boldsymbol {x_1}$ und $\boldsymbol {a}$ bestimmen
Die Werte $x_1$ im Polynom stellen die Nullstellen von $p$ dar. Durch die Verschiebung entlang der $x$-Achse, damit $S$ auf der $y$-Achse liegt, ergeben sich so die Nullstellen $x_1=\pm 170$.
Weiterhin ist bekannt, dass der Scheitelpunkt, also der Hochpunkt der Parabel, an der Stelle $x=0$ liegt.
Daraus folgt:
$\begin{array}{rl} p(0)=&a\cdot(0-x_1)(0+x_1) \\ 103=&a\cdot(0-170)(0+170) \\ 103=&a\cdot(-170^2) \\ a\approx&-0,003564 \end{array}$
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, lässt sich durch $p(x)=-0,003564\cdot(x-170)(x+170)$ beschreiben.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: $\boldsymbol{A}$ und $\boldsymbol{T}$ bestimmen
Die Amplitude $A$ stellt den größten Abstand der Funktion von der $\boldsymbol{x}$-Achse dar. Die Amplitude stellt somit den $y$-Wert des Scheitelpunktes dar: $A=103$
Aus dem Aufgabentext kannst du entnehmen, dass die Bogenspannweite 340 m beträgt. Dies ist gleichbedeutend mit der halben Periodenlänge, da sich die Cosinusfunktion nach einer Periode wiederholt.
D.h. $T=2\cdot 340=680$
Der Graph, der die Kurve mit den gegebenen Eigenschaften beschreibt, lässt sich durch $c(x)=103\cdot(\dfrac{2\pi}{680}\cdot x)$ beschreiben.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Symmetrie beweisen und Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ erläutern
Hier hast du eine Funktion $k(x)$ gegeben, die du auf eine $y$-Achsensymmetrie untersuchen sollst.
Eine Funktion ist dann symmetrisch zur $y$-Achse, wenn sie durch Spiegelung an der $y$-Achse wieder auf sich selbst abgebildet wird:
$f(x)=f(-x)$
Beweise im 1. Schritt die Symmetrie, indem du negative $x$-Werte in $k(x)$ einsetzt und prüfst, ob der Funktionsterm identisch mit $k(x)$ ist.
Anschließend wird im 2. Schritt die Bedeutung von $C$ erläutert. Überlege dir dazu, was für einen Effekt er auf den Graphen $k$ hat.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Symmetrie beweisen
$\begin{array}{rlll} k(-x)\stackrel{!}{=}&k(x) \\ k(-x)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot (-x)}+\mathrm e^{-\lambda\cdot (-x)}\right) \\ k(-x)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{-\lambda\cdot x}+\mathrm e^{\lambda\cdot x}\right)\quad =&k(x)& \color{yellowgreen}{\checkmark} \end{array}$
$\begin{array}{rl} k(-x)\stackrel{!}{=}&k(x) \\ k(-x)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot (-x)}+\mathrm e^{-\lambda\cdot (-x)}\right) \\ k(-x)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{-\lambda\cdot x}+\mathrm e^{\lambda\cdot x}\right)\quad \\ =&k(x) \qquad \color{yellowgreen}{\checkmark} \end{array}$
$k(-x)$ hat somit den gleichen Funktionsterm wie $k(x)$. $k(x)$ ist also symmetrisch zur $y$-Achse.
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Bedeutung von $\boldsymbol{C}$ erläutern
Eine Veränderung von $C$ bewirkt eine Veränderung des $y$-Wertes. $C$ verschiebt den Graphen somit entlang der $y$-Achse.
2.2 $\blacktriangleright$ Koordinaten des Hochpunktes von $\boldsymbol{k}$ bestimmen
Bei dieser Aufgabe sollst du die Koordinaten des Hochpunkts von $k$ bestimmen. Dazu ist hier die notwendige Bedingung ausreichend:
$k'(x_E)=0$
Bilde dazu im 1. Schritt die erste Ableitung von $k(x)$ mit der Kettenregel und setze anschließend den Funktionsterm der ersten Ableitung gleich Null, um die Maximalstelle zu berechnen. Zum Schluss kannst du mit dieser Extremstelle durch Einsetzen in $k(x)$ die Koordinaten des Hochpunktes bestimmen.
