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C1 - Stochastik

Aufgaben
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Im Folgenden werden mit „Internetnutzer“ alle privaten Internetnutzerinnen und Internetnutzer in Deutschland ab einem Alter von 10 Jahren bezeichnet.
28 % der Internetnutzer telefonieren über das Internet
Wiesbaden – $28\,$% der Internetnutzer telefonierten im Jahr 2013 über das Internet. Dies teilte das Statistische Bundesamt (Destatis) anlässlich des Weltkommunikationstages am 17. Mai 2014 mit.
Besonders beliebt ist diese Art der Kommunikation bei jungen Menschen: $42\,$% der Internetnutzer im Alter von 10 bis 24 Jahren nutzten 2013 dieses Medium zum Telefonieren. Bei den 25- bis 54-Jährigen war es etwa jeder Vierte ($26\, $%). Ältere Internetnutzer nahmen diese technischen Möglichkeiten weniger in Anspruch: Bei den 55-Jährigen und Älteren telefonierte etwa jeder Fünfte ($21\,$%) über das Internet.
Im Jahr 2013 waren rund $55\,$% aller Internetnutzer im Alter von 25 bis 54 Jahren.
Daten entnommen aus: Statistisches Bundesamt, Zahl der Woche vom 13. Mai 2014
1.   Im Jahr 2013 wird für eine weitere Untersuchung über das Nutzungsverhalten im Internet eine große Anzahl zufällig ausgewählter Internetnutzer befragt.
1.1   Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten zehn befragten Personen
  • genau drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen,
  • höchstens drei Personen dabei sind, die das Internet für Telefonate nutzen.
(5P)
1.2   Von zehn der zufällig ausgewählten Internetnutzer weiß man, dass genau zwei das Internet für Telefonate nutzen. Die zehn Personen werden nacheinander in zufälliger Reihenfolge befragt.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ersten drei Befragten genau einer dabei ist, der das Internet für Telefonate nutzt.
(5P)
2.   Der Artikel über Internettelefonate in Deutschland enthält keine Angaben darüber, wie viel Prozent der Internetnutzer im Jahr 2013
  • das Internet für Telefonate nutzen und im Alter von 25 bis 54 Jahren sind,
  • 10 bis 24 Jahre alt sind.
Bestimme diese beiden Anteile.
(7P)
3.   Schon im Frühjahr 2014 ist man davon überzeugt, dass der Anteil der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über $28\, $% liegt und sich damit im Vergleich zu 2013 erhöht hat. Zur Überprüfung dieser Hypothese will man einen Test auf der Basis einer zufällig ausgewählten Stichprobe von 50 Internetnutzern durchführen.
3.1   Entwickle einen Hypothesentest mit einem Signifikanzniveau von $1\,$% unter Angabe einer Entscheidungsregel.
(7P)
3.2   Angenommen, der Anteil $p_1$ der Internetnutzer, die das Internet zum Telefonieren nutzen, hat sich im Frühjahr 2014 im Vergleich zu 2013 tatsächlich erhöht.
Bei dem Funktionsgraphen im Material wird in Abhängigkeit von $p_1$ die Wahrscheinlichkeit $\beta$ dargestellt, bei einem zweiten Test zur Überprüfung derselben Hypothese mit dem Stichprobenumfang der Länge $n= 50$ und einem im Vergleich zu Aufgabe 3.1 veränderten Signifikanzniveau $\alpha$ einen Fehler 2. Art zu begehen (Operationscharakteristik).
Gib $\beta$ bei diesem Test mithilfe des Materials an, wenn der tatsächliche Anteil $p_1$ der Internetnutzer, die das Internet im Frühjahr 2014 zum Telefonieren nutzen, $35\, $% beträgt, und erläutere den Wert im Sachzusammenhang.
Bestimme den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich.