$\blacktriangleright$ 1. Schritt: Ableitung bilden
Kettenregel:
$f(x)=u(v(x))\quad \Rightarrow \quad f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$
$\begin{array}{rl} f(x)=&u(v(x)) \\ \Rightarrow \\ f'(x)=&u'(v(x))\cdot v'(x) \end{array}$
In Worten: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
In dieser Aufgabe musst du die Kettenregel bei $\mathrm e^{\lambda x}$ und $\mathrm e^{-\lambda x}$ anwenden. $(\lambda x)$ stellt die innere Funktion dar. $(\mathrm e^x)$ stellt die Äußere dar.
$\begin{array}{rl} k(x)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot \mathrm e^{\lambda x}-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot \mathrm e^{-\lambda x} \\ k'(x)=&-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot \lambda\cdot\mathrm e^{\lambda x}-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot(-\lambda)\cdot \mathrm e^{-\lambda x} \\ =&-\dfrac{1}{2}\cdot\mathrm e^{\lambda x}+\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm e^{-\lambda x} \\ =&-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x}) \end{array}$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt: Gleichsetzen
Setze nun den Funktionsterm der ersten Ableitung von $k(x)$ gleich Null und löse nach $x$ auf:
$\begin{array}{rl} k'(x)=&0 \\ -\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})=&0 \end{array}$
$k'(x)=0$, wenn $(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x}) = 0$. Dies ist bei $x=0$ der Fall, da $\mathrm e^0=1$.
$(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0})=0$
Daraus folgt: $x=0$ ist Nullstelle der Ableitung und damit liegt an der Stelle $x=0$ ein Extrempunkt von $k$, da an einem Extrempunkt die Steigung Null beträgt.
$\blacktriangleright$ 3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes berechnen
Setze nun $x=0$ in $k(x)$ ein, um die $y$-Koordinate des Hochpunktes zu berechnen:
$\begin{array}{rl} k(0)=&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot 0}+\mathrm e^{-\lambda\cdot 0}\right) \\ =&C-\dfrac{1}{2\lambda}\cdot2 \\ =&C-\dfrac{1}{\lambda} \\ \end{array}$
Für den Hochpunkt ergeben sich somit die Koordinaten $H\left(0\mid C-\dfrac{1}{\lambda}\right)$.
3.
3.1 $\blacktriangleright$ Herleitungsschritte (1) bis (3) erklären
Bei dieser Aufgabe sollst du mit Hilfe der Kurve in Material 2 die Herleitungsschritte aus Material 3 bis zum 3. Schritt erklären.
  • $x_0$ ist die $x$-Koordinate von $P$
  • $\Delta x$ beschreibt die Differenz der $x$-Werte von $P$ und $Q$
  • $x_0+\Delta x$ stellt somit die $x$-Koordinate von $Q$ dar.
Du hast zwei Beispiele gegeben, die dir die Zusammenhänge zwischen der Kurve und der Rechnung näher bringen.
Die Bogenlänge $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ wird mit $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}=L_a(x_0+\Delta x)$ berechnet, d.h. $L_a$ wird mit der $x$-Koordinate multipliziert.
Das Gleiche gilt für $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$:$\,$$\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 1. Schritt:
Die Länge des Kurvenbogens $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ ist die Differenz von $\overset{\displaystyle\frown}{AQ}$ und $\overset{\displaystyle\frown}{AP}$.
$\overset{\displaystyle\frown}{PQ}=\overset{\displaystyle\frown}{AQ}-\overset{\displaystyle\frown}{AP}=L_a(x_0+\Delta x)-L_a(x_0)$
$\blacktriangleright$ 2. Schritt:
Hier wird die Länge der Strecke von $P$ zu $Q$ berechnet und mit $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ verglichen.
Die Länge der Strecke $\overline{PQ}$ lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\Delta x)^2+(\Delta y)^2=\overline{PQ}^2$
Daraus folgt:
$\left|\overline{PQ}\right|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$.
Diese Strecke stellt eine Sekante dar und kann maximal so groß wie der Bogen $\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$ sein.
Somit gilt:
$\left|\overline{PQ}\right|\leq\overset{\displaystyle\frown}{PQ}$
$\blacktriangleright$ 3. Schritt:
Im 3. Schritt wird auf beiden Seiten der Gleichung mit $\Delta x$ dividiert.
Auf der rechten Seite ergibt sich dadurch der Differenzenquotient der Funktion $L_a$.
3.2 $\blacktriangleright$ Behauptung beweisen
Du hast eine Gleichung gegeben und sollst diese auf Gültigkeit untersuchen.
$k'(x)$ kannst du dem Aufgabenteil 2.2 entnehmen: $k'(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})$
Weiterhin hast du als Hinweis gegeben, dass du die Ableitungen beider Seiten der Gleichung bestimmen sollst.
$\begin{array}{rll} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C&\scriptsize \text{Einsetzen von}\; k'(x) \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
$\begin{array}{l} \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \\ \\ \mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\mathrm dx \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C \end{array}$
Die Ableitung des Integrals einer Funktion ist die Funktion selbst.
Bilde nun auf beiden Seiten die Ableitungen:
$\begin{array}{rll} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}=\mathrm e^0=1 \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)}\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)&\scriptsize \text{Quadrieren} \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2&\scriptsize \text{2. binomische Formel anwenden} \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\stackrel{!}{=}&\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \\ 1+\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x}\stackrel{!}{=}&\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x} + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} &\scriptsize \mid +\frac{1}{2} \\ 1+\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x}=&\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} +1 \end{array}$
$\begin{array}{l} \sqrt{1+\left(-\dfrac{1}{2}\cdot(\mathrm e^{\lambda x}-\mathrm e^{-\lambda x})\right)^{2}} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2\mathrm e^{\lambda x}\mathrm e^{-\lambda x}+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right)} \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{2}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \\ \\ 1+\left(\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x})\right) \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}+\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)^2 \\ \\ 1+\dfrac{1}{4}\cdot(\mathrm e^{2\lambda x}-2+\mathrm e^{-2\lambda x}) \\ \stackrel{!}{=}\dfrac{1}{4}\cdot\left(\mathrm e^{2\lambda\cdot x}+2+\mathrm e^{-2\lambda\cdot x}\right) \\ \\ 1+\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} \\ \stackrel{!}{=}\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x} + \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} \\ \\ 1+\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} \\ =\frac{1}{4}\cdot \mathrm e^{2\lambda x}+\frac{1}{4}\cdot\mathrm e^{-2\lambda x} +1 \end{array}$
Da auf beiden Seiten der Gleichung nun derselbe Ausdruck steht, hast du so gezeigt, dass die Gleichung, mit der du begonnen hast, stimmt.
3.3 $\blacktriangleright$ Länge der zurückgelegten Strecke bestimmen
Zum Lösen dieser Aufgabe kannst du folgende Beziehungen/Angaben dem Aufgabentext bzw. den vorhergehenden Aufgabenteilen entnehmen:
  • $L_a'(x)=\sqrt{1+(f'(x))^2}$
  • $\mathop{\displaystyle\int}\limits_{\,}^{\,}\sqrt{1+\left(k'(x)\right)^{2}}\mathrm dx$$=\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right)+C\\[5pt]$
  • $\lambda=0,00645$
  • Die halbe Bogenlänge verläuft von $x_1=0$ bis $x_2=170$
Um die Länge $L_a$ des Bogens zu bestimmen, musst du zunächst $L_a'(x)$ integrieren. Dadurch kannst du mit Hilfe der Beziehung aus Aufgabe 3.2 die Intervallgrenzen in die Funktion einsetzen, um schließlich $L_a$ zu berechnen.
Integrieren von $L_a'(x)$ liefert:
$L_a(x)=\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx$
Nutze nun die Beziehung aus 3.2:
Die Konstante $C$ wurde in der Aufgabenstellung aus formellen Gründen erwähnt, würde später aber wegfallen und kann somit gleich vernachlässigt werden.
$\begin{array}{rl} L_a(x)=&\displaystyle\int_{\,}^{\,}\sqrt{1+(f'(x))^2}\mathrm dx \\ =&\dfrac{1}{2\lambda}\cdot\left(\mathrm e^{\lambda\cdot x}-\mathrm e^{-\lambda\cdot x}\right) \end{array}$
Setze nun $\lambda$ sowie die Intervallgrenzen $x_1=0$ und $x_2=170$ in die Gleichung ein:
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right)-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
$\begin{array}{l} \left[\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot x}-\mathrm e^{-0,00645\cdot x}\right)\right]^{170}_0 \\ =\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0,00645\cdot 170}-\mathrm e^{-0,00645\cdot 170}\right) \\ \,\,-\dfrac{1}{2\cdot 0,00645}\cdot\left(\mathrm e^{0}-\mathrm e^{0}\right) \\ \approx 206-0 \\ =206 \end{array}$
Die Länge der Strecke beträgt etwa 206 m.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App