(6P)

Material

C1 - Stochastik
C1 - Stochastik
Binomialsummenfunktion $F_{n;p}(k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k}\begin{pmatrix}n\\ i\end{pmatrix}\cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}$ für n = 50
p= 0,20 0,28 0,30 0,35 0,40
k=
0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
1 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
2 0,0013 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
3 0,0057 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000
4 0,0185 0,0005 0,0002 0,0000 0,0000
5 0,0480 0,0019 0,0007 0,0001 0,0000
6 0,1034 0,0059 0,0025 0,0002 0,0000
7 0,1904 0,0158 0,0073 0,0008 0,0001
8 0,3073 0,0365 0,0183 0,0025 0,0002
9 0,4437 0,0740 0,0402 0,0067 0,0008
10 0,5836 0,1337 0,0789 0,0160 0,0022
11 0,7107 0,2183 0,1390 0,0342 0,0057
12 0,8139 0,3251 0,2229 0,0661 0,0133
13 0,8894 0,4466 0,3279 0,1163 0,0280
14 0,9393 0,5714 0,4468 0,1878 0,0540
15 0,9692 0,6879 0,5692 0,2801 0,0955
16 0,9856 0,7870 0,6839 0,3889 0,1561
17 0,9937 0,8641 0,7822 0,5060 0,2369
18 0,9975 0,9191 0,8594 0,6216 0,3356
19 0,9991 0,9551 0,9152 0,7264 0,4465
20 0,9997 0,9768 0,9522 0,8139 0,5610
21 0,9999 0,9888 0,9749 0,8813 0,6701
22 1,0000 0,9950 0,9877 0,9290 0,7660
23 1,0000 0,9979 0,9944 0,9604 0,8438
24 1,0000 0,9992 0,9976 0,9793 0,9022
25 1,0000 0,9997 0,9991 0,9900 0,9427
26 1,0000 0,9999 0,9997 0,9955 0,9686
27 1,0000 1,0000 0,9999 0,9981 0,9840
28 1,0000 1,0000 1,0000 0,9993 0,9924
29 1,0000 1,0000 1,0000 0,9997 0,9966
30 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999 0,9986
31 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9995
32 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9998
33 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,9999
34 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
35 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
Die Werte 1,0000 und 0,0000 bedeuten: Die angegebenen Wahrscheinlichkeiten sind auf vier Stellen gerundet 1,0000 bzw. 0,0000.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten
Deine Aufgabe ist es die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ zu bestimmen. Diese lauten:
  • $A$: „Unter den ersten zehn befragten Personen sind genau drei Personen dabei, die das Internet für Telefonate nutzen.“
  • $B$: „Unter den ersten zehn befragten Personen sind höchstens drei Personen dabei, die das Internet für Telefonate nutzen.“
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass 28% der Internetnutzer im Jahr 2013 über das Internet telefonierten. Wir betrachten in diesem Experiment nur die ersten zehn Personen der Befragung. Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$.
Um die beiden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, betrachten wir die Zufallsvariable $X$. Die Zufallsvariable $X$ gibt an wie viele Personen der ersten zehn Befragten über das Internet telefonieren. $X$ kann hier als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Hier willst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau drei der zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. Es ist also eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X=k)$ gesucht. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lässt sich eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X=k)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X=k)=\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix} \cdot p^k \cdot \left(1-p\right)^{n-k}$
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier willst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens drei der zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. Es ist also eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X\leq k)$ gesucht. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lässt sich eine Wahrscheinlichkeit der Form $P(X\leq k)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X\leq k)=\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{k} P(X=i)$
1.2 $\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, dass in einer Gruppe von zehn zufällig ausgewählten Internetnutzern, wobei genau zwei Internettelefonie benutzen, unter den ersten drei Befragten genau einer über das Internet telefoniert. Bezeichne dieses Ereignis als $C$, einen Nutzer der über das Internet telefoniert als Treffer und einen der dies nicht tut als Niete. Die gefragte Wahrscheinlichkeit kannst du folgendermaßen berechnen:
$P(C)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten die Treffer und Nieten so anzuordnen, dass Ereignis }C\text{ gilt}}{\text{Anzahl der Möglichkeiten die Treffer und Nieten anzuordnen}}$
Hierbei handelt es sich jeweils um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen.
2. $\blacktriangleright$  Bestimmen des ersten gesuchten Anteils
Der erste Anteil der gesucht ist, ist der Anteil an Internetnutzern, die sowohl das Internet für Telefonate nutzen als auch zwischen 25 und 54 Jahre alt sind. Aus dem Text helfen dir dazu folgende Anteile:
  1. 55% aller Internetnutzer sind im Alter von 25 bis 54 Jahren
  2. 26% aller 24- bis 54-jähriger Internetnutzer telefonieren über das Internet
Sei $n$ die Anzahl von Internetnutzern im Jahr 2013. Somit sind $0,55 \cdot n$ User 24 bis 54 Jahre alt (Punkt 1). Der zweite Punkt sagt dir, dass 26% der 24- bis 54-Jährigen Nutzer das Internet für Telefonie nutzen, also $0,26 \cdot \left(\text{Anzahl 24- bis 54-Jähriger Nutzer}\right)$ Nutzer. Damit erhältst du den gesuchten Anteil an den Gesamtnutzern $n$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des zweiten gesuchten Anteils
Die Internetnutzer wurden in drei Gruppen nach ihrem Alter aufgeteilt. Die 10- bis 24-Jährigen, die 25- bis 54-Jährigen und die 55-Jährigen und Älteren. Den Anteil der 25- bis 54-jährigen Nutzer kennst du bereits (55%). Gesucht ist hier der Anteil an 10- bis 24-Jährigen. Sei $p$ der gesuchte Anteil und $q$ der Anteil an 55-Jährigen und Älteren. Zusammen müssen die Anteile der drei Gruppen 100% ergeben, also ergibt sich:
$1=p + 0,55 + q$
Weiter kennst du jeweils die Anteile der Internettelefonie-Nutzer in den verschiedenen Altersschichten sowie den Gesamtanteil an Internetnutzer, die über das Internet telefonieren. Der Gesamtanteil ist gerade die Summe der mit den Altersanteilen gewichteten Einzelanteilen, das heißt:
$0,28=0,42 \cdot p + 0,26 \cdot 0,55 + 0,21 \cdot q$
Löse die erste Gleichung nach $q$ auf, setze die so erhaltene Bedingung in die zweite Gleichung ein und löse nach $p$ auf.
3.
3.1 $\blacktriangleright$  Entwickeln eines Hypothesentests
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass der Anteil an Internetnutzern, die über das Internet telefonieren, im Jahr 2014 gestiegen sein soll. Demnach soll der Anteil über den 28% aus dem Jahr 2013 liegen.
Deine Aufgabe ist es dabei, einen geeigneten Hypothesentest zu entwickeln und dazu eine Entscheidungsregel auf der Basis des Signifikanzniveaus $\alpha \leq 1%$ anzugeben, mit der man überprüfen kann, ob der Anteil gestiegen ist. Dazu werden hier im Jahr 2014 50 zufällig ausgewählte Internetuser befragt.
Formuliere dazu zuerst Nullhypothese und Alternative, danach formulierst du eine Entscheidungsregel, indem du einen Annahme- und Ablehungsbereich bestimmst.
1. Schritt: Nullhypothese aufstellen
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Internetnutzer, die über das Internet telefonieren, größer als 28 % im Jahr 2013 ist, muss die Nullhypothese hier wie folgt lauten:
$H_0: p_0 \leq 0,28$
Da man diese Hypothese hier verwerfen möchte, handelt es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss demnach wie folgt lauten:
$H_1: p_0 > 0,28$
2. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Nun benötigst du noch eine Entscheidungsregel. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl an Internetnutzern, die über das Internet telefonieren, unter den 50 Befragten beschreibt. $Z$ ist binomialverteilt. Um mit $Z$ Annahme- und Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss diese mit $p=0,28$ und $n=50$ binomialverteilt sein. Annahme- und Ablehnungsbereich haben hier die Form:
  • Annahmebereich: $A=(0,1,2,…,k-1)$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A}=(k, k+1,…,50)$
Ab wann die Nullhypothese verworfen bestimmst du nun wie folgt über das Signifikanzniveau $\alpha$:
$P(Z \geq k) \leq \alpha$
Bringe diese Formel in die Form, dass du die Tabelle für die summierte Binomialverteilung benutzen kannst und bestimme so das gesuchte $k$. Damit kannst du Ablehnungs- und Annahmebereich, sowie die Entscheidungsregel formulieren.
3.2 $\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\beta}$ angeben und erläutern
C1 - Stochastik
Im Material wird einer Wahrscheinlichkeit $p_1$ ein Wert $\beta$, der Fehler 2. Art, zugeordnet. Lese hier den Wert zu der in der Aufgabenstellung angegebenen Wahrscheinlichkeit von 35% ab. Dies ist der Fehler 2. Art.
Hier ist nach der Bedeutung des Fehlers 2. Art gefragt und welche Bedeutung dieser im Sachzusammenhang besitzt.
$\blacktriangleright$  Zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen
Nun sollst du noch den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen. Du kennst bereits $\beta$ ,den Fehler 2. Art . Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen, entspricht in diesem Test gerade der Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese beizubehalten. Da der tatsächliche Anteil $p_1=0,35$ echt größer als $p_0=0,28$ ist, wäre dies die falsche Entscheidung. Du behältst die Nullhypothese genau dann bei, wenn für die Zufallsvariable $Z$ gilt, dass $Z \in A$:
$0,73 \approx P \left(\text{„Fehler 2. Art“}\right)=P \left(Z \in A\right)=P \left(Z \leq k-1\right)$
Betrachte nun die Tabelle zur Binomialsummenfunktion für die Wahrscheinlichkeit $p_1=0,35$. Dort kannst du den passenden $k$-Wert ablesen. Damit erhältst du den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich.
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1.
1.1 $\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten
Deine Aufgabe ist es die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse $A$ und $B$ zu bestimmen. Diese lauten:
  • $A$: „Unter den ersten zehn befragten Personen sind genau drei Personen dabei, die das Internet für Telefonate nutzen.“
  • $B$: „Unter den ersten zehn befragten Personen sind höchstens drei Personen dabei, die das Internet für Telefonate nutzen.“
Aus der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass 28% der Internetnutzer im Jahr 2013 über das Internet telefonierten. Wir betrachten in diesem Experiment nur die ersten zehn Personen der Befragung. Es handelt sich hierbei um eine Bernoulli-Kette mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$.
Um die beiden Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, betrachten wir die Zufallsvariable $X$. Die Zufallsvariable $X$ gibt an wie viele Personen der ersten zehn Befragten über das Internet telefonieren. $X$ kann hier als binomialverteilt angenommen werden mit Parametern $n=10$ und $p=0,28$.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{A}$
Hier willst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass genau drei der zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. Es ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ gesucht. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P(X=3)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$P(X=3)=\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix} \cdot p^3 \cdot \left(1-p\right)^{10-3}=120 \cdot 0,28^3 \cdot 0,72^7 \approx 0,2642$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen genau drei Personen über das Internet telefonieren, ist 0,2642 bzw. 26,42%.
$\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{B}$
Hier willst du die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass höchstens drei der zehn befragten Personen über das Internet telefonieren. Es ist also die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq3)$ gesucht. Da es sich bei $X$ um eine binomialverteilte Zufallsvariable handelt, lässt sich die Wahrscheinlichkeit $P(X\leq3)$ über folgenden Ansatz berechnen:
$\begin{array}{rll} P(X\leq3)&=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3} P(X=k)\\[5pt] &=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{3}\begin{pmatrix}10\\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot \left(1-p\right)^{10-k} & \\[5pt] &=\begin{pmatrix}10\\ 0\end{pmatrix} \cdot p^0 \cdot \left(1-p\right)^{10-0} + \begin{pmatrix}10\\ 1\end{pmatrix} \cdot p^1 \cdot \left(1-p\right)^{10-1}\\[5pt] &\quad+ \begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix} \cdot p^2 \cdot \left(1-p\right)^{10-2} +\begin{pmatrix}10\\ 3\end{pmatrix} \cdot p^3 \cdot \left(1-p\right)^{10-3} \\[5pt] &= 0,72^{10} + 10 \cdot 0,28 \cdot 0,72^9 + 45 \cdot 0,28^2 \cdot 0,72^8 + 120 \cdot 0,28^3 \cdot 0,72^7 \\[5pt] &\approx 0,7021 \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den ersten zehn befragten Personen höchstens drei Personen über das Internet telefonieren, ist 0,7021 bzw. 70,21%.
1.2 $\blacktriangleright$  Bestimmen der Wahrscheinlichkeit
Hier ist nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt, dass in einer Gruppe von zehn zufällig ausgewählten Internetnutzern, wobei genau zwei Internettelefonie benutzen, unter den ersten drei Befragten genau einer über das Internet telefoniert. Bezeichne dieses Ereignis als $C$, einen Nutzer der über das Internet telefoniert als Treffer und einen der dies nicht tut als Niete. Die gefragte Wahrscheinlichkeit kannst du folgendermaßen berechnen:
$P(C)=\dfrac{\text{Anzahl der Möglichkeiten die Treffer und Nieten so anzuordnen, dass Ereignis }C\text{ gilt}}{\text{Anzahl der Möglichkeiten die Treffer und Nieten anzuordnen}}$
1. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten die Treffer und Nieten anzuordnen
Du kannst hier zwei Treffer auf zehn Plätze verteilen, der Rest der Plätze wird mit Nieten aufgefüllt. Hier handelt es sich um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen. Somit gibt es $\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}=45$ Möglichkeiten die Treffer und Nieten anzuordnen.
2. Schritt: Anzahl der Möglichkeiten, dass Ereignis $\boldsymbol{C}$ gilt
Teile hierzu die zehn Plätze in zwei Bereiche auf: die ersten drei Befragten und die letzten sieben Befragten. Ereignis $C$ gilt genau dann, wenn auf den ersten drei und auf den letzten sieben Plätzen genau ein Treffer ist. Auch hier handelt es sich wieder um das Ziehen aus einer ungeordneten Stichprobe ohne Zurücklegen. Du hast $\begin{pmatrix}3\\ 1\end{pmatrix}=3$ Möglichkeiten einen Treffer auf drei Plätze zu verteilen, sowie $\begin{pmatrix}7\\ 1\end{pmatrix}=7$ Möglichkeiten einen Treffer auf sieben Plätze zu verteilen. Zusammen ergibt dies also $3\cdot 7=21$ Möglichkeiten für Ereignis $C$.
3. Schritt: Wahrscheinlichkeit für Ereignis $\boldsymbol{C}$ bestimmen
Setze die oben erhaltenen Werte ein:
$P(C)=\dfrac{21}{45}\approx 0,4667$
Die Wahrscheinlichkeit für Ereignis $C$ ist also 0,4667 bzw. 46,67%.
2. $\blacktriangleright$  Bestimmen des ersten gesuchten Anteils
Der erste Anteil der gesucht ist, ist der Anteil an Internetnutzern, die sowohl das Internet für Telefonate nutzen als auch zwischen 25 und 54 Jahre alt sind. Aus dem Text helfen dir dazu folgende Anteile:
  1. 55% aller Internetnutzer sind im Alter von 25 bis 54 Jahren
  2. 26% aller 24- bis 54-jähriger Internetnutzer telefonieren über das Internet
Sei $n$ die Anzahl von Internetnutzern im Jahr 2013. Somit sind $0,55 \cdot n$ User 24 bis 54 Jahre alt (Punkt 1). Der zweite Punkt sagt dir, dass 26% der 24- bis 54-Jährigen Nutzer das Internet für Telefonie nutzen, also
$0,26 \cdot \left(\text{Anzahl 24- bis 54-Jähriger Nutzer}\right)=0,26 \cdot \left(0,55 \cdot n\right)=0,143 \cdot n$
Nutzer. Damit ist der gesuchte Anteil an den Gesamtnutzern 14,3%.
$\blacktriangleright$  Bestimmen des zweiten gesuchten Anteils
Die Internetnutzer wurden in drei Gruppen nach ihrem Alter aufgeteilt. Die 10- bis 24-Jährigen, die 25- bis 54-Jährigen und die 55-Jährigen und Älteren. Den Anteil der 25- bis 54-jährigen Nutzer kennst du bereits (55%). Gesucht ist hier der Anteil an 10- bis 24-Jährigen. Sei $p$ der gesuchte Anteil und $q$ der Anteil an 55-Jährigen und Älteren. Zusammen müssen die Anteile der drei Gruppen 100% ergeben, also ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} 1&=p + 0,55 + q& \quad \mid\; -0,55 -p\\[5pt] 0,45-p&=q& \end{array}$
Weiter kennst du jeweils die Anteile der Internettelefonie-Nutzer in den verschiedenen Altersschichten sowie den Gesamtanteil an Internetnutzer, die über das Internet telefonieren. Der Gesamtanteil ist gerade die Summe der mit den Altersanteilen gewichteten Einzelanteilen, das heißt:
$0,28=0,42 \cdot p + 0,26 \cdot 0,55 + 0,21 \cdot q$
Hier kannst du nun die Bedingung $q=0,45-p$ einsetzen und nach $p$ auflösen:
$\begin{array}[t]{rll} 0,28&=0,42 \cdot p + 0,26 \cdot 0,55 + 0,21 \cdot \left(0,45-p\right) \\[5pt] 0,28&=0,42 \cdot p + 0,143 + 0,0945 - 0,21 \cdot p \\[5pt] 0,28&=0,21 \cdot p + 0,2375 &\quad \mid\; -0,2375 \\[5pt] 0,0425&=0,21 \cdot p &\quad \mid\; :0,21 \\[5pt] 0,2024&\approx p \end{array}$
Der Anteil an Internetnutzern im Alter von 10 bis 24 Jahre ist somit 0,2024 bzw. 20,24%.
3.
3.1 $\blacktriangleright$  Entwickeln eines Hypothesentests
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass der Anteil an Internetnutzern, die über das Internet telefonieren, im Jahr 2014 gestiegen sein soll. Demnach soll der Anteil über den 28% aus dem Jahr 2013 liegen.
Deine Aufgabe ist es dabei, einen geeigneten Hypothesentest zu entwickeln und dazu eine Entscheidungsregel auf der Basis des Signifikanzniveaus $\alpha \leq 1%$ anzugeben, mit der man überprüfen kann, ob der Anteil gestiegen ist. Dazu werden hier im Jahr 2014 50 zufällig ausgewählte Internetuser befragt.
Formuliere dazu zuerst Nullhypothese und Alternative, danach formulierst du eine Entscheidungsregel, indem du einen Annahme- und Ablehungsbereich bestimmst.
1. Schritt: Nullhypothese aufstellen
Da mit dem Hypothesentest untersucht werden soll, ob der Anteil der Internetnutzer, die über das Internet telefonieren, größer als 28 % im Jahr 2013 ist, muss die Nullhypothese hier wie folgt lauten:
$H_0: p_0 \leq 0,28$
Da man diese Hypothese hier verwerfen möchte, handelt es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die Gegenhypothese $H_1$ muss demnach wie folgt lauten:
$H_1: p_0 > 0,28$
2. Schritt: Entscheidungsregel formulieren
Nun benötigst du noch eine Entscheidungsregel. Betrachte dazu die Zufallsvariable $Z$, die die Anzahl an Internetnutzern, die über das Internet telefonieren, unter den 50 Befragten beschreibt. $Z$ ist binomialverteilt. Um mit $Z$ Annahme- und Ablehnungsbereich zu bestimmen, muss diese mit $p=0,28$ und $n=50$ binomialverteilt sein. Annahme- und Ablehnungsbereich haben hier die Form:
  • Annahmebereich: $A=(0,1,2,…,k-1)$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A}=(k, k+1,…,50)$
Ab wann die Nullhypothese verworfen wird, bestimmst du nun wie folgt über das Signifikanzniveau $\alpha$:
$\begin{array}[t]{rll} P(Z \geq k)&\leq& \alpha = 0,01\\[5pt] 1- P(Z < k)&\leq& 0,01\\[5pt] 1-P(Z \leq k-1)&\leq& 0,01 &\quad \mid\; -1\\[5pt] -P(Z \leq k-1)&\leq& -0,99&\quad\mid\; \cdot \left(-1\right)\\[5pt] P(Z \leq k-1)&\geq& 0,99\\[5pt] \end{array}$
Um nun das hier gesuchte $k$ zu bestimmen, musst du deine Tabelle für die summierte Binomialverteilung betrachten und das erste $k$ notieren, für welches die oben aufgestellte Ungleichung erfüllt ist.
Du findest: $F(50;\, 0,28;\, 22)=0,9950 > 0,99 > 0,9888 = F(50;\, 0,28;\, 21)$
Da hier $k-1=22$ gilt, gilt für k: $k=23$.
Für Ablehnungs- und Annahmebereich folgt demnach:
  • Annahmebereich: $A=(0,1,2,…,22)$
  • Ablehnungsbereich: $\overline{A}=(23,24,…,50)$
Das heißt, benutzen mindestens 23 der Internetnutzer das Internet zum Telefonieren, lehnst du die Nullhypothese ab. In diesem Fall kann man davon ausgehen, dass der Anteil an Internetnutzern, die das Internet zum Telefonieren nutzen, über 28% liegt.
3.2 $\blacktriangleright$  $\boldsymbol{\beta}$ angeben und erläutern
C1 - Stochastik
Im Material wird einer Wahrscheinlichkeit $p_1$ ein Wert $\beta$, der Fehler 2. Art, zugeordnet. Zu der in der Aufgabenstellung angegebenen Wahrscheinlichkeit von 35%, kannst du ca. den Wert $\beta=0,73$ ablesen. Damit liegt die Wahrscheinlichkeit eines Fehler 2. Art hier bei ca. 73%.
Fehler 2. Art bedeutet die Nullhypothese $H_0$ wird fälschlicherweise beibehalten. In diesem Fall bedeutet das, wir würden zu 73% die Nullhypothese beibehalten. Das heißt man würde annehmen, dass der Anteil nicht gestiegen ist, obwohl er tatsächlich auf 35% gestiegen ist.
$\blacktriangleright$  Zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen
Nun sollst du noch den zu diesem Test zugehörigen Ablehnungsbereich bestimmen. Du kennst bereits $\beta$ ,den Fehler 2. Art . Die Wahrscheinlichkeit einen Fehler 2. Art zu begehen, entspricht in diesem Test gerade der Wahrscheinlichkeit die Nullhypothese beizubehalten. Da der tatsächliche Anteil $p_1=0,35$ echt größer als $p_0=0,28$ ist, wäre dies die falsche Entscheidung. Du behältst die Nullhypothese genau dann bei, wenn für die Zufallsvariable $Z$ gilt, dass $Z \in A$:
$\begin{array}[t]{rll} 0,73&\approx P \left(\text{„Fehler 2. Art“}\right) \\[5pt] &=P \left(Z \in A \right)& \quad \mid\; A=(1,2,…,k-1)\\[5pt] &=P \left(Z \leq k-1\right) & \\[5pt] \end{array}$
Betrachte nun die Tabelle zur Binomialsummenfunktion für die Wahrscheinlichkeit $p_1=0,35$. Dort kannst du den Wert $0,7264 \left(\approx 0,73\right)$ für $k-1=19$ ablesen. Damit ist $k=20$.
Der zu diesem Test zugehörige Ablehnungsbereich lautet $\overline{A}=\left(20,21,…,50\right)$.
